第3章一阶电路的时域分析
本章要点
换路定则
一阶电路的零状态响应
一阶电路的零输入响应
一阶电路的三要素分析法
章 节 内 容
电路的过渡过程及换路定则
一阶电路的过渡过程
一阶电路的全响应
一阶电路的阶跃响应
一阶电路的冲激响应
卷积积分
Multisim动态电路分析
电路的过渡过程
当电路接通、断开或者电路元件的参数变化，亦或是电路结构发生变化时，电路中的电流、电压等会随之发生改变，电路从一个稳定状态变化到另一个稳定状态，这个过程称为电路的过渡过程。
由于这一过程是在极短暂的时间内完成的，所以又称电路的暂态过程。
电路的过渡过程及换路定则
内因:是指电路中有电感、电容等储能元件的存在。
外因:电路进行了换路。
所谓换路，是指电路的状态发生了改变，如作用于电路的电源的接入和撤除，电路元件的接入或其参数的变化，以及电路结构的变动等。
电路的过渡过程
电路的过渡过程
设电路在t=0时刻换路，由于在换路前后的电路可能不同，可将换路前一瞬间用t=0-表示，换路后的一瞬间用t=0+表示。
电路的换路定则
1. 电容元件的电压和电流在关联参考方向下
其相应的伏安性为
积分形式为
如果换路(开关动作)是理想的，即不需要时间有 ；且在换路瞬间电容电流为有限值，则式() 有
得
为换路前一瞬间的电容电压值得
()
电路的换路定则
2. 电感元件的电压和电流在关联参考方向下
其相应的伏安性为
积分形式为
同理得
如果换路(开关动作)是理想的，即不需要时间,
且在换路瞬间电感电压为有限值，则式() 有
电路的换路定则
换路定则
当电路在 时换路，换路定则表示为
电路的换路定则
在电路的过渡期间，电路中电压、电流的变化起始于换路后瞬间的初始值，终止于一个新的稳态值。电路中电压、电流初始值可以分为两类：
(1)电容电压和电感电流的初始值，它们可以直接利用换路定则求取。
(2)电路中其他电压、电流的初始值，如电容电流、电感电压、电阻电流和电压等，这类初始值在换路瞬间可以发生跳变 。求解步骤如下：
初始值的确定
①先求换路前一瞬间的电容电压值和电感电流值。若换路前，电路处于稳定状态，可将电容开路，电感短路，画出换路前时刻的等效电路，进而求出 和
②根据换路定则确定 和 。
初始值的确定
③以 和 为依据，将电容替换为电压值为 的电压源，电感替换为电流值为
的电流源，画出换路后时刻的等效电路，再利用欧姆定律、基尔霍夫定律和直流电路的分析方法确定电路中其他电压、电流的初始值。
初始值的确定
如图所示，已知 , , ,
，开关闭合前电路处于稳态， 时开关S闭合。求 时的 及各支路电流值。
将此值代入 时刻的等效电路，
此时可以将电容用电压值为4 V的理想电压源替代，如图(b)所示。
图
初始值的确定
图
代入换路后时的等效电路，此时可以将电感用一个数值
为的理想电流源所替代，如图(b) 。
在换路前的直流稳态电路中，电感元件相当于短路，等效电路如图(a)所示，则 时进行换路，根据换路定则，有
如图所示，已知 , ， ,
开关S闭合前，电路处于稳态。 时开关闭合，进行换路，求S闭合瞬间各电流和电压 的初始值。
图
图
一阶电路的零输入响应
1．RC电路的零输入响应
一阶电路的过渡过程
图
已知电路如图(a)所示，原先开关S在位置１上，直流电源给电容充电，达到稳态时，电容电压达到 。 时，开关S由位置１转到位置2，此时电容与电源断开，与电阻构成了闭合回路，如图(b)所示。
此时，根据换路定则，有 ，即使此时RC串联回路中没有外加电源，电路中的电压、电流依然可以靠电容放电产生。
一阶电路的零输入响应
由于是耗能元件，且电路在零输入条件下没有外加激励的能量补充，电容电压将逐渐下降，放电电流也将逐渐减小。直至电容的能量全部被电阻耗尽，电路中的电压、电流也趋向于零，由此放电完毕，电路进入到一个新的稳态。
