固定收益证券
李磊宁
中央财经大学金融工程系
第12章:债券衍生品
内容提要
债券远期
1
债券期货
2
债券期权
3
债券远期
债券远期合约
√债券远期是交易双方约定在未来某一日期，以约定价格和数量买卖标的债券的金融合约。
√债券远期交易的一个重要功能就是为债券现券交易提供做空机制。当市场利率上涨时，债券持有者将面临债券价格下跌的风险，通过做空远期合约，债券持有者可以用远期合约的盈利抵补债券现券市值的损失。
债券远期
债券远期的定价
√两个组成部分：一是确定债券远期理论价格，二是确定远期合约的价值。
√市场报价是“市场远期价格”，在远期合约到期前的某个时刻，这个价格由远期市场上的供求以及某些复杂因素（如投机）决定，并不一定是“远期理论价格”——这个价格的成立要求金融市场满足无套利条件，即根据这个远期价格，交易者无法在即期合约和远期合约之间进行无风险套利。
√远期合约的价值是交易者进入远期买卖合约，成为多头或者空头后，由合约本身带来的潜在的损益。
债券远期
远期价格与即期价格
在当前时刻（零时刻），某零息债券当前的市场价格为S0，以该债券为交割债券，有效期为T的债券远期合约的理论价格为F0，则两者之间有如下的关系（其中r为无风险利率。 ）
远期价格高于即期价格，因为直接购买债券并持有一段时间会导致产生持有成本（主要是财务成本），而做多远期可以避免持有成本。
债券远期
例子：假设一个30天期限的远期合约，标的债券为1年的贴现债券，设30天期的无风险收益率为%，而标的债券的现在价格为97元。根据远期合约期间不支付收益的债券远期价格公式，T=30/365=年，r=%，S0=97元，则每百元面值债券的远期价格为
债券远期
附息债券有可能在远期合约期间发生票面利息的支付，属于“有收益”资产。因此，在定价时要减去这个收益。
设当前时刻（零时刻）某附息债券的市场价格为S0，以该债券为交割债券，有效期为T的债券远期合约的理论价格为F0，r为无风险利率，则两者之间有如下的关系
其中I为远期合约期间标的债券分得的票面利息的贴现值。
债券远期
例子：假设一个5年期债券，现在达成该券的270天远期合约，标的债券的现在价格为102元。每百元面值债券在6个月（年）和12个月（1年）后，将收到元的利息，并且6个月和12个月的无风险利率为%和%，270天期限的无风险利率为%。由于T=270/365=年，r=%，S0=102元，则
债券远期
债券远期合约的价值
远期合约的价值在合约产生的时候为零，以后会随着时间的推移发生变化，要么为正价值，要么为负价值。对于一方为价值，对于另一方就是相等数额的负价值。影响远期合约价值的主要因素就是远期价格。
设当前以零息债券为标的债券的远期债券的价格为F0，K是远期合约的交割价格，交割日（远期合约到期日）为T，无风险利率为r，f为当前远期合约的价值。
债券远期
例子：假设一个30天期限的远期合约，标的债券为1年的贴现债券，设30天期的无风险收益率为%，而标的债券的现在价格为97元。根据远期合约期间不支付收益的债券远期价格公式，T=30/365=年，r=%，S0=97元，远期合约的交割价格为96元，则远期合约的价值为
债券远期
如果远期合约的标的债券为附息债券，则远期合约的价值表示为
这里I为远期合约有效期间内标的债券分得的票息的贴现值。
债券远期
例子：假设一个5年期债券，现在达成该券的270天远期合约，标的债券的现在价格为102元。每百元面值债券在6个月（年）和12个月（1年）后，将收到元的利息，并且6个月和12个月的无风险利率为%和%，270天期限的无风险利率为%。由于T=270/365=年，r=%，S0=102元，远期合约的交割价格为94元，则
债券远期
以收益比率的方式表达带息资产的分红数额大小，则
这里q是债券票息与债券购买价格之比，相当于债券的“当期收益率”。
例子：设一个5年期债券，现在达成该券的270天远期合约，标的债券的现在价格为102元，以连续复利表示的票息率为%，即q=%，270天期限的连续复利无风险利率为%。由于T=270/365=年，r=%，S0=102元，远期合约的交割价格为100元，则根据远期合约期间支付收益的债券远期价格公式，得每份远期合约的价值为。
债券期货
债券期货合约
以债券为交割标的物的期货合约为债券期货合约。我国目前没有债券期货交易。美国、日本、英国和一部分欧洲国家的债券期货交易比较活跃，特别是美国芝加哥商业交易所集团（CME group）的国债期货交易居于世界领先地位。了解期货合约的内容是分析债券期货的第一步。
