保险精算.ppt

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保险精算 第一章 利息的基本概念 第一章 利息的基本概念 实际利率和实际贴现率 名义利率和名义贴现率 利息强度 实际利率和实际贴现率 实际利率 某一度量期的实际利率，是指该度量期内得到的利息金额与此度量其开始时投入的本金金额之比。通常用 表示。 单利和复利 考虑投资一单位本金。如果其在t时刻的积累值为 则该笔投资以每期复利 计息，并将这样产生的利息成为单利。 如果其在t时刻的积累值为 则该笔投资以每期复利 计息，并将这样产生的利息成为复利。 实际贴现率 一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末投资可回收金额之比，通常用字母 表示。 名义利率和名义贴现率 名义利率 ，是指每 个度量期支付利息一次，而在每 个度量期的实际利率为 。 名义贴现率 ，是指每 个度量期支付利息一次，而在每 个度量期的实贴现率为 。 名义利率和名义贴现率的关系： 当m=p时： 例 1、确定500元以季度转换8%年利率投资5年的积累值。 2、如以6%年利，按半年为期预付及转换，到第6年末支付1000元，求其现时值。 3、确定季度转换的名义利率，使其等于月度转换6%名义贴现率 例答案 1、 2、 3、 利息强度 投资一笔资金，设在时刻 t 的资金金额由总来能够函数 A（t）给出，这笔资金完全由于利息而变化，即本金不变。定义： 式中， 为该投资额在 t 时刻的利息强度，即 为利息在时刻 t 的一种度量。 为 t 时每一单位资金的变化率。 理论上可随 t 任意变化，实际上经常保持为常数。 将本节内容联系起来的一个常用关系式： 例 确定1000元按如下利息效力投资10年的积累值 1、 2、 例答案 保险精算 第二章 年金 第二章 年金 期末付年金 期初付年金 任意时刻的年金值 永续年金 连续年金 期末付年金 年金的定义 按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。 期末付年金： 现值公式： 积累值公式： 期初付年金 每个付款期间开始时付款的年金为期初付年金。 现值公式： 积累值公式： 任意时刻的年金值 首期付款前某时刻的年金现值： 在最后一期付款后某时刻的年金积累值： 付款期间某时刻的年金当前值： 永续年金 付款次数没有限制，永远持续的年金成为永续年金。 连续年金 付款频率无限大（即连续付款）的年金称为连续年金。 现值公式： 积累值公式： 保险精算 第三章 生命表基础 第三章 生命年表基础 生命函数 生命表 生命函数 分布函数 用X表示初生婴儿未来寿命的随机变量，则X的分布函数 可以表述为： 生存函数 意义：新生儿能活到 岁的概率。 与分布函数的关系： 与密度函数的关系： 新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率： 剩余寿命 定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。 分布函数 ： 剩余寿命的生存函数 ： 特别： 剩余寿命 ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率 ：x岁的人将在1年内去世的概率 ：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的概率 整值剩余寿命 定义： 未来存活的完整年数，简记 概率函数 死力 定义： 的瞬时死亡率，简记 死亡效力与生存函数的关系 死亡效力与密度函数的关系 死亡效力表示剩余寿命的密度函数 的解析表达式 De Moivre模型(1729) Gompertze模型(1825) Makeham模型(1860) Weibull模型(1939) 生命表 生命表的含义： 根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料 编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表. 