文章编号：!""#$%"&（%""’）"#$"""!$"(
可违约债券期限结构之离散模型
梁世栋，郭 人人，方兆本
（中国科学技术大学统计与金融系，合肥 %##""%(）
摘 要：本文在违约强度为随机过程、违约强度与利率相关、以及无风险债券市值回收的条件下，构造了可违约债
券的期限结构的离散模型。本文构造的模型属于强度模型流派。
关键词：可违约债券；期限结构；离散；强度模型
中图分类号：)*#"+,! 文献标识码：-
收稿日期：%""#$"#$%’
作者简介：梁世栋（!,&&$），男（汉族），江苏启东，中国科学技术
大学，博士研究生，研究方向：固定收益、信用风险.
! 引言
所谓可违约债券，即为有违约风险的债券，其典
型的代表是公司债券。可违约债券的期限结构模型
可以分成两类：!）结构模型（/01230214567895）；%）强
度模型（:;09;<=0>67895）。具体的综述可以参见文
献?=9593@=4;8A20@7B<@=（%""%）。结构模型的研究
开始于69107;（!,&’）的工作，69107;（!,&’）的主要
思想是：一个可违约债券（C9D4250$4E59E7;8）可以
等效成一个无风险债券（C9D4250$D199E7;8）减掉一
个标的为该可违约债券发行人市值的欧式看跌期
权。其后的代表性文献有：?543@4;8F7G（!,&(），
H9<@94;8I7;<7;（!,*’），J7;K<04DD4;8/3LB410M
（!,,N）。不过无论如何改进，公司资产市值符合几
何布朗运动的假定一直是结构模型最大的缺陷。习
惯上，公司的市值就是指公司股票在证券市场的市
值，但是这里的公司资产的市值是指在市场上公开
出售公司资产的价值，注意区别。强度模型的工作
开始于I4117B4;8O21;E255（!,,N）模型（?=9593@=4;8
A20@7B<@=（%""%）。其后的代表性文献有：I4117B，
J4;87，4;8O21;E255（!,,&），C2DD=94;8/=;K5907;
（!,,,），6484;4;8P;45（%"""）。
本文模型属于强度模型流派。I4117B4;8
O21;E255（!,,N）文中的违约强度被假定为常数，而
且违约过程与利率无关，这给后面的工作留下了很
大空间。本文同时改进了I4117B4;8O21;E255
（!,,N）的这两个缺点，即违约强度为随机过程，而且
违约强度与利率相关。当然，在I4117B4;8O21;Q
E255（!,,N）其后也有文献改进其两个缺点，如I41Q
17B，J4;87，4;8O21E255（!,,&），C2DD=94;8/=;K5907;
（!,,,），6484;4;8P;45（%"""），而本文模型不同于
他们的特点是无风险债券的市值回收和违约强度的
非负性。
当我们实际使用可违约债券的期限结构模型
时，都是使用信用评级公司（如穆迪6778>）的平均
回收率数据作为模型回收率参数的估计值，而信用
评级公司的平均回收率数据是相对于可违约债券的
面值进行统计的（6778>（%""%）），也就是说假定面
值回收或者以无风险债券市值回收要更为合理一
些。本文有关回收率的假定是以无风险债券市值回
收的。而一类模型为了解决I4117B4;8O21;E255
（!,,N）的缺点而进行的妥协就是假定可违约债券的
市值回收，如C2DD=94;8/=;K5907;（!,,,）。本文的利
率过程采用了F:A（!,*NE）模型，保证利率的非负
性，而假定的违约强度随机过程形式也保证了违约
强度的非负性。关于利率模型，尽管有作者（如
A7K91<（!,,N））提出当把高斯类的模型（如R4<=39@
（!,&&）模型）拟合到一般情况下的利率期限结构后，
利率为负的概率是很小的；但是，在利率比较小的时
候，非负性的利率模型是必需的，最极端的例子是
!,,*年的日元利率，利率水平很低，波动率却很大
（I4S9<4;8T9EE91（%"""））。而就违约强度而言，
债券的信用等级越高违约强度越小，对于信用等级
较高的可违约债券，非负性模型当然也是必需的。
总之，模型的非负性保证是更为切合实际情况的。
而一些改进模型没有非负性保证，如 6484;4;8
P;45（%"""）中的违约强度符合正态分布，具有为负
值的可能。
第!%卷 第#期
%""’年 (月
中国管理科学
FL=;9<9I721;457D64;4K9S9;0/3=9;39
R75.!%，U7.#
I2;.， %""’
万方数据
当然，改进的代价是无法得到解析解，所以本文
最后把模型离散化成二维三叉树。期限结构模型可
以帮助我们很好地理解信用风险，但是最根本的目
的是为了定价信用风险衍生产品。即使可违约债券
期限结构可以得到解析解，由于场外市场上的有关
信用风险的衍生产品众多、损益都比较复杂，不可能
都寄希望于连续模型以得到衍生产品的价格表达
式。所以离散模型是尤其必要性的。
! 模型构建
假定!：无风险利率!（"）符合"#$（!%&’）模
型，#!$（%&’!）#"( !)!#*!
