金融经济学之八
套利与资产定价
一、套利
记交易证券的价格向量为 ，支
付矩阵为D。我们将从D到p的映射称为资产定价关系或资
产定价模型。
定义：
套利策略是一种0投资或负投资，又能带来非负的消费
过程的交易策略。
考虑一个交易证券组合 ，若该组合
满足下列条件，则称该组合为套利：
（1）初始价值（initial Value） ；而期末支
付（terminal payoff） ，对于某些 成
立。
（2）初始价值 ，期末支付
成立。
如果某个组合满足条件（1），则表明该组合能以不大
于零的投资成本得到至少在某些状态下为正值的投资利
润；如果某一投资组合满足条件（2），则它以负的成
本，获得在各种情况下都不小于零的利润。
二、无套利原理
在市场均衡时不存在任何套利机会
证明：假定对于任一个消费者i， 是产生均衡消
费配置的证券持有交易策略。如果在给定均衡价格下又存
在着一套利策略 ，那么，新的交易策略
在现有均衡条件下，决不会比原来的消
费少，在某些状态下还会超过原来的消费。这对于非饱和
的消费者而言，肯定会选择新的交易策略，并由此得到更
多的消费。但这与均衡状态下消费者不会偏好与均衡消费
不同的其他配置相矛盾。
无套利原理的假设条件：
（1）市场参与者（至少部分参与者）是非饱和的。这
里，并不要求所有的参与者都是非饱和的，只要市场上有
一些或几个（至少有一个）参与者是非饱和的套利者，就
可以驱动其他主体的配置趋于均衡，并在这一过程中帮助
市场提高效率。
（2）市场无摩擦。
由于无套利是直接针对价格体系或者说定价的，借助
无套利原理，我们可以建立一种相对价格理论，这种定价
方法并不注重资产的内在价值，避免了考察偏好效用或
劳动时间等，用以建立整个均衡体系的一些重要假设前提
和基本构成要素，同一般均衡方法相比，更简洁、明快。
三、资产定价基本定理
经济中不存在套利机会的充分必要条件是：存在一个每一分量都为正值的S维向量 ，使得
成立，或者：
通常，满足上式的 可能不是唯一的，但在N=S，市场
完备的情况下，满足上式的 必然是唯一的，而且等于状
态价格 。
这里，状态价格 是指在状态s发生情况下，
增加一单位消费的边际成本。
风险资产定价
假设经济中存在唯一的一种风险资产的目前价格为 ，
期末的收益支付可能为 ，即未来的收益支付有两种
可能的状态；经济中存在的一个无风险资产，无风险资产
当前的价格为1，收益率为r，则这两种资产的收益矩阵
为：
利用资产定价基本定理，在无套利情况下，存在
使得
成立，或者
定义：
由于 ，由上式定义的 满足一般的概率条件：
从而，我们可以将 解释为状态s出现的“概率”，因为，
上述第二个等式左边乘以（1+r）/（1+r）后可变为：
由于1/（1+r）是无风险贴现因子，上式的一种自然
解释为：风险资产现在的价格等于其未来“平均价格”
（按上面定义的“概率”计算）的贴现值。
这里 事实上并不是状态s发生的真实概率或者投资者
估计的主观概率，仅仅是按前述定义给定的概率。
以上述这种方式定义的 为状态s的风险中性概率（risk neutral probabilities）。利用风险中性概
率，风险资产的当前价格可以通过计算其未来的期望收
益，再以无风险利率进行贴现得到。
上述分析可以推广到一般情形。只要经济中存在无风险
资产，将其记为资产1，记余下的风险资产分别为2，…，
N，初始价格分别为 。在无套利条件下，存在
，使得
风险中性概率定义为：
按风险中性概率计算的每一种风险资产的期望收益率
都相同：
相应地，我们可将风险资产的价格表述为
该公式称为风险中性定价公式，这里，π称为风险中性测度或均衡价格测度。它表明，风险资产的价格是
它在风险中性测度π下的期望收益对无风险利率的折现。
因此，资产定价基本定理可表述为：
如果存在一个每一分量均为正值的状态价格或均衡价
格测度向量，使得风险资产的价格是它在均衡价格测度下
的期望收益对无风险利率的折现值，则市场上不存在套利
机会。
四、期权定价
（一）基本概念
1. 期权
一种或有权益证券，是以支付一定费用为代价获取的
一种权利。该权利赋予期权的购买者在未来某一时刻或者
一时刻之前以约定的价格买进或卖出合同规定的某种特定
标的商品或基础资产（underlying asset）的权利。
2.期权的基本形态
（1）Call Option
（2）put option
（3）European option
（4）American option
3.期权合约的构成要素
（1）标的资产及价格（现价及到期日价格）
（2）履约价格（strike price or exercise price）、行权价或敲定价格
（3）期权价格
4.期权的损益分析（欧式）
（1）看涨期权损益分析
（2）看跌期权损益分析
5. 期权的价值构成
（1）内在价值（intrinsic value）
（2）时间价值（time value）
（3）实值（in the money）、平值（at the money）、虚值（out the money）与期权的时间价值
（二）期权价格的合理界限
1.基本假设
2.期权价格的基本性质
（1）任何情况下，期权的价值都是非负的；
（2）在到期日，美式期权与欧式期权的价值相等，且
看涨期权的价值等于到期日标的资产价格减去行权价，看
跌期权的价值等于行权价减去标的资产价格。
（3）美式期权的价值不小于其行权时的内在价值。
（4）在其他条件不变的情况下，后延到期日将提高美式期权的价值。
（5）美式期权的价值高于具有同一标的资产和到期日的欧式期权的价值
（6）其他条件相同时，行权价越高，买权价值越低，卖全价值越高
（7）任何一份买权的价值不可能高于标的资产的当前价格；
（8）到期日无限，行权价为0的期权价为标的资产的当前价格
（9）标的资产的价格为0时，看涨期权的价格为0
（10）若到期日前标的资产不发放股利，欧式看涨期权的价格不会低于股价减行权价的现值；欧式看跌期权的价格大于行权价的现值减股价。
（三）期权价格关系
1.标的资产相同、行权价不同的两个欧式看涨期权的价格差不高于两个期权行权价之差的现值；
2.欧式看涨期权的价格是行权价格的凸函数；
3.如果一个股票投资组合中各股票的头寸都为正（无卖空股票），则以该股票组合为标的资产，行权价为x的欧式看涨期权的价格不会超过分别以其中单只股票为标的资产，行权价为x的欧式看涨期权以相同比例构成的期权组合的价格。
4.如果在到期日前标的资产不发放股利，则欧式看跌期权的价格等于看涨期权的价格加行权价的限制减股票的当前价格（期权平价（put-call parity）定理）
5.若到期日前不发放股利，美式期权不会提前执行。
6.美式看跌期权的价格不低于看涨期权的价值加行权价的现值减股票当前价格。
（四）期权定价：二项分布模型（CRR模型）
具体推导见板书。