债券期货
合约主要内容
√合约规模：表明一张期货合约的面值大小。除了2年期国债期货合约规模为200000美元外，其余各个期货合约规模都是100000美元
√交割范围：指符合交割条件的美国国债。
√发票价格：空方交割后收到的现金额，也即多方交割时支付的现金额。
√交割范围：指符合交割条件的美国国债。
√合约月份：顾客在任何一个时点上可以参与的所有期货交易品种的交割月份。所有这些交易品种都是随着时间的推移循环往复的。
√报价方式：期货报价方式与国债现货报价方式相同。
债券期货
转换因子与最便宜交割债券
√设TIA（total invoice amount）为多方支付的总发票价格，PIA（principal invoice amount）为含在总发票价格中的本金发票价格，AI(accrued interest)为交割债券的累计利息，CF(conversion factor)为转换因子，FS(futures settlement )为期货结算价格。空方每交割一张时，多方支付的现金总额为
债券期货
这里的1000的作用是将百分比报价转换成面值为10万的期货合约的面值，累计利息是指交割债券自上个票息日开始到交割日累计下来的票面利息额。
由上式看出，多方支付的价款由期货结算价格与转换因子共同决定。
转换因子是假设可供交割的债券面值为1元，然后用6%的到期收益率计算出来的该债券在交割月份第一天的净价格。每一个可交割的债券都有其特定的转换因子。显然，如果某个可交割债券的票息率恰好为6%，则其转换因子为1；如果一个可交割债券的票息率大于6%，则其转换因子大于1；票息率小于6%的可交割债券的转换因子小于1。
债券期货
例子：某可交割的国债票息率8%，还有18年零4个月到期，根据计算转换因子的相关规定，该国债的到期日假定为18年零3个月，先用6%的贴现率计算出该债券在距今3个月以后的（全）价格是
然后再把这个价格贴现到现在，得到今天的价格。本例中的贴现率是
债券期货
所以，今天债券的价格是
债券期货
一旦知道了转换因子，交易者很容易根据公式计算出发票价格。
例如，2007年9月到期的美国中期国债期货合约的当前价格为106-19，交割债券为票面利率为5-1/8，到期日为2016年的国债，转换因子是。本金发票价格为1000=。假设交割债券自上个票息日开始，直到交割日为止的累计利息（百元面值）为元，则10万面值累计利息为1000=2400（元）。则总发票价格=+2400=。
债券期货
规定转换因子的目的之一，是为了空方无论选择什么样的交割债券，对交易双方的福利没有影响。但实践中人们发现，由于交割债券现货价格与本金发票价格之间存在差距，所以会发生由交割行为本身产生的损益问题。
债券期货
例子：2007年7月24日，某空方交易者看到某期货合约结算报价是106-19，有A、B两只债券可供交割，A是票息率为4-3/4，2014年到期，当前报价为元，转换因子是；B是票息率为5-1/8，2016年到期，当前报价为元，转换因子为。用SA代表A债券的本金发票价格与债券现货价格之差，SB代表B债券的本金发票价格与债券现货价格之差，则
债券期货
最便宜交割债券（cheapest to deliver security，以下简称CTD），就是存在于一组可交割债券中的，使空方交割收益最大化的债券，或者是使空方交割损失最小化的那只（或者若干只）债券。
上例两只可交割的债券中，A债券就是最便宜交割债券。国债期货价格的变化，与CTD的变化有着密切的关系。
债券期货
期货价格的决定
设当前时刻（零时刻）最便宜交割债券的市场价格为S0，有效期为T的债券期货合约的理论价格为F0，I为最便宜交割债券的在期货合约期间的累计利息贴现值，则债券期货的价格是
债券期货
例子：某国债合约品种的CTD是票息率为10%的债券，每年付息两次，转换因子是。假定该国债期货合约到期日为270天以后。CTD的上个票息日是60天以前，下个票息日是122天以后，再下个票息日是305天以后。当前利率期限结构是扁平的，利率为8%。假定CTD的价格当前为110美元。求当前期货合约的理论价格为多少？
债券期货
当前
期货到期日
票息日
票息日
票息日
60日
122日
148日
270日
例子中的期货合约的时间表
35日
债券期货
求期货价格可以转化为求CTD在期货合约到期时的理论价格（净价格）。为此，先求得当前时刻的CTD的全价格为