其中%"(，*!为标准布朗运动，风险市场价格
（)*+,-./+01-23$04,）为!!!!。"#$（!%&’）模型很
重要的一个贡献是改正了5*401-,（!%66）利率模型
一个缺点：利率有可能为负。实际上，在"#$模型
中，无风险利率的条件分布是一个非中心卡方分布。
假定7：违约过程为"28过程，即可违约债券的
违约时刻由"28过程的第一次跳的时刻"描述，违
约强度#（"）满足随机过程##$（#&+#）#"(,
!##*#
其中#"(，*#为标准布朗运动，*#与*!之间
的瞬间相关系数为$，风险市场价格为!#!#。假定
的违约强度的随机过程形式保证了其非负性。
如此，设带统概率空间（%，-.#，｛-"｝.
#
"$(，/），
其中&流-"$-0" $1"，-0" 是随机过程!（"）和
#（"）产生的&流，1"是违约过程产生的&流，/为实
际概率。假定基于概率空间（%，-.#，｛-"｝.
#
"$(，/）的
市场是一个无套利市场，等价鞅测度存在，设为2。
并设在时刻(存入!元，并支付连续复利!（"）
的货币市场帐户（92:-;9*+,-.*112<:.）在"时刻
的价值为3（"）；设在到期时刻.（"%.%.#）支
付!元的无风险债券在时刻"的价格表示为/（"，
.）；设在到期时刻.支付!元的可违约债券在时刻
"的价格表示为4（"，.）。
"28过程允许违约强度是随机过程，是非齐次
泊松过程的更一般化，在已知历史｛#（5）(%5%"｝的
条件下，"28过程即退化成一般的非齐次泊松过程，
所以"28过程有时也被称为条件泊松过程（"2:=0>
.02:*?/20442:/+21-44）。从"28过程的基本性质，我
们知道在已知历史｛#（5）(%5%"｝的条件下，违约时
间的分布为
6（"""7-0"）$-8@（&&
"
(
#（5）#5） （!）
可违约债券违约的可能性将带来两种风险：信
用违约风险（1+-=0.=-3*<?.+04,）和信用利差风险
（1+-=@+-*=+04,）。前者是指因为合约方违约从而
给对方造成直接损失的风险，后者是指合约方违约
概率的变化而带来的风险。在信用风险定价模型的
研究中，如果要考虑信用利差风险，模型的违约强度
就必须要随机化。假定违约强度为常数，正是A*+>
+2B*:=C<+:D<??（!%%’）的主要缺点所在。虽然A*+>
+2B，E*:=2*:=C<+:D<??（!%%6）在其拓展工作中建
立的)*+,2F"G*0:模型也考虑了信用利差风险，不
过)*+,2F"G*0:的状态是有限的。更为重要的是，
A*++2B*:=C<+:D<??（!%%’）以及A*++2B，E*:=2*:=
C<+:D<??（!%%6）的模型中的违约过程与利率是不相
关的，虽然)*=*:*:=H:*?（7(((）的模型考虑了违
约强度与利率的相关性，但是该模型具有一个很大
的缺点，就是违约强度有可能为负值。而本文则在
考虑违约强度为随机过程而且与利率过程相关的条
件下，讨论可违约债券的期限结构问题，有关假定形
式保证了利率和违约强度的非负性。
假定I：无风险债券市值回收，回收率（+-12F-+;
+*.-）为常数’，即一旦违约在"时刻发生，则债权人
得到’/（"，.）。在实际使用中，可以根据其信用等
级和债务优先级别，对应信用评级机构（如穆迪）提
供的平均回收率作为其估计值。
假定I是关于回收过程的，比J<330-*:=K0:>
L?:（!%%%）相关假定来得合理。J<330-*:=K0:L?->
.2:（!%%%）模型假定违约发生时，债权人得到的回收
值与可违约债券的市值成正比。但是正如前文所
说，信用评级公司的平均回收率数据是相对于可违
约债券的面值进行统计的，虽然J<330-*:=K0:L?:
（!%%%）在文中试图说明按照可违约债券的市值回收
和按照面值回收对定价的影响差别不大，但是他们
也不得不承认：两者确实是存在差别的，特别是在信
用风险比较显著的时候（例如垃圾债券），差别是非
常明显的。
如果.时刻之前已经发生违约（也即"%"），那
