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浅谈集中质量矩阵和一致质量矩阵
刘兰珣
河海大学土木学院结构工程专业，南京（210098）
摘 要： 本文首先简单介绍有限元分析中的两种矩阵形式，即集中质量矩阵和一致质量矩
阵，然后分别列出三角形三节点单元、六节点单元、矩形单元等简单单元的两种矩阵形式并
进行比较，从而得到一些有意义的结论。
关键词：集中质量矩阵 一致质量矩阵
1. 概述
在有限元分析中经常会用到质量矩阵，通常有两种形式：集中质量矩阵和一致质量矩阵。
前者认为结构的质量平均分配到单元的各个结点上，即只有对角线上的元素为非零值；后者
则将结构的惯性力，像弹性恢复力一样假设由相同的位移函数形成，其计算公式如下：
[ ] [ ] [ ]∫= Ve T dVNNm ρ (1)
其中：ρ 为质量密度，N 为形函数矩阵，V 为单元域。
在高速冲击的动力有限元计算分析中，特别是模拟侵彻、穿透等过程，往往包含上万个
时间积分步，限于单元划分的数量和计算机本身的因素，计算时大多没有严格按照一致质量
矩阵求解，而采用特殊形式的集中质量矩阵进行分析研究，但是，集中质量矩阵并没有真实
地反映结构的质量分布，所得计算结果会造成一定的误差。因此，本文的目的是将一些简单
单元形式的两种质量矩阵进行对比，希望能得出一些有意义的结论。
2. 各单元质量矩阵的比较
为了进一步简化，本文只考虑平面单元，假设每个节点只有两个自由度，单元材料密度
ρ 是一常数，一致质量矩阵用[m]表示，集中质量矩阵用[m’]表示。
三节点三角形单元
平面三结点三角形单元如图 1 所示，形函数矩阵[ N ]可用面积坐标表示，即
[ ] [ ]mji ILILILN =
其中 I = [ I ]2是二阶的单位阵，Lk = Ak/A(k = i, j, m)。
根据一致质量矩阵 [ ] ∫∫= dxdyNNm T ][][ρ 的公式可得：
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[ ]
i
j i j m
m
i i i j i m
j i j j j m
m i m j m m
IL
m IL IL IL IL dxdy
IL
IL L IL L IL L
IL L IL L IL L dxdy
IL L IL L IL L
ρ
ρ
⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤= ⎨ ⎬ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∫∫
∫∫
利用《弹性力学问题的有限单元法》[1]给出的积分公式，设 W 为单元的重量，g 是重力
加速度，可得一致质量矩阵[m]。则对于平面三结点三角形单元，其一致质量矩阵和集中质
量矩阵分别如下形式：
[ ]
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
2
1
4
1
4
1
2
1
4
1
4
1
4
1
2
1
4
1
4
1
2
1
4
1
4
1
4
1
2
1
4
1
4
1
2
1
000
000
000
000
000
000
3g
Wm ， [ ]
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
100000
10000
1000
100
10
1
3
'
称
对
g
Wm
六节点三角形单元
六节点三角形单元、节点如图 2 所示，形函数仍采用面积函数表示：
)2/1(2
)2/1(2
)2/1(2
333
222
111
−=
−=
−=
LLN
LLN
LLN
316
325
214
4
4
4
LLN
LLN
LLN
=
=
=
其形函数矩阵为 [ ] [ ]654321 ININININININN =
由公式[1]计算得到该单元的一致质量矩阵为
三角形单元
3
y
x
1
2
图 1 三节点三角形单元 六节点三角形单元
1
y
x
4
6
5
2
3
图 2 六节点三角形单元
- 3 -
[ ]
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
−−−
−−−
−−−
−−−
−−−
−−−
=
45
8
45
4
45
4
45
1
45
8
45
4
45
4
45
1
45
4
45
8
45
4
45
1
45
4
45
8
45
4
45
1
45
4
45
4
45
8
45
1
45
4
45
4
45
8
45
1
45
1
30
1
180
1
180
1
45
1
30
1
180
1
180
1
45
1
180
1
30
1
180
1
45
1
180
1
30
1
180
1
45
1
180
1
180
1
30
1
45
1
180
1
180
1
30
1
00000000
00000000
00000000
00000000
00000000
00000000
00000000
00000000
00000000
00000000
00000000
00000000
Am ρ
平面六节点三角形单元的集中质量矩阵的形式为
[ ]