定量的数学分析 见下页：
一阶电路的零输入响应
支路的电流和电压受到基尔霍夫定律和元件的伏安特性约束
得一阶常系数线性微分方程表示为
一阶电路的零输入响应
S为特征方程 的解，因此得
一阶齐次微分方程通解形式为
一阶电路的零输入响应
根据换路后电容的初始值
待定常数A由此确定，有
所以电容电压的零输入响应为
当t=0时，即进行换路时， 是连续的，没有跳变。
所以有 (t ≥ 0)
一阶电路的零输入响应
图 RC零输入电路的电压、电流波形
令 为电路的时间常数，具有时间的量纲。
可推广写为
时间常数表征动态电路过渡过程进行快慢的物理量。
如表
一阶电路的零输入响应
，衰减越慢
，衰减越快
2．RL电路的零输入响应
换路前，开关S在位置
1，电路处于稳态，此时电
感电流表示为 。当
开关S由位置1倒向位置2。根据换路定则，有 。
由于电阻是耗能元件，电感电流将逐渐减小。最后，电感中储存的能量被电阻耗尽，电路中的电流、电压也趋向于零。由此放电完毕，电路进入一个新的稳态。
一阶电路的零输入响应
定量的数学分析：
对换路后的电路，由约束关系和初始值可得
可得一阶常系数线性微分方程为
一阶电路的零输入响应
方程解的形式为
S为特征方程 的解，因此得
待定常数A由初始条件确定，有
一阶电路的零输入响应
所以电感电流的零输入响应为
一阶电路的零输入响应
(t ≥ 0)
图 RL零输入电路的电压、电流波形
一阶电路的零输入响应
与电感电流不同的是，和在处发生突变，其波形如图(b)所示。
电路中电感电压为
电阻电压为
令RL电路的时间常数为
式()可推广写为
显然，RL零输入响应的衰减快慢也可用 衡量。
一阶电路的零输入响应
一阶电路的零状态响应
所谓零状态，是指电路的初始状态为零，即电路中储能元件的初始能量为零。
换句话说，就是电容元件在换路的瞬间电压 ，或电感元件在换路的瞬间电流
，在此条件下，电路在外激励的作用下产生的响应称为零状态响应。零状态响应也可称为零初始状态响应。
1．RC电路的零状态响应
RC电路的零状态响
应实际上就是它的充电过
程。已知电路如图所
示，当时，开关S在位置2，
电路已经处于稳态，即电容元件的两极板上没有电荷，电容没有储存电能。
一阶电路的零状态响应
图
当开关S由位置2倒向位置1。根据换路定则 ,当 时电容相当于短路，此刻的等效电路可以看出，电源电压全部施加于电阻两端，此时的电流达到最大 随着电源流经电阻对电容充电，充电电流逐渐减小，直至 ，充电过程结束。此时电流 ，电容相当于开路，电路进入新的稳态。
一阶电路的零状态响应
定量的数学分析：
由KVL定律和电路元件的伏安特性可得
联立，可得一阶常系数线性非齐次微分方程为
一阶电路的零状态响应
该微分方程的完全解可表示为
原方程所对应的齐次方程为
此方程的通解为
把电路达到新的稳态后的状态作为特解
通解为
一阶电路的零状态响应
把初始条件 代入上式
得通解为
称为RC
电路的时间常数，反
映电容充电的快慢，
也就是说反映电路过
渡过程的长短。时间
常数越大，充电时间越长。
图 电压和电流的波形
一阶电路的零状态响应
根据KCL定律和元件的约束关系可得
一阶电路的零状态响应
得到一阶常系数
线性非齐次微分方程为
可知方程的解由两部分组成
一阶电路的零状态响应
所对应的齐次方程为
此方程的通解为
特解为电路达到新的稳态后的状态
通解
把初始条件代入上式，可得
最后得通解为
令 为电路的时间常数
一阶电路的零状态响应
一阶电路的零状态响应
图 RL零状态响应的电压和电流波形
一阶电路的全响应
当电路的初始状态
不为零，而且外加激励
也不为零时，电路的响
应称为电路的全响应。
根据基尔霍夫电压定律和伏安特性，换路后的电路方程为
一阶电路的全响应