生命表的特点 构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法） 生命表的内容 常用符号 新生生命组个体数： 年龄： 极限年龄： 个新生生命能生存到年龄X的期望个数： 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望个数： 特别：n=1时，记作 个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数： 个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿命总数： 保险精算 第四章 人寿保险的精算现值 第四章 人寿保险的精算现值 死亡即付的人寿保险 死亡年末给付的人寿保险 死亡即付人寿保险与死亡年末付人寿保险的精算现值的关系 递增型人寿保险与递减型人寿保险 死亡即付的人寿保险 死亡即刻赔付的含义 死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应用场合，保险公司通常采用的理赔方式。 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命。 精算现值的概念 精算现值即趸缴纯保费，未来保险金给付在签单时的现值，即一次性缴清的纯保费，它是以预定利率和预定死亡率为基础计算的。 主要险种的精算现值（趸缴纯保费）的厘定 n年期定期寿险 终身寿险 延期寿险 延期m年的终身寿险/延期m年的n年定期寿险 n年期生存保险 n年期两全保险 n年定期寿险 定义 保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年死亡保险。 假定： 岁的人，保额1元n年定期寿险 基本函数关系 符号： 厘定： 方差公式： 记 （相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费） 所以方差等价为 终身寿险 定义 保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。 假定： 岁的人，保额1元终身寿险 基本函数关系 符号： 厘定： 方差公式 记 所以方差等价为 延期终身寿险 定义 保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。 假定: (x)岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险 基本函数关系 符号： 厘定： 延期m年的n年定期寿险： 生存保险与两全保险的趸缴纯保费 n 年定期生存保险 定义 被保险人投保后生存至n年期满时，保险人在第n年末支付保险金的保险。 假定: (x)岁的人，保额1元，n年定期生存保险 基本函数关系 符号： 趸缴纯保费厘定： 现值随机变量的方差： n年定期两全保险 定义 被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金的保险。它等价于n年生存保险加上n年定期寿险的组合。 假定(x)岁的人，保额1元，n年定期两全保险 基本函数关系 符号及保费厘定： 死亡年末给付的人寿保险 死亡年末赔付的含义 死亡年末陪付是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付。 由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年年末，所以死亡年末陪付时刻是一个离散随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的整值剩余寿命加一。这正好可以使用以整值年龄为刻度的生命表所提供的生命表函数。所以死亡年末赔付方式是保险精算师在厘定趸缴保费时通常先假定的理赔方式。 