对于122天（年）后收到的利息5元来讲，其现值为
CTD在期货合约到期日时的理论价格为
债券期货
这个价格并没有考虑第2个票息日到交割日之间共148天的累计利息，所以把这个累计利息减去后，得到CTD的净价格
根据转换因子的定义以及它与期货价格的关系，期货的价格等于交割债券的净价格除以转换因子
债券期货
债券期货的应用
套期保值
设N是合理的保值工具数量，B是债券组合保值期末的市值，DP是债券组合保值期末的久期，F是期货价格，DF是期货交割债券保值期末的久期，则
债券期货
例子：某投资者手中有1000万美元市值的政府债券，债券组合的久期为。由于担心未来利率上涨，该投资者做空利率期货合约来规避风险。当前有关期货报价为，期货合约的面值为10万美元。投资者保值工具是国债期货合约，其CTD的久期为。所以，
债券期货
如果知道了相关债券的基点值（一般用PVBP代表），也可以按照所谓“基于基点值的套期保值”方法，这一方法与“基于久期工具的套期保值”方法本质是一回事，因为基点值就是债券组合当收益率变动为一个基点时的金额久期。基于基点值的套期保值的公式是
其中，PVBPp是债券组合的基点值，而PVBPCTD是CTD的基点值，而CFCTD代表CTD的转换因子。
债券期货
例如，2007年7月25日，某投资者拥有面值1000万的美国国债“5-1/8%-16”（代表票息率5-1/8%、2016年到期的美国国债，下同），该债券的基点值（每百万面值）为美元，打算采用同年9月份期货合约作为保值工具。前面已经提到过，该合约的CTD是国债“4-3/4%-14”，该债券的基点值（每百万面值）为美元，转换因子为。合适的保值比率为
这表明每1元保值对象需要面值的期货合约来保值，对于1000万美元面值的“5-1/8%-16”债券而言，需要的期货合约为116张合约。
债券期货
调整债券组合利率敏感度
设N代表合理的期货合约数量，DT代表目标久期，DI代表组合初始久期，BI代表组合市值，Dctd代表CTD久期，Bctd代表CTD市值,CFCTD代表CTD转换因子，则
债券期货
例子：债券组合由一只债券组成，该债券剩余期限5年，票息率6%，YTM=%，当前价格为，久期为。目前国债期货的CTD是剩余年限16年、票息率为7%、YTM为%的债券。当前CTD的价格为，久期是，转换因子是。目标是通过做多期货合约，使债券组合的久期达到7，适当的期货合约数量是
说明组合中的每1元市值债券对应的期货合约的市值是，如果我们的组合市值为100000元，需要做多张面值为100000美元的债券期货合约。
债券期货
基差套利
基差=现货价格-调整后的期货价格。调整后的期货价格=期货报价转换因子。
例如，2007年7月24日，人们发现美国两只国债（即前面提到过的两只国债，一只国债票息率4%-3/4%，剩余年限14年，另一国债票息率5-1/8%，剩余年限16年）的现货价格与期货价格以及转换因子，这样，运用公式马上可以得到它们的基差，计算过程见下表。
债券期货
($)
$
交割收益
≈31/32nds
≈−
=基差
≈101-15
≈99-162
(调整后的期货价格)
转换因子
106-19
106-19
-期货价格
101-13
99-16
国债现货价格
5-1/8%-16
4-3/4%-14
债券期货
现货市场条件的变化，总是使得在一定条件下某些债券容易成为CTD。
如果市场利率大大高于6%，久期大的债券交割的可能性大，而当市场利率大大低于6%时，久期小的债券交割的可能性大。
这是因为当利率在高位并且继续上涨时，久期大的债券下降的幅度大，持有的风险大，于是人们倾向于交割这样的债券以规避持有风险；相反地，当利率处于低位并继续下降时，久期小的债券上涨幅度小，久期大的债券上涨幅度大，所以人们倾向于交割久期小的债券，保留久期大的债券，以增加收益。
债券期货
这意味着，基差随着市场条件的变化而改变。于是，一些交易者希望从基差的变化中获利。通过比较现货价格与调整后的期货价格，交易者实施“贱买贵卖”的策略，可以实现无风险（低风险）利润。具体策略分为“购买基差”与“出售基差”两种。
债券期货
