一、引言
早期，物理学上的牛顿学说革命使差分方程，作为
动力学系统数学模型的基础，这种范例的巨大成功导
致了差分方程在微分方程离散模型中的广泛使用，主
要是为了解决模型中的数字积分。随后，差分方程在数
字计算机上的使用也为他们的用户提供很大的动力，
只要这些用户了解差分方程的基本性质即可。在二十
世纪五十年代开始出现一些有关差分的比较“前卫”的
书，二十世纪六十年代的十年间，又有更多这方面的书
籍问世，如有Levy，Lessman，Hildebrand，Miller等人编写
的一些书。（以上摘自文献[5]）
迄今为止，有许多书籍不仅介绍差分方程的基本
性质，更多的是写差分方程在实际中的应用，这有助于
我们了解研究差分的现实意义。由于生命科学，化学，
物理，力学，控制，经济等领域有不少现象只能用离散
的数学模型来描述；也由于计算机技术的飞速发展，对
连续的数学模型，数值计算其解也需要离散化，即变成
差分方程来求解，因此差分方程的研究近年来有了新
的飞快发展。随着科学分支的加细，差分方程的应用越
来越广，对其的研究也显得越来越重要。下面我们就来
讨论一类差分方程的解的性质。
先观察下列非线性差分方程：
xn+1=cxn+f（xn-xn-1） （a）
n=，其中x0，x1是初始条件，c≥0是常数，f：R→R
是实函数，方程（a）出现在早期的数学模型———宏观经
济中的“贸易循环”里面，该模型的许多性质在文献[3]中
已讨论过（如解的有界性，收敛性，持久性）。而本文考
虑如下的差分方程：
xn+1=cxn+f（axn-bxn-1） （1）
其中a，b，c是给定的非负常数，f是R→R的实函数。
显然，当a=b=c时，方程（1）即为（a）。因此，我们的结果推
广了文献[3]的相应结论。
引入初值问题：
vn+1=f（vn） v1=ax1-bx0 （*）
和 tn+1=f（atn） t1=x1-x0 （**）
并记{vn}是（*）的解，{tn}是（**）的解。
上述两个初值问题与非线性差分方程（1）相比，前
者更易于分析，所以结合这两个初值问题有助于我们
讨论差分方程的解的有界性或收敛性。另一方面，方程
（1）的解的性质不仅与（*）和（**）的解有关，还与a，b，c
的取值范围有关。本文就（H1）%0＜b≤a≤1，0≤c≤1，ac-
b≤0的情形讨论方程（1）的解的有界性，持久性和收敛
性，并给出其解有界，持久，收敛的充分条件。
下面给出文章中涉及到的若干定义：
定义1：方程（1）的解：指定义于n=的一个序列
{xn}，满足方程（1）。
定义2：方程（1）的解有界：指对方程（1）的任意一个
解，都存在两个常数（可能与初始条件有关），使得该解
在这两个常数之间。
定义3：方程（1）持久：指对存在两个常数，使得方程
（1）的任意一个解都在这两个常数之间。
定义4：方程（1）的解{xn}收敛：指存在一个实数a，对
%%坌ε>0，存在正整数N>0，使得当n>N时，有|xn-a|<ε。
定义5：方程（**）的平衡点：指若存在x，满足方程
（**），即x=f（ax），则称x是（**）的平衡点。
二、在条件（H1）下的基本结论和证明
在这一部分里，主要是通过函数f的性质和初值问
题（*）的解的性质讨论得出所要的结论。
引理1：设函数f在R上是非递减函数，条件（H1）满
足，
（A）如果{xn}是下列差分不等式：
xn+1≤cxn+f（axn-bxn-1）（2）
的一个非负解，则对坌n>0，有：
xn≤ ba c
n-1x0+ 1a c
n-1v1+
n
k = 2
Σcn-kvk（3）
（B）如果{xn}是下列差分不等式：
xn+1≥cxn+f（axn-bxn-1） （4）
的一个非正解，则对坌n>0，有：
xn≤ ba c
