第四章 目标规划
Operational Research
( OR )
本章
内容
目标规划问题及其数学模型
目标规划的图解法
解目标规划的单纯形法
目标规划的灵敏度分析
目标规划应用举例
目
标
规
划
问
题
的
导
出
例4-1 某工厂生产两种产品，受到原材料供应和设
备工时的限制。在单件利润等有关数据已知上网
条件下，要求制订一个获利最大的生产计划。具
体数据如下：
产品 Ⅰ Ⅱ 限量
原材料（kg/件） 5 10 60
设备工时（h/件） 4 4 40
利润（元/件） 6 8
解得，最优解x1=8，x2=2，max z=64（元）
目
标
规
划
问
题
的
导
出
一般来说，一个计划问题可能要满足多方
面得要求。
线性规划有最优解的必要条件是其可行解
集非空，即各约束条件彼此相容。但实际问
题有时不能满足这样的要求。
线性规划解得可行性和最优性具有十分明
确的意义，但那都是针对特定数学模型而言
的。实际中，决策者需要计划人员提供的不
是严格的数学上的最优解，而是可以帮助作
出最优决策的参考性计划，或是提供多种计
划方案，供最终决策时选择。
例4-2 假设计划人员被要求考虑如下意见：
(1) 由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量不
超过产品Ⅰ的一半；
(2) 原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗；
(3) 最好能节约4h设备工时；
(4) 计划利润不少于48元。
计划人员需要会同有关各方作进一步的协调，最
后达成了一致意见： 原材料使用限额不得突破；
产品Ⅱ产量要求必须优先考虑；设备工时问题其
次考虑；最后考虑计划利润的要求。
类似这样的多目标决策问题是典型的目标规划问题。
目
标
规
划
问
题
的
导
出
目
标
规
划
的
数
学
模
型
基本概念
（1）偏差变量
d+≥0， d- ≥0，d+·d-=0
（2）绝对约束和目标约束
（3）优先因子和权系数
（4）目标规划的目标函数
三种基本表达式：
①要求恰好达到目标值
min{f(d++d-)}
②要求不超过目标值，但允目标值
min{f(d+)}
③要求不低于目标值，但允目标值
min{f(d-)}
目
标
规
划
的
数
学
模
型
例4-1的目标规划表达式为：
min{P1d1-,P2d2+,P3d3-}
绝对约束
目标约束
P1为两种产品产量要求的优先因子；P2为节约工
时要求的优先因子；P3为计划利润要求的优先
因子，它们应满足P1》P2》P3
目
标
规
划
的
数
学
模
型
目标规划数学模型的一般形式：
gk为第k个目标约束的预期目标值，Wlk-和Wlk+为Pl优
先因子对应各目标的权系数。
目
标
规
划
目标规划问题及其数学模型
目标规划的图解法
解目标规划的单纯形法
目标规划的灵敏度分析
目标规划应用举例
目
标
规
划
的
图
解
法
对于只有两个决策变量的目标规划问
题，可以用图解方法来求解。
在用图解法解目标规划时，首先必须
满足所有绝对约束。在此基础上，再
按照优先级从高到低的顺序，逐个地
考虑各个目标约束。一般地，若优先
因子Pj对应的解空间为Rj，则优先因子
Pj+1对应的解空间只能在Rj中考虑，即
Rj+1属于Rj。若Rj不空，而Rj+1为空集，
则Rj中的解为目标规划的满意解，它
只能保证满足P1,P2,…,Pj级目标，而不
保证满足其后的各级目标。
目
标
规
划
的
图
解
法
例4-3 用图解法解例4-2。
△OAB区域是满足绝对约束和非负条件的解空
间。对于所有目标约束，去掉偏差变量，画出相
应直线，然后标出偏差变量变化时直线平移方向，
见图所示。
首先考虑P1，此时要求min d-1，因而解空间R1为
△OAC区域；
再考虑P2，此时要求min d2+，因而解空间R2为
△ODC区域；
最后考虑P3，此时要求min d3-，因而解空间R3为
四边形EDCF区域。
容E，D，C，F四点的坐标分别为(8,0)、(9,0)、
(6,3)、(,)，故问题的解可表示为：
α1(8,0)+ α2(9,0)+ α3(6,3)+ α4(,)
=(8α1+9α2+6α3+α4, 3α3+α4)
其中，α1，α2，α3，α4≥0，
α1+ α2+ α3+ α4=1
目
标
规
划
的
图
解
法
例4-3最后一级目标的解空间非空
。这时得到的解能满足所有目标
的要求。当解不惟一时(如例4-3
，R3为四边形EDCF区域)，决策
者在作实际决策时究竟选择哪一
个解，完全取决于决策者自身的
考虑。
目
标
规
划
的
图
解
法
例4-4 用图解法解下面的目标规划
min{P1d1-,P2d2+,P3(5d3-+3d4-),P4d1+}
目
标
