第一章
随机事件与概率
第五节 重复独立试验
二项概率公式
一、重复独立试验
二、二项概率公式
四、无限重复的伯努利试验
三、 重伯努利试验的众数
一、重复独立试验
例1 有一批某作物的种子，出苗率为，现在每穴种6粒，求恰有4粒种子发芽的概率和至少有一粒种子发芽的概率．
分析 把观察穴中每一粒种子发芽与否看作一次试验，则这是(可看作是)完全相同的一个试验的6次重复而且它们是相互独立的(即相应于每一次试验的随机事件的概率都不依赖于其它各次试验的结果)，称这样的一系列随机试验为重复独立试验．
重伯努利试验的概率模型简称伯努利概型，与之相应的概率分布叫做二项分布．
定义1 如果在一个随机试验
中，只考虑两个
和
，它们发生的概率分别为
和
，
对立的事件
其中
，
，且
，则称试验
为伯努利（Bernoulli）试验．
称相应于伯努利试验
的重复独立试验为伯努利重复试验，如果将伯努利试验独立地重复
次，则称这一系列的重复独立试
重伯努利试验．
验为
二、二项概率公式
定理1 对
重伯努利试验，若在一次试验中事件
发生的概率为
，
则在
次试验中事件
恰好发生
次的概率为
由于
恰好是
按照牛顿（Newton）
二项公式展开时的一般项，所以上面的公式又称为二项概率公式．且
．
例1 有一批某作物的种子，出苗率为，现在每穴种6粒，求恰有4粒种子发芽的概率和至少有一粒种子发芽的概率．
解 把观察穴中每一粒种子发芽与否看作一次试验，显然，这是这是伯努利概型，且
．
于是，恰有4粒种子发芽的概率为
；
至少有一粒种子发芽的概率为
．
例2 一批产品中有20%的次品．进行重复抽样检查，总共抽取5件样品．计算这5件样品中恰好有3件次品、至多有3件次品、至少有1件次品的概率．
解 把每一次抽样看作一次试验，显然，这是伯努利概型，且
．设
=“5件样品中恰好有
件次品”，
．
由二项概率公式，可得恰好有3件次品的概率为
；
至多有3件次品的概率为
，
至少有一件次品的概率为
．
例3 某电器厂宣称自己生产的产品的次品率不超过，检验人员从该厂的大量产品中抽取了200件样品，检验结果发现其中有4件次品，能否据此断定该厂谎报其产品的合格率？
解 假设该电器厂出次品的概率为，由于产品的数量很大，故抽取200件产品可看作
的伯努利重复试验，于是200件产品中出
现4件次品的概率为
．
＞，
可以认为电器厂谎报产品合格率.
根据人们在长期的实践中总结出来的一条原理：概率很小的事件在一次试验中实际上是不可能发生的（概率论中称之为小概率事件原理）．现在可以认为：当电器厂出次品的概率为时，检验200件产品出现4件次品是一个小概率事件（约为）．它在一次试验中竟然发生了，因此有理由怀疑假定的正确性，即该电器厂的次品率不超过是不可信的，即电器厂在慌报其产品的合格率．
三、n 重伯努利试验的众数
定义2 在
重伯努利试验中，事件
最可能发生
的次数
（即对确定的
，使
最大的
的取值
）
叫做该
重伯努利试验的众数．
定理2 在
重伯努利试验中，众数
，
这里
是不超过
的最大整数．
证明
，
，
当
时，
；
，
时，
当
即当
时，
取得最大值，亦即
．
当
是整数时，
，
即
都是最大值，
亦即
和
都是众数．
四、无限重复的伯努利试验
例如，某人投篮的命中率为，若他连续投篮6次，则他最可能的投中次数为
次；
若他连续投篮9次，则他最可能的投中次数为
次或
次．
如果将伯努利试验无限重复地做下去，则常常考虑如下两种概率问题．
问题1．事件A的首次发生出现在第
次试验中的概率．
此概率为
，
相应的概率分布称为首次分布或几何分布．
问题2．事件
的第
次发生出现在第
次试验中的概率．
分析：前
次试验中事件
发生了
次，
发生了
次，
事件
而第
次试验中发生的是事件
，
于是所求的概率为
，
，且
．
称问题2中相应的概率分布为帕斯卡（Pascal）分布．
小 结
1 重复独立试验概型是概率统计中一种十分重要概率模型，其对应的概率公式－－二项概率公式(或称二项分布)在生产、科研中的应用特别广泛；
2
在
次试验中事件
至少发生一次的概率为
3 注意分析重复独立试验的条件；
4 二项分布与很多概率分布都有联系.
；
思 考 题
举出几个伯努利试验概型(或近似伯努利试验概型)的例子.
思 考 题 答 案
1 一个篮球运动员每次投中的概率为 ，现投球10次 ，记录投中的次数；
2 射击运动员命中目标的概率为，同时射击20次，研究其命中的次数；
3 某种产品合格率为98%，抽取500个这种产品检验其中合格品的个数.(近似)
作 业