n-1x0+ 1a c
n-1v1+
n
k = 2
Σcn-kvk（5）
证明：用数学归纳法证明
（ⅰ）由v1=ax1-bx0则x1= ba x0+
1
a v1
故x2≤cxn+f（ax1-bx0）
=c（ ba x0+
1
a v1）+v2
= ba cx0+
1
a cv1+v2
所以n=1，2当时，（3）是成立的。
（ⅱ）假设当n=N时，（3）也成立，即有：
一类离散时间经济学模型的全局性分析
李文静
（河南工程学院 数理科学系，河南 郑州 450007）
摘要：这篇文章的目的是研究差分方程xn+1=cxn+f（axn-bxn-1），（其中a，b，c是给定的非负常数，f是实函数）的解
的有界性、持久性和收敛性。根据的a，b，c不同取值，结合函数f的性质和一类相关的一阶差分方程解的性质给出了
该差分方程的解有界、持久和收敛的若干充分条件。
关键词：差分方程；有界性；收敛性；持久性
【专题研讨】
138- -
xn≤ ba c
N-1x0+ 1a c
N-1v1+
n
k = 2
Σcn-kvk
则当n=N+1时，有
xN+1≤cxN+f（axN-bxN-1）
≤ ba c
Nx0+ 1a c
Nv1+
n
k = 2
Σcn-kvk+f（axN-bxN-1）
= ba c
Nx0+ 1a c
Nv1+
n
k = 2
Σcn-kvk-vN+1f（axN-bxN-1）
现来证：vN+1≥f（axN-bxN-1）
由（2）及（H1）知，
axN-bxN-1≤（ac-b）xN-1+af（axN-bxN-1）
≤af（axN-1-bxN-2）
≤f（axN-1-bxN-2）
由于f是R上的非递减函数，所以有：
f（axN-1-bxN-2）≤f2（axN-1-bxN-2）
由上式归纳可得：
f（axN-1-bxN-1）≤fN（axN-1-bxN-2）=vN+1
故xN+1≤ ba c
Nx0+ 1a c
Nv1+
N+1
k = 2
ΣcN+1-kvk
由数学归纳法知对坌n>0，（3）成立。
（B）的证明与（A）的类似。
定理1：设函数f是R上的非递减函数且有下界，条件
（H1）满足，又存在坠∈（0，1）及u0>0，使得当u>u0时，有f
（u）≤坠u，则方程（1）是持久的。
证明：令wn=f（axn-bxn-1）
由于f在R上有下界，不妨设为M0≤0，则wn=f（axn-
bxn-1）≥M0
由（1）归纳可得：
xn+1=cxn-1+f（axn-1-bxn-2）
=cn-1x1+cn-2w1+L+cwn-2+wn-1
≥cn-1x1+
1-cn-1
1-cc cM0
由上面不等式知：必存在一个充分大的正整数n0，
当n>n0时，有：
xn≥ M01-c-ε=M （ε>0）
故{xn}有下界，下面来证明{xn}有上界，即xn≤H
令zn=xn+n0-M，则有zn≥0，对所有的n。
因为azn-bzn=axn+n0-bxn+n0-1-（a-b）M
所以azn-bzn-1≥axn+n0-bxn+n0-1
又f是非递减函数，故
f（azn-bzn-1）≥f（axn+n0-bxn+n0-1）
于是，我们有
zn+1=xn+n0+1-M
=cxn+n0+f（axn+n0-bxn+n0-1）-M
≤czn+f（azn-bzn-1）-（1-c）M
定义g（u）=f（u）-（1-c）M，设δ∈（0，坠），现来证存在
u1>0，使得对坌u≥u1，有g（u）≤δu。
由g（u）=f（u）-（1-c）M
≤δu-（1-c）M （u>u0）
为了使g（u）≤δu，需要坠u-（1-c）M≤δu，故只要
u≥（c-1）Mδ-坠 。
取u1=maxu0，u0，
（c-1）M
δ-坠c c，则对坌u≥u1，有g（u）≤
δu。
