信用衍生产品隐含相关性结构研究1 龚朴 胡祖辉 (华中科技大学管理学院，武汉，430074) 摘 要：信用衍生产品在信用风险管理领域日益流行，其标的资产池的违约相关性结构在信用衍生产品定价、信用组合多元化和信用风险管理上具有举足轻重的作用。本文使用一种新的全局优化算法研究信用衍生产品的隐含违约相关性结构。这种方法建立在矩阵化的算子之上，通过使用矩阵半正定转换将约束条件融入DE算法之中，快速有效地计算出信用衍生产品的违约相关性结构。与此同时，本文从风险管理角度研究了算法有效性、计算效率和算法稳健性，并给出了相应的解释。 关键词：信用衍生产品，隐含相关性，全局优化，矩阵半正定化 1 引言 信用衍生产品在过去几十年中得到了飞速的发展。这些金融衍生产品一般标的在如债券、贷款和信用违约互换等具有违约风险的信用合约之上。与保险合同类似，它们的价值在这些标的合约违约时得到体现：投资方将偿付或承担违约造成的损失，发行方定期支付违约保险溢价或价差，在这里称之为信用衍生产品的价格。信用指数、一篮子违约互换和抵押债务债券(Collateralized Debt Obligations, CDO)是这类衍生产品的典型代表，其价值主要取决于标的合约间违约相关性结构，Schonbucher[1]对信用衍生产品给出了一般性的介绍。 虽然这次次债危机所带来的负面影响仍然没有完全消失，但是我们不应因此而过度地指责信用衍生产品。信用衍生产品本身只是用来转移和再分配信用风险的工具，它在提高市场效率和信用风险流动性方面体现了它存在的价值[2]。我们不应因噎废食，特别在我国金融风险管理产品仍不够完善的情况下，更应该加强信用衍生产品各种性质的研究，以进一步防范可能出现的金融风险。这种金融风险尤以信用合约的相关性违约所带来的冲击为甚，次债危机的爆发和传播过程也充分地说明了这一点。然而，相关性这个术语本身却带有一定的随意性，它被用来描述不同金融量之间如股票收益率、债券收益率等的相依关系。在本文中，我们关注的是不同信用合约违约时间的相依关系[3]，本质上，它与Merton结构化模型中资产间的相关性有着紧密地联系[4]。 信用合约违约时间的相依关系对于定价信用衍生产品，多元化债券投资组合和信用耦合风险管理有着十分重要的意义。由于商业周期、地域和产业等因素的影响，各公司违约事件之间必然存在着相关关系。这种相关关系在统计上表现为相关性矩阵，使得对于信用风险的度量、对冲和再分配必须考虑组合相关性带来的多元化影响。这也是一个信用组合内部风险重要特征。在信用衍生产品发展之前，违约相关性矩阵一般使用历史违约数据或信用评级机构公布的信用等级信息估计[5]。但是，历史违约数据的获取和积累有着它自身的特点，一般的信用合约持续期间较少存在违约事件，这对违约相关性矩阵的估计带来了不可忽略的误 1基金项目：国家自然科学基金资助项目(70871049)；教育部“国际金融危机应对研究”应急课题资助项目(2009JYJR021) 作者简介：龚朴（1954-），男，华中科技大学管理学院财务金融系主任，教授，博士生导师，研究方向：金融工程与公司金融；Email:gongpu11@；胡祖辉（1982-），男，华中科技大学管理学院博士研究生，研究方向：金融风险管理，Email ：huzuhuihzh@
