文章编号：!""#$%"&（%""#）"’$""’#$"#
招标与拍卖过程中的投标人数的研究
唐小我!，陈绍刚!，赵蜀蓉%
（!(电子科技大学 管理学院，成都 )!""’*；%(电子科大学 人文社科学院，成都 )!""’*）
摘 要：在对传统决策模型如+,-./012模型和31244012$模型的决策目标进行分析的基础上，提出了更符
合招标拍卖实际情形的决策目标，以此新的决策目标为基础，分别对+,-./012模型和3$5模型给出了一个对竞
标人数均值或竞标人数的计算公式，该计算公式完全不同于根据历史数据或经验对竞标人数进行估计的传统方
法。
关键词：投标人；投标人数；期望利润；决策目标；赢标概率
中图分类号：89#! 文献标识码：:
收稿日期：%""%$!!$%"；修订日期：%""#$"9$"!
基金项目：国家杰出青年科学基金资助项目（&9%&""’%）
作者简介：唐小我（!9’’$），男（汉族），四川省彭洲市人，博士，
教授，博导，电子科技大学副校长，研究方向：管理科
学与工程和数理经济分析(
! 引言
招标拍卖是由居于垄断地位的买方垄断者或卖
方垄断者所规定的一种市场状态，该市场状态具有
配置资源的明确作用。在土地转让、闲置国有资产
出售和大型工程项目建设中采用招标拍卖方式可以
防止国家工作人员的腐败行为，同时，对艺术品、科
技成果、企业产权、专利技术、商标权等采用招标拍
卖方式有利于发现这些特殊商品的真正价值［!］。
国外对招标拍卖较为系统的研究始于!9’)年，
其标志为+,-./012的研究成果［%］，随后在此基础上
的研究成果已达数百篇。我国在招标拍卖方面的研
究近几年来已取得较大发展，其研究成果主要集中
在招标人与投标人的最优决策方面，包括招标人对
最优保留值的设定研究，最优风险分担率研究，多物
品拍卖的最优决策问题研究等［#$’］。上述研究指
出，无论是对居于垄断地位的招标人还是对居于竞
争地位的投标商，参加投标的投标人数的多少都是
影响其收益的一个重要因素，而且在我国，对大型建
筑项目的招标方式已逐渐由定向招标演化为上网进
行公开招标，因此，参加投标的投标人数已逐渐成为
招投标双方非常关注的问题。
% 基于+,-./012模型的竞标人数研究
设研究的问题为第一价格封标拍卖，即招标人
面向同行业以网上方式或其他方式发出招标邀请，
有意获取承包合同的公司独立提出报价，报价最低
者获得该合同。在这里，招标人不知道最终有多少
人参与竞标，而各投标人也不了解其他投标人的情
况。设2为竞争者总数，;为参与投标的竞争者人
数，8"为我方对完成合同的成本估计值，8为完成
合同的实际成本，<-为竞争者-的报价，=为我方提
出的报价，>（=）为我方报价=的获胜概率，?（=）为
我方报价=时的期望利润，8、<-从而@A8!8"及,-
A<-!8"均为随机变量，文献［)］详细介绍了+,-./B
012模型的构建思路：在不确切知道有多少个竞争
者准备提出报价的情形，我方获胜概率为
!（"）#"
$C
"!%"
&（’(）)’（ ）(
*
（!）
这里，&（’(）为’(#+(!%"的密度函数，并假设各竞
争者的报价相互独立且同分布。在此基础上我方的
最优决策"# 满足
,（"#）#01=
"
,（"）#01=
"
-（"）（".%",（/）） （%）
其中,（/）#"
$C
"
/0（/）)/（0（/）是/的密度函数），
在上述模型中，由于考虑到投标人数是所谓“密集
性”问题，因此+,-./012假定*服从参数为!的泊松
分布，即投标人数为*的概率为1（*）#!
*
*！2
.!，而对
平均投标人数!的估计+,-./012则采用线性回归
的方式，通过建立*与%"的线性回归模型获得。从
实际情况看，大型项目的成本费用的确是制约投标
人数的主要因素，在一般的大型项目招标中招标人
规定投标人的资质及营业执照的注册资金等所谓门
槛以限制投标人数就是一个最好例证。但是，由于投
标人数与项目的估计成本的历史资料难以获得，而
第!!卷 第’期
%""#年 !"月
中国管理科学
,@.
MFHN!!，OFN’
PL7N， %""#
万方数据
且二者之间的函数关系大多不是线性关系，从而导
致了该模型在应用上的困难。
（!）式中，我方的最优报价所得到的目标仅仅是
我方期望利润的最大化，由（!）式所确定的!! 并不
能保证我方获得合同的可能性最大，这与现实投标
中投标商所关注的问题有一定差距。由于
"（!）#$（!）［!%&""（’）］
#"
(#
!#&"
)（*+）,*［ ］+
-
［!%&""（’）］ （$）
显然%&’
-$#
"（!）#"，即随着投标人数的增多，我
方期望利润将减少，这符合实际情况。在这里，任何
一个投标人所关心的不仅仅是他给出的报价能获取
最大的期望利润，他关心的应是在一定期望利润基
础上使其获得合同的概率最大。在当前的现实招投
标经济活动中，几乎所有的通过投标获得工程项目
合同的投标者只能获取行业的平均利润，所谓的“暴
利时代结束”就是这个涵义。因此，我方投标人在给
出报价策略时应以由行业平均利润率所决定的利润
水平作为自己的期望利润。设(为由行业平均利
润率所决定的我方投标利润，则可得如下模型
’)*
!