设{rn}是初值问题：rn+1=g（u），r1=az1-bz0的解。
由于有下界，即
g（u）=f（u）-（1-c）M≥M0-（1-c）M=（1-c）ε>0
则坌n≥2对，有
rn=g（rn-1）≥（1-c）ε>0
故{rn}有下界。
对某个k，若rk≥u1，则
rk+1=g（rk）≤δrk<rk
若rk+1≥u1，则
u1≤rk+1=g（rk）≤δrk
因为g是非递减函数，所以有
rk+2=g（rk+1）≤g（δrk）≤δ2rk
若rk+l-1≥u1，则归纳可得：rk+2≤δ1rk
利用反证法可知必存在m>k，使得rm<u1，则
rm+1=g（rm）≤g（u1）≤δu1<u1
归纳可得，对n>m，有rn<u1
由于{zn}是差分不等式
zn+1≤czn+g（azn-bzn-1）
的非负解，则由引理1得：
zn≤ ba c
n-1z0+ 1a c
n-1r1+
N+1
k = 2
Σcn-krk
≤cn-m+1（ ba c
m-2z0+ 1a c
m-2r1+cm-3r2+L+rm-1）+u1
n-m
k = 0
Σck）
=cn-m+1K0+1-c
n-m+1
1-c u1
由上面不等式知：必存在充分大的正整数n1>m，当
n>n1时，有zn≤ u11-c+1
所以xn+n0≤ u11-c+1+M=H
故对坌n>n0+n1，有xn∈［M，H］（M，H与初始条件无
关），即方程（1）是持久的。
定理2：设函数f在R上是非递增且有上界的函数，条
件（H1）满足，又存在坠∈（0，1）及u0>0，使得当u≥u0时，
有f（u）≥-坠u，则方程（1）是持久的。
证明：设g=-f，则该定理与定理1的证明完全类似，
从略。
综合上面的定理可得下面一个推论。
推论1：如果下面三个条件中任一条满足：
（ⅰ）设函数f在R上是非递减且有下界的函数，条件
（H1）满足，又存在坠∈（0，1）及u0>0，使得当u≥u0时，有f
（u）≤坠u；
（ⅱ）设函数f在R上是非递增且有上界的函数，条件
（H1）满足，又存在坠∈（0，1）及u0>0，使得当u≥u0时，有f
（u）≤坠u；
（ⅲ）设f在R上的有界函数，且0≤c<1。
则方程（1）的解是有界的。
证明：（ⅰ）和（ⅱ）由定理1和定理2知是成立的。
【专题研讨】
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当前数学出现了很多先进的教学方法，如发现法、
尝试法、自学法等，但方法的多变，其实质并没有变，这
些方法都源于启发式教学方法。启发式教学方法，就是
在教师的引导下，通过学生自己动脑、动手来学习知
识，理解问题。运用启发式教学方法，可以更好地启迪
学生思维，开拓思路，发展智力，培养学生良好的思维
品质。不论是传统的教学理论，还是新一轮基础教育课
程改革理论，都不忽视教师在教学中的“诱导启发”作
用，可见“启发式教学”的重要。然而在目前数学课堂教
学中，教师“启而不发”“启而乱发”的现象还屡见不鲜，
究其原因，主要是启不得法。如果教师采用分层诱导启
发的教学方法，就能帮助学生提高课堂学习效率。
一、分层诱导启发式的教学流程
威廉说过：“平庸的教师只是叙述，好教师讲解，优
异的教师示范，伟大的教师启发”。布鲁纳说过：探索是
数学的生命线，没有探索，便没有数学的发展。启发式
教学的实质是启发学生的思维，而数学教学的实质是
数学思维过程的教学。思维是从问题、惊讶开始的，因
此，数学启发式教学的关键在于创设问题情境。教师要
有意识地给学生提供一些具有思维含量、引人入胜的
（ⅲ）：由于f在R上的有界函数，不妨设为M，则对
坌u，有|f（u）|≤M。令wn=f（axn-bxn-1），由（1），归纳可得：
xn=cxn-1+f（axn-bxn-1）