死亡年末给付的计算原理同死亡即刻给付 定期寿险 终身寿险 两全保险 延期寿险 延期m年的终身寿险 延期m年的n年定期寿险 延期m年的n年两全保险 死亡即付人寿保险与死亡年末副人寿 保险的精算现值的关系 UDD假设下死亡即刻赔付净趸缴纯保费是死亡年末赔付净趸缴纯保费的 倍。 递增型人寿保险与递减型人寿保险 递增型寿险 1.死亡时立即给付的递增型终身寿险的趸缴纯保费 一年递增一次： 一年递增m次： 一年递增无穷次（连续递增）： 对于递增的n年定期寿险，只需将积分上限换成n即可。 2.死亡年度末给付的递增型终身寿险的趸缴纯保费 相应地，对于n年定期保险，有 递减型寿险 1.立即给付型递减型寿险（n年定期寿险为例） 2. 死亡年末给付型递减型寿险（n年定期寿险为例） 两类精算现值的换算 保险精算 第五章 年金的精算现值 第五章 年金的精算现值 生存年金的概念 连续给付型生存年金 离散型生存年金 每年给付数次的生存年金 生存年金的概念 生存年金的概念 生存年金是指在已知某人生存的条件下，按预先约定的金额以连续方式或以一定的周期进行一系列给付的保险，且每次年金给付必须以年金受领人生存为条件。 生存年金精算现值的概念 又称为生存年金的趸缴纯保费，使依赖于剩余寿命确定年金的数学期望值。 计算方法主要有两种：现时支付法、总额支付法 现时支付法是将时刻t的年金给付额折现至签单时的现值，再将所有的现值相加或积分。 总额支付法是先求出在未来寿命期限内所有可能年金给付额的现值，再求现值的数学期望 两种方法是等价的 符号介绍： 精算折现因子 精算累积因子 连续给付型生存年金 连续给付型生存年金的精算现值 1、 终身生存年金 表示符号 总额支付法定义的年金精算现值为： 用现时支付法计算的年金精算现值为： 2、 n年定期生存年金 将终身生存年金精算现值计算公式的积分上限改为n即可，道理同上 3、 延期生存年金 种类 延付m年终身连续生存年金 延付m年定期连续生存年金 常用领域 养老金 延期连续年金精算现值 精算现值估计 延期m年 n年定期生存年金 延期n年 终身生存年金 险种 生存年金精算现值与寿险精算现值之间的关系 年金的精算累积值 离散型生存年金 简介： 离散生存年金定义： 在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段时期支付一次年金的保险。 离散生存年金与连续生存年金的关系 计算精算现值时理论基础完全相同 连续－积分离散－求和 连续场合不存在初付延付问题，离散场合初付、延付要分别考虑 离散生存年金的分类 期初年金/期末年金 终身年金/定期年金 延期年金/非延期年金 期初付生存年金及其精算现值 终身生存年金 定期生存年金 延期n年的终身生存年金 延期m年的n年定期生存年金 期初付生存年金的精算现值与寿险精算现值之间的关系 期末付生存年金及其精算现值 终身生存年金 定期生存年金 延期n年的终身生存年金 延期m年的n年定期生存年金 离散型生存年金的精算累积值 对于期初付n年定期生存年金，有 每年付数次的生存年金 1、终身生存年金 基本公式： 类似于上一节的公式，有 UDD假定下的公式 近似公式（实际操作公式） 2、定期生存年金 UDD假设下的公式 近似公式（实际操作公式） 3、延期终身生存年金 （1）期初付 基本公式： UDD假设下有： 近似计算公式： （2）期末付 保险精算 第六章 期缴纯保费与营业保费 第六章 期缴纯保费与营业保费 全连续型寿险的纯保费 全离散型寿险的纯保费 每年缴纳数次的纯保费 营业保费 保费的构成 全连续型寿险的纯保费 精算等价原理与年缴纯保费的计算 精算等价原理（纯保费厘定原则—平衡原则） 保险人的潜在亏损均值为零 L=给付金现值-纯保费现值 E（L）=0 E（给付金现值）=E（纯保费现值） 净均衡保费与趸缴纯保费的关系 E（趸缴纯保费现值）=E（净均衡保费现值） 各种寿险的年缴纯保费 条件：（x）死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起按年连续交付保费。（给付连续，缴费也连续） 厘定过程： 完全连续型年缴纯保费（全期缴费） 完全连续型年缴纯保费（限期缴费） 全离散型寿险的纯保费 用精算等价原理确定年缴纯保费 条件：（x）死亡年末给付1单位终身人寿保险，被保险人从保单生效起按年期初缴费。