差[1, 5]。信用评级机构公布的信用等级信息也具有一定的滞后性，在亚洲金融危机和次债危机中招致了大量的批评[6]。提高违约相关性矩阵估计的准确性，适时地反映金融市场环境变化对信用合约的相依关系的影响是违约相关性研究的一大热点和难点。 在信用衍生产品成熟以后，这种想法变成了可能。大多数的信用衍生产品都标的在信用组合之上，这些标的合约一般属于同一信用级别，同一地区或者同一行业。使用信用衍生产品的价格信息研究信用违约相关性越来越流行[7]。虽然本文分析的重点在于CDO，但是本文使用的方法适用于标的资产为信用组合的任意信用衍生产品。文献[8]和文献[9]从不同的角度研究了CDO相关性结构与CDO价格之间的相互关系。他们通过类比了期权隐含波动率的概念，提出了隐含相关性，并使用市场数据观察到了隐含相关性微笑曲线。因此，CDO市场价格可以理解为标的信用组合相关性结构的某种代理，甚至，可以将CDO价格看作相关性结构的某种非线性函数[10]。文献[11]提出好的CDO定价模型所使用的相关性结构应能成功的体现相关性微笑曲线现象，因此，通过CDO价格计算违约相关性本质上就是复制违约相关性曲线。文献[12]提出只要突破单因素定价模型[5]的框架，使用“非平坦型相关性矩阵”就能够复制相关性微笑曲线，这也是本文算法工作的理论基础。 选择使用非平坦型相关性矩阵，通过复制隐含相关性微笑曲线来估计信用合约间的违约相关性矩阵，将使问题归结到复杂的带约束优化问题[7]。由于目标函数和约束条件的复杂性，模拟达尔文进化理论的群体学习随机搜索算法将是唯一的选择。文献[7]在多因素模型定价框架下，使用遗传算法(Genetic Algorithm, GA)编码多因素载荷向量来估计相关性矩阵，取得了一定的效果。然而，算法效率较低，这主要是因为：一方面，遗传算法的编码解码过程限制了使用相关性矩阵作为基因型搜索违约相关性矩阵空间，另一方面，并不是所有的相关性矩阵都可以使用载荷向量来复制[12]限制了算法效率和搜索空间范围。本文使用一种新的全局优化算法——差分演化算法(Differential Evolution, DE)[13-16]替代遗传算法，直接使用相关性矩阵作为基因型搜索最优解，较好地克服了GA所带来的问题。通过使用矩阵化的演化算子和矩阵半正定转化算法，较好地处理了约束条件，提高了计算效率和算法稳定性。DE算法是一种原生的全局优化算法[17]，虽然它也是通过模拟达尔文进化理论来搜索最优解，但是它直接使用实数作为进化基础，通过控制可行解的差分来达到求解优化问题的目的[16]。由于它避免了GA编码解码过程，具有实现简单，算法效率高等特点[13]，成为GA算法的有力竞争者。 本文的其余部分组织如下：第二节简要地介绍相关信用衍生产品特别是CDO合约的相关背景，给出复制CDO隐含相关性微笑曲线所需要求解的目标函数；第三节详细研究使用DE算法复制CDO隐含相关性微笑曲线所遇到的问题，以及演化过程中约束条件的处理；第四节利用数值算例对比研究GA算法和DE算法的效率和鲁棒性；第五节给出相关结论。 2 问题的提出 CDO可以理解为一种类似于资产证券化的方法：它首先将一系列不同违约风险的债券、贷款和违约互换合约打包成为抵押资产池，再将抵押资产池中的现金流按照不同的违约风险等级分割成为不同违约求偿优先级的一系列证券层(Tranche)出售。这些证券层具有不同的信用评级，包括极具风险的权益层(Equity Tranche)到具有最高信用等级的高级层(Senior Tranche)，可以同时满足不同风险偏好投资者的需求。 CDO的抵押资产池可以包含各类具有不同信用风险的金融工具，本文中特指债券和贷款合约，而CDO的不同分层就提供了买卖不同级别信用风险的工具。图一描述了一个具有三个分层的基本CDO结构，它给出了CDO工作的原理示意。在图一中，CDO将信用违约
