第二篇 预测方法与模型
预测是研究客观事物未来发展方向与趋势的一门科学。统计预测是以统计调查资料为依
据，以经济、社会、科学技术理论为基础，以数学模型为主要手段，对客观事物未来发展所
作的定量推断和估计。根据社会、经济、科技的预测结论，人们可以调整发展战略，制定管
理措施，平衡市场供求，进行各种各样的决策。预测也是制定政策，编制规划、计划，具体
组织生产经营活动的科学基础。20 世纪三四十年代以来，随着人类社会生产力水平的不断
提高和科学技术的迅猛发展，特别是近年来以计算机为主的信息技术的飞速发展，更进一步
推动了预测技术在国民经济、社会发展和科学技术各个领域的应用。
预测包含定性预测法、因果关系预测法和时间序列预测法三类。本篇对定性预测法不加
以介绍，对后两类方法选择以下几种介绍方法的原理、模型的建立和实际应用，分别为：时
间序列分析、微分方程模型、灰色预测模型、人工神经网络。
第五章 时间序列分析
在预测实践中，预测者们发现和总结了许多行之有效的预测理论和方法，但以概率统计
理论为基础的预测方法目前仍然是最基本和最常用的方法。本章介绍其中的时间序列分析预
测法。此方法是根据预测对象过去的统计数据找到其随时间变化的规律，建立时间序列模型，
以推断未来数值的预测方法。时间序列分析在微观经济计量模型、宏观经济计量模型以及经
济控制论中有广泛的应用。
第一节 时间序列简介
所谓时间序列是指将同一现象在不同时间的观测值，按时间先后顺序排列所形成的数列。
时间序列一般用 来表示，可以简记为 。它的时间单位可以是分钟、时、
日、周、旬、月、季、年等。
,,,, 21 nyyy }{ ty
一、时间序列预测法
时间序列预测法就是通过编制和分析时间序列，根据时间序列所反应出来的发展过程、
方向和趋势，进行类推或延伸，借以预测下一段时间或以后若干年内可能达到的水平。其内
容包括:收集与整理某种社会现象的历史资料；将这些资料进行检查鉴别，排成数列；分析
时间序列，从中寻找该社会现象随时间变化而变化的规律，得出一定的模型，以此模型去预
测该社会现象将来的情况。
二、时间序列数据的特点
通常，时间序列经过合理的函数变换后都可以看作是由三个部分叠加而成，这三个部分
是趋势项部分、周期项部分和随机项部分。
1. 趋势性
许多序列的一个最主要的特征就是存在趋势。这种趋势可能是向下的也可能是向上的，
也许比较陡，也许比较平缓，或者是指数增长，或者近似线性。总之，时间序列的趋势性是
依据时间序列进行预测的本质所在。
2. 季节性/周期性
当数据按照月或季观测时，通常的情况是这样的:时间序列会呈现出明显的季节性。对
季节性也不存在一个非常精确的定义。通常，当某个季节的观测值具有与其它季节的观测值
明显不同的特征时，就称之为季节性。
3. 异常观测值
异常观测值指那些严重偏离趋势范围的特殊点。异常观测值的出现往往是由于某些不可
抗拒的外部条件的影响。如 年自然灾害和 年左右“文化大革命”对我国经济
的影响，造成经济指标陡然下降现象； 年，我国银行紧缩政策造成的房地产业泡沫破
灭，而使得房地产业的经济数据发生突然变化的例子等等。
4. 条件异方差性
所谓条件异方差性，表现出来就是异常数据观测值成群地出现，故也称为“波动积聚
性”。由于方差是风险的测度，因此波动存在的积聚性的预测对于评估投资决策是很有用的，
对于期权和其它金融衍生产品的买卖决策也是有益的。
5. 非线性
对非线性的最好定义就是“线性以外的一切”。非线性常常表现为 “机制转换”(regime
witches)或者“状态依赖”(State pendence)。其中状态依赖意味着时间序列的特征依赖于其现时
的状态;不同的时刻，其特征不一样。当时间序列的特征在所有的离散状态都不一样时，就
成为机制转换特性。
三、时间序列的分类
