期货定价理论
欧阳良宜
经济学院
内容提要
预备知识
远期合约定价
远期价格与期货价格
股票指数期货
外汇期货
商品期货
期货价格与预期现货价格
套期保值
总结
复利计算
假设将金额A存于银行，名义年利率为R，计息方式为年度复利，那么n年之后，这笔存款的数额将升为：
半年计息一次
每年计息m次
当m接近于无穷
示例
例：假设存款金额为100，名义年利率为10%，存款期限为1年，在年度计息的条件下，明年的期末存款余额为：
100× = 110
半年计息一次：
100×× =
每季度计息一次：
100×＝
连续复利：
100×=
实际利率与计息次数
不同计息次数利率的换算
连续复利与m次复利
m次复利与k次复利
示例
投资者甲将一笔存款存于银行，每季度计息一次，名义年利率为12%，问与之等价的连续复利年利率为多少？
答案：
示例
投资者甲将一笔存款存于银行，每季度计息一次，名义年利率为12%。他的另外一笔存款是每月计息，但是两者实际利率一致，那么按月计息的这笔存款名义利率是多少？
答案：
卖空（Short-Selling）
卖空
指的是客户从经纪商处借来证券出售，对证券价格进行投机的行为。
特点
被卖空证券是经纪商从其他客户账户中借用出来的。
在平仓之前，证券所发生的现金流入，比如红利或者利息等，都由卖空者代为支付。
卖空所得资金由经纪商进行保管，同时卖空者还需向经纪商缴纳一定比例的保证金。
当卖空者平仓时，经纪商要在市场上买回被卖空证券。
当被借证券的原所有者需要时，卖空者必须立即平仓，从市场上买回被卖空证券。
卖空
投机者
经纪商
证券所有人
市场
证券
保证金
证券
资金
投机者
经纪商
证券所有人
市场
证券
资金
证券
资金
建立空头：
平仓：
示例
投资者甲通过经纪商卖空500股通用电气股票（GE），卖空时GE每股股价是100美元。经纪商要求甲缴纳20%的保证金。卖空之后GE股票一直不断下跌。1个月后GE股票支付每股2美元的红利。3个月后甲通知经纪商进行平仓，此时GE每股价格为90美元。假设经纪商不对保证金支付利息，甲一直没有追加保证金，甲的资金成本为年率12%。问甲卖空的净收益为多少？
答案：甲卖空GE股票的毛收益＝500×(100-90)=5,000
支付的GE红利＝500×2=1,000
保证金的资金成本=500×100×12%÷4=1,500
甲的总收益＝5,000－1,000－1,500＝2,500
套利（Arbitrage）
含义
交易者通过精确的计算，发现不同市场中的相对价值差异，从而采取相应的行动赚取无风险利润的行为。
跨市场套利
套利者利用不同市场相关证券价值的偏离来赚取无风险利润。
跨期套利
套利者利用同一市场不同期限证券价值的偏离来赚取无风险利润。
跨产品套利
套利者利用相关产品价值的偏离来赚取无风险利润。
套利举例
例：某股票现货市场价格为10元，3个月后到期的该股票远期合约价格为11元，目前市场的借贷利率为每年10％，假设该股票在未来三个月内都不派发红利，问套利者将如何操作？
答案：
当期：从市场上借入10元，买入该股票，同时卖出一份3个月后到期的该股票远期合约
3个月后：交割该股票获得11元，偿还贷款本息。
套利者的利润＝11-10-(10×10%×3/12)=元
套利举例
例：某股票现货市场价格为10元，3个月后到期的该股票远期合约价格为元，目前市场的借贷利率为每年10％，假设该股票在未来三个月内都不派发红利，问套利者将如何操作？
答案：
当期：从经纪人处借入该股票，然后卖出该股票，获得10元，按照10％的利率贷出去，同时买入出一份3个月后到期的该股票远期合约。
3个月后：收回贷款本息，履行远期合约，把股票还给经纪人。
套利者的利润＝10＋(10×10%×3/12)－=元
套利有限性的证据
Twin Shares（同权不同价）
皇家荷兰与壳牌石油
ADS/ADR与原始股份
H股，A股与B股定价
Index Inclusion（指数编入）
标准普尔指数新增公司平均涨幅为%
Yahoo公司
Internet Carve-Outs（网络热）
Palm与3Com公司的价格倒挂
皇家荷兰与壳牌石油
回购（Repo）
买断式回购
证券买卖双方在成交时约定在将来以确定的价格进行反向交易。
实质上是买方（正回购方）以证券为抵押向卖方（逆回购方）贷款。
质押式回购
正回购方以证券为质押品向逆回购方进行融资。
回购一般期限在半年（182天）以下。
回购利率
回购利率实质上是短期拆借资金的成本。
案例：券商资金黑洞
证券结算制度
联席结算法
标准券制度
“欠库”
证券公司违规操作
原理
富友证券
闽发证券
南方证券
………
远期合约定价
标记
T：远期合约到期日
t：当前时点