100%高级层损失分解成了三个级别，分别创造出了三种证券：权益层(Equity Tranche, ET),它负责吸收整个资产池由于信用违约所带来的最高达5%的票面损失，但是它可以得到35%以上的票面收益率。图中的阴影部分表示标的资产池的累积违约损失，初始面值扣除违约损失部分就是投资者所持有的面值。当整个资产池的违约损失超过了5%抵时，ET将押不复存在资。此时，中产间池层(Mezzanine Tranche, MT)继续吸收由于违约带来的损失，直到整个资产池的违约损失超过了原面值的15%。 由违约损失在这一系列证券中“被消化”的先后次序可以看出，MT将得到比ET更高的信用等级，但是它的收益率会比ET低，一般有10%左右。最后，超过15%的违约损失部15%分都将由持有高级层(Senior Tranche, ST)的投资者承担，他们会得到约5%甚至更低的回报。从整个合约的运作过程可以得知，CDO的市场价格信息将会适时地反映违约相关性的最新信息。使用CDO价格估计得到的违约相关性矩阵将会及时地反映市场环境的变化，比使用历史数据更加合理地反映投资者对标的合约相关性的预期。 中间层5%权益层累计违约损失 图一：基本CDO结构 一般说来，抵押资产池内的各种资产有着各种自然的联系，如属于相同的公司或相同的行业，因此，抵押资产池的违约具有较强的相关性。一个违约事件将会触发或加速另外一个违约事件，这也正是CDO提高市场效率，体现其存在价值的地方。CDO将可能的相关性违约损失“定向”发售给那些愿意承担高风险高回报的投资者，从而将风险较小的资产与风险较大的资产剥离分别“拍卖”。因此，违约相关性会极大的影响标的资产池违约损失，进而影响到CDO市场价格。利用这种反馈关系，我们也能够从CDO的价格信息中计算出违约相关性。值得注意的是，使用CDO不同层价格计算出的相关性矩阵不一定相同。典型的，使用ET计算出的隐含相关性比MT计算出的隐含相关性高，在一定的条件下，相关性也出现了微笑曲线现象[8]。以下，本文通过复制这种“隐含相关性微笑曲线”现象来估计违约相关性矩阵。 假设一个具有N层的CDO合约，其市场价格分别为sMi,i 1 ,。我们感兴趣的是,N从这些价格信息中推导出一个违约相关性矩阵R，使得这个违约相关性矩阵在某种误差度量标准下能够同时复制CDO价格sM。复制价格isR在这个误差标准下将会重现该CDO合i约的隐含相关性违约曲线特性。这样，我们也就成功地通过复制隐含相关性曲线估计出了违
约相关性矩阵。为此，需要推导CDO市场价格sM和相关性矩阵R之间的函数关系，或者i我们需要使用相关性矩阵R定价CDO合约，利用价格相对误差来衡量复制效果的好坏。由于定价CDO并不是本文的研究重点，具体过程可以参考文献[18]。 为了复制这种相关性微笑曲线现象，在选择相关性矩阵时，应同时使用CDO多个层级价格，这对评价相关性矩阵质量的目标函数提出了较高的要求。为了简化计算和分析过程，考虑如下目标函数，它表示为复制价格sR和市场价格isM的相对误差的绝对值之和： i NsƒR sMi (1) if1Mi 1 si这个目标函数也出现在文献[7]中。由于(1)同时使用了CDO所有分层的价格信息，较好地体现了CDO价格背后隐藏的相关性微笑现象，因此得到了较好的应用。 然而，为了控制CDO风险提高CDO相对收益，CDO发行商和投资者都要求对各个不同的层级采取不同的过抵押(over collateralized)。在使用违约损失扣抵投资者持有份额时，首先扣抵抵押资产中的过抵押部分。这相当于说，投资者能够持有的只是部分份额的CDO层，发行者自己必须持有一定份额的CDO层，当违约发生时，首先遭受损失的将是发行者自己持有的部分。因此，在计算sR和相对误差时，第i层的相对误差对目标函数的贡献isMi只应占有某一定的比例 i∆。因此，考虑如下目标函数： NRM ƒ∆s s iif1,iMi 1 si (2) N ƒ ∆1 ii 1 对于目标函数(2)不仅具有以上利用过抵押来管理CDO风险的背景，另外，对于权重系数 i∆也可以从信用资产组合的角度给出适当的解释。对于CDO发行者而言，它相当于卖空了N不同违约风险的信用资产，每种信用的相对份额为 i∆，sRM信用风险补充i s 表示为理论isMi和市场补偿的相对误差。