1. 按研究的对象的多少可分为单变量时间序列和多变量时间序列。
如果所研究的对象是一个变量，如某个国家的国内生产总值，即为单变量时间序列。果
所研究的对象是多个变量，如按年、月顺序排列的气温、气压、雨量数据，为多变量时间序
列。多变量时间序列不仅描述了各个变量的变化规律，而且还表示了各变量间相互依存关系
的动态规律性。
2. 按时间的连续性可将时间序列分为离散时间序列和连续时间序列。
如果某一序列中的每一个序列值所对应的时间参数为间断点，则该序列就是一个离散时
间序列。如果某一序列中的每个序列值所对应的时间参数为连续函数，则该序列就是一个连
续时间序列。
3. 按序列的统计特性可分为平稳时间序列和非平稳时间序列两类。
19601958 1966
1992
如果某个时间序列的概率分布与时间 无关，则称该序列为严格的（狭义的）平稳时间
序列。如果序列的一、二阶矩存在，而且对任意时刻 满足:
（1）均值为常数
（2）协方差为时间间隔的函数
则称该序列为宽平稳时间序列，也叫广义平稳时间序列。反之，不具有平稳性，即序列均值
不为常数或协方差与时间有关的序列称为非平稳序列。
4. 按序列的分布规律可分为高斯型时间序列和非高斯时间序列。
服从高斯分布(正态分布)的时间序列叫做高斯时间序列，否则叫做非高斯型时间序列。
对于一些非高斯序列，往往可以通过适当的变换，可近似地看成是高斯型时间序列。
四、常用的时间序列分析法
时间序列分析预测分为确定性时序分析预测方法和随机性时序分析预测方法两大类。
1. 确定性时序分析
若一个时间序列的未来值被某一个数学函数严格确定，例如： 这种形式，
则称该时间序列为确定性的。确定性时间序列分析模型主要包括：移动平均模型、二次滑动
平均模型、指数平滑模型、二次指数平滑模型和三次指数平滑模型。
2. 随机时间序列分析
若一个时间序列的未来值只能用概率分布加以描述，则称之为非确定性的时间序列或称
随机时间序列。随机时间序列分析模型分为三种类型：自回归模型（Auto-regressive
Model）、滑动平均模型（Moving Average Model）和自回归滑动平均模型（Auto-regressive
Moving Average Model）。随机时序分析以随机过程理论作为其数学基础，通过对时序数据
进行分析，完成对时序系统的预测、建模和控制。
五、针对时间序列数据的建模步骤
时间序列模型最主要的特征就是承认观测值之间的依赖关系和相关性，它是一种动态模
型，能够应用于动态预测。
时间序列预测方法的一般步骤为：
1. 确定预测目标
明确预测的目标是进行有效预测的前提。预测的目标不同，所需的资料和采用的预测方
法也有所不同。有了明确具体的预测目标，才能有的放矢地收集资料。预测目标的确定应尽
量明细化、数量化，以利于预测工作的顺利开展。
2. 收集资料并进行数据的预处理
准确调查的统计资料是统计预测的基础。预测之前，必须掌握大量的、全面的、准确有
用的数据和情况。为保证统计资料的准确性，必须对资料进行审核、调整和推算。比如缺损
值问题，它破坏了系统运行的连续性，特别是对于时间序列来说，缺损值违背了时间序列“顺
序的重要性”原则。严格来说，不能依据一个“残缺”的序列进行分析，即使强制进行了分析，
其结果也是无意义的。因此必须对缺损值进行预处理：如缺失较少，且缺失数据前后无大的
波动，则可用平滑法、发展速度推算法、比例推算法、插值估算法等方式填充
数据。这些方式既完善了数据，也不会使数据信息丧失太多。对于数据缺失较多的情况，如
时间序列中连续一段时间缺失数据，就不能简单地用平滑的方式填充，因为这样可能丧失很
重要的信息，这种情况下建模毫无意义，只能通过其他途径重新收集资料。此外，还要对序
t
t
)2cos( fty
列中每一个数据的指标口径、计算范围、计算方法、计量单位等进行认真检查，若存在不一