规
划
的
图
解
法
所以满意解为：x1=，x2=
目
标
规
划
的
图
解
法
例4-4得到的解不能满足所有目标。这时，
我们要做的是寻找满意解，使它尽可能满足
高级别的目标，同时又使它对那些不能满足
的较低级别目标的偏离程度尽可能的小。
必须注意的是，在考虑低级别目标时，
不能破坏已经满足的高级别目标，这是目标
规划的基本原则。但是，也不能因此而以为，
当高级别目标不能满足时，其后的低级别目
标也一定不能被满足。事实上，在有些目标
规划中，当某一优先级的目标不能满足时，
其后的某些低级别目标仍有可能被满足。
目
标
规
划
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目标规划的图解法
解目标规划的单纯形法
目标规划的灵敏度分析
目标规划应用举例
解
目
标
规
划
的
单
纯
形
法
目标规划的数学模型实际上是最小
化形的线性规划，可以用单纯形法
求解。
在用单纯形法解目标规划时，检验
数是各优先因子的线性组合。因此，
在判别各检验数的正负及大小时，
必须注意P1»P2»P3»…。当所有
检验数都已满足最优性条件(cj-
zj≥0)时，从最终单纯形表上就可以
得到目标规划的解。
解
目
标
规
划
的
单
纯
形
法
例4-5 用单纯形法解例4-4。
引入松弛变量x3，
min {P1d1-,P2d2+,P3d3-}
cj→ 0 0 0 P1 0 0 P2 P3 0
CB xB b x1 x2 x3 d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+
0 x3 60 5 10 1 0 0 0 0 0 0
P1 d1- 0 [1] -2 0 1 -1 0 0 0 0
0 d2- 36 4 4 0 0 0 1 -1 0 0
P3 d3- 48 6 8 0 0 0 0 0 1 -1
zj-cj
P1 -1 2 0 0 1 0 0 0 0
P2 0 0 0 0 0 0 1 0 0
P3 -6 -8 0 0 0 0 0 0 1
0 x3 60 0 20 1 -5 5 0 0 0 0
0 x1 0 1 -2 0 1 -1 0 0 0 0
0 d2- 36 0 12 0 -4 4 1 -1 0 0
P3 d3- 48 0 [20] 0 -6 6 0 0 1 -1
zj-cj
P1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
P2 0 0 0 0 0 0 1 0 0
P3 0 -20 0 6 -6 0 0 0 1
0 x3 12 0 0 1 1 -1 0 0 -1 1
0 x1 24/5 1 0 0 2/5 -2/5 0 0 1/10 -1/10
0 d2- 36/5 0 0 0 -2/5 2/5 1 -1 -3/5 3/5
P3 x2 12/5 0 1 0 -3/10 3/10 0 0 1/20 -1/20
zj-cj
P1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
P2 0 0 0 0 0 0 1 0 0
P3 0 0 0 0 0 0 0 1 0
解
目
标
规
划
的
单
纯
形
法
在单纯形表Ⅲ中，由于非基变量d1+和d3+的检验数都是
零，故知例4-4有多重最优解(满意解)。
以d1+为换入变量继续迭代，可得如下单纯形表Ⅳ
cj→ 0 0 0 P1 0 0 P2 P3 0
CB xB b x1 x2 x3 d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+
0 x3 20 0 10/3 1 0 0 0 0 -5/6 5/6
P1 x1 8 1 4/3 0 0 0 0 0 1/6 -1/6
0 d2- 4 0 -4/3 0 0 0 1 -1 -2/3 2/3
P3 d1+ 8 0 10/3 0 -1 1 0 0 1/6 -1/6
cj-zj
P1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
P2 0 0 0 0 0 0 1 0 0
P3 0 0 0 0 0 0 0 1 0
Ⅳ
解
目
标
规
划
的
单
纯
形
法
以d3+为换入变量继续迭代，可得如下单纯形表Ⅴ
cj→ 0 0 0 P1 0 0 P2 P3 0
CB CB b x1 x2 x3 d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+
0 d3+ 12 0 0 1 1 -1 0 0 -1 1
P1 x1 6 1 0 1/10 1/2 -1/2 0 0 0 0
0 d2- 0 0 0 -3/5 -1 1 1 -1 0 0