因此，目标函数(2)也可以解释为发行方所承担的发行一个具有N层CDO所带来的风险补偿误差。 为了成功地发行CDO，应该最小化风险补偿(2)。具有过大的风险补偿值的CDO对投资者和发行者而言都不是一个合理的投资[1]。使用最小化风险补偿误差(2)与使用最小化目标函数(1)来度量相关性矩阵的质量具有相同的意义。只有当相关性矩阵能够很好的复制CDO价格时，风险补偿误差才会有最小值。同样，只有最小化目标函数(1)时，所计算出的相关性矩阵才能更好的复制CDO价格。 因此，本文所研究的问题可以概述如下：使用合理的方法选择适当的违约相关性矩阵，通过最小化目标函数(1)或目标函数(2)同时复制CDO所有分层价格。
3 隐含相关性微笑曲线复制 显然这两个目标函数都定义在违约相关性矩阵之上。违约相关性矩阵是对称的，半正定矩阵，其主对角线元素为1，其他元素都介于区间 1>, 1 ≅。对比文献[7]，本文直接使用相关性矩阵R作为DE算法的基因型，针对文献[7]中使用载荷向量作为遗传算法基因型求解违约相关性矩阵时所遇到的问题，改进约束条件处理方法，提高算法效率，确保求解出来的相关性矩阵满足上述约束条件。 在信用衍生产品定价中，Li[5]率先使用单因素模型建模K个资产间的违约相关性。这个单因素模型由于其简洁性和半解析表达式得到了广泛的引用，逐渐成为了信用衍生产品定价标准模型。单因素模型对违约事件的处理类似于Merton结构化模型对违约的处理，首先是定义一个违约代理变量xi 1 iδK ：δ x a iM 1 a2iiZ i (3) 其中M和Z独立，均值和方差分别都为0和1。M可以理解为宏观经济状况，Z代表公ii司特异风险，a表示风险载荷。ix越小代表该公司违约概率越大，当ix小于某一边界值时，i该公司就处于了违约状况。根据这个单因素模型，违约相关性矩阵可以表示为 R ai↑→a ↓ji jζij1ij (4) 其中R表示违约相关性矩阵中第i行，第列元素。一般地，为了方便推导半解析表达式，ijj进一步假设ai a [10]。如此假设，违约相关性矩阵除了主对角线上的元素为1外，其他元j素都恒等于某一常量 ∆，称为隐含相关性。然而，这个“平坦”的相关性矩阵不能够很好地描述CDO标的资产池的违约相关性结构。使用不同的CDO分层价格计算出的常量 ∆并不相同，会出现违约相关性曲线现象[8]。这种相关性矩阵之所以存在，是因为它可以得出简洁的解析表达式。但是，使用蒙特卡洛模拟方法可以放松对违约相关性矩阵做出的大部分假设。一般说来，使用非平坦型的相关性矩阵可以复制同一CDO合约的隐含相关性微笑曲线[8]。 文献[7]将单因素模型扩展至多因素，使用多因素模型的载荷向量A作为遗传算法基因i型，构造违约相关性矩阵。此时违约相关性矩阵可以表示为： ↑°aƒa i jζRiljl lij→(5) °↓1i j 其中a表示载荷向量ilA的第l个元素。在这个假设下，遗传算法的搜索起点由随机生成的i向量A 1>,1 Li ≅ 组成，通过表达式(5)得到信用衍生产品标的资产池违约相关性矩阵。这样
构造的相关性矩阵虽然是对称矩阵，但它们不能保证矩阵是半正定的。换句话说，遗传算法的搜索起点有可能不在可行解集中。因此，使用载荷向量作为表现型存在一定的局限。 当遗传算法搜索起点初始化完成后，随着遗传算法的进化过程，必然会产生不符合相关性矩阵条件的对称矩阵，例如，矩阵中会存在有大于1或小于-1的元素。文献[7]对这种问题的处理是将它们分别置为1或-1。选择这种简单的方法主要是因为违约相关性矩阵计算表达式(5)中有一个求和过程，无法在其他元素保持不变的情况下，通过改变载荷向量将其影射到相关性矩阵定义域。这种方法的主要缺陷在于会缩小遗传算法的搜索空间。