可得电路全响应的微分方程为
方程的解由两部分构成
由零状态响应的分析可知
一阶电路的全响应
一阶电路的全响应
则有
常数 由初始条件
确定
方程的解为
式()中第一项(即特解)与外加激励具有相同的函数形式，称为强制响应。第二项的函数形式由特征根确定，与激励的函数形式无关(它的系数与激励有关)，称为固有响应或自然响应。因此，按电路的响应形式，全响应可分解为固有响应和强制响应。
一阶电路的全响应
第一项在任何时候都保持稳定，与输入有关，当输入为直流时，则稳态响应为常数，所以第一项又称为稳态响应，它是当t趋于无穷大，后一项衰减为0时的电路响应。第二项按指数规律衰减，当t趋于无穷大时，该分量将衰减至0，所以又称暂态响应。因此按电路的响应特性，全响应又可分解为稳态响应和暂态响应。换路后激励恒定且在 的情况下，一阶电路的固有响应就是暂态响应，强制响应就是稳态响应。
一阶电路的全响应
三要素法
描述一阶线性电路的电路方程是一阶线性微分方程，它的解由两部分构成
是原方程的一个特解，一般选用稳态解来作为特解，
是对应齐次方程的通解，即
所以有
把初始条件代入式
一阶电路全响应的一般表达式为
求解步骤如下 ：
(1) 求初始值 。在换路前的电路中求出 或 ，由换路定则有 或 ，得到 或 。将电容元件用电压为 的直流电压源替代，电感元件用电流为 的直流电流源替代，得出 时刻的等效电路，用电路分析方法求出所需的初始值 。
(2) 求稳态值 。电路在 时达到新稳态，此时将电容元件视为开路，将电感元件视为短路，这样可以做出稳态电路，求出 。
三要素法
(3) 求电路的时间常数 。一阶RC电路的时间常数
，一阶RL电路的时间常数 。而对于一般一阶电路来说，将换路后电路中的动态元件(电容或电感)从电路中取出，求出剩余电路的戴维宁(或诺顿)等效电路的电阻 。也就是说， 等于电路中独立源置零时从动态元件两端看进去的等效电阻。
(4) 将初始值 、稳态值 和时间常数 代入三要素公式，写出一阶电路的全响应 。
三要素法
已知电路如图所示， 时开关S由1倒向2，开关换路前电路已经稳定。试求 时的响应 。
图
求取 已知开关S换路前电路已经稳定，则电容相当于开路，得到 等效电路
求取 。 ，电路达到新的稳定，此时电容相当于开路
求取 。
将三要素代入式()
已知电路如图所示，开关S在 时闭合，S闭合前电路处于稳定状态。试求 时的 和 。
图
(1)求取 和 。
根据换路定则有 。作 时刻的等效电路，如图(c)所示，此时电感被一个电流为 A的直流电流源替代，由此可得响应的初始值：
(2)求取 和 。 时，电路达到新的稳定，此时电感相当于短路，得到等效电路如图(d)所示，有
(3) 求取 。
(4) 将三要素代入式()，得
三要素法
单位阶跃信号
单位阶跃信号的定义
其波形如图(a)所示
一阶电路的阶跃响应
图
若单位阶跃信号跃变点 在处，则称其为延迟单位阶跃信号，可表示为
单位阶跃信号的物理意义:当用 作为电路的电源时，相当于该电路在 时刻接入单位直流源，且不再变化
单位阶跃信号
利用单位阶跃信号和延时阶跃信号，可以将一些阶梯状波形表示为若干阶跃函数的叠加。
单位阶跃信号
阶跃响应
电路对于阶跃激励的零状态响应称为电路的阶跃响应。当激励为单位阶跃函数时电路的响应称为单位阶跃响应，用 表示。单位阶跃响应可按直流一阶电路分析，即用三要素法进行分析。
求图
(a)所示电
路在图(b)
所示脉冲电流
作用下的零状态响应 。
图
该电路对应的阶跃响应 ，得
将脉冲电流 看做两个阶跃电流之和，即
由电路的零状态线性，可得 作用下的零状态响应为 ； 作用下的零状态响应为 ，可得 作用下的零状态响应
。根据叠加原理,可得 作用下的零状态响应为 ,得
阶跃响应
单位冲激信号的定义
单位冲激信号 的工程定义为