致，则要运用科学的方法进行调整，使整个序列中的每一个数据除时间属性不同之外，其所
代表的实际意义完全一致。
3. 对资料进行初步分析
对经审核的数据应进行初步分析，画出统计图形，以观察统计数据的性质和分布，以此
作为选择适当预测模型的依据。
（1）观察统计图形是否具有大的波动，如果存在，可能是数据采样时的误差，也可能是
某些经济、政治等偶然性因素的冲击。特别是在国际期货、现货市场上，这种偶然性更是经
常发生，使得期货市场呈现较大波动，现货市场也随之波动。这种冲击或误差造成的结果可
能是结构性突变，在统计图形上就表现为突然的持续上涨或下降。不论是什么原因引起的，
如果建模时忽略结构性突变，可能会得到虚假的结论，即伪结论。
（2）观察其统计图形的大致走势，是否具有趋势性、季节性、周期性或随机性的特征，
以初步判断这个序列适用哪种时序预测模型。
4. 选择预测方法
一方面，通过对资料数据的整理、分析，清楚地了解到预测对象的变化情况；另一方面
通过对各种时序预测方法在合适性、费用和精确度方面的综合衡量，我们就可以选择出适当
的预测方法。
5. 预测和结果评价
进行预测时，不能简单地依靠某一理论或套用某一模型加以预测，要综合考虑各方面的
情况，因为实际情况错综复杂，影响因素众多。借助于经验判断、逻辑推理、统计分析等方
面的预测判断，能够使预测的结果更为合理，从而得出最后的预测结果。对预测结果的评价
主要是通过对预测误差的分析进行的。分析预测的误差时要考虑以下两种情况：一是理论预
测误差，即在选用预测方案之前，利用数学统计模型所估计的理论预测值，与同期的实际观
察值相比而产生的误差，然后分析、改进，选择较为合适的数学统计模型。二是实际预测误
差，即在选用预测方案之后，追踪、检查预测方案的结果是否合乎实际的情况，分析预测误
差的大小以及所造成的原因，总结经验教训，进一步改进今后的预测工作。对预测结果的评
价，主要从统计检验和直观判断两个方面着手来判断预测结果的可信度、是否跟实际情况相
吻合等，然后根据对预测结果的分析与评价，确定最终的预测值。
六、时间序列的优、缺点
1. 优点
（1）时间序列预测法只需要一个变量在不同时刻的观测值即可建模，因而得到广泛应
用。
（2）时间序列预测法没有过于严格的假定条件。
（3）应用随机时间序列分析时，无需一开始就假设一个固定的模式，而是先假设一个
试用模式，然后根据误差等各种信息来判断初步假设的模式是否恰当。如果恰当，则进行预
测；如不恰当，则修正模型。反复这个过程，可在基本模式方面获得一个最优预测模型，使
误差为最小。所以随机时间序列预测方法特别适合于处理复杂的时间序列，以及存在多种模
式的预测情况，它能利用一套明确规定的准则来处理这些复杂的模式。
（4）时间序列是一种精确度很高的短期预测方法，而且既可以做点预测，也可以做区
间预测。
2. 缺点
事实上，大多经济现象的变化发展是千变万化的，在一个较长时间内外界影响因素变化
的可能性较大，而时间序列分析预测法是根据预测对象过去和现在的发展变化规律和趋势来
预测未来的，所以它只能在较短时间内做出有效预测。预测的超前时间一般不应超过时间序
列历史区间的十五分之一。也就是说，假如时间序列采集的历史统计数据的时间区间是五年，
那么最多只能在此后三到四个月内做出较为有效的预测，并且预测时间越长，预测误差越大。
第二节 移动平均模型
移动平均法就是根据历史统计数据的变化规律，使用最近时期数据的平均数，利用上一
个或几个时期的数据产生下一期的预测值。移动平均法是一种常用的确定性时间序列预测法，
本节主要介绍一次移动平均预测法和加权一次移动平均预测法。
一、简单一次移动平均预测法
已知序列 是预测前的实际数据组成的时间序列。如果过早的数据已失去意