么可违约债券退化成无风险债券/（"，.），这已和
信用风险不再发生联系。既然这样，我们假定违约时
刻"""，容易知
4（"，.）$3（"）82"
’/（"，.）!｛"%.｝
3（"） (
!｛"".｝
3（.（ ））
$3（"）82"
’!｛"%.｝(!｛"".｝
3（.（ ）） （7）
·7· 中国管理科学 7((M年
万方数据
上述的式子（!）并不容易直接求解，我们考虑一
种特殊情况，即回收率!!"，记"（#，$）!｛%（#，
$）&!!"｝，那么
"（#，$）!’（#）()#
#｛"!$｝
’（$［ ］）
!()［$%&（*"
$
#
+（,）-,）#｛"!$｝&.#］（’）
!#｛"!#｝()［$%&（*"
$
#
［+（,）/#
$
（,）］-,&.0#］
由于我们原先假定违约时刻"!#，所以
"（#，$）!()［$%&（*"
$
#
［+（,）/#
$
（,）］-,）&.0#］
（(）
其中#
$
（#）是违约强度在等价鞅测度) 下的
值，因为违约本身需要风险补偿，所以#（#）##
$
（#）。一般，我们可以假定#
$
（#）!%#（#），其中%是
违约作为随机事件本身需要的风险补偿系数。
从式子（(）中看到，"（#，$）现金流的折现因
子为$%&（*"
$
#
［+（,）/#
$
（,）］-,），即短期利率加上
违约风险的补偿。由（#，+（#），#（#））的强)*+,-.性
质，"（#，$）是（#，+（#），#（#））的可测函数，由
/$012*134*5公式，"（#，$）实际上是下列偏微分
方程的解（初始值"（$，$）!#）
&"
&#/
［1*（2/’+3）+］
&"
&#/
［-*（4/’#5）#］
&"
&# /
3!+
!
&!"
&+! /
5!#
!
&!"
&#!
（6）
(35 +$#
&!"
&+&#!
［+/%#］"
而由式子（!），我们可以得到
%（#，$）!’（#）()#
!（#*#｛"!$｝）/#｛"!$｝
’（$［ ］）
!!6（#，$）/（#*!）"（#，$）
! 离散模型
求解偏微分方程（7）得到8（9，9）的表达式，即
可以得到可违约债券的价格表达式。但是偏微分方
程并没有解析解，所以本文对模型作离散化处理。
目前应用于衍生产品定价的比较流行的离散方法有
两类：树图法（:*;;<5$（-+9+$$）=&&+-*5>）和有限差
分法（/<1<;$?<@@$+$15$=&&+-*5>）。蒙特卡罗模拟因
为只能用于欧式衍生产品的定价而应用有限。
A+$11*1*1BC5>D*+;E（#FGH）证明了显式有限差分
方法与三叉树图法等效。I$+,$*1BC>*J;+<（#FH6）
比较了各类有限差分方法，认为显式有限差分方法
明显占优，唯一的缺点是构建的离散模型有可能不
收敛到对应的连续模型。8KLL*1BM><;$（#FF"）改
进后的显式有限差分方法则保证了离散模型的收敛
性。因为显式有限差分方法与三叉树图法的等效
性，本节将基于8KLL*1BM><;$（#FF"）的显式有限差
分方法，建立可违约债券期限结构的离散模型。需
要说明的是，由于市场中的噪声多于基本资产，所以
此市场是一个不完全市场。一般来说，此时未定权
益的无套利价格不再唯一，本文的离散模型给出了
一个常用的无套利参考价格的计算方法。
如上文的假定，在等价鞅测度)下，
-+!（1*2+*’+3+）-#/ $3+-7
$
+
-#!（-*4#*’#5#）-#/5$#-7
$
#
-7
$
+-7
$
#!(
%
&
’ -#
我们首先作一些变换，使得变换后的变量满足
的随机过程的扩散项系数为常数，并且扩散项之间
不再具有相关性。
令8#!$+；8!!$#，那么由N;-公式
-8#!%8#-#/)8#-7
$
+
-8!!%8!-#/)8!-7
$%
&
’ #
其中
%8#!（
#
!1*
#
H3
!）8*## *（
#
!2/
#
!3’+
）8#
%8!!（
#
!-*
#
H5
!）8*#! *（
#
!4/
#
!5’#
）8
%
&
’ !