（给付离散，缴费也离散） 厘定过程： 各种寿险的年缴纯保费 完全离散型年缴均衡纯保费（全期缴费） 完全离散型年缴均衡纯保费（限期缴费） 半连续型寿险的纯保费 m年递延终身生存保险 n年生存保险 h年缴费n年两全保险 h年缴费终身人寿保险 n年两全保险 n年定期寿险 终身人寿保险 保费公式 险种 每年缴纳数次的纯保费 年缴m次年纯保费（全期缴费） 年缴m次年纯保费（限期缴费） 营业保费 保险费用的定义 保险公司支出的除了保险责任范围内的保险金给付外，其它的维持保险公司正常运作的所有费用支出统称为经营费用。这些费用必须由保费和投资收益来弥补。 保险费用的范围： 税金、许可证、保险产品生产费用、保单销售服务费用、合同成立后的维持费、投资费用等 厘定营业保费的基本原则 厘定营业保费的基本原则仍然是精算等价原理，具体表述如下： 费用的分类 （1）理陪调查和辩护费（2）各种给付的费用 4、理赔费用 （1）研究、开发新险种费用 （2）精算及一般法律服务 （3）普通会计（4）税金、许可证等费用 3、营业费用 （1）保费收取及会计 （2）给付变更及理陪选择权准备 （3）与保单持有人进行联络 2、维持费 （1）销售费用，包括代理人佣金及宣传广告费 （2）风险分类，包括体检费用 （3）准备新保单及记录 1、新契约费 保险费用 （1）投资分析成本（2）购买、销售及服务成本 投资费用 成分 费用分类 保险机构费用开支的一种分类方案 保单费用与保单费 定义：有一部分附加费用只与保单数目有关，与保险金额或保险费无关，这部分费用称为保单费用，如准备新保单、建立会计记录、邮寄保费通知的费用等。 保险实务一般规定： 寿险费率一般是指每千元保额的保费。 毛保费构成公式 解释 G(b)：保险金额为b元的毛保费 a：保险成本中与保险金额相关的部分，其中纯保费是它的主要部分 c：每份保单分摊的费用，即单位保单费用。 f：与毛保费数额相关的费用在毛保费中所占比例。 保险精算 第七章 准备金 第七章 准备金 全连续型寿险的责任准备金 全离散型寿险的责任准备金 半连续型寿险的责任准备金 责任准备金的递推公式 修正责任准备金 IBNR责任准备金的估计方法 净责任准备金的定义 定义： 保险公司在任意时刻对每个现存被保险人的未尽责任现时值，就称为净责任准备金。 或者说是每个现存被保险人将来的受益现值，也称为受益责任准备金。 实质 责任准备金是现存被保险人未来收益与未来缴费现时值之差 全连续型寿险的责任准备金 准备金的未来法公式 （1）全期缴费情形 终身寿险 n年定期寿险 n年两全保险 n年期生存保险 n年延期终身生存保险金 （2）限期缴费情形（左上标h表示缴费年限） h年限期缴费终身寿险 h年限期缴费n年期两全保险 其他类型的公式 全离散型寿险的责任准备金 准备金的未来法公式 其他类型的公式 半连续型寿险的责任准备金 责任准备金的递推公式 递推公式（一） 解释 为第h年死亡受益， 为第年初缴付保费。则第h－1年为每个现存的被保险人准备的责任准备金加上每个现存的被保险人缴付的保费积累到年末正好可以为每个在这一年内死亡的被保险人提供 元的死亡赔付，并为在该年末存活的每位被保险人准备 元责任准备金。 递推公式(二) 解释 称为风险净值，是指一旦这一年中有死亡发生，死亡受益超过责任准备金部分的数额。 该递推公式说明每一位年初存活的被保险人所缴保费及年初所缴保费与年初责任准备金所产生的利息之和有两个用途：一是弥补年末责任准备金与年初责任准备金的差值；二是弥补该年死亡发生时而产生的风险净值。 修正责任准备金 修正责任准备金的产生: 如果不考虑费用责任准备金的因素，始终以净保费责任准备金为准计算保险公司的债务，会使保险公司保险初年的负担很重，而且利润溢出各年变动非常大。 为了保险公司的利润溢出比较平滑，也同时兼顾被保险人的利益，有了修正责任准备金的概念。 