当产生的相关性矩阵不满足半正定性时，无法给出CDO合约的复制价格，使得整个算法收敛速度较慢。根据文献[7]的数值模拟结果，平均收敛的迭代次数在500次以上，而本文将要提到的算法平均收敛迭代次数只有30次，收敛速度提高了15倍强。收敛速度提高的部分原因在于本文提出的算法较好地处理了这些边界条件。文献[8]提到不是所有的相关性矩阵都可以使用载荷向量计算，这也是导致使用遗传算法求解相关性矩阵收敛速度较慢的原因之一，这会的导致整个搜索过程必须进化和变异很多次才能够得到较好的近似结果。 这些不过效率的地方主要是因为遗传算法的编码解码过程限制了可选的基因型(genotype)，如果能够直接使用相关性矩阵作为基因型(genotype)就可以更加彻底的搜索整个可行解集，更快地收敛至合理的相关性矩阵。DE算法作为一种新的全局优化算法，直接使用实数运算避免了遗传算法的编码解码过程，它通过操作可行解集内两点之间的距离差来逼近最优解，具有运算速度快，实现简单的特点。这使得DE算法能够直接使用相关性矩阵搜索整个可行解集。本节将详细介绍DE算法的各个模块，同时引入一套矩阵化的演化算子，在整个搜索过程中都使之满足相关性矩阵的约束条件。 初始化：使用相关性矩阵R作为基因型，DE算法首先必须初始化一个相关性矩阵的集合 R⊥ 作为计算起点，这个集合也称为初始种群。由这个集合作为起点，通过变异、交叉0i和选择三个步骤迭代地构造第二代种群，直至第H代或满足某一终止条件。 在初始化第一代种群时，需要满足的约束条件是随机产生的矩阵必须是相关性矩阵：对称的半正定矩阵，所有元素介于 1>, 1 ≅，主对角线上的元素为1。整个初始化的起点是线性代数中一个熟知的结论：对于任意一个n nυ阶的半正定矩阵必然可以表示成如下形式： P W TW (6) 反之亦然。因此，一个随机的半正定矩阵可以由一个任意的随机矩阵W产生。 尽管使用(6)得到了随机的半正定矩阵，但是它还不是相关性矩阵，它不满足成为相关性矩阵必须满足的其他约束条件。这需要在保证矩阵半正定性的前提下，单位化矩阵主对角线，同时将其他元素影射到 1>, 1 ≅上。这些可以通过将矩阵W右乘一个对角矩阵D得到，这个对角矩阵的元素分别由矩阵W的列平方和倒数构成。在将主对角线上的元素单位化的同时，Cauchy不等式将保证其他元素影射到 1>, 1 ≅上。所以，整个初始化步骤可以总结如下： 步骤1：产生随机矩阵W R n nυ 步骤2：构造对角矩阵D，其中 ƒ ♣♦ d 12w2 •iiijj♥÷≠
步骤3：产生随机相关性矩阵R0 T iWDW D 通过以上步骤随机产生的矩阵必然是相关性矩阵，所有相关性矩阵必须满足的条件都将由(6)和Cauchy不等式保证。 变异：当种群初始化完成后，接下来的进化过程将由变异和交叉算子完成。在DE算法中，所有的变异策略都可以由表达式(7)描述 Ri 1 R miF R niRkil (7) 其中F 0, 2 ≅是一个实数常量，用于控制差分项 R ni R 的大小，kin,k为随机选择的脚标。根据变异原点R的不同，存在两种不同的变异策略：精英策略和随机策略。如果miR是mi随机选择的，那么这个变异策略称为随机策略。如果R是根据目标函数值的大小选择适应mi度最好的，那么称为精英策略。然而，无论使用哪种变异策略，在变异过程完成后所得到新一代种群Ri 1 ，其元素有可能不在区间l 1>, 1 ≅上。在这里，本文使用一种新的约束处理方法，将那些不满足约束条件的元素与前一代的对应元素交换。 交叉：在变异过程完成后，接下来需要进行的是交叉过程，将父代的某些性状交换到子代中。由于本文处理的基因型由矩阵构成，这也要求交叉算子与传统的交叉算子不同，必须将交叉算子扩展至矩阵情形。