；
)8#!
#
!3
)8!!
#
!
%
&
’ 5
令9#!)8!8#/)8#8!；9!!)8!8#*)8#8!，那
么由N;-公式，
-9#!%#-#/)#-7#
-9!!%!-#/)!-7
%
&
’ !
其中
%#!)8!%8#/)8#%8!
)#!)8#)8! !（#/($
%
&
’ ）
；
%!!)8!%8#*)8#%8!
)!!)8#)8! !（#*($
%
&
’ ）
下面分别就变量9#，9!建立两个三叉树，然后
将两者结合起来即得到本章的离散模型 ——— 二维
三叉树。
·’·第’期 梁世栋等：可违约债券期限结构之离散模型
万方数据
（!）变量!!的三叉树
第一步：变量离散化
对于时间"和变量!!，考虑尽量小的时间段!"
和尽量小的变量变化!!!，则两者的变化范围表示
如下
"，"#!"，"#"!"，⋯，$
!!（#$%），!!（#$%）&!!!，!!（#$%）#"!!!，⋯，!!（#’(
!
"
# ）
两者构成网格，如下图)*!所示，我们用"（%）
来表示时刻"#%!"；!!（&）来表示在!!（#$%）&&!!!
处；!!（%，&）表示"（%）时刻在!!（&）处。
第二步：三叉树的构造
一般的三叉树如图!+’所示，即!!（%，&）在下一
个时刻"（%#!）具有三个可能，分别为!!（&#!）、!!（&）及
!!（&’!）。
!,-%.&/
!,-%&,.&&,/
!,-%&,.&
$
%
% /
!,-%&,.&*,/
图!+’
!,-%&,.(&,/
!,-%&,.(/
!,-%&,.(*,/
!,-%.& &&
&&
&&
&&
&
%
$
%
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
/
图!+0
这样构造的三叉树，对于比较简单的随机过程
没有问题，但是对于复杂的随机过程，可能会出现不
收敛的情况，本文的模型正是如此。1233’%456$78
（!99:）对此的建议是改变三叉树的结构，即改变
!!（%，&）在下一个时刻"（%#!）具有三个可能，分别为
!!（(#!）、!!（(）及!!（(’!），如图!+0所示。其中，(为使
得!!（%#!，(）与!!（%，&）#"!!"最接近的值。
第三步：风险中性概率的确定
6确定以后，三叉树的结构确定，为了计算衍生
资产，还需要确定三叉树每根叉的风险中性概率，即
!!（%，&）在下一个时刻"（%#!）的三个可能!!（(#!）、
!!（(）及!!（(’!）各自对应的风险中性概率)（&，(#!）、
)（&，(）和)（&，(’!）。计算风险中性概率的原则是：满
足!!变化的一阶距、二阶距都相等，如下表示
)（&，(’!）（(’!）!!!#)（&，(）(!!!#
)（&，(#!）（(#!）!!!*+（!!）
)（&，(’!）（(’!）"!!"!#)（&，(）("!!"!#
)（&，(#!）（(#!）"!!"!*#"!!"#+（!!）"
)（&，(’!）#)（&，(）#)（&，(#!）*
!
"
# !
其中+（!!）*&!!!#"!!"，解该方程组，整理
得到
)（&，(’!）*
!
" (
"#(’（!#"(）
+（!!）
!!!［ #
+（!!）"
!!"!
#
#"!!"
!! ］"!
)（&，(）*!’("#"(
+（!!）
!!! ’
+（!!）"
!!"!
’
#"!!"
!!"!
)（&，(#!）* !" (
"’(#（!’"(）+
（!!）
!!!［ #
+（!!）"
!!"!
#
#"!!"
!! ］
!
"
# "!
（;）
第四步：风险中性概率的非负性；!!!与!"的
关系
关于风险中性概率的非负性，上述的三叉树中
有一个自由度，即#
"
!!"
!!"!
的选择，我们令#
"
!!"
!!"!
*,，
通过对式子（;）配方，容易得到为了保证风险中性
概率为正，,应该满足的条件是:+"<’,’:+=<，
此处选为, *!／)，也即!!!*#! )!( "。
至此，状态变量!!的三叉树构造完成。
（"）变量!"的三叉树
变量!"可以类似的得到。基于上述的尽量小的
时间段!"，考虑尽量小的变量变化!!"*#" )!( "，
!"变化范围为｛!"（#$%），!"（#$%）&!!"，!"（#$%）&"!!"，
⋯，!"（#’(）｝。我们用!"（-）来表示在!"（#$%）&-!!"