仅仅存在于的瞬间，幅度为无限大，在图像上用一个箭头表示；同时除在原点以外，处处为零，且 时间内的积分值为1，即函数 与横轴 围成的面积为1。其波形通常用一个带箭头的单位长度线表示，旁边括号内的“1”表示其强度，如图(a)所示。
一阶电路的冲激响应
冲激函数具有如下性质：
(1) 加权特性。
(2) 筛选特性(又称抽样性)。
(3) 冲激函数与阶跃函数之间的关系。
单位冲激信号的定义
电路的单位冲激响应是指零状态电路在单位冲激信号 作用下的响应，简称冲激响应，用 表示。
1．直接法
对于简单电路而言，直接计算该电路在单位冲激信号 作用下的零状态响应，即可算出冲激响应 。
冲激响应
RC并联电路如图(a)所示，已知电流源 ，试求电容电压的冲激响应
。
冲激响应
图
图(a)中，由KCL有 由于
只有在 ～ 期间存在，其余时间均为零值，有
在 后，由于在 作用下，此时的电路是一个零输入响应，具有齐次通解形式。因此，需要进一步计算出 。
冲激响应
由于在 时，有 ，即电路处于零状态，在换路瞬间 时电容相当于短路，如图(b)所示。可以看出 。
当 时， ，电流源相当于开路，此时的电路仅为RC构成的放电电路，所以有
冲激响应
2．间接法
间接法是先计算电路的阶跃响应 ，然后利用冲激响应 和阶跃响应 的关系计算冲激响应。
间接法是基于冲激信号与阶跃信号之间的关系式
对于线性不变电路而言，有
冲激响应
例为例 :可由三要素公式，求得电路中电容电压的阶跃响应为
再利用式()得该电容电压的冲激响应为
冲激响应
信号的时域分解
任意波形的信号
可以纵向分割成许
多相邻的矩形脉冲，如
图所示， 是脉冲宽
度，对于 时刻的
矩形脉冲，其高度即 的值为 。
卷积积分
图
信号的时域分解
门函数在
时的极限等于 ,
如图(b)所示的
高度为1的门函数
为 。无穷多个矩形脉冲的叠加可用来近似原信号
图
零状态响应——卷积积分
电路在信号 激励下的零状态响应就是在信号
激励下的零状态响应。
激励 下的零状态响应为冲激响应 ，记做
任意波形信号 作用于线性时不变电路的零状态响应为
式()称为 与 的卷积积分，简称卷积.
信号 激励下的零状态响应等于输入信号 与电路冲激响应 的卷积积分，记做
零状态响应——卷积积分
一旦求得电路的冲激响应 ，只要计算任意激励信号 与 的卷积积分，就可得到由 与电路冲激响应 的卷积积分,就可得到由 引起的零状态响应，这种方法将使零状态响应的计算大大简化，通常也称其为卷积分析法。
零状态响应——卷积积分
如图所示一阶电路，开关在 时刻打开，开关动作前电路已达稳定，用Multisim测量 的零输入响应波形。
Multisim动态电路分析
图
如图所示一阶电路。开关在 时刻动作，开关动作前电路已达稳定，用Multisim测量 的零输入响应波形。
Multisim动态电路分析
图
1．换路定则
2．一阶电路的暂态分析
(1) 零输入响应
(2) 零状态响应
小结
(3) 全响应
3．三要素法
如果知道某一电流或电压的初始值、稳态值和电路的时间常数，就可以根据式直接求出此电流或电压的响应。
小结
4．一阶电路的阶跃响应
对一阶电路来说，单位阶跃响应可按直流一阶电路分析，即用三要素法进行分析。而一些分段常量信号可以分解为阶跃信号，根据叠加原理，将各阶跃信号分量单独作用于电路的零状态响应相加得到该分段常量信号作用下电路的零状态响应。如果电路的初始状态不为零，则需再叠加上电路的零输入响应，就得到该电路在分段常量信号作用下的全响应。
5.卷积积分
在任意信号激励下零状态响应的时域分析方法为卷积分析法。首先将任意波形信号分解为无穷多个连续出现的冲激信号之和，然后借助冲激响应的概念，根据线性时不变电路的特点，得出求解任意信号激励下的零状态响应的卷积分析法。
小结
*