义，不能反映当前数据的规律，那么可以用一次移动平均法来作预测。即保留最近一个时间
区间内的数据，用其算术平均数作为预测值。
设时间序列为 ，取移动平均的项数为 ，则第 期预测值的计算公式为：
其中： 表示第 期实际值；
表示第 期预测值（ ）。
预测标准误差为：
上式中， 为时间序列 所含原始数据的个数。
当预测目标的基本趋势是在某一水平上上下波动时，可用一次移动平均法建立预测模型，
即用最近 期序列值的平均值作为未来各期的预测结果。项数 的数值，要根据时间序列的
特点而定，不宜过大或过小。 过大会降低移动平均数的敏感性，影响预测的准确性； 过
小，移动平均数易受随机变动的影响，难以反映实际趋势。一般取 的大小能包含季节变动
和周期变动的时期为好，这样可消除它们的影响。对于没有季节变动和周期变动的时间序列，
项数 的取值要视历史数据的趋势类型而定。一般来说，如果历史数据的类型呈水平型的发
展趋势，则项数 的数值可取较大的数；如果历史数据的类型呈上升（或下降）的发展趋势，
则项数 的数值应取较小的数，这样能够取得较好的预测结果。
例 表 第二行为某种商品一月到十二月的实际销售量。假定未来的销售情况与近
期销售情况有关，而与较远时间的销售情况联系不大，试用一次移动平均法预测下一年一月
份的销售量。
表 某种商品的实际销售量 单位：件
月 份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
实 际
销 售
1500 1725 1510 1720 1330 1535 1740 1810 1760 1930 2000 1858
三个月 1578 1652 1520 1528 1535 1695 1770 1833 1897
nyyy ,,, 21
}{ ty n 1t
n
j
jnt
nttt
tt ynn
yyy
My
1
11)1(
1
1
ty t
1
ty 1t 0t
nN
yy
S
tt
2
11
N }{ ty
n n
n n
n
n
n
n
1 15
15
平滑值
五个月
平滑值
1557 1564 1567 1627 1635 1755 1848
解 用三个月移动平均预测下一年一月份的销售量为
用五个月移动平均值预测下一年一月份的销售量为
由于五个月移动平均值对十二月份的销售量拟合较好（参照表 最后一列），可以认
为预测值 比 准确。
二、加权一次移动平均预测法
简单一次移动平均预测法，是把参与平均的数据在预测中所起的作用同等看待，但实际
中参与平均的各期数据所起的作用往往是不同的。为此，需要采用加权移动平均法进行预测，
加权一次移动平均预测法是其中比较简单的一种。
计算公式如下：
其中： 表示第 期的实际值；
表示第 期预测值；
表示权数；
表示移动平均的项数。
预测标准误差的计算公式与简单一次移动平均预测法的相同。
例 2 某企业 月份的销售收入时间序列如表 中的第 2 列所示。取 ，并取
权数 ，试用加权一次移动平均预测法预测 12 月份的销售收入。
解
其余依次类推，则
其预测标准误差为
9291
3
930100028581
3
ˆ 10111213
xxx
x
8721
5
81017601930100028581
5
ˆ 8910111213
xxxxx
x
15
8721 9291
n
ntntt
t WWW
yWyWyW
y
21
1121
1
n
i
n
i
iiti WyW
1 1
1
ty t
1
ty 1t
iW
n
111 25 3n
1,2,3 321 WWW
321
132231
4 WWW
yWyWyW
y
123
321
93102111
12 WWW
yWyWyW
y
123
311
S
故第 12 月份销售收入的预测值为 元。其它月份的预测值见表 。
表 单位：万元