S：交割品在当前时点的现货价格
ST：交割品在到期时的现货价格（当前未知）
K：远期合约规定的交割价格
f：在当前时点远期合约多头的价值
F：t时点的远期合约价格
r：t时点的无风险年利率，以连续复利计算。
无收入的交割品
无套利定价
F＝Ser(T-t)
假如F>Ser(T-t)
t：借入资金S元，买入交割品现货，卖出远期合约
T：交割远期合约，获得资金F，偿还债务
利润：F－Ser(T-t)
假如F<Ser(T-t)
t：卖空交割品，将所得投资于无风险资产，买入远期合约
T：交割远期合约，获得现货S，将卖空头寸平仓
利润： Ser(T-t) －F
证明
资产
资产组合A：一份远期合约多头，现金Ke－r(T-t)，其中K等于远期合约价格。
资产组合B：现货资产S
证明
资产组合A和资产组合B在T期的收益是完全一致的。
f+ Ke－r(T-t) =S
f=S- Ke－r(T-t)
在订立合约时，期货合约的价值为0。
从而K= Ser(T-t)
比较
远期合约
无风险投资
合并头寸
组合A
K
K
到期现货价格
到期现货价格
组合B
示例
汇丰控股（HSBC Holdings）2005年3月15日收市价为，假设汇丰控股在今后3个月内都不会发放红利，无风险连续利率为，你认为6月15日到期的汇丰控股远期股票合约的价格应该是多少？
F= Ser(T-t)=128×exp(×3/12)=
有固定现金流入的交割品
无套利定价
F＝(S－I) er(T-t)，其中I为交割品在(t, T)间收入的现值。
假如F>(S-I)er(T-t)
t：借入资金S元，买入交割品现货，卖出远期合约
T：交割远期合约，获得资金F和收入Ier(T-t)，偿还债务
利润：F－(S-I)er(T-t)
假如F<(S-I)er(T-t)
t：卖空交割品，将所得投资于无风险资产，买入远期合约
T：交割远期合约，获得现货S，将卖空头寸平仓。在(t-T)间支付Ier(T-t)。
利润： (S-I)er(T-t) －F
示例
汇丰控股（HSBC Holdings）2005年3月15日收市价为，汇丰控股已经宣布将在5月15日发放红利每股，无风险连续利率为，你认为6月15日到期的汇丰控股远期股票合约的价格应该是多少？
I=2×e-r(T’-t)=2×exp(×2/12)=
F= (S-I)er(T-t)=()×exp(×3/12)=
固定现金收益率的交割品
资产
资产组合A：一份远期合约多头，现金Ke－r(T-t)，其中K等于远期合约价格。
资产组合B：现货资产S e－q(T-t) ，S本身提供一个连续收益率q。
证明
资产组合A和资产组合B在T期的收益是完全一致的。
f+ Ke－r(T-t) =S e－q(T-t)
f=S e－q(T-t) - Ke－r(T-t)
在订立合约时，期货合约的价值为0。
从而K= Se(r-q)(T-t)
示例
道琼斯工业平均指数（Dow Jones）2005年3月15日收市为10,745点，假设道琼斯指数在将来3个月内平均红利收益为，无风险连续利率为，你认为3个月以后交割的道琼斯指数远期合约价格应该为多少？
F= Se(r-q)(T-t)=10,745×exp[()×3/12]=10,812
远期合约的价值
价值
远期合约初订立时对双方来说都是公平的，因此价值为0。
远期合约订立以后，随着现货价格的变动，远期合约的价值就会出现变动。
计算
对于多头来说，f=(F-K)e-r(T-t)
F为按照当前条件计算的远期合约价格。
K为远期合约订立时双方约定的远期合约价格。
期货价格与远期价格
假如不同期限无风险利率都为相同的常数，那么同期限的期货价格与远期价格是相等的。
多头期货交易策略
(Fn-Fn-1 )enδ
…
…
(F2-F1 )enδ
(F1-F0 )enδ
0
当日盈利/损失在n日的价值
(Fn-Fn-1 )enδ
…
…
(F2-F1 )e2δ
(F1-F0 )eδ
0
盈利/损失
e nδ
…
e3δ
e2δ
eδ
期货头寸
Fn
Fn-1
…
F2
F1
F0
期货价格
n
n-1
…
2
1
0
日期
分析
累计盈利/损失
Σ (Fi－Fi-1 )enδ= (Fn－F0 )enδ
考虑到在到期日的期货价格就是当日的现货价格，Fn=ST
累计盈利损失可以记为(ST－F0 )enδ
考虑以下两个投资组合
A. 将F0的资金按照无风险利率借出，同时执行累积期货策略
B. 买入一份期货合约（价格为G0 ），同时将G0的资金按照无风险利率借出。
投资结果
在T期时两个组合的最终收益都是ST
根据无套利原则，F0=G0
期货价格与远期价格
无风险利率与交割品的价格正相关
对于多头来说，价格上升时期，从期货合约中获得现金利润，可以以高利率进行无风险投资。