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
1
1
10
1
1
1
1
01
1
1
1
6
'
g
Wm
矩形单元
单元形式如图 3 所示，其形函数为
1 2
3 4
1 11 1 , 1 1
4 4
1 11 1 , 1 1
4 4
x y x yN N
a b a b
x y x yN N
a b a b
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= − − = + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= + + = − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
通过计算可得到矩形单元的一致质量矩阵和集中质
量矩阵，结果如下
1 2a
矩形单元
2
34 y
2b x
图 3 矩形单元
- 4 -
[ ]
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
40201020
04020102
20402010
02040201
10204020
01020402
20102040
02010204
9
1 abm ρ ， [ ]
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
10000000
1000000
100000
10000
1000
100
10
1
'
称
对
abm ρ
由于文中所有数值结果均采用手算得出，对于形式更复杂的单元，本文不再推导其一致
质量矩阵和集中质量矩阵。
3. 结论
通过比较上述三种单元的两种质量矩阵形式，可以得到如下一些结论：
1. 单元一致质量矩阵叠加形成的整体质量矩阵一般是稀疏、带状的，但都有相当的半
带宽；集中质量矩阵为对角矩阵，单元叠加后总质量矩阵也是对角阵。
2. 由三种单元的一致质量矩阵可知每个矩阵的各行主元素值都要比该行的其它元素
值大一倍左右，这在一定程度上解释了为什么可以在简化计算中采用集中质量矩阵的原因。
3. 将三节点三角形单元和四节点矩形单元一致质量矩阵中同一行各列元素值相加，可
以发现其值等于集中质量矩阵相应行的主对角元素值，这表明简单单元集中质量矩阵的主元
素可由一致质量矩阵中的行元素叠加而成，而且这种对角化的过程可以保证物体的总动量守
恒。
4. 三种单元中，六节点三角形单元的一致质量矩阵有点特殊，它的单元质量在三边的
中点占较大的优势，大概是角点上质量的 5 倍，所以在使用该单元的时候，两种质量矩阵差
别较大，不太适合直接采用集中质量矩阵代替一致质量矩阵，需要进行修正。
5. 随着计算机技术的不断发展，尽管有一些大规模动力问题可以直接按非对角质量矩
阵计算，但仍存在很多问题和困难，所以能否找出一种基于集中质量矩阵而又有效、方便的
修正方法可以作为今后的一个研究重点。
6. 此外，在中国期刊全文数据库中，在 1979 年到 2006 年期间，如果将查询范围控制
在理工类，输入关键字“集中质量矩阵”和“一致质量矩阵”则查到的相关记录为 0，若输
入两种矩阵的其中一种形式时，各有 27 篇和 35 篇。其中，只有文献[2~5]对两种矩阵的计
算精度和修正有所涉及，但都没有专门讨论两者的关系。由此可见，关于集中质量矩阵和一
致质量矩阵关系的研究并不是很多，还没有一个通用的公式，存在很大的发展空间。
参考文献
[1] 赵经文，王宏珏，结构有限元分析［M］，北京，科学出版社，2001
[2] 车树汶，陈权，楼松庆，质量矩阵模式对桥梁自振频率的影响［J］，兰州铁道学院学报(自然科学版)，
第 22 卷第 6 期，
- 5 -
[3] 宋顺成，轴对称冲击有限元一致质量矩阵迭代解［J］，力学学报，，，l998
[4] 王博，王冠月，徐建国，线性结构地震反应分析模型研究［J］，郑州工业大学学报，第 19 卷第 3 期，
1998
[5] 巨建民，张俊儒，集中质量矩阵特征值分析误差［J］，大连铁道学院学报，，，1995
Lumped Mass Matrix and Coherent Mass Matrix
Liu lanxun
Civil Engineering of Hohai University, Nan Jing, Jiang Su, 210098
Abstract
In this paper, two mass matrix concepts are first briefly reviewed, that is Lumped Mass Matrix
and Coherent Mass Matrix. To study the difference between both of the mass matrixes, comparisons
are made among the elements with three joints, six joints and four joints. Some valuable conclusions
are obtained at last.
Keywords: Lumped Mass Matrix, Coherent Mass Matrix