因此，对于交叉算子构造如下： 步骤1：随机产生n nυ阶矩阵C，矩阵C的所有元素都位于 0,>1 ≅ 步骤2：产生交叉示意矩阵I χ，其中变量cr是给定的交叉概率 χ 1↑→cij c τrIij 0↓cijc r步骤3：选择示意矩阵I χ的上三角矩阵构造对称矩阵I 步骤4：交叉Ri 1 R i 1 1， 其C中 表示 矩R阵 Kronecke r积。 illmC 交叉算子可能会使用两次：一次是处理边界条件，将矩阵元素影射到区间 1>, 1 ≅上；另外一次是DE算法进化过程中必须的交叉过程。在变异和交叉完成后，所得到的矩阵唯一没有满足的约束便是矩阵的半正定性。这些“形式”上极为类似相关性矩阵的伪相关性矩阵可能存在负特征值。 一般来说，这些伪相关性矩阵可以在一个合适的误差度量下[19]，将其转化成真正的相关性矩阵，如将所有的负特征值置为0。这种将伪相关性矩阵转化为半正定矩阵的方法，一方面是因为半正定矩阵可以使用矩阵特征值来定义；另一方面，矩阵的特征值是矩阵的重要特征，尽可能多地保留矩阵其他组成部分不变可以在很大程度上保留矩阵数值上的相似性[19]。这种方法对本文所遇到的这个问题也是很合适的，因为这些伪相关性矩阵之所以不是相关性矩阵，就是因为它们存在负的特征值，如果将这些负的特征值变为非负数，就可以保证这些矩阵成为真正相关性矩阵。 对于任意一个伪相关性矩阵P，它是对称矩阵。假设它的特征向量和特征值分别为S和 i⊥ Ο，那么它存在如下分解形式
P SυS , υd iag/ i Ο/ ( 8) 定义新的特征值对角矩阵 / ，其中 iim ax Ο。如果矩阵 P存在负的特Ο征值，那么i ,0 新定义的特征值对角矩阵 / 就存在零特征值。这样得到的新对称矩阵虽然成为了半正定矩阵，但是，主对角线上的元素需要再次单位化。定义对角矩阵T如下 ƒ Ο ♠↔1 2(9) tiismimm← ≡≈…有相关性矩阵R可以表示如下 R R TƒTs/s/ Tij (k1T0l) S/TS / pn ikpjlmmnklmnp其中对角矩阵T, / 的平方根表示对应元素的平方根。这是因为R的元素可以表示成为 ƒts Ο s tiilljljl ƒ ss (Ο11) iljll l 2ƒ2 ƒ s sΟ ΟimmikkmkDE算法进行到这个地方，所得到的新一代相关性矩阵Ri 1 满足了所有的相关性矩阵应该满足约束条件：对称的半正定矩阵，主对角线上元素为1，其他元素在区间 1>, 1 ≅上。 选择：接下来一步就是选择合适度高的相关性矩阵进入下一步的迭代过程。选择是根据目标函数(1)和目标函数(2)进行的，目标函数值越小表示适应度越高，所得到相关性矩阵质量也越高。 4 数值实验 本文考虑两种算法终止条件：(1)目标函数的变化达到了指定的精度(2)目标函数的计算达到最大次数。假设我们知道一个CDO合约有三层产品，市场价格分别为(basis points)，，，分别占总面值的5%，10%和85%。这些数值也可以作为目标函数(2)的权重向量。假设标的资产由10种贷款合约组成，每个信用的违约强度均为1%，违约挽回率也是40%。假设CDO合约的有效期为5年，无风险利率为4%。这些都是比较典型的CDO资产设置，为了与文献[7]的结果对比，所有的数据均与文献[7]设置相同。 为了验证算法的有效性和稳定性，本文将考虑不同目标函数在不同进化策略的表现。为了对比文献[7]的结论，本文将使用DE算法重现其结果。由于DE算法和GA算法存在一定程度上的差异，为了尽可能地重现文献[7]的结论，首先使用载荷向量作为基因型，对载荷向量做进化和交叉操作。边界条件和约束条件也使用文献[7]的处理方法，当需要显式地得
