投资学第六讲
因素模型与套利定价理论
厦门大学金融系 陈善昂
教材与参考资料
教材第六章。
博迪等《投资学》第10-11章。
夏普等《投资学》（上）第11-12章。
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主要内容
本讲分为两大部分，即：
因素模型或指数模型
套利定价理论
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指数模型的优势
马克维茨模型的缺陷：
-计算量过大.假定分析n种股票,需要计算n个预期值、n个方差以及(n2 –n)/2个协方差.
-相关系数确定或者估计中的误差会导致无效结果.
指数模型的优势：
大大降低了马克维茨模型的计算量,它把精力放在了对证券的专门分析中.
指数模型以一种简单的方式来计算协方差,证券间的协方差由单个一般因素的影响生成,为市场指数收益所代表,从而为系统风险与公司特有的性质提供了重要的新视角.
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单因素模型
ri = E(Ri) + ßiF + e
ßi = 证券i对因素F的敏感度指数
F = 宏观事件,非预期的宏观事件,能影响证券的收益
e =非预期的公司特有事件的影响
假设：主要证券指数收益率（如S&P500的收益率）是一般宏观因素的有效代表
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单指数模型
(ri - rf) = i + ßi(rm - rf) + ei
a
Risk Prem
Market Risk Prem
or Index Risk Prem
i
市场超额收益(rm - rf) = 0时的股票预期收益率
ßi(rm - rf) =随整个市场运动的收益成分
ei =不受市场影响的公司特有事件
a
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无风险收益的超额收益
Let: Ri = (ri - rf)
Rm = (rm - rf)
Risk premium
format
就有：Ri = i + ßi(Rm) + ei
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证券特征线
[Security Characteristic Line]
Excess Returns (i)
SCL
.
.
.
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.
.
Excess returns
on market index
Ri = i + ßiRm + ei
.
.
.
截距%
斜率
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SAL举例
Jan.
Feb.
.
.
Dec
中值
标准差
.
.
.93
.
.
市场超额收益
GM的超额收益
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回归结果
估计系数
估计的标准差
特有事件[残差项]的方差 = %
残差项的标准差 = %
R-SQR =
证券特征线 [Security Characteristic Line]
ß
()
()
rGM - rf = + ß(rm - rf)
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风险构成
市场风险或系统性风险
公司特有风险或非系统风险
总风险由以上两者构成
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风险构成的计算
i2 = i2 m2 + 2(ei)
式中：
i2 =总方差
i2 m2 =系统风险
2(ei) =公司特有风险
ijm2=两证券的协方差
可见,证券i的方差由两部分构成：
一是由宏观因素的不确定性导致的系统风险;
二是由随机项带来的非系统风险.
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指数模型与分散化
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分散化以降低风险
Number of Securities
St. Deviation
Market Risk
Unique Risk
s2(eP)=s2(e) / n
bP2sM2
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说明
单因素模型假设误差项之间是不相关的,因而,得出了分散化可以消除特有风险的结论.
但实际上,如果组合中的证券数量不够多,误差项之间存在相关性,误差项的方差就不为零.
因此,单因素模型不是一个很精确的模型.
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指数模型的行业版本与Beta预测
美林[Merrill Lynch]的行业版本
运用总收益而不是超额收益进行回归，用S&P500作为市场组合的替代；
a 有不同的解释： a实际上是a = a + rf (1-b)的一个估计,不等于指数模型的a.
Β预测
从过去的数据估算出贝塔值不可能是未来贝塔值的最佳结果,运用回归模型建立对贝塔值的估计.收集不同时期的β值,用模型：现在的β=a+b(过去的β),估计出a、b的值,进而预测未来的β值.
多元回归模型预测β的值,即现在的β= a+b1·(过去的β)+b2(公司的大小)+ b3(负债率)+b4(成长率),利用a、b1、b2、b3、 b4的估计值,预测未来的β值.
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多因素模型
Multifactor Models
在单指数模型中,把影响收益的因素分解为系统风险和公司特有风险,这种分析方法不仅过于简单,而且把系统风险限制在单一因素内是不对的.实际上,用市场收益来概括的系统风险受多种因素影响,如经济周期、利率和通货膨胀率等.显然,多因素模型可以给出影响收益的更好描述.
运用每个因素在每一时期的超额收益对股票的超额收益进行多元回归,估计股票收益对每一因素的beta值(即敏感度系数).