移动平均法适合于短期预测。这种方法的优点就在于简单方便，但是对于波动较大的时
序数据，预测的精度不高，误差很大。一般来说历史数据对未来值的影响是随着时间间隔的
增长而递减的，或者数据的变化呈现某种周期性或季节性等特性，所以移动平均法权重的赋
予方式就会使计算结果产生很大的误差。
第三节 指数平滑模型
与移动平均预测法不同，指数平滑法采用了更切合实际的方法，即对各期观测值依时间
顺序进行加权平均作为预测值。本节主要介绍一次指数平滑法和二次指数平滑法。
一、一次指数平滑法
一次指数平滑法是利用前一时刻的数据进行预测的方法。它适用于变化比较平稳，增长
或下降趋势不明显的时间序列数据的下一期的预测。其模型是
月份 销售收入
三个月加权移动平均
预测值
1
2
3
4 4
5 6
6 10
7 7
8 12
9 13
10 1 9
11 1 15
12 1
∑ 80
25
25
11 ˆ)1(ˆ ttt ykkyy
t ty
1
ty
11
tt yy
2
11
tt yy
其中： 表示第 期实际值；
表示第 期预测值；
称为平滑系数， ≤ ≤ 。
式说明只需前一时期的观测值及预测值即可预测本期值。每期预测值虽然只用
了上期的观测值和预测值，但实际上包含了以前各个时刻数据的影响。从而，指数平均法可
看成是移动平均法的推广。
平滑系数 的取值对预测值的影响是很大的，但目前还没有一个很好的统一选值方法，
一般是根据经验来确定的。当时间序列数据是水平型的发展趋势类型， 可取较小的值，一
般在 之间；当时间序列数据是上升（或下降）的发展趋势类型， 应取较大的值，
一般在 之间。在进行实际预测时，可选不同的 值进行比较，从中选择一个比较合
适的。
在实际预测时，还要确定初始值。一般来说，如果只有一期数据或少量数据，没有其它
任何信息，可以取序列的第一个数据为初值；如果数据较多，可以取前几期的数据或前一半
的数据的平均值作为初值；也可以用专家估计方法或其它预测方法预测出的第一期数据作为
初值；如对初值的选取把握不大，开始时可选取较大的 ，以减轻预测值对初值的依赖，过
一段时间后再把 值降下来。
例 1 某仓库 年 月至 月钻头的实际使用量如表 所示，要求对 年 月
钻头需求量进行预测。
表 钻头实际用量表 单位：个
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
使用量 27 35 33 37 35 38 48 41 43 49 37 40
解 假设取上年度（ 年）钻头使用的实际平均值 作为 年 月份的初始预测
值，即 ；取不同平滑系数 ，每个月的预测数据如表 所示。
表 钻头实际用量——预测用量对照
预 测 值
日 期 实 际 用 量
2002 年 1 月
2002 年 2 月
2002 年 3 月
2002 年 4 月
2002 年 5 月
2002 年 6 月
2002 年 7 月
2002 年 8 月
2002 年 9 月
2002 年 10 月
27
35
33
37
35
38
48
41
43
49
35
35
31
33
33
35
35
35
2002 年 11 月
2002 年 12 月
37
40
1ty 1t
ty
t
k 0 k 1
k
k
~0 k
1~ k
k
k
2002 1 12 35 2003 1
35
2001 35 2002 1
35ˆ1 y 、、k 45
45
k k k
2003 年 1 月
二、二次指数平滑法
二次指数平滑预测法是对一次指数平滑值再作一次指数平滑来进行预测的一种方法，但
第 期预测值并非第 期的二次指数平滑值，而是采用下列计算公式进行预测：
其中： 表示第 期的一次指数平滑值；
表示第 期的二次指数平滑值；
表示第 期实际值；
表示第 期预测值；
表示平滑系数；
；
