研究领域:宏观经济学
教育体制、宏观政策与最优经济增长(
―――含人力资本的混合经济增长模型的动态分析
邵 宜航
(厦门大学经济学院 361005)
内容摘要: 本文在Rebelo(1991)的含人力资本的内生经济增长理论模型的基础上，提出一般化的混合经济内生增长模型。该模型适用于从理论上考察适应我国社会主义市场经济发展的宏观最优政策。我们从不同与以往的经济增长动态分析的视角，论证了不论教育体制如何、民营教育或是国营教育、政府通过适当的政策制定可以引导经济达到社会性的最优增长状态。我们进一步给出了具体的最优征税条件并探讨了它们的政策含意。
关键词: 混合经济 最优经济增长 教育体制 宏观政策
Education System, Macro-Policy and Optimal Economic Growth
SHAO Yi-Hang
(Department of Economics, Xiamen University, Xiamen 361005, China)
Abstract: This paper extends the endogenous growth model with human capital given by Rebelo (1990) to construct a general growth model of the mixed economy of ongoing growth. Such a model is appropriate for the analysis of optimal government policies in the modern mixed economy. We show that the government is capable of leading the mixed economy to the social optimum, no matter whether the education is provided by the private sector or by the government. We also derive the taxation conditions for the social optimum and discuss their policy implication.
Key Words: mixed economy, optimal growth, education system, macro-policy
JEL Classification: O41, I21, E62
一．序言
八○年代后期发展起来的新经济增长理论，在经济系统的内部探求经济持续增长的动力。其中，Lucas(1988)注目于人力资本与经济增长的关系，在Uzawa(1965)的模型基础上，提出了强调人力资本作用的内生经济增长模型。在该模型中，个人可以利用的时间资源被利用于劳动和学习，通过学习提高人力资本，从而提高劳动生产力，使经济得以持续的增长。另一方面， Lucas的该模型可以理解为生产物质产品和知识产品的两部门经济模型。在此模型中，知识生产(或理解为教育)的过程并没有考虑到物质资本的投入，但强调人力资本的提高过程有外部经济效果。与此相比较，Rebelo(1991)的人力资本模型不涉及人力资本提高的外部效果，而更侧重于人力资本本身的作用，并提出了更一般的知识的生产过程，在他的模型中知识的生产也需要物质资本的投入。
以上两个理论模型，后来在各方面得到了扩展。比如，Caballe and Santos (1993)，Bond, Wang and Yip (1996)把Lucas和Rebelo模型中的道格拉斯型生产函数一般化，考察了经济趋向稳态增长过程及在稳态过程附近的动态特征。Milesi-ferretti and Roubini (1998)，Lin (1998) 和 Faig (1995) 等分析了对劳动所得征税和公共消費等对经济增长的影响。