购买基差，即购买债券现货的同时做空期货，然后根据情况准备对冲或者交割。当交易者预测未来整体市场利率水平下降时（特别是下降到6%以下时），可以通过购买久期大的债券的同时做空期货，并作好交割准备，这样就可以完成套利过程。如果利率届时果然下降，交易者事前购买的久期大的债券价格就有了可观的涨幅，如果这个涨幅（在减去债券持有成本以后）超过了期货空头合约的涨幅（意味着空头亏损）则可以平仓期货空头合约，同时出售债券现货，锁定交易利润。而如果债券现货的涨幅小于期货空头合约的涨幅，则可以进行抛售原有的久期大的债券的同时，另选择一种久期小的债券进行交割，因为此时久期小的债券一般为CTD。这就相当于抛售了基差大的债券，购买了基差小的债券，而收获了基差的变动收益。
债券期货
销售基差，即销售债券现货的同时做多期货合约并做好交割准备的策略。当交易者预测未来整体利率水平倾向于上涨（特别是预测上涨超过6%）时，往往采取该策略。此时，交易者抛售久期大的债券，同时做多期货等待交割。一旦将来利率上涨，空方会选择久期大的债券进行交割。这就相当于先高价卖掉债券以后，又通过交割的程序将它们按照较低的价格买了回来，从而实现了套利。
债券期权与利率期权
利率期权合约:以各类债券收益率为标的物的期权。美国芝加哥期权交易所（Chicago Board Options Exchange，简称CBOE）是全球最大的期权市场，也是利率期权的主要交易地。CBOE现有4种利率期权品种可供交易：分别是以美国13周国债贴现率为标的，以美国5年期、10年期、30年期国债到期收益率为标的物的期权。利率期权全部为欧式期权，分为看涨期权与看跌期权，到期采用现金结算制度。
债券期权与利率期权
标的：以IRX为例，表示最近刚发行的美国13周国债的贴现率，就是期权标的。
标的价值：是收益率（贴现率）的10倍。比如，最新发行的30年期国债的到期收益率为7%，则该品种期权（TYX）标的价值就是7×10=70。当国债收益率发生变化时，标的价值必然发生变化。如30年期国债收益率由7%下降到%时，相应的期权标的价值的变动为70-64=6，即6个点。
债券期权与利率期权
乘数：这里的100为乘数，以便于计算标的价值的变动以及随之产生的期权盈亏。例如，某交易者当前持有1份将要到期的TYX看涨期权，购买期权时的执行价格为75，该期权当前按照78的标的价值结算。该交易者的收益（不算期权费和其他税费）是（78-75）×100=300（美元）。当然，如果标的价值跌落到75以下，交易者就没有收益。
执行价格：约定按照这个价格与结算价格比较而计算盈亏。执行价格按照一定的规则事先约定。
债券期权与利率期权
例子：美国30年期长期国债收益率为7%，当前对应的TYX的标的价值为70。剩余期限为3个月，执行价格为70的TYX的报价为美元。某交易者预计美国30年期长期国债收益率即将上涨，他为此购买了5份TYX利率看涨期权，总共花费为×100×5=750（美元）。本例中，交易者的盈亏平衡点是70+=美元，大致地说，美国30年期长期国债收益率在期权到期日如果高于这个数字，交易者赢利，反之，则亏损。
债券期权与利率期权
收益≤750
收益=（71-70）×100×5-750=-250
收益=（75-70）×100×5-750=1750
结算价格≤70
70＜结算价格=71＜
结算价格=75＞
上例中三种可能的到期结算场景以及盈亏
债券期权与利率期权
可以采用“价差交易”的办法，即通过同时买卖同种期权来管理利率风险。
例如，如果交易者预计美国30年期国债收益率会有一定的上涨，他可以采取“出售价差”的策略，出售一个看跌期权的同时，购买一个到期日相同，执行价格较低的看跌期权。“出售价差”的目的是限制风险并取得收入。这一策略的最大损失是两个执行价格的差额再减去销售价差的收入。
债券期权与利率期权
例子：假如前例中的TYX的执行价格依然是70，市场普遍预计国债30年期收益率将从7%上涨到%。交易者销售1张剩余期限3个月，执行价格为75的TYX看跌期权合约（期权价格为），同时购买1张同样剩余期限，执行价格为70的TYX看跌期权合约（期权价格为）。交易者上述策略的收入是××100=350。该策略的最大亏损是（75-70）-(- )=，即最大损失是×100=150。该策略的盈亏平衡点是。
债券期权与利率期权
净收益=350
净收益=-50+350=300
净收益=-450+350=-100
净收益=-500+350=-150
期权多头收益=0
期权多头收益=0
期权多头收益=0
期权多头收益=（）×100=250
期权空头收益=0
期权空头收益=（-75）×100=-50
期权空头收益=（-75）×100=-450
期权空头收益=（67-75）×100=-750
75＜结算价格=76
(对应收益率%)