修正责任准备金原理——阶梯保费值 原始等额净保费 修正后阶梯保费 修正前等额保费：P,P,…，P 修正后阶梯保费：， <P,>P 修正责任准备金确定 IBNR责任准备金的估计方法 已发生未报告准备金 本章适用于财产保险 已发生未报告（incurred but not reported）赔款准备金简称IBNR准备金 本节主要介绍IBNR的两种估计方法： 平均法、保费和损失结合法 平均法 IBNR赔案的赔款总额取决于三个因素：延迟报告赔案的个数（N）、每个赔案的赔款金额（X）、延迟时间（T） 平均法就是用这三个因素的平均数来估计未来IBNR赔款总额 1） 的估计 2） 的估计 3） 的估计 保费和损失结合法 根据各年的满期保险费以及预期的赔付率和IBNR赔款占总赔款额的比率来估计IBNR损失，进而得到IBNR准备金。 适用于损失数据波动较大且在右边有长“尾巴”分布的场合。 数学模型为： 保险精算 第八章 保单现金价值与红利 第八章 保单现金价值与红利 保单现金价值 保单选择权 资产份额 保单红利 保单现金价值 保单现金价值的概念 带有储蓄成分的保单随着生效时间的推移，会形成现金价值 两全寿险保单 终身寿险保单 现金价值数额的一种近似方法是根据公式 一般而言，现金价值不大于责任准备金 现金价值的计算 和责任准备金的计算有密切关系 一般从责任准备金中扣除一笔退保费用，随着保单生效时间的增加，这个退保费用的数额会逐渐减少 也可以是责任准备金的一个百分比，百分比随着生效年份的增加而增加，最后等于100％ 美国1941年报告中的调整保费 美国1980年报告中的调整保费 退保金的计算原理 中途退保者应受到某种惩罚 退保是一种单方面解约行为 很高的第一年费用可能不及回收 注意：《保险法》规定保险公司对未交纳的保费没有请求权 但是投保本身是为了降低风险，所以不宜过多扣除 关于退保金的一个理论结果 在完全连续的情况下，如果退还给退保保单的现金价值等于退保时的责任准备金，则退保行为不会对继续缴费的有效保单产生不利影响。 这个结果说明：参照责任准备金来确定退保金的水平是比较合理的 保险选择权 退保金可以提供多种支付方式 现金支付 减额交清 展期定期 自动垫交保费 缴清保险（减额交清） 保单在退保时刻的现金价值作为趸交净保费，用来购买一份和原保单其他条件相同，但保额会有减少的保单。 趸交保费，所以以后不用再交，这是交清 保额会有下降，这是减额 计算公式为 展期保险 保单在退保时刻的现金价值作为趸交净保费，用来购买一份新的保单，新保单是定期险，保额和原有保单相同，但保险期间需要重新计算。 从退保时刻往前延伸，这是展期 展期得到的是定期保险，这是定期 简单情形下的计算公式 在实务中由线性插值方法决定 如果原有保单为两全保险，其现金价值比较高，可能会出现展期保险的保险期间大于原有保单剩余到期时间的情况 规定保险期间到原有保险满期日为止 剩余的现金价值用来购买保额为 的纯生存保险 如果保额为 的保单在退保时还欠有余额为 的保单贷款，则计算公式修改为 自动垫缴保费 自动垫交保费条款可以动用保单的现金价值来垫交保费，从而维持保单的效力。 动用自动垫交保费条款之后，保费贷款余额是逐年上升，而现金价值金额的增长跟不上保费贷款余额的增长，到所有现金价值都消耗完之后，该保单失效。 保费贷款期的最长时间由以下方程决定： 为毛保费 为贷款利率 为连续年金终值函数 在实务中，往往取同时满足以下两个条件的整数 资产份额 概念解释： 保费中有很大一部分会以各种给付的形式还给保单，这是保费的返还性 积累起来的基金是属于保单组的，但由保险公司负责管理和投资 所以这些基金是保单组的资产 而每份有效保单的平均资产数额就是所谓的资产份额 保单组的资产是保险公司的负债 资产份额的原理 期交保费和趸交保费产品在各个保单年度中的保险基金的变化过程 年初 交纳保费、扣除费用 年中 保险人投资保险基金以获利 年末 退保保单支付退保金、死亡保单支付保险金、满期则支付满期给付 如此周而复始，直至所有保单失效 资产份额原理（图示） 保费 上年末基金 本年度可运用资金 投资收益或利息收入 退保金 死亡保险金 费用支出 本年末基金 资产份额公式（团体型） 团体型公式更易于理解 ， ， 资产份额公式（个体型） 保单红利 经验保费法 三元素法 经验保费法 保险精算 第九章 现代寿险的负债评估 第九章 现代寿险的负债评估 利率敏感型寿险的评估 年金评估 变额保险的评估 利率敏感型寿险的评估 可变动保费万能寿险 最小准备金 选择最小准备金 固定保费万能寿险 期末准备金的计算 非整数年准备金的计算 计算r 计算评估日GMF 按照基本原理计算评估日的准备金因子，还是计算平均责任准备金、期中准备金或插值准备金 充足准备金最小值 使用现金价值作为准备金对于可变动保费万能寿险保单来说，可能会对晚期的延期损失产生影响，万能寿险的CRVM尽管有所改进，但也可能在某些情况下造成不充分准备金的结果，特别是事后附加费用的保险公司。 