A: Cost Function (1)1 .8random 01002003004005006007008009001000IterationB: Cost Function (2)1 .4random 到相关性矩阵做出选择操作时，使用表达式(5)计算相关性矩阵。我们的目标是搜寻一个相关性矩阵使得能够同时复制CDO三层的价格。DE算法的初始种群数设置为50，目标函数计算上限设置为1000，目标函数容忍误差上限为。DE算法的交叉概率设置为，变异因子F设为[17]。为了保证结果的可靠性，每个目标函数的每种策略都运行10000次，其目标函数和迭代次数的平均值做出图二。 图二描述的重点在于使用载荷向量作为目标函数值与迭代次数之间的关系。总体说来，适用载荷向量作为基因型计算相关性矩阵的0收敛速度.较慢4，平均收敛迭代次数约在450次。在重现文献[7]结果的同时，本文使用载荷向量作为基因型验证了目标函数(2)的可行性和稳定性。由图二可以看出，无论在那种进化策略下，目标函数(2)在载荷向量作为基因型时，其进化过程都是稳定可预测的。因此，目标函数(2)对于本文需要求解的问题是合适的，可以用作复制CDO隐含相关性微笑曲线的优化对象。 01002003004005006007008009001000Iteration 图二：载荷向量DE算法收敛结果 图三给出了本文所提出算法的迭代次数和目标函数计算结果图。与图二相比，图三最重要的不同在于所使用的基因型为相关性矩阵。 Cost Function ValueCost Function Value
A : Cost Function (1) random 0306090120150IterationB : Cost Function (2) random 0306090120150Iteration 图三：相关性矩阵DE算法收敛结果 总体上，本文算法的平均迭代次数大约在30次，对比图二中平均450次以上的迭代收敛速度有了较大的提高。本文所使用的算法在这10000次运行中，最高的迭代次数达到41次，最低迭代次数为24次，平均约有30次。收敛速度得到了较大的提高，主要是因为两个方面的原因：(1)本文直接使用相关性矩阵作为基因型，扩展了搜索空间；(2)本文提出的算法利用矩阵化的交叉算子较好地处理了边界约束条件，同时使用矩阵半正定化操作保证了整个搜索过程都运行在相关性矩阵空间中。图三中在目标函数(1)下，平均目标函数值约为；在目标函数(2)下，平均目标函数值约在。目标函数(2)得到的结果比目标函数(1)小，考虑过抵押问题后可以更好的复制CDO价格，印证了本文前面提到的风险过抵押问题。然而，无论是那个目标函数，那种进化策略所得到的结果都是相当稳定和高效的。这也说明了本文所提出算法的有效性。 在讨论算法本身的有效性问题后，我们再来检验不同目标函数和进化策略对计算结果——相关性矩阵的影响。图四给出了不同基因型对隐含相关性微笑曲线复制结果的影响： Cost Function ValueCost Function Value
A: Cost Function(1)1 0100200300400500600700800900CDO Price(bps)B: Cost Function(2)1 0100200300400500600700800900CDO Price(bps) 图四：隐含相关性微笑曲线 虽然对于一个定价模型而言，在定价过程中出现了微笑曲线现象是对模型的一种间接批评。但是，如果固定定价模型，通过复制信用衍生产品价格倒推微笑曲线而言，越能体现原有定价模型的相关性曲线，越能说明价格复制方法的成功。图四A和B中最大的不同在于目标函数的差别。图A使用了目标函数(1)，图B使用了目标函数(2)。无论图A和图B，实线表示市场定价模型存在的隐含相关性微笑曲线。乘号组成的微笑曲线是由载荷向量作为基因型，使用随机策略复制的微笑曲线，它距离市场微笑曲线最远。