P3 x2 3 0 1 1/20 -1/4 1/4 0 0 0 0
cj-zj
P1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
P2 0 0 0 0 0 0 1 0 0
P3 0 0 0 0 0 0 0 1 0
解
目
标
规
划
的
单
纯
形
法
解
目
标
规
划
的
单
纯
形
法
结论：
例4-5的解为以上四个满意解(即
C，D，E，F四点)的凸组合。而
且，从单纯形表Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ
中可知，各非基变量检验数中三
个优先因子的系数全部非负，这
表示任何一个满意解都能满足所
有目标的要求。单纯形法和图解
法的解题结果完全一致。
目
标
规
划
目标规划问题及其数学模型
目标规划的图解法
解目标规划的单纯形法
目标规划的灵敏度分析
目标规划应用举例
目
标
规
划
的
灵
敏
度
分
析
在目标规划建模时，目标优先
级和权系数的确定往往带有一
定的主观性，因此，对它们的
灵敏度分析是目标规划灵敏度
分析的主要内容。目标规划灵
敏度分析的方法、原理同线性
规划的灵敏度分析本质上相同。
例4-6 对例4-4的目标规划问题，已求得满意解
为x1=13/2,x2=5/4。现决策者想知道，目标函数
中各目标的优先因子和权系数对最终解的影响。
为此，提出了下面两个灵敏度分析问题，即目标
函数分别变为：
(1) min{P1d1-,P2d2+,P3d1+,P4(5d3-+3d4-)}
(2) min{P1d1-,P2d2+,P3(W1d3-+W2d4-),P4d1+} (W1,W2>0)
目
标
规
划
的
灵
敏
度
分
析
解 目标函数的变化仅影响原解的最优性，即各变量
的检验数。因此，应当先考察检验数的变化，然后
再作适当的处理。
1. 当目标函数变为（1），就是要了解交换第三和第
四优先级目标对原解的影响。此时，单纯形表变为
下表：
cj→ 0 0 P1 P3 0 P2 5P4 0 3P4 0
CB xB b x1 x2 d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+ d4- d4+
0 x1 13/2 1 0 0 0 1/2 -1/2 1/2 -1/2 0 0
P3 d1+ 3 0 0 -1 1 1 -1 0 0 0 0
3P4 d4- 3/4 0 0 0 0 -1/4 1/4 1/4 -1/4 1 -1
0 x2 5/4 0 1 0 0 1/4 -1/4 -1/4 1/4 0 0
cj-zj
P1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
P2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P3 0 0 1 0 -1 1 0 0 0 0
P4 0 0 0 0 3/4 -3/4 17/4 3/4 0 3
目
标
规
划
的
灵
敏
度
分
析
可见，原解最优性已被破坏(d2-的检验数-P3+3/4P4<0)，故应
用单纯形法继续求解。
目
标
规
划
的
灵
敏
度
分
析
cj→ 0 0 P1 P3 0 P2 5P4 0 3P4 0
CB xB b x1 x2 d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+ d4- d4+
0 x1 5 1 0 1/2 -1/2 0 0 1/2 -1/2 0 0
0 d2- 3 0 0 -1 1 1 -1 0 0 0 0
3P4 d4- 3/2 0 0 -1/4 1/4 0 0 1/4 -1/4 1 -1
0 x2 1/2 0 1 1/4 -1/4 0 0 -1/4 1/4 0 0
cj-zj
P1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
P2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P3 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0
P4 0 0 3/4 -3/4 0 0 17/4 3/4 0 3
可知，第三和第四优先级目标交换后，原满意解已
失去了最优性。新的满意解为x1=5,x2=1/2
当目标函数变为(2)，就是要了解第三优先级中两目
标权系数取值对原解的影响。此时，单纯形表变为:
目
标
规
划
的
灵
敏
度
分
析
cj→ 0 0 P1 P4 0 P2 W1P3 0 W2P3 0