。
初值
、
的取值方法与 的取法相同。
例 2 表 中第 列数据是某股票在 个连续交易日的收盘价，试用二次指数平滑法
预测第 个交易日的收盘价。（ ， ）
表 某股票价格 单位：元
1 0 0
2
3
4
5
6
7
8
9
∑
解 利用公式 计算得到的一、二次平滑值如表 第 3、4 列所示。
因此
1t t
Tbay
SkkSS
SkkyS
ttTt
ttt
ttt
)2(
1
)1()2(
)1(
1
)1(
)1(
)1(
)1(
tS t
)2(
tS t
ty t
Tty
Tt
k
)2()1(2 ttt SSa
21
1 ttt
SS
k
k
b
)1(
0S
)2(
0S 1ŷ
55 2 8
9 )1(0S 1
)2(
0 yS k
55
t ty
)1(
tS
)2(
tS ty
11
tt yy
2
11
tt yy
55
)2(
8
)1(
88 2 SSa
)2(8)1(88 1 SSk
k
b
于是，有
取 ，得到
（元）
故而得到第 9 个交易日收盘价的预测值为 元。
第四节 随机时间序列模型
随机时间序列模型是一种精确度较高的短期预测方法。其基本思想是：某些时间序列是
依赖于时间 的一组随机变量，构成该序列的单个序列值虽然具有不确定性，但整个序列的
变化却有一定的规律性，可以用相应的数学模型近似描述。通过对该数学模型的分析研究，
能够更本质地认识时间序列的结构与特征，达到最小方差意义下的最优预测。本节将对随机
时间序列分析的三种模型的模型识别及参数估计作简要的介绍。
一、自回归模型
若时间序列 为它的前期值和随机项的线性函数，表示为
则称该时间序列 为自回归序列，该模型为 阶自回归模型（Auto-regressive Model），记
为 AR 。
其中：参数 为自回归参数，是模型的待估参数；随机项 是白噪声序列
（ 是 互 相 独 立 的 并 且 服 从 均 值 为 、 方 差 为 的 正 态 分 布 ）； 并 且 随 机 项 与
不相关。
为了表述上式方便引入滞后算子 ，其意义为 ，则模型 可以表示为
其中
， ，…，
进一步有
令
则模型可写为
对自回归序列考虑其平稳性条件，可以从最简单的一阶自回归序列进行分析。假设一
阶自回归序列的模型为 ，同样 ，迭代下去有
对于一阶自回归序列来讲，若系数 的绝对值 ，则称这个序列是渐进平稳的。对于
阶自回归序列来讲，如果是平稳时间序列，它要求滞后算子多项式 的特征方程
TTbay T
1T
Tbay
t
ty
tptpttt yyyy 2211
}{ ty p
)( p
p ,,, 21 t
t 0
2
t
pttt yyy ,,, 21
B 1 tt yBy
tt
p
pttt yByBByy
2
21
1 tt yBy 2
2
tt yyB ptt
p yyB
ttpp yBBB 2211
p
p BBBB
2
211)(
ttyB )(
ttt yy 1 121 ttt yy
3
3
2
2
1 ttttty
1 p
)(B
01 221
p
p zzz
的所有根的绝对值皆大于 1。即 阶自回归序列的渐平稳条件为 。
二、滑动（移动）平均模型
若时间序列 中的 为它前期的误差和随机项的线性函数，可以表示为
则称该时间序列 为滑动平均序列，该模型为 阶滑动（移动）平均模型（Moving Average
Model），记为 MA 。参数 为滑动平均参数，是模型的待估参数。
引入滞后算子 ，同样 可以写为
令
则模型可写为
为使得 MA 过程可以转换成一个自回归过程，需要 收敛。而 收敛的
充分必要条件是 的特征方程
的所有根的绝对值皆大于 1,即 。这个条件是 MA 序列的必须满足的可逆性条件，
而且当这个可逆性条件满足时，有限阶自回归序列等价于某个无限阶移动平均序列。