$（!）
’+.+$（!）［!,&""（’）］-
%
&
’ /
（.）
模型（.）完全改变了/0&12’)3模型的主要思
路，其涵义是，在我方以获取行业平均利润为条件的
情况下，我方报价应以获取合同的概率最大为目的。
由 $（!）［!,&""（’）］-/ 即
"4#!#&")（*+）,*［ ］+
-［!,&""（’）］-/ 得
-#
%3 /!%&""（’）
%3"
(#
!#&"
)（*+）,*+
（5）
将（5）代入
$（!）#"
(#
!#&"
)（*+）,*（ ）+
-
确定!! 使
$（!!）#’)*
!
$（!）
最终得
-#
63 /!!%&""（’）
%3"
(#
!!#&"
)（*+）,*+
（7）
此8值即可视为我方对竞标人数8的均值的估计
!。上述推导的具体求解虽然相当麻烦，但彻底改变
了/0&12’)3模型的思想：它由投标人所欲达到的目
标而导出投标人的最优报价，同时得出了我方对参
与投标的竞争者个数的估计值，对每一个投标人均
可按此思路进行判断。这里需要说明的是，传统的
招投标模型如上述的/0&12’)3模型、以下将要介绍
的9)::’)3,(&;1<<模型以及著名的=13>?’)08模
型均把投标商人数、投标商对拍卖品的估值当作外
生变量处理［@］，当招标商规定不同拍卖规则或投标
商报以不同的竞标价格时，这些变量并不随之而改
变。文［.］指出，在许多实际场合竞标人数是可以随
着拍卖规则的改变而改变，因此可以把竞标人数视
为和系统本身有密切关系的内生变量。当所有投标
商以中标可能性最大为最优决策目标时，参与竞标
人数的平均值将决定于投标商的报价，这就是（7）式
所反应的内容。
算例：我方参与某次工程投标，该工程的行业平均利
润率为!"A，我方估计的完成工程的成本值为B"-
C"""万元，虽然理论上所有投标商的报价都可以在
"到4#之间，但这不符合实际，故可设所有投标商
的报价在B"的正负5"A之间，即在区间［."""，
6!"""］上。设我方的胜出概率是取值在［"，6］且与
我方报价!呈递减关系的函数，不妨设为$（!）#
1*D（."""%!），!(［C"""，6!"""］。此设定说明，虽
然我方报价."""万元一定胜出，但由于我方对成本
的估值为C"""万元，因此，我方的最低报价为C"""
万元，即使我方获胜概率最大的我方报价为!! #
C"""万元。设工程的期望实际成本为&""（’）#
5"""万元，而我方报价C"""万元战胜某一投标商的概
率为"+C。则根据（7）式，此时的投标人数的估计值为
-#
%35"""0!"1C"""%5"""
%3"+C )5
! 基于"#$$%#&’()*+,,模型的竞标人数的研究
所研究问题仍然是第一价格封标拍卖，和
/0&12’)3模型的不同之处为价高者中标，它主要描
述物品拍卖情形。文［C］给出了下述模型：
设2是拍卖品的估计价值，!是我方针对拍卖
品的报价，则*+-
3+
2
是密度函数与2无关的随机变
量。现设各*+相互独立且密度函数均为)（*），9):E
:’)3,(&;1<<通过分析历史资料认为
)（*）- 6
!*!"
1*D ,
（%3*,#）!
!"（ ）!
在上述基础上，我方的期望利润满足"（!!）-
’)*
!
"（!）-’)*
!
$（!）（2,!）
·.5· 中国管理科学 !""$年
万方数据
其中：
!（"）#!$# !（%!"&［ ］）
$
#"
"
&
’!
(（%）［ ］)%
$
$
为竞标人数。
和"#$%&’()模型一样，上述*+,模型仍然以竞标
者的期望利润最大为决策目标，这和参与竞标者所
关心的决策问题有一定差距。
如前所述，竞标者的报价决策-不仅仅是使其
期望利润.（-）最大，他更关心的是在能够获取行业
平均利润的基础上使自己获得合同的可能性最大，
因此*+,模型被改变为
’(-
"
!（"）
*/+/!（"）（&’"）#"
"
&
’!
(（%）［ ］)%
$
（&’"）#
#
$
% ,
（0）
由（1）式
$#
2) ,&’"
3)"
"
&
’!
(（%）)%
将$代入!（"），得
!（"）#"
"
&
’!