＜结算价格=＜75
(对应收益率%)
70＜结算价格=＜
(对应收益率%)
结算价格=＜70(对应收益率%)
债券期权与利率期权
上表显示，出售价差策略的最大损失是150，随着结算价格的上涨（长期国债利率的上涨）策略的净收益开始上升，最后当结算价格很高时（大于75），策略实现了最大的利润350。出售价差策略属于比较温和的策略，通过主动放弃一部分高风险收益，来获得安全有限的收益，这与单纯购买或者出售期权有所不同。
债券期权与利率期权
债券期权大多数属于欧式期权，因此其定价可以参照欧式期权定价公式来进行。
如果债券期权是以债券的收益率期权为表现形式的，则可以先根据债券价格和到期收益率之间的换算公式换算除债券价格，再利用欧式期权定价公式计算。
债券期权与利率期权
c和p分别代表欧式看涨期权和欧式看跌期权，P（0，T）代表期权有效期间的贴现因子，K代表执行价格（可以为全价执行价格，也可以是净价执行价格。前者意味着不考虑累计利息，而后者意味着计算累计利息），T代表期权有效期，B代表债券价格未来（期权到期时的）波动率，FB代表债券在期权到期日时的价格 。这里B0代表债券当前价格，I代表期权有效期间债券发放的票息的贴现值。
债券期权与利率期权
例子：试计算欧式债券看涨期权的价值。该欧式债券看涨期权有效期9个月，基础资产为面值1000美元，剩余期限为年，票息率为%（1年付息2次）的美国国债，当前债券的价格（全价）为920美元。期权执行价格为1000美元，9个月的无风险利率为%，债券价格9个月以后的年波动率为9%。预计将在2个月和8个月后分别收到两笔28美元的利息，假设2个月的无风险利率为4%，8个月的无风险利率为6%，那么这两笔利息的现值是
债券在期权到期时的价格为
债券期权与利率期权
P（0,T）=。本例中“期权执行价格为1000美元”有两种理解：一是理解为全价执行价格，直接代入公式计算即可。还有一种理解为净价执行价格，此时必须计算期权到期时已经累计起来的利息，所以K=1000+28=。则将这些数字期权定价公式。可以分别计算出两种情况下看涨期权的价值是美元和美元。
债券期权与利率期权
利率上限与利率下限
利率上限与利率下限都属于“利率期权”，即期权的标的物是利率。由于债券很大程度上也可以看作是利率衍生物，所以利率期权可以看作是债券的衍生品中的一类。
债券期权与利率期权
合约的特点
利率上限是这买卖双方达成的一项协议，该协议规定买方支付了一笔费用之后，有权从卖方那里获取由实际利率超过上限利率引起的利息支付。
债券期权与利率期权
例如，某借款人（利率上限的买方）打算按照LIBOR利率借款100000元，期限3年，LIBOR利率每半年重设一次。假设该借款人希望支付的最大年利率为4%，他可以考虑购买上限利率为4%的利率上限。如果购买利率上限后，LIBOR利率下一期上涨到了5%，则他能够从利率上限的卖方那里获取的利息为：100000（5%-4%）=500（元）。如果又过了一期，LIBOR利率为3%，则买方从卖方那里获取的利息为零。
0
1
2
4%
3
5%
5%
3%
3%
一个假设的3年期利率上限合约。
债券期权与利率期权
债券期权与利率期权
定价
利率上限的价格，是各个子期限期权价格的总和。所以，定价问题就是求得各个子期限看涨期权的价格问题。令L为合约面值，合约期限为T，R*为上限利率，利率重设日为t1,t2,…，tn-1,tn，tn+1=T。令Rk为（tk,tk+1）期间的市场利率，1kn。那么在tk+1时刻买方得到的支付是一个看涨期权在tk+1时刻的价格
债券期权与利率期权
若Rk服从对数正态分布（期权定价模型的前提条件），其波动率是k，则一个子期间看涨期权的价格是
其中Fk是（tk,tk+1）期间的远期利率，P（0，tk+1）是（0，tk+1）期间的贴现因子。相应地，这个子期间利率下限的期权价格为
债券期权与利率期权
例子：某利率上限的本金金额为10000，上限利率为6%（1年支付2次），合约生效已经过了一年，利率重设期为6个月，参考利率为LIBOR。假设LIBOR互换利率期限结构为水平形状，为5%（1年支付2次），3个月远期利率的波动率为10%，所有期限的连续复利率为%。根据上述公式，Fk=，k=，L=10000，R*=，tk,=1，tk+1=，P（0，tk+1）=exp()=，k=。
债券期权与利率期权
而这个子期间看涨期权的价格就是
把每个子期间的期权的价值相加总，就得到了整个利率上限的价值。