CB xB b x1 x2 d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+ d4- d4+
0 x1 13/2 1 0 0 0 1/2 -1/2 1/2 -1/2 0 0
P4 d1+ 3 0 0 -1 1 1 -1 0 0 0 0
W2P3 d4- 3/4 0 0 0 0 -1/4 1/4 1/4 -1/4 1 -1
0 x2 5/4 0 1 0 0 1/4 -1/4 -1/4 1/4 0 0
cj-zj
P1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
P2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
P3 0 0 0 0 W2/4 -W2/4 -W2/4 W2/4 0 W2
P4 0 0 1 0 -1 1 17/4 3/4 0 3
可知，原解是否改变取决于d3-的检验数W1-W2/4。因此：
当W1-W2/4>0，即W1/W2>1/4时，原解不变，仍为
x1=13/2,x2=5/4
当W1/W2<1/4时，原解改变。用单纯形法继续求
解，可得新的满意解x1=5,x2=2(此时，d3-=3,d4-
=0)
当W1/W2=1/4时，两个解均为满意解。
目
标
规
划
的
灵
敏
度
分
析
第三优先级两目标权系数的改变有可能会影响所得的
满意解。解的变化取决于两目标权系数的比值W1/W2
，其临界点为1/4。
事实上，在前两优先级目标均已被满足的条件下，如
满足d3-=0，则使d4-=3/4；如满足d4-=0，则使d3-=3。d4-
/d3-=1/4。
如将W1/W2看作同一优先级下两目标重要程度的比较，
而将d4-/d3-看作因此而引起的不满足程度的比较，则两
者的一致恰好说明了目标规划中权系数的作用和意义。
目
标
规
划
目标规划问题及其数学模型
目标规划的图解法
解目标规划的单纯形法
目标规划的灵敏度分析
目标规划应用举例
目
标
规
划
应
用
举
例
例8 有三个产地向四个销地供应物资。产地Ai(i=1,2,3)的
供应量ai、销地Bj(j=1,2,3,4)的需要量bj、各产销地之间
的单位物资运费cij见表。表中，ai和bj的单位为t，cij的
单位为元／t。编制调运方案时要求按照相应的优先级
依次考虑下列7项目标：
P1: B4是重点保证单位，其需要量应尽可能全部满足；
P2: A3向B1提供的物资不少于100t；
P3: 每个销地得到的物资数量不少于其需要量的80%；
P4: 实际的总运费不超过当不考虑P1至P6各目标时的最
小总运费的110%；
P5: 因路况原因，尽量避免安排A2的物资运往B4；
P6: 对B1和B3的供应率要尽可能相同；
P7: 力求使总某省市。
试求满意的调运方案。
目
标
规
划
应
用
举
例
B1 B2 B3 B4 ai
A1 5 2 6 7 300
A2 3 5 4 6 200
A3 4 5 2 3 400
bj 200 100 450 250
解 用表上作业法可以求得不考虑P1至P6各目标时的
最小运费调运方案，相应的最小运费为2 950元。现
在建立问题的目标规划模型。
设Ai运往Bj的物资为xijt(i=1,2,3;j=1,2,3,4)，问题的目标规
划模型为：
min{P1d4-,P2d5-,P3(d6-+d7-+d8-+d9-),P4d10+,P5d11+,P6(d12-+d12+),P7d13+}
目标
规划
应用
举例
设Ai运往Bj的物资为xijt(i=1,2,3;j=1,2,3,4)，问题的目标规
划模型为：
min{P1d4-,P2d5-,P3(d6-+d7-+d8-+d9-),P4d10+,P5d11+,P6(d12-+d12+),P7d13+}
需求量约束
供应量约束。考虑到各销地的需要
量可以有20%的向下浮动，故作为
绝对约束条件，且皆取“≤”号
A3向B1的供应量目标约束
向各销地的最低供应量目标约束
实际运费的上限目标约束
A2尽量不向B4调运物资的目标约束
给B1和B3的供应
率尽量相同的目
标约束总运费尽量小
的目标约束
解该目标规划，目标规划，可得使各方面尽可
能满意的调运方案。相应的总运费为3 360元。目
标
规
划
应
用
举
例
B1 B2 B3 B4 Σ
A1 100 200 300
A2 90 110 200
A3 100 250 50 400
Σ 190 100 360 250
该调运方案满足P1,P2,P3,P5各优先级目标，但在总运
费和对B1及B3的供应率这两方面未能满足目标要求。
总运费3360元超出运费目标上限3245元约%。对
B1和B3的供应率分别为95%和80%，差别较大，但这
是较低级的目标，对调运方案的满意程度影响不大。