包括上述研究在内的以往在这方面的研究，主要集中于对理想的计划经济模型中达成的社会性的最优增长路径，和在竞争市场中由家庭和企业的合理性行为导致的均衡增长路径的动态特征分析。对政府政策的分析多是把有关政策(如税收)作为外生变量考虑它对均衡增长路径的影响。
本文则在Rebelo(1991)的基础上分别建立民营教育体制和国营教育体制的混合经济增长模型。在我们模型中，政府的政策选择与家庭和企业的消费及生产的选择一样均为内生变量。我们在一个统合的动态模型中，考察混合经济体制中政府的最优选择。我们从不同与以往的研究侧面探讨在混合经济体制下是否可以达到社会性的最优增长状态，以及为达到这种最优状态所应采取的宏观经济政策。这种动态模型分析适用与探讨我国的社会主义市场经济体制下的宏观经济运行。
一般而言，如Lucas(1988) 和Rebelo(1991)所示∶人力资本增长的外部效果，将使在竞争市场中达到的均衡增长路径偏离最优状态(Pareto最优)。而如果不存在外部效果，在一揽子征税的情形下，竞争市场的均衡增长路径将于理想的计划经济模型中的最优路径相一致。这些结论可以简单地扩张到我们的混合经济增长模型。但若非一揽子征税、比如、对资本收益征税、将可能影响资本和消费的增长路径。在本文，我们将证明不论教育是由民间企业还是由政府部门提供, 通过适当的财政政策的设定，可以使资本所得税，劳动所得税和消费税等对经济的不同影响相互抵消，使经济达到最优增长状态。我们将导出具体的最优征税条件并探讨它们的经济学含意。同时，本文也将考察在我们的混合经济增长模型中政府国债对经济增长的影响。
本文余下部分安排如下: 在第二节首先探讨追求社会性最优增长的计划经济模型，它可以理解为由全知全能的中央政府来计划的增长模型，显然，它与我国旧体制下所理解的计划经济的有不同含意。分析该理想化的模型是为了探讨社会性的最优资源动态配置所具有的特征。我们将通过数理分析导出描述最优增长路径的动态方程式。在第三节和第四节，我们分别建立民营教育体制的混合经济模型和国营教育体制的混合经济模型。通过比较这些混合经济增长模型和计划经济增长模型的最优解的特征，探讨在混合经济中社会性最优增长状态实现的可能性，分析于社会性最优增长状态相对应的宏观财政政策。第五节，我们将给出综合结论，并讨论本文所余下的今后的研究课题。一些详细的数学推导付在最后一节。
二. 社会性的最优增长模型----资源的社会性最优分配
在本节，我们考虑追求社会性的资源最优配置的增长模型。它是古典的Ramsey型最优经济增长模型的扩张。
首先，我们假定社会的福利目标是
(1)
在这里表示时点的人均个人消费、表示私人消费的效用函数。而为时点的人均公共服务、为公共服务的効用函数。表示时间偏好率或主观贴现率、为一正的常数。効用函数的和是凹的递増函数，即它的边际効用递减。(1)式表示从现在(0时点)起到无限远将来的人均効用的现在价值的总和。
其次，我们考虑资源和产品的分配。如Rebelo(1991)的设定，我们假设经济生产两种产品:物质产品和知识产品。它们的生产要素均为物质资本和劳动。生产出来的物质产品被用于个人消费,公共服务和投资于两生产部门。知识产品用于提高人力资本从而提高劳动的生产效率。同时，在本文为简单起见，我们不考虑人口的增长和资本存量的损耗。此外，在本文以下部分，只要不会引起混乱我们将省略各经济变量函数的时间变量。
人均物质产品的生产及分配如下,
(2)
式中表示物质产品的生产函数。为人均总物质资本存量，是总物质资本在物质产品生产部门的分配比例。表示人力资本水平，是劳动时间在物质生产部门的投入比例，则表示考虑到劳动的质和量的有效劳动(参阅 Lucas (1988))。 为 对时间的导数(以下,同样的记号均为各变量对时间的导数)，它表示资本存量的变化量，代表新的投资。此处，我们设初期的物质资本存量为
(2*)
另外我们设生产函数为线性齐次函数，即生产关于规模收益不变。
另一方面，人均知识产品的生产如下
(3)
是知识产品的生产函数，和一样为线性齐次函数。因经济只分为两部门，所以和分别表示总物质资本和劳动时间在知识生产部门的分配比例。此处，在初期状态人力资本水平设为
(3*)