=cn-1+cn-2wi+L+cwn-2+wn-1
所以有：|xn|≤cn-1|x1|+1-c
n-1
1-c M
由上面的不等式知：必存在一个充分大的正整数
n0，使得当n>n0时，有：|xn|≤ 11-c M+1
故{xn}有界，即方程（1）的解是有界的。
定理3：设f是R上的非递减函数，条件（H1）满足，又
存在坠∈（0，1）及u0>0，使得当u>u0时，有f（u）≥-坠u，则方
程（1）的非负解是有界的。
证明：设{xn}是方程（1）的非负解，由引理1知：
xn≤ ba c
n-1x0+ 1a c
n-1v1+
n
k = 2
Σcn-kvk
类似于定理1的证明，必存在m>0，当n>m时，有vn<
u0，则
xn≤ ba c
n-1x1+ 1a c
n-1v1+（cn-2v2+L+cn-m+1vm-1）+
n
k = m
Σcn-kvk
≤cn-m+1（ ba c
m-2x1+1a c
m-2v1+cm-2v2+L+vm-1）+u0
n
k = 0
Σck
=cn-m+1K0+1-c
n-m+1
1-c u0
由此知，存在充分大的n0>m，当n>n0时，有：xn≤ u01-c
+1
所以{xn}是有上界的。
又{xn}是非负的，故{xn}是有界的。
定理4：设f是R上的非递增函数，条件（H1）满足，又
存在坠∈（0，1）及u0>0，使得当u≥u0时，有f（u）≥-坠u，则
方程（1）的非正解是有界的。
证明与定理3完全类似，从略。
定理5：设函数f是R上的非正非减函数，条件（H1）
满足，则方程（1）的任一非负解收敛。
证明：设是方程（1）的任一非负解，有（1）得
xn=cxn-1+f（axn-bxn-1）<cxn-1<xn-1
对上式进行归纳可得：
xn<xn-1<L<x1<x0
所以{xn}是单调递减序列，又由推论1知：{xn}是有界
序列，故{xn}是单调有界序列，故{xn}必收敛于一实数。证
毕。
定理6：设函数f是R上的非负非减函数，条件（H1）
满足，则方程（1）的任一非正解收敛。
参考文献：
[1]，Biological populations with nonoverlapping genera-
tions：stable points，stable cycles，and chaos，Science
186，645- 6471974
[2]May ，Simple mathematical models with very compli-
cateddynamics，Nature261，459- 467 1976
[3]Nonlear Analysis.\ & Applications. Vol 29，
No 5，1997
[4]Nonlear & Applications. Vol 18，No
3，1992
[5]Underwood Dudluy，The American Mathematical Monthly.
\ Vol 104，No 8，1997
分层诱导启发教学方法探讨
隆益军
（重庆市秀山县教师进修学校，重庆 409900）
摘要：启发式教学的实质是启发学生的思维，而数学教学的实质是数学思维过程的教学。运用启发式教学方
法，可以更好地启迪学生思维，开拓思路，发展智力，培养学生良好的思维品质。而分层诱导启发，是教师在创设问
题情境的条件下，提出一个具有探索性的问题，来引起学生的好奇和兴趣，让学生试着去探索，这样可以培养学生
的直觉思维，在数学教学过程中采用分层诱导启发的教学方法，可以帮助学生提高课堂学习效率。
关键词：数学教学；启发式教学；分层诱导启发方法
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