处；!"（%，-）表示"（%）时刻在!"（-）处。!"（%，-）在下一个
时刻"（%#!）的三个可能为!!（.#!）、!!（.）及!!（.’!），
他们各自对应的风险中性概率为)（-，.#!）、)（-，.）
和)（-，.’!）。其中. 的确定原则为：使得!"（%#!，.）
与!"（%，-）#""!"最接近。
（)）二维三叉树
考虑尽量小的时间段!"、尽量小的变量变化
!!!和!!"，其中!!!*#! )!( "，!!"*#" )!( "。
三者构成立体的网格，图"是时间的横截面，我
们用"（%）来表示时刻"#%!"；!!（&）来表示在!!（#$%）
&&!!!处；!"（-）来表示在!"（#$%）&-!!"处；!（&，-）表
示!!在!!（&）处，!"在!"（-）处；!（%，&，-）表示在"（%）时
·>· 中国管理科学 "::>年
万方数据
刻，!（"，·，·）在!（#，$）处。
把上述的两个三叉树结合起来，那么在下一个
时刻%（"&!），!（"，#，$）将有九种可能，分别是
!（"&!，’&!，()!） !（"&!，’&!，(） !（"&!，’&!，(&!）
!（"&!，’，()!） !（"&!，’，(） !（"&!，’，(&!）
!（"&!，’)!，()!） !（"&!，’)!，(） !（"&!，’)!，(&!
!
"
# ）
如图"，现在时刻为%（"），!（"，·，·）在!（"，#，$）处。
如果由一般的三叉树组合，则在时刻%（"&!），
!（"&!，·，·）会出现在与空心圆所表示的区域，而在我
们的二维三叉树中，!（"&!，·，·）将会出现在实心圆表
示的区域。由于两个状态变量扩散项之间相互独立，
二维三叉树每个树叉的风险中性概率等于对应的三
叉树树杈的风险中性概率的乘积*（#，’）（$，(）+
*（#，’）,*（$，(）。
图"
至此，二维三叉树构造完成。
在风险中性的概率测度下，债券的价格等于下
一期债券价格的期望的利率贴现值。
-（"，#，$）+
!
!&.（"，#，$）!%$
’&!
/+’)!
$
(&!
0+()!
*（#，/）（$，0）-（"&!，/，0）
1（"，#，$）+
!
!&（.（"，#，$）&"
#
（"，#，$）!%
$
’&!
/+’)!
$
(&!
0+()!
*（#，/）（$，0）1（"&!，/，0）
其中
.（"，#，$） +
!!（"，#）&!"（"，$）
"$2
"
#
%
&"
"
"#（"，#，$） +
%!!（"，#）)!"（"，$）"$2（ ）!
"
由于3（%，4）+&-（%，4）&（!)&）1（%，4），
则
3（"，#，$）+&-（"，#，$）&（!)&）1（"，#，$）
在构建的二维三叉树的立体钢格上，每一个网
点-（%，4）、1（%，4）以及3（%，4）都有对应的值。
! 结束语
本文在违约强度为随机过程、违约强度与利率
相关、以及无风险债券市值回收的条件下，构造了可
违约债券的期限结构离散模型。本文构造的模型可
以认为是#$%%&’$()*+%(,+--（!../）的拓展，改进
的地方有两个方面，分别是违约强度为随机过程和
违约强度与利率相关。虽然0+1123$()42(5-36&(
（!...）和7$)$($()8($-（"999）也考虑了这两个问
题，但是0+1123$()42(5-36&(（!...）需要一个很不合
理的假定（即债权人得到的回收值与可违约债券的
市值成正比）才能得到模型的解；而7$)$($()8($-
（"999）模型不仅存在结构模型的缺点，而且违约强
度还有可能为负值。在模型的实际应用中，可以通
过可违约债券和无风险债券的期限结构估计出模型
的各参数，然后就可以给各种信用风险衍生产品定
价了；或者也可以通过信用风险衍生产品的价格来
估计模型的各参数，从而给可违约债券定价或者别
的信用风险衍生产品定价。
参考文献：
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/L：LT/MU9J=
［/］0+1123，0=$()W=#=42(5-36&(@7&)3-2(563%B?6%+;6+%3?&1
)31$+-6M$,-3,&()?@*D3>3C23’&1F2($(;2$-46+)23?，
!...，!"（U）：KTJMJ"9=
［K］X3%<3，>=$()Y=O=#&D(?&(@*D3C$-+$62&(&1;&%E&%$63-2$I
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·/·第L期 梁世栋等：可违约债券期限结构之离散模型
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