以上的微分方程 (2)和(3)也表示该经济的资源配置约束。如此，我们可以把社会性的动态最优资源分配问题描述为以下的最优控制问题:
: Max : (1), subject to : (2),(2*) 和 (3),(3*) 成立。
在该最优控制问题中，和为控制变量, 和为状态变量。
由最优控制理论的最大値原理知，在最优的增长路径 ，存在对应于状态变量和的Hamilton乘子和(它们分别表示和的影子价格)，使得对Hamilton函数
以下的一次最优性条件成立(参Seierstad and Sydsater (1987))，
展开以上的一次条件我们容易得到，
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
在这里和等右下角的1和2等分别表示各自函数的对一变数和第二变数的偏微分(在这里为求简便我们省略去表示最优解各变量右上角的号)。除了上述条件之外，还有以下的横截条件也成立。
所以该经济的最优增长路径 和两资本的影子价格和将由问题 的约束条件(2)、(3)和以上的最优性条件(4)-(9)及相应的初期条件和横截条件所决定。
由最优性条件(4)，(5)和(8)知
从这两个式子知道，在最优状态，如果物质资本的边际生产力不是递减的，即物质资本的边际生产力随着人力资本的提高不再递减，则消费就可能持续地增长。特别是如使用Rebelo (1991) 中的Cobb-Douglas型生产函数
和以下的风险回避度一定的効用函数
则可求得最优的个人消费, 公共服务, 物质资本,人力资本和人均产出将以同样的增长率稳定增长
此处， (具体推导与Rebelo(1991)及Aghion and Howitt (1998)第10章的有关部分同理)。
以下我们将讨论由方程组(2)-(9)及效应的端点条件所决定的社会性最优可持续增长路径是否可以在混合经济体制中达到。在以下部分，我们仍将用表示的最优解，即上述社会性的最优增长路径。
三. 民营教育体制的混合经济增长模型
本节和下一节探讨含政府部门和民间部门的混合经济增长模型。在混合经济中存在政府、家庭和企业三个经济主体。类似于古典的增长模型，我们假设各家庭和各企业分别是无差异的。该经济存在完全竞争的(物质)资本和劳动两个要素市场。对企业和家庭来说政府提供的公共服务以及财政政策是已知的。同时，在市场上，两种生产要素均由家庭提供，家庭和企业可以予测得到市场的资本利息和劳动的工资。因而对二者来说利息和工资也是给定的。
在本节我们假设知识产品也由民间部门的企业生产和提供。企业在市场上提供知识产品给家庭。家庭通过购入并消费知识产品提高自身的劳动能力即提高自身的人力资本水平。由物质产品来衡量的知识产品的相对价格也由市场决定，对家庭和企业来说也是给定的。同时，在这里为了分析的简便，我们假设知识的生产和消费也类似于物质品的生产和消费，即投入于知识生产的时间也将获得报酬，而知识的消费也不考虑时间的因素。
在该混合经济中，对应于给定的政府支出和税收政策，个人的消费和储蓄、两部门的生产投入将由家庭和企业的最优化选择在市场上达到均衡而决定。如此，对应于每一个可行的政府政策，市场将决定相应的消费和资本的均衡增长路径。政府在予知民间部门对每个财政政策的不同反应后，将从所有的均衡路径中选择出最优的增长路径。这种民间部门和政府部门的选择策略是一种动态的Stackelberg对策模型，它也可以借用最优控制模型来表述。
在不考虑资本的外部经济时，如众多的探讨最优增长问题的文献所示, 一揽子征税不影响市场的均衡增长路径(参Blandchard and Fischer (1989))。该结论容易扩张到我们的模型, 即、当政府支出由一揽子税来支付时、混合经济的最优增长途径将于上一节的计划经济的最优增长途径一致。本文我们主要探讨非一揽子征税的情形。
我们首先考虑政府的支出、税收及国债政策。设政府为支付公共服务的费用将对家庭征收消费税、资产收益税和劳动收入税、其税率分别为, 和 。对教育(知识产品)的消费将按的绝对值的比率征税或给予财政补贴，为负时表示征税、为正时表示补贴。政府支出超过税收的部分将由发行国债来支付。政府的财政预算表示为:
(10)
这里表示人均负担的国债。为(物质)资本的利息率，在完全竞争市场它等同于国债的利息率。表示家庭的资产, 即资产收益。表示工资，此处总劳动时间为1，所以家庭的工资收入为。 代表家庭购入的知识产品， 表示由物质产品来衡量的知识产品的相对价格。同时设政府国债满足以下的初期条件和非蓬齐对策条件(Non-Ponzi-game Condition) 。
(10*)
在给定的税收政策 下, 我们考虑家庭和企业的行为。
家庭的行为．家庭将通过最大化自己的效用决定如何消费和储蓄。家庭将在市场上把作为生产要素的资本和劳动提供给企业以获取利息和劳动所得。在完全竞争的市场上，两部门的利息和工资分别相等，所以家庭并不区别把要素提供给那一部门的企业。家庭把征完税的可支配所得分配于(物质产品的)消费, 教育(知识产品的消费)和储蓄, 教育的消费将导致人力资本的提高。它的预算约束为:
(11)
(12)
此处家庭的资产由政府的国债和生产部门的物质资本组成。人力资本的初期水平和上一节的(3*)一致。家庭资产的初期存量为
(11*)
在这里我们考虑代表性的家庭行为，假设所有的家庭是一致的。因而他们的最优选择将会一致所以我们不考虑家庭间的互相借贷。
家庭的现值消费总效用为
(13)
对家庭来说公共服务为给定量，所以在此处最大化消费效用时不考虑公共服务的效用。如此、家庭的最优化问题可表述如下:
∶ Max: (13), .: (11), (11*) 和 (12), (3*) 成立。
在这最优化问题中为给定的函数。和为控制变量, 和为状态变量。
对该问题我们再次利用最大值原理，容易求得下列最优性条件
(14)
和相应的横截性条件 ．这里的和分别为对应于最优控制问题的状态变量和Hamilton乘子。
企业的行为. 企业的行为相对来说比较简单。上述政府的税收政策是针对家庭的收入和消费。对企业来说，并不影响它们的选择。实际上，容易知道对企业征税，最终也将转移到家庭。
在各时点由利润最大化的一阶条件可知，要素的价格等于它们的边际生产率。在完全竞争的条件下, 两部门的要素价格相等。
(15)
式中和分别是物质生产部门和教育(知识生产)部门的物质资本投入, 和分别表示在两个生产部门的劳动时间投入。
均衡路径． 在完全竞争市场的均衡状态，(15)的,和与(14)的相同, 并且
(16)
由以上分析知道,对应于给定的和, 均衡状态的 将由(11)、(12)、(14)-(16)及相应的初始条件和横截条件所决定。在这里我们把满足政府预算约束的财政政策()和在该财政政策下在竞争市场上达成的消费和资本的增长路径称为可能的均衡增长路径。显然这样的均衡增长路径也即为动态方程组(10)、(10*)、(11)、(12)、(14)-(16)及相应的初始条件和横截条件的一组解。为便于与的最优增长路径相比较，我们作变量替换:,,则有, 。在变量变换之后, 的选择将等价于的选择。
政府的选择．现在我们来考虑政府的行为。政府将在所有的可行均衡增长路径中寻求使社会福利最大化的最优均衡增长路径，即政府的最优化问题可表示如下，
: Max: (1), .: 为上述的可能均衡增长路径。
该政府的最优化问题也就是混合经济的最优增长模型。 以下我们将主要讨论最优解中的 是否与的最优解一致。即、该混合经济可否达到社会性的最优增长状态。
如附录的分析推导, 我们知道对应于的最优解，总是存在满足政府预算约束的财政政策()使得为的最优解，此时其中的税收政策必须且只须满足以下的征税条件(17),(18)和(19)。换句话说，只要税收政策满足以下的最优征收条件，则该混合经济可以达到社会性的最优增长状态。
最优征税条件:
(17)
(18)
(19)
(19)式中 ，这里用来表示在的对第1变量的微分, 和也同样表示各自在的偏微分。
以下，我们来讨论这些最优征税条件的意义。
首先讨论征税条件(17)式。实际上, 此时我们可以推导出均衡时的消费增长率为