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双因素、三因素与五因素模型
双因素模型：
假设经济周期[GDP]和利率[IR]是两个最重要的宏观经济风险来源.
Fama and French的三因素模型：
除市场收益外,他们考察了公司规模大小[SIZE]、托宾Q值比[HML]这两个因素.
五因素模型：
陈、罗尔和罗斯把宏观经济因素分解为：行业生产变动百分比[IP] 、预期通胀变动百分比[EI]、非预期通胀变动百分比[UI] 、长期公司债券对长期政府债券的超额收益[CG]、长期政府债券对短期国库券的超额收益[GB].
每一模型都进行多元回归分析,以回归残值方差估计公司特有风险.
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套利定价理论
Arbitrage Pricing Theory，APT
斯蒂芬·罗斯[Stephen Ross，1976]从无风险套利原理的角度考察了套利与均衡，推导出均衡市场中的资本资产定价关系，建立了套利定价理论。
套利就是利用证券定价之间的不一致进行资金转移从中赚取无风险利润的行为。套利三要点：
-零净投入,不增加资金；
-无因素风险,套利组合对任何因素的敏感度为0；
-正收益.
以上所称套利为纯套利，还有风险套利(risk arbitrage),后者是指在特定领域寻找定价有偏差的证券的专业行为.
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套利机会
套利机会-arises if an investor can construct a zero investment portfolio with a sure profit.
如果市场是有效的,套利机会将立即消失.因为任何投资者,不考虑风险厌恶与财富状况,均愿意尽可能多地拥有套利组合的头寸,大量头寸的存在将导致价格上涨或下跌直至套利机会完全消除.
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套利举例
Stock 现价$ 预期收益% 标准差%
A 10
B 10
C 10
D 10
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套利组合
中值 标准差 相关性
Portfolio
A,B,C
D
可以看出,由A,B,C三种证券(等权重)构成的组合在所有环境下都比D的表现好.所以,任何投资者,无论是否厌恶风险,只需对D做空头,然后再购买等权重的组合,就可以从中获得好处.
假如卖空D300万美元,然后用于购买A,B,C各10万股,结果如下:
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套利行为与收益:计算
Stock 美元投资(万元) 收益(万元)
A 100
B 100
C 100
D -300
___________________________________
资产组合 0 10
结果是:D价格下跌的同时A,B,C的价格上涨,或者只有D的价格下跌或只有A,B,C的价格上涨,这样套利机会就被消除了.
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套利行为与收益:图示
E. Ret.
.
* P
* D
Short 3 shares of D and buy 1 of A, B & C to form P.
You earn a higher rate on the investment than you pay on the short sale.
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APT与充分分散的投资组合
rP = E (rP) + bPF + eP
F=共同因素的预期值与实际值之间的差额,也称惊喜因素;
E (rP)=表示组合P的预期收益;
bP=组合P对该因素的敏感度;
eP=P特定的扰动,所有的非系统收益eP之间是相互独立的,并与F相独立.共同因素F和特定因素eP的期望值为0.该模型与CAPM模型相同.
举例:假定F为GDP的意外的百分比变化,预期今年增长4%,某股票或组合的b为.如果GDP只增长了3%,则F为-1%,根据给定的b值可将其转化一项表示比先前预测低%的收益.这项意外加上特定的扰动bP,便可得出该股票的收益对其原始预期值的全部偏离程度.
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充分分散的投资组合
如果一个投资组合是充分分散的，那么,它的非系统风险将可以被分散掉，剩下的就只有系统风险。
组合的方差由系统的与非系统的两方面构成,见下式,
P2 = P2 F2 + 2(eP)
2(eP)=∑Wi22(ei)
如果组合是等权重的, 则Wi=1/n,当n→∞时, 2(eP)=0.
也就是说,充分分散的投资组合应当满足:
按比例Wi分散于足够大数量的证券中,而每种成分又足以小到使非系统方差2(eP)可以被忽略.于是,就有:
rP = E (rP) + bPF
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充分分散投资组合与单个证券的比较
F
E(r)%
Portfolio
F
E(r)%
Individual Security
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解释
从充分分散投资组合与单个证券的比较中可以看出,非分散化的股票受非系统风险的影响,并呈现为分布在直线两侧的散点.
而充分分散化的投资组合的收益则完全由系统风险决定,其收益率均在直线上.