三、自回归滑动平均模型
若时间序列 中 为它的当前值与前期的误差和随机项的线性函数，则可以表示为
则称该时间序列 为自回归滑动平均序列。又由于模型包含 项自回归模型和 项滑动
平均模型，因此该模型称为自回归滑动平均模型（Auto-regressive Moving Average Model），
记为 ARMA 。参数 为自回归参数， 为滑动平均参数，是模
型的待估参数。引入滞后算子 ， 式可以表示为
对于 ARMA 模型，其平稳性条件同 AR 和 MA 。
四、随机时间序列分析模型（AR，MA，ARMA）的识别
自回归滑动平均模型（ARMA）是随机时间序列分析模型的普遍形式，自回归模型
（AR）和滑动平均模型（MA）是它的特殊情况。关于这几类模型的研究，是时间序列的重
点内容，本节主要介绍模型的识别的方法和进行模型参数估计时常用的一些方法。
1. 自相关函数和偏相关函数
对于 ARMA 模型，在进行参数估计之前，需要进行模型的识别。识别的基本的任务是
找出 ARMA 、AR 、MA 模型的具体特征，最主要的是确定模型的阶，即 ARMA
p 1z
}{ ty ty
qtqtttty 2211
}{ ty q
)(q q ,,, 21
B
ttqq yBBB 2211
q
q BBBB
2
211)(
tt By )(
)(q )(1 B )(1 B
)(B
01 221
q
q zzz
1z )(q
}{ ty ty
qtqtttptpttt yyyy 22112211
}{ ty p q
),( qp p ,,, 21 q ,,, 21
B
tt ByB )()(
),( qp )( p )(q
),( qp )( p )(q
中的 和 ，AR 中的 以及 MA 中的 。识别的方法是利用时间序列样本的
自相关函数和偏相关函数。
（1）AR 的自相关函数
模型
的自协方差函数为
从而有自相关函数
AR 序列的自相关函数是非截尾序列，或称为拖尾序列，所谓的拖尾型是指当 趋
于无穷大时 呈负指数衰减趋于零。换句话说 AR 序列的自相关函数不能在某一步之后
为零，而是按负指数率衰减。自相关函数的拖尾现象是 AR 序列的一个特征。
由 ，利用 ，得到如下方程组：
此 方 程 组 被 称 为 Yule － Walker 方 程 组 。 若 已 知 模 型 参 数 ， 可 求
，然后递推下去，可求得 ；反过来，若已知 ，模型
参数通过求解方程组得到 。
（2）MA 的自相关函数
模型
自相关函数为
由此可见，当 时， 与 不相关，并且 ，这种现象称为截尾。换句话说，
),( qp p q )( p p )(q q
)( p
tptpttt yyyy 2211
)( tktk yyEr
pkpkk rrr 2211
pkpkk
k
k r
r
2211
0
)( p k
k )( p
)( p
kk
11211 pp
22112 pp
02211 ppp
p ,,, 21
p ,,, 21 k )( pk p ,,, 21
p ,,, 21
)(q
qtqtttty 2211
qk
qk
k
r
r
qqkqkk
k
k
0
11
01
22
2
2
111
0
qk ty kty 0k
可以根据自相关系数是否从某一点开始一直为零来判断 MA 模型的阶。
（3）ARMA 的自相关函数
ARMA 的自相关函数可以看作 MA 的自相关函数和 AR 的自相关函数的
混合。当 时，它具有截尾性质；当 时，它具有拖尾性质，当 都不为零时，
它具有拖尾性质。经过推导得到 ARMA 的自协方差函数为
其中
所以，当 时，
ARMA 的自相关函数为
可见，ARMA 的自相关函数 ，当 时，仅依赖于模型参数 ，
以及 。
（4）偏相关函数