显然非固定税率的消费税将和资本收益税一样影响消费的增长率，(17)式是保证消费增长达到最优增长率的充分必要条件。注意到非负而为正，所以(17)表明当为正时，必须为负。这意味着对资产的收入所得征税所带来的对投资的负面影响、即家庭将缩减储蓄、可以由递减的消费税政策来抵消。因为递减的消费税实际上将相对地提高目前消费的代价，所以家庭会把一部分目前的消费延迟到将来以增大总消费效用，如此将导致目前储蓄的增加以抵消资产收益税引发的储蓄减少。
另一方面，从消费税率的约束条件 来看，长期来说，消费税率无法持续减少。所以为满足征税约束(17)式, 就长期而言，资产收益税率应为零，即从长期的观点应避免对资产收益所得进行征税。这个结论也与讨论次优征税的Chamley (1986)等的结论相吻合。此外，从(17)式我们还知道长期而言，消費税率应保持一定避免波动。
在征税条件(18)式中，当 时，（18）的约束将类似于 (17)。也就是说政府政策不影响教育的消费时(对家庭的教育消费不征税也不补贴)，对劳动收入进行征税()(在该模型中有报酬的劳动时间固定,故对劳动收入征税即体现为对人力资本收益征税)会抑制个人对人力资本增长的投入，即减少对教育的消费，而增加物质品的消费。为抵消这一对人力资本增长的负面影响，由(18)知须采取为负的税收率。即采取上述的递减的消费率政策，它鼓励把目前的物质消费转移到将来，增加目前对教育的消费。但也同上述的理由，长期而言因无法维持消费税的递减，所以在不考虑政府对教育的补贴的情况下，应避免对劳动收入征税。同时我们注意到(17)和(18)实际上也要求 ，即对物质资本收益和人力资本收益的征税率之比应等于在各自生产部门的各自的边际收益率之比。否则将导致两因素的投入偏离最优比例。
现在考虑 时的情形。我们先讨论长期的征税条件。由征税条件(17)知，长期来说必须满足 ，此时征税约束(18) 变为 , 若, 则要求补贴率或征税率必须持续上升或下降，显然，这无法被满足。所以在长期, 只能设且。也就是说，在长期若对劳动收入征税，则必须对教育、也就是人力资本的储蓄实施同一比率的补贴。且应该采取稳定的补贴率和征税率。该条件表明长期来说，如同对物质资本的收益一样，应避免对人力资本带来的收益征税。
另一方面，在短期，和的相互作用较为复杂。在这里我们主要讨论固定的教育消费补贴率的情形，即的情形。如果 ，(17)将要求采取递减的消费税率()，此时为使(18)成立必须有 。它的经济学含意是∶由于使得与将来相比现在的物质消费品的价格变高，相对地现时的知识产品的价格变低，同时资本收益又被征税，在这种情形下如不对人力资本收益征收适当比例的税赋，会使得与物质资本的增长相比人力资本的增长过快从而导致两部门增长比例失衡，无法达到最优增长状态。此外，(18)式还表明对教育消费的征税()与对劳动收入征税有类似的影响。
征税约束(19)表示现值的政府总支出(现时点开始到无限远的将来的支出的总和的现在价值)的eoniang············ 必须等同于现值的税收总和。它表示政府的债务最终要通过税收来偿还。
最后，我们来探讨债务政策的影响。在上一节征税一揽子税的场合下，我们知道公債的发行与否不影响经济的最优增长途径的实现。在本节的最优征税约束(17)-(19)中虽然没有体现出对债务政策的约束，但为同时要满足征税条件(17)-(19)和财政预算均衡，有时可能必须采用债务政策。即如果不发行国债,,则未必存在满足征税条件(17)-(19)和各时点的财政预算约束(10)的解 。另一方面,债务政策的并用显然可以为税收政策提供更大的可选择范围。
总结以上的分析，有以下结论，
在民营教育体制的混合经济中，可以通过制订适当的财政政策使经济达到最优增长途径。此时的最优征税条件为上述的(17),(18)和(19)式。特别是在长期，应避免对资产收益和人力资本收益征税。同时,一般而言为达到最优增长状态必须借用国债政策。
四. 国营教育体制的混合经济增长模型
在上一节的混合经济中，教育(知识产品)由民间部门生产和提供。在这一节我们考虑由政府部门提供教育的混合经济。
以下我们假设教育部门的物质资本由政府来投资，则现在政府的公共总支出就分成对教育部门的投入和公共服务的提供。在各时点,
(20)
