概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象.
研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:
与
大数定律
中心极限定理
下面我们先介绍大数定律
大量的随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币
正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的
废品率
……
作为切比雪夫大数定律的特殊情况，有下面的定理.
定理一（切比雪夫大数定律的特殊情况）
设X1,X2, …是独立的随机变量
序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,…,
则对任给 >0,
切比雪夫大数定律表明，独立随机变量序列{Xn}，如果方差有共同的上界，则
与其数学期望
偏差很小的
概率接近于1.
随机的了，取值接近于其数学期望的概率接近于1.
即当n充分大时，
差不多不再是
切比雪夫大数定律给出了
平均值稳定性的科学描述
设nA是n次独立试验中事件A发生的 次数,p是事件A在每次试验中发生的概率,则对任给的ε> 0,有
贝努利大数定律
贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率与事件A的概率p有较大偏差的概率很小.
贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法.
任给ε>0，
设 X1,X2, …,Xn, …独立同分布，具有有限数学期望：E(Xi) =μ，i=1,2, …，则对任意的ε>0，有
辛钦大数定律
这一讲我们介绍了大数定律
大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：
它是随机现象统计规律的具体表现.
大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.
平均结果的稳定性
中心极限定理的客观背景
在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响.
例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响.
空气阻力所产生的误差，
对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.
如瞄准时的误差，
炮弹或炮身结构所引起的误差等等.
观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从正态分布.
自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见.
现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题.
当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？
在什么条件下极限分布会是正态的呢？
设 X1,X2, …,Xn, …独立同分布，具有有限数学期望和方差：E(Xi) =μ,D(Xi) =σ2，i=1,2, …，则有
独立同分布中心极限定理(列维一林德伯格)
例1 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.
由题给条件知，诸Xi独立，
16只元件的寿命的总和为
解: 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16
E(Xi)=100, D(Xi)=10000
依题意，所求为P(Y>1920)
由题给条件知,诸Xi独立,
16只元件的寿命的总和为
解: 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16
E(Xi)=100,D(Xi)=10000
依题意，所求为P(Y>1920)
由于E(Y)=1600,
D(Y)=160000
由中心极限定理,
近似N(0,1)
P(Y>1920)=1-P(Y1920)
=1-()
1-
==
例1. 作加法时，对每个加数四舍五入取
整，各个加数的取整误差可以认为
是相互独立的，都服从( , )上
均匀分布。现在有1200个数相加，
问：取整误差总和的绝对值超过12的
概率是多少？
设随机变量nA为n次贝努利试验中事件A出现的次数,p是每次试验中事件A发生的概率,即nA~B(n, p)(0<p<1)，则对任意x，有
二项分布中心极限(棣莫佛－拉普拉斯）定理
例2. (供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车. 设开工率为, 并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦.
问应供应多少瓦电力就能以%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?
用X表示在某时刻工作着的车床数，
解：对每台车床的观察作为一次试验，
每次试验观察该台车床在某时刻是否工作， 工作的概率为，共进行200次试验.
依题意，
X~B(200,),
现在的问题是：
P(X≤N)≥
的最小的N.
求满足
设需N台车床工作，
（由于每台车床在开工时需电力1千瓦，N台工作所需电力即N千瓦.）
由德莫佛-拉普拉斯极限定理
近似N(0,1),
于是 P(X≤N)= P(0≤X≤N)
这里 np=120,
np(1-p)=48
由3σ准则，
此项为0。
查正态分布函数表得
由 ≥，
从中解得N≥,
即所求N=142.
也就是说, 应供应142 千瓦电力就能以%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产.
≥ ,
故
例2. 某互联网站有10000个相互独立的用
户，已知每个用户在平时任一时刻
访问网站的概率为。求：
(1)在任一时刻，有1900~2100个用
户访问该网站的概率；
(2)在任一时刻，有2100个以上用户
访问该网站的概率。
例3. 某车间有200台独立工作的车床，各
台车床开工的概率都是，每台车
床开工时要耗电1千瓦。问供电所至
少要供给这车间多少千瓦电力，才能
以%的概率保证这个车间不会因
为供电不足而影响生产。
例4. 设在独立重复试验序列中，每次试
验时事件A发生的概率为，分别
用切比雪夫不等式和二项分布中心
极限定理估计试验次数n需多大，才
能使事件A发生的频率落在~
之间的概率至少为。
用切比雪夫不等式的估计比较粗略，而用中心极限定理则能得到更为精确的估计。
这一讲我们介绍了中心极限定理
在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理.
中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.
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