加号组成的微笑曲线是由载荷向量作为基因型，使用精英策略复制的微笑曲线，它比使用随机策略的复制结果要略好，这可以说明使用精英策略会比使用随机策略得到更好的结果。同时，说明了随机策略倾向于高估违约相关性，给出比较保守的风险管理策略。由空心圆组成的微笑曲线是使用相关性矩阵作为基因型，随机进化策略得到的复制结果，它比使用载荷向量更加能够逼近市场微笑现象，对相关性结果的估计较为准确。由实心圆构成的微笑曲线体现了使用相关性矩阵作为基因型，使用精英进化策略的优点，它最好地逼近了市场对相关性结构的估计，准确地给出风险管理所需要的相关性结构参数。对比目标函数(1)和目标函数(2)，目标函数(2)得到的复制曲线更贴近市场微笑曲线，说明目标函数(2)对目标函数(1)有着相对的优势。 相关性矩阵的最终计算结果表示在图五中。图E和图H表示在相同目标函数下，不同进化策略对相关性矩阵的影响。图I和图J表示在相同进化策略下，不同目标函数对相关性矩阵的影响。图E，图H，图I和图J的相关性矩阵之差的平均值分布为，，和。所有的均值都是负数，这说明目标函数(1)得到的相关性矩阵比目标函数(2)的相关性矩阵相对保守。这与CDO合约过抵押要求是相适应的。注意到图E和图H的均值比图I和图J的均值小，说明不同进化策略对相关性矩阵存在着一定的影响，但是所有的均值都在零附件，说明这种影响相对较小。 综合图三和图四，本文所使用的DE算法对于从CDO合约价格中计算违约相关性矩阵具有收敛速度快，对各种算法设置计算结果稳定的特点。从目标函数值和收敛速度而言，目标函数(2)比目标函数(1)略好。从相关性矩阵计算结果看，精英进化策略比随机策略计算结果更加稳定。 Implied CorrelationImplied Correlation
图五：不同进化策略和目标函数对相关性矩阵计算的影响 5 结论 本文研究了使用一种新的全局优化算法——DE算法从CDO合约价格中估计违约相关性矩阵的可能性。违约相关性矩阵的估计，对于定价信用衍生产品，评估各种信用资产的组合风险具有重要作用。本文重点讨论了不同目标函数和不同进化策略对算法效率，计算结果稳定性的影响。数值实验表明，使用带权重的目标函数在精英进化策略下，能够取得更好地估计结果，它较好地估计出了市场对信用合约违约相关性结构的期望。 参考文献 1. Schonbucher, ., Credit Derivatives Pricing Models: Models, Pricing and Implementation. 2003, Chichester, England: Wiley. 2. JPMorgan, RMG, and RISK, JPM Guide to Credit Derivatives. 2005: RISK. 3. Glasserman, P. and L. Jingyi, Importance Sampling for Portfolio Credit Risk. Management Science, 2005. 51(11): p. 1643-1656. 4. Morokoff, . Simulation analysis of correlation and credit migration models for credit portfolios. in 2005 Winter Simulation Conference (WSC 05). 2005. 5. Li, ., On Default Correlation: A Copula Function Approach. Journal of Fixed Income,
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