这里 表示政府在教育部门投入的物质资本存量，设它的初期存量为。表示政府提供的公共服务，为政府的总支出。用新的符合表示，政府的目标函数应改写为
(1a)
如果政府支出由征一揽子税来支付，我们容易知道国营教育体制的混合经济可以达到社会性的最优增长状态。以下我们集中最优讨论非一揽子征税的情形。
假设政府对家庭征资产所得税、劳动所得税和消费税，税率分别为 和。此处教育由政府提供，所以不考虑对教育的征税或补贴。政府支出的出超部分将由国债来支付。政府的政策预算为
(10a)
其初始条件和非蓬齐对策条件与上一节的(10*)相同。(10a)式中的为家庭的劳动收入，其中代表劳动时间。而在教育部门的时间投入则视为提高劳动能力(人力资本)的费用，不再有劳动报酬，它是为了提高将来的劳动收入。
家庭的行为．考虑家庭的选择。现在家庭把征完税的可支配收入分为物质品的消费和储蓄两部分，因为教育由政府提供，所以知识的消费不需要付费，但须花费时间。家庭的预算为:
(11a)
式中的家庭的资产被分为在物质生产部门的投资和认购的政府国债 ,其中为物质生产部门的资本存量。为了便于与第一节的最优解比较，借用前面的符号，初期的资产存量为
(11a*)
此处人力资本的提高表示如下, 其初期水平同(3*)
(3a)
家庭的最优化问题为
∶ Max: (13), .: (11a), (11a*) 和 (3a) (3*) 成立。
在该问题中 为已知变量，为控制变量，为状态变量。
对家庭的最优控制问题通过利用以上反复使用的最大值原理，可以导出家庭的最优性条件，
(14a)
和相应的横截性条件．这里的 和 为最优控制问题的Hamilton乘子 。
企业的行为．现在, 民间企业只生产物质产品。根据边际生产力原理，我们有
(15a)
均衡路径．与前面的分析相同，在给定的政府提供的公共服务，在教育部门的投资，征税和国债政策 之下， 家庭的消费、储蓄、人力资本的增长路径为动态方程(11a),(3a), (14a),(15a)及相应的初始条件和横截条件所决定。如上节我们把满足此时政府财政预算约束(10a),(10*),(20)的财政政策(),与在此政策下由(11a),(3a), (14a),(15a)及相应的初始条件和横截条件所决定市场均衡路径()称为可能的均衡增长路径。则该混合经济的最优增长问题可表示为如下的政府的最优选择。
政府的选择．政府的最优化选择为
∶ Max: (1a), .: 为可能的均衡增长路径。
由附录的分析知，在该混合经济中要达到最优的增长状态的充分必要条件是政府的税收政策必须满足前节的征税条件(17)和以下的征税条件
(21)
(22)
这里表示在最优状态的政府总支出，用第二节的符号表示即为
征税条件(17)的意义在上一节已讨论过，(17)实际上给出的是对民间生产部门的资本收益征税时应满足的条件。在这一节的国营教育体制的混合经济中关于物质产品的生产于上一节的设定一样、它们都是由民间部门来生产。所以(17)式依然必须被满足。
(21)给出了为抵消各种税收的相互影响，设置消费税率和劳动收入税率时所必须满足的条件。由(17)知道短期来说可以通过递减的消费税率可抵消资本收入税对投资的影响，但在长期,资本收入税必须为零，此时消费税必须设固定的税率。因而，(21)表明在长期对应于稳定的消费税率，劳动收入税率也要稳定。在短期，若消费税率是递减的(此时资产收入被征税)，则劳动收入率税必须为递增的。这是因为递减的消费税将鼓励家庭把部分现在的消费转移到将来，而把现在的收入作为资产储蓄起来又要被征税，所以，对家庭来说通过减少目前的劳动时间把时间投入到教育以提高将来的劳动收入是更为合理的资源分配。而从整体来看，如此转移将使人力资本的提高与物质资本的储蓄相比显的过快。所以为保持最优的投入规模以达到最优的生产效率，必须设定将来的劳动收入税率高于现在的劳动收入税率以促进现在的劳动时间投入。同时 (21)式还表示考虑到征税的实质消费代价()的下降率与实质劳动收入()的下降率应该一致。