可能的变化 考虑说收报告目的 ，保险公司采用两种不同的技术计算万能寿险准备金：保证到期保费方法（GMPM） 如果t时刻基金小于或等于 ，则有 如果t时刻基金大于 ，则有 年金评估 趸缴纯保费延期年金的评估 评估方法和实例 产品的一般特点 准备金的实际测算 年缴保费年金的评估 前面所讲的评估准备金的方法可以同样应用到年缴保费年金的评估中，唯一不同的是，在每个未来给付现值中减去未来评估保费收入的现值，这个差额用来确定准备金，评估保费收入定义为未来保费毛收入的一部分。 可变动保费年金的准备金 即期年金 变额保险的评估 年缴保费变额寿险 固定保费变额寿险 可变动保费和混合保费的变额寿险 趸缴保费变额寿险 可变动趸缴保费变额寿险 固定趸缴保费变额寿险 变额年金 对于预先附加费用的变额年金，一般认为现金价值是较好且十分充分的准备金，而正如变额万能寿险一样，对于事后附加费用的保单如何考虑则是一个问题。在VUL中适用的方法同样可以用来确定在变额年金准备金的方法中适当的利率。独立帐户中的盈余至少应等于账户值与准备金的差额。 保证最小死亡给付准备金 固定保费寿险保单 一年定期准备金 到达年龄均衡准备金 可变动保费寿险产品 变额年金 保险精算 第十章 风险投资和风险理论 第十章 风险投资和风险理论 引言 投资工具 投资策略 财务报表分析 考虑投资收入的费率定价模型 短期个别风险模型 短期聚合风险模型 长期聚合风险模型 引言 财产保险公司的业务可以分为两个独立的部分：保险承保与投资。来自承保业务的利润每年变动很大，相对来说，投资的净收益较为稳定。 风险理论是精算科学的主要组成部分之一，它对保险公司的经营情况进行分析、管理和控制，从而为制定合理的保费及早期预测提供帮助。 投资工具 债券 债券的特征 风险分析 债券的定价 股票 普通股： 最后请求权 有限责任 优先股： 预定分红率 股东的请求权优先于普通股 衍生工具 期货合约 远期合同 期权 互换 巨灾风险证券化产品 巨灾债券 巨灾期货 巨灾期权 投资策略 免疫策略 （1）久期：资产持有人获取付款时间长度的加权 平均值。收益率不变时有如下公式： 为时刻 t 的利息或本金支付，n 为到期日，r 为收益率 （2）免疫策略 （3）或有免疫 资产—负债匹配策略 类似于免疫策略 通过购买投资工具（一般为固定收益投资工具，如债券等），该投资工具能在保险人索赔支付时产生相同数目或更多数目的资金。即在任意支付时点上，资产的数额始终大于等于负债的数额。 可以有效地消除利率风险。 财务报表分析 基本的财务报表 损益表 资产负债表 现金流量表 利润测定的方法 股本收益率 内含报酬率 考虑投资收入的费率定价模型 资本资产定价模型 个体资产的期望收益率公式： 费率定价模型 引入CAPM模型得到如下公式： 短期个别风险模型 个别理赔随机变量模型（n=1） 设X是一个周期内的理赔随机变量，B是这个周期内的理赔总额，I是表示理赔事件是否发生的只是变量，即： 理赔总额S的概率分布及其应用 在 的风险模型中，理赔总额S是许多被保险人个体理赔额之和。独立随机变量之和 的概率分布的确定，应该可以用以下两种方法。 （1）卷积法 （2）矩母函数法 短期聚合风险模型 理赔总额S的概率分布 S的数字特征公式如下： 理赔次数的分布 的概率特征分布 复合泊松分布的性质 长期聚合风险模型 理赔过程 定义理赔次数过程的方法有三种: 总体方法 微分方法 离散（或等待时间）方法 调节系数 这一概念是为了说明定理 定理 对 ，有 其分母需要计算在破产发生（即 ）条件下，负盈余 函数的条件分布。