(（%）［ ］)%
3),&’"
3)"
"
&
’!(（%）)%
此时的决策目标为寻找"&，使
!（"&）#’(-
"
!（"）将"& 代入$得
$#
3) ,&’"&
3)"
"&
&
’!
(（%）)%
（4）
和基于"#$%&’()模型的情形相比，*+,模型的
优点为减少了模型参数的个数，在一定程度上改进了
"#$%&’()模型［5］。由于假定竞标人数是一个定数，因
此（4）式确定的6值直接是竞标人数的估计数。
7 结束语
传统的招标拍卖模型的决策目标均集中于寻求
自身的期望利润的最大化，同时对参与竞标人数的
估计却基于历史数据，凭经验获得，这至少有两个弊
端：首先，模型的决策方向脱离现实招标拍卖活动，
忽略了参与竞争的投标人最关心的问题。其次，投
标人数的确定带有很大的主观色彩，从而使竞标人的
决策准确性受到影响。本文在传统招标拍卖决策模
型的基础上改变决策目标，在投标人以获取行业平均
利润为期望利润的基础上，将获取承包合同或赢得拍
卖品的概率最大化作为决策目标，并以此导出参与竞
标人数的一个估计。分别基于"#$%&’()模型和*+
,模型给出了竞标人数的具体计算公式，虽然公式的
具体求解具有相当难度，但提出了有别于传统招标拍
卖模型的竞标人数确定方法的全新思路。
参考文献：
［2］刘杰，李国花/发挥拍卖市场作用初探［8］/现代财经+
天津财经学院学报，2555，（9）：::+:9/
［;］"#$%&’()</=/>?’@%A$A$B%C$&&$)DEA#(A%DF［8］/G@%#(H
A$?)E,%E%(#IJ，2591，7（2）：2K7+22;/
［:］陈绍刚，赵蜀蓉/基于随机估值的两物品拍卖的投标决
策［8］/电子科技大学学报，;KK;，:2（7）：724+7;2/
［7］鲁耀斌，张金龙，黎志成/拍卖过程中最优保留值设置
的研究［8］/管理工程学报，2552，（2）：72+71/
［9］鲁耀斌，张金龙，黎志成/多激励合同定价中最优风险分
担率的研究［8］/系统工程理论与实践，2555，（9）：;7+
;4/
［1］刘树林，汪寿阳，黎建强/投标与拍卖的几个数学模型
［8］/管理科学学报，2554，2（;）：22+21/
［0］马俊，邱菀华，张浩/招标与投标竞争系统决策模型及
其应用［8］/中国管理科学/2555（7）：2+9/
［4］,$3%F8L/M(’N%3E?)O/G@A$’(3=NIA$?)E［8］/=’%#$I().H
I?)?’$I,%B$%P，2542，02（:）：:42+:5;/
［5］*(EE’()"，,$B%AAQ*R/>?’@%A$A$B%C$&&$)D［8］/G@%#(H
A$?)(3,%E%(#IJSN(#A%#3F，2595，2K（2）：75+99/
［2K］M6$A’?#%T，R%’C%#A?)8/=/TN3A$B(#$(A%(@@#?(IJA?
I?)EA#NIA$?)I?)A#(IAC$&&$)D’(#6+N@EA#(A%D$%E［8］/
8?N#)(3?UAJ%G@%#(A$?)(3,%E%(#IJM?I$%AF，2557；79（22）：
2;1:+2;0;/
!"#$%&’"()*#+,)-.&/"()01-"23241"&’52$$2’6
78*9:21&;<&2，=>?*!(1&;61’62，@>8A!(#;-&’6;
（2/T()(D%’%)AMIJ??3，>，>J%)D&N12KK97，>J$)(；
;/MIJ??3?U*N’()$A$%E()&M?I$(3MI$%)I%，>，>J%)D&N12KK97，>J$)(）
8,."-13"：Q(E%&?)AJ%()(3FE$E?UAJ%A#(&$A$?)(3&%I$E$?)’(6$)D’?&%3E，ENIJ(E"#$%&’()()&*()EE’()+
,$B%AA，AJ$E@(@%#@#?@?E%E’?#%@#(IA$I(3&%I$E$?)’(6$)DA(#D%A/"N#AJ%#’?#%，U#?’AJ$E)%P3F?CA($)%&&%I$H
E$?)’(6$)DA(#D%A，AJ%U?#’N3(?)(B%#(D%)N’C%#E?#AJ%)N’C%#?U@(#A$I$@(A?#EU?#C$&&%#E(#%?CA($)%&，
PJ$IJ$EXN$A%&$UU%#%)AU#?’AJ%A#(&$A$?)(3’%AJ?&E(II?#&$)DA?AJ%J$EA?#$I(3&(A(?#%EA$’(A$?)E/
B)%<&-$.：C$&&%#；)N’C%#?UC$&&%#E；%-@%IA%&@#?U$AE；&%I$E$?)+’(6$)DA(#D%A；P$))$)D@#?C(C$3$AF
·99·第9期 唐小我等：招标与拍卖过程中的投标人数的研究
万方数据