另一方面，我们注意到在国营教育体制下，只要满足最优征税条件(21), 可以对劳动收入征税而不影响资源的最优配置。此结论与民营教育体制下在长期应避免对劳动征税不同。这是因为公有的教育体制等于补贴了教育的消费。
(22)的意义与前一节的(19)式的意义相同。它也表示换算为现在价值的政府支出总和必须等于现在价值的总税收。这也意味着国债必须偿还。
最后，我们必须注意到要满足以上的征税条件(17),(21)和(22), 在长期，必须保持稳定的消费和劳动所得税率，所以为使政府在各时点的收支保持平衡，即满足(10a)，一般而言, 国债的发行是必须的。
总结以上的分析有
在国营教育体制的混合经济中, 通过适当的税率设定，经济可以达到最优增长状态。
最优征税条件为上述的(17), (21)和(22), 此时对应于最优的征税政策一般必须兼用国债
政策以保证收支均衡。同时在长期应避免对资产收入征税。
五. 结束语
本文在传统的含人力资本的内生经济增长模型的基础上，导入了混合经济增长模型。在理论上论证了，不论教育体制如何，通过设定适当的经济政策，政府可以诱导经济到达社会性的最优增长状态。并导出了具体的最优征税条件，分析了这些征税条件的经济学含意。
如传统的增长理论所示，一揽子税并不影响市场的均衡路径。固定比率的消费税将等价于一揽子征税，但，考虑各时点的政府支出均衡时, 此时显然必须借用国债的发行。
当消费税率变化时, 如第三节所示的均衡时的消费增长率的决定式, 消费税也将影响经济的增长。递减的消费税将使消费者把目前的一部分消费推迟到将来,由此将提高消费增长率。所以可以利用递减的消费税来抵消资本收益税带来的降低消费增长率的影响。但长期而言, 因无法维持递减的消费税故应该避免对资本收益征税。
可否对劳动收入征税则应视教育体制而定。在民营教育体制下, 如不考虑对教育消费的补贴, 对劳动收入的征税将影响人力资本的储蓄，在长期应避免对劳动收入征税。考虑教育消费补贴时，在长期与消费税一样应采取稳定的比率, 以避免对消费者选择的冲击。此外, 在长期，对教育消费的补贴率应与劳动收入税率一致，使得实质上由人力资本提高带来的收益不被征税。在国营教育体制下，因为教育由政府提供，固定比率的劳动收入税将不会影响家庭对教育的消费。
本文的结论表明，在短期可以利用各税收政策对经济的不同影响而设定不同的征税政策。但在长期则应避免对物质资本和人力资本所带来的收益进行征税，同时,对消费和教育应保持稳定的征税或补贴率。另外,为使经济达到最优的增长状态，对应于满足征税条件的税收政策，一般而言必须借用国债政策。
在本文, 政府的社会福利函数关于个人消费和公共服务的效用是加法可分离的，因而在实质上政府的目标与个人的目标一致。实际上, 容易看出如果政府和个人的目标一致，在更一般的效用函数的形式下, 本文的结论也成立。但如果政府对个人消费和公共服务的效用评价不同于个人的评价，则可能在混合经济中无法达到社会性的最优资源配置。另一方面，本文没有考虑闲暇的效用，加入闲暇效用时, 个人将把可支配时间分配于劳动, 学习和休假。此时劳动收入税和消费税都将抑制物质消费而促进闲暇时间的增加，因此也无法达到资源的社会性最优配置。在这种情形下，我们须探讨次优征税问题。此外，若考虑人力资本的外部效果，显然本文的结论也必须修改。限于篇幅，上述问题将留作我们今后的研究课题。
六. 附录---第三节与第四节的数学推导
第三节的证明
对家庭的最优化问题由最大指原理可推出 (14)。把(15)代入(14)，可以得到
(5a)
(6a)
(7a)
(8a)
(9a)
另一方面，由政府和家庭的预算约束(10),(11),(12)，企业的最优性条件(15)和均衡条件的(16)，可导出第二节的资源约束条件(2)和(3)。所以对应于满足(10)和(10*)的财政政策,均衡的将由(2),(3)和(5a)-(9a)所决定。
以下我们讨论对给定的，是否可以通过制定适当的税率()使得联立方程组(2)，(3)，(5a)-(9a)的解与联立方程组 (2)，(3)，(5)-(9)的解一致。
首先，比较(5a)和(5)。我们设, 则有
(5b)
把两边分别对时间 求导，并把结果代入(8a)可得，
为此，只要以下的条件