价格下降时期，可以从市场上借低利率的资金来补足保证金。
相对于期限相同，交割品相同的远期合约来说，期货合约更加有利于多头，不利于空头。
无风险利率与交割品的价格负相关
期货合约相比类似的远期合约有利于空头，不利于多头。
短期期货合约与远期合约理论价格差异可以忽略不计。
示例：远期合约Vs期货合约
期货价格Vs远期价格
股指期货
股票指数
道琼斯工业平均指数（DJIA）
标准普尔500指数（S&P 500）
日经225指数（Nikkei 225）
恒生指数（Hang-Seng Index）
伦敦金融时报指数（FTSE 100）
上证综合指数
道琼斯工业平均指数
1896年，道琼斯指数开始编制，涵盖12只股票，指数编制方法为直接平均法。
1928年，指数成分股增加到30只，1972年达到1,000点。
1995年，道琼斯指数达到5,000点。
1999年，道琼斯指数达到10,000点。
2000年1月14日，道琼斯指数达到历史最高11,722点。
示例：上证综合指数编制
基期，基日与基期指数
上证综合指数以1990年12月19日为基日，以该日所有股票的市价总值为基期，基期指数定为100点，自1991年7月15日起正式发布。
计算公式
报告期指数 =报告期基金的总市值 / 基期 × 基日指数
调整
新上市
除息
除权
摘牌
指数期货套利
指数期货的定价
F= Se(r-q)(T-t)
F> Se(r-q)(T-t)
买入指数包含的股票。
卖出对应单位的指数期货。
F< Se(r-q)(T-t)
卖空指数包含的股票。
买入相应单位的指数期货。
Oct 19 1987
1987年10月19日，道琼斯工业平均指数从上一交易日的2,下跌到1,738点，下跌%，甚至超过了1929年10月28日单日跌幅%。全球金融市场都受到了这次崩盘的冲击：
全球大部分股票市场都出现了相似程度的下跌。
投资者纷纷涌入安全的货币工具市场，造成利率下跌。
保险公司和养老基金由于持有大量股票，而造成资产大幅下降。
开放式基金面临赎回压力不得不抛售股票，进一步加剧了股票下跌的趋势。
股指期货价格
风险溢价
股票指数由于存在风险，需要有高于无风险利率的收益
股指期货价格成长
假设股票指数风险溢价为x
则：Sτ= Se(x+r-q)(T-τ)
而： Ft= Se(r-q)(T-t)
Fτ= Se(r-q)(T-τ)
所以： Fτ= Ft e(r-q)(τ-t)
股指期货套期保值
分散化风险
通过分散化投资，可以将单一资产的风险降低
30只以上的股票组合，其风险（方差）有95%以上是市场共有风险。
组合套期保值
套期保值头寸＝组合市值÷股指合约面值×风险系数
缩减风险：套期保值头寸＝组合市值÷股指合约面值×（风险系数－目标风险系数）
分散化风险－两资产示例
组合标准差
组合收益均值
外汇期货
考虑以下两个资产组合：
组合A：一份外汇远期合约多头，本币现金Ke－r(T-t)
组合B：外币现金Se－r’(T-t)
其中K为远期价格，S为当期价格
r与r’分别为本币及外币无风险利率
在T期时
组合A的价值为S单位外币
组合B的价值也为S单位外币。
所以f +Ke－r(T-t) = Se－r’(T-t)
F＝Se (r－r’)×(T-t)
利率平价
假设目前美元一年期利率为2%，港元一年期利率为4%，目前美元兑换港元汇率为1:8，你认为目前的1年期美元对港元远期汇率应该是多少？
投资美元：1+2%
美元－港元－美元：1×8×(1+4%)÷F
两者应该价值相等，所以F=
商品期货
商品保存成本
F= (S＋U)er(T-t)
商品保存费率
F= Se(r+u)(T-t)
商品增益比率
F= Se(r+u-y)(T-t)
总结
F= Se(c-y)(T-t)
期货价格与预期现货价格
Keynes and Hicks
如果投机者倾向于多头，而套期保值者倾向于空头，则期货价格将高于预期的将来现货价格。
如果投机者倾向于多头，而套期保值者倾向于空头，则期货价格将高于预期的将来现货价格。
风险溢价分析
F=E(ST) e(r-k)(T-t)
实证
F<E(ST)
套期保值
基差风险
基差＝现货价格－期货价格
实际价格
b1=S1-F1
b2=S2-F2
S2+F1-F2=F1+b2
标的资产与运用资产不同
F1+(S2*-F2) +(S2-S2* )
最佳套期保值比率
盈利/损失
ΔS-hΔF
风险
v=σs2＋h2σF2－2hρσsσF
2hσF2－2ρσsσF＝0
从而最佳套期保值比率h＝ρσs ÷σF2
本章总结
预备知识
远期合约定价
远期价格与期货价格
股票指数期货
外汇期货
商品期货
期货价格与预期现货价格
套期保值
