回扣6 概率与统计
考前回扣
1.分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第
2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同
的方法.
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种
不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法.
1回归教材
m＋n
m×n
3.排列
(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺
序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列
的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示.
(3)排列数公式： ＝ .
(4)全排列：把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全
排列， ＝ ＝ .排列数公式写成阶乘的
形式为 ＝__________，这里规定0！＝ .
n(n－1)(n－2)…·(n－m＋1)
n(n－1)(n－2)×…×3×2×1 n！
1
4.组合
(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n
个不同元素中取出m个元素的一个组合.
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合
的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示.
(3)组合数的计算公式： ＝____＝____________＝
__________________________，由于0！＝1，所以 ＝ .
(4)组合数的性质：① ＝ ；②
1
5.二项式定理
(a＋b)n＝ (n∈N*).
这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其
中各项的系数 (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数.式中的 叫
做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：Tk＋1
＝ .
6.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即
.
当n是奇数时，中间的两项____和___相等，且同时取得最大值.
2n
2n－1
7.概率的计算公式
(1)古典概型的概率计算公式
P(A)＝___________________________.
(2)几何概型的概率计算公式
P(A)＝___________________________________________.
P(A) P(B)
P(A)
8.统计中四个数据特征
(1)众数：
①在样本数据中，出现次数最多的那个数据.
②频率分布直方图中，众数是最高矩形的底边中点的横坐标.
(2)中位数：在样本数据中，将数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，
位于中间的那个数据.如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均
数作为中位数.
(3)平均数：样本数据的算术平均数，
9.离散型随机变量
(1)离散型随机变量的分布列的两个性质
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝ .
(2)均值公式
E(X)＝_____________________________
1
x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
(3)均值的性质
①E(aX＋b)＝ ；
②若X～B(n，p)，则E(X)＝ ；
③若X服从两点分布，则E(X)＝ .
aE(X)＋b
np
p
(5)方差的性质
①D(aX＋b)＝ ；
②若X～B(n，p)，则D(X)＝ ；
③若X服从两点分布，则D(X)＝ .
(6)独立事件同时发生的概率计算公式
P(AB)＝ .
a2D(X)
np(1－p)
p(1－p)
P(A)P(B)
(7)独立重复试验的概率计算公式
P(X＝k)＝ .
10.线性回归模型
(2)相关系数r具有如下性质：
①|r|≤ ；
②|r|越接近于1，x，y的线性相关程度越 ；
③|r|越接近于0，x，y的线性相关程度越 .
1
强
弱
11.独立性检验
利用随机变量K2＝________________________(n＝a＋b＋c＋d)来判断“
两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.如果K2的观测值k越大，说
明“两个分类变量有关系”的可能性越大.
12.正态分布
如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2).
满足正态分布的三个基本概率的值是
①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈ ；
②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈ ；
③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈ .
7
5
3
2醒
1.关于两个计数原理应用的注意事项
分类加法计数原理和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方
法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，
其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分
步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步
骤都完成了才算完成这件事.
2.排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)特殊元素或特殊位置优先安排.(2)合理分类与准确分步.(3)排列、组
合混合问题先选后排.(4)相邻问题捆绑处理.(5)不相邻问题插空处理.(6)
定序问题排除法处理.(7)正难则反，等价条件.
3.二项式定理应用时的注意事项
(1)注意区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.
项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正.
(2)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.
4.应用互斥事件的概率加法公式时，一定要先确定各事件是否彼此互
斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和.
5.正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互
斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立
”的必要不充分条件.
6.频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几
何意义当成频率，导致样本数据的频率求错.
7.要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别
(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，
事件A，B同时发生.
(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样
本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB).
8.(1)定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的均值和方差
公式计算致误.
(2)涉及求分布列时，要注意区分是二项分布还是超几何分布.