(*1)
被满足就有
(8b)
同时，由(6a)和(7a)知道，如果设 , 则有
(6b)
(7b)
对的两边求微分并利用 (9a) 可导出
由此式知若以下条件被满足
(*2)
被满足，则可得
(9b)
由以上知, 只要条件(*1)，(*2)被满足，则联立方程组(2)，(3)，(5a)-(9a)的解与联立方程组 (2)，(3)，(5b)-(9b) 的解一致，进而与(2), (3)，(5)-(9)的解一致(注意到(5b)-(9b)与(5)-(9)只有变量()与()表示符号的不同)。当然这里还必须讨论有关的端点条件，但这些条件容易被证实。此处我们只讨论关于和的横截性条件,余类似。实际上注意到由知, 故横截性条件和非蓬齐对策条件 隐含了 。所以有。
最后, 我们来分析财政政策必须满足的政府预算约束(10)和(10*)。对(10)的两边乘以贴现率并求积分可得,
(*3)
此为跨时的政府预算约束。由以上的分析可以知道，决定竞争市场的均衡增长途径的诸动态方程式(2)，(3)，(5a)-(9a)并不受国债政策的影响。对给定的或在市场决定的加上初始条件, 微分方程(10)存在惟一的解。若(*3)被满足则(10*)的非蓬齐对策条件也被满足。因而只要税收和补贴政策满足(*1),(*2)和(*3), 总存在满足各时点预算约束的国债政策。
所以对最优解 ，总是存在()满足(17),(18)和(19)(（*1），(*2）,（*3）在的值)。由以上的分析知,这样的为混合经济的一个均衡路径，进而为的最优解。
第四节的证明
把企业的上述最优性条件(15a)中的和代入家庭的最优性条件(14a)，可以导出(5a)和以下诸条件
(7c)
(8c)
(9c)
另一方面，由政府的预算约束和家庭的预算约束及企业的最优化条件可得∶
(2a)
则此时均衡路径将由(2a), (3a) 和 (5a), (7c)-(9c)所决定。
把(2),(3),(5),(7)-(9)中的 和分别用和代替。我们将通过比较变量替换后的联立方程组(2),(3),(5),(7)-(9)的解和(2a),(3a),(5a),(7c)-(9c)的解，分析在该混合经济中是否可达到社会性的最优增长状态。在这里(2a),(3a)即变量替换后的(2),(3),所以下只要比较(5),(7)-(9)与(5a),(7c)-(9c)的异同。另外,在这里我们也省略初始条件和相应的横截条件的讨论。
同上证明,我们设, 只要(*1)成立, 则有,
(5d)
(8d)
设 , 由(7c)得
(7d)
对两边求时间 的微分，并代入 (9c) 得
所以, 当
(*4)
时下式成立
(9d)
所以, 若税率满足(*4), 则此时均衡路径将与(2a),(3a),(5d),(7d)-(9d)的解一致，进而与(2),(3),(5),(7)-(9)的解一致(与的分析同理)。
最后, 同的分析。由此时各时点的政府预算约束(10a)和(10a*)可求出跨时的政府预算约束
(*5)
只要税收满足该跨时预算, 总存在满足各时点预算约束的国债政策。
所以，对最优解 ，总存在()满足(17),(21)和(21)(( *1),(*4)和(*5)在的值)。如此的增长路径,, 即为混合经济的一个均衡解。所以为的最优解。
参考文献
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( 在本文的写作过程中得到了日本一桥大学浅子和美教授和庆应大学神谷传造教授有益的批评和建议, 另本文的研究得到福建省社科规划项目的资助, 在此表示感谢。当然、文责自负。
这里的非蓬齐对策条件表示政府最终将偿还债务, 在该模型中不偿还的债务等同于一揽子税。参阅附录节对公债的讨论。
该式于第一节的政府福利目标(1)相对应。为便于比较用(1a)表示。在本文的以下部分, 相对应的关系式也将用同一数字加a,b,c等来表示。
严格说来这里的Hamilton乘子于第3节的不同，但为了分析简便我们采用同样的记号。
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