假如存在两个充分分散化的投资组合A和的收益率为10%, B的收益率为8%,两者的b值均为1.于是就出现了套利机会,即可以卖空B而买入A.这是因为:b相同的证券应该拥有相同的预期收益,否则,就存在套利机会.
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非均衡举例
E(r)%
Beta for F
10
7
6
Risk Free 4
A
D
C
.5
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非均衡举例的解释
b相同的证券应该拥有相同的预期收益,否则,就存在套利机会.
现在讨论的是不同b值的组合情况.
如图所示, rf=4%,将无风险资产与A点(预期收益为10%, b =1)连接成一条直线,一充分分散化的组合D(预期收益为7%, b =)就落在该直线上.假如存在另一充分分散化的组合C(预期收益为6%,b =)就落在D的下方.于是,套利机会就出现了,即卖出C而买入D就可以获得1%的无风险收益.
该例表明:为了排除套利机会,所有充分分散化的投资组合的预期收益必须落在通过无风险资产的直线上.这条直线给出了所有充分分散化投资组合的预期收益值.
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E(r)%
Beta (Market Index)
Risk Free
M
[E(rM) - rf]
Market Risk Premium
APT with Market Index Portfolio
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APT 与 CAPM比较[1]
大大简化了CAPM的假设条件.与CAPM一样,APT假定:拥有相同预期的投资者都是风险厌恶者,市场不存在交易成本.但是,APT的限制条件不像CAPM那样严格,其最基本的假设是证券收益率受某些经济因素的共同影响,但是没有限定这些因素的个数及内容.
2.理论依据不同.APT建立在无风险套利原理上,认为市场在不存在套利机会时达到均衡,证券价格正是因为投资者不断进行套利活动而实现均衡.CAPM以均值-方差模型为基础,考虑当所有投资者以相同方式选择投资组合时,如何确定证券价格.
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APT 与 CAPM比较[2]
3.市场均衡的形成原由不同.CAPM中,投资者具有相同的预期,当证券定价不合理时,所有投资者都会改变投资策略,调整资产组合.CAPM假定在投资者共同行为的影响下,市场重新回到均衡状态.按照APT,不需要所有投资者都对不合理的证券价格产生反应,即使只有几个投资者的套利行为也会使市场尽快回到均衡状态.
4.联系.两者都是均衡模型:CAPM强调证券市场上所有证券的供需达到均衡,APT要求市场处于均衡状态从而使证券价格不存在套利机会.
从某种意义上说,CAPM是APT的一个特例.
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多因素套利定价理论
前面都是假定只有一个系统因素影响证券收益.现分析多因素影响证券的收益的情况.由单因素模型可推导出双因素模型：
ri=E(ri)+βi1F1+βi2F2 +ei
该模型可以直接发展为任意数量的多因素模型.
多因素套利定价理论认为：资产组合的全部风险溢价等于作为对投资者补偿的每一项系统风险溢价的总和.
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思考与练习[1]
1.教材第6章第1-5题.
2.下面是H公司一分析师构建的三只股票的投资方案.
不同情况下的收益率%
股票____价格________衰退 __平均______繁荣__
A 10 -15 20 30
B 15 25 10 -10
C 50 12 15 12
[1]使用这三只股票构建一个套利组合.
[2]当恢复均衡时,这些股票的价格可能会如何变化?举例说明,当C的资金回报率保持不变,如何使C的价格变化以恢复均衡?
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思考与练习[2]
3.假定股市收益以市场指数为共同影响因素.经济体系中所有股票对市价指数的值为1, 企业特定收益都有30%的标准差.如果分析师研究了20种股票,结果发现其中有一半股票的a为2%,而另一半的a为-2%.假定分析师买进100万元等权重正a的股票,同时卖空100万元等权重-a的股票.
[1]确定预期收益.其收益的标准差是多少?
[2]如果分析师验证了50种股票而不是20种,那么答案又如何?100种呢?
4.假定两个证券组合A、B都已充分分散化,两者的预期收益率分别为12%和9%,如果影响经济的因素只有一个,并且A=,B=,可以确定的无风险利率是多少?
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思考与练习[3]
5.在中国证券市场上,存在A股与B股的分割,流通股与非流通股的分割,可转换债券与股票定价偏差等现象,为投资者提供了非常多的套利机会.这些套利机会为什么导致大量的套利行为?你对这些现象有何看法?
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