所 谓 偏 相 关 函 数 ， 是 随 机 序 列 模 型 的 另 一 个 统 计 特 征 ， 它 是 在 已 知 序 列 值
的条件下，关于 之间关系的度量。
下面以 AR 为例认识偏相关函数的定义。假定先以 AR 去拟合一个序列，然
后又用 AR 去拟合，后者比前者增加了一个滞后变量 。如果 表示后者的自回归系
数，那么相应于滞后变量 的系数就是 ，称为偏自相关系数。根据 AR 的拖尾性
质以及偏自相关系数的含义，可以采用方差最小原则来求得偏自相关系数
由此得到 AR 的主要特征是 时， ，既是 在 以后截尾。
对于 ARMA 与 MA 模型，可以证明它们的偏相关函数是拖尾的。
2. 模型的识别
（1）AR 模型的识别。若 的偏自相关函数 在 以后截尾，即 时，
，而且它的自相关函数 是拖尾的，则此序列是适合自回归模型的序列。
)(q
),( qp
),( qp )(q )( p
0p 0q qp、
),( qp
pkpkkk rrrr 2211
)()1()( 1 qkrkrkr yqyy
0
00
)( 2 k
k
yEkr
k
ktty
qk
pkpkkk rrrr 2211
),( qp
pkpkk
k
k r
r
2211
0
),( qp k qk p ,,, 21
pkkk ,,, 21
121 ,,, kttt yyy ktt yy ,
)( p )1( k
)(k kty kj
kty kk )( p
pj
ppkpjj
kj
当
，当
0
,1,1
)( p pk 0kk kk p
),( qp )(q
)( p ty kk p pk
0kk k
（2）MA 模型的识别。若随机序列的自相关函数截尾，即自 以后 ， ，
而它的偏相关函数是拖尾的，则此序列是适合滑动平均模型的序列。
（3）ARMA 模型的识别。若随机序列的自相关函数和偏相关函数都是拖尾的，
则此序列是适合自回归滑动平均模型的序列。至于模型中 和 的识别，则要从低阶开始
逐步试探，直到定出合适的模型为止。
五、随机时间序列分析模型（AR，MA，ARMA）的参数估计
经过模型识别，确定了时间序列分析模型的模型结构，接着就可以对模型进行参数估计。
AR 、MA 、ARMA 模型参数的估计方法较多，大体上分为三类：最小二乘估
计、矩估计和利用自相关函数直接估计。下面有选择地加以介绍。
1. AR 的最小二乘估计
假设模型 的参数估计值 已经得到，有
残差的平方和为
根据最小二乘原理，所要求的参数估计值 应该使得 达到极小。所以它
们应该是下列方程组的解：
即
解该方程组，就可得到待估参数的估计值。
2. MA 模型的矩估计
将 MA 模型的自协方差函数中的各个量用估计值代替，得到
)(q q 0k qk
),( qp
p q
)( p )(q ),( qp
)( p
p
,, 21
tptpttt yyyy
2211
2
1
2211
1
2
n
pt
ptpttt
n
pt
t yyyyS
p
,, 21
pj
S
j
,,2,10
，
0
1
2211
jt
n
pt
ptpttt yyyyy pj ,,2,1
)(q
)(q
qk
k
qk
r q
qkqkk
k
0
01
1ˆ
ˆ
22
2
2
1
2
11
2
利用实际时间序列提供的信息，首先求得自协方差函数的估计值，于是 是一个包含
个待估参数估计值 的非线性方程组，可以用直接法或迭代法求解。
常用的迭代法有线性迭代法和 Newton-Raphsan 迭代法。具体的求解过程不再赘述，读者可
参考其它时间序列分析的教科书。
3. ARMA 模型的矩估计
在 ARMA 中共有 个待估参数 与 以及 ，
其估计量计算步骤及公式如下：
（1）估计
其中 是样本的自相关函数的估计值，由观测数据计算得到。
（2）改写模型，求 及 的估计值
将模型 改写为
令
于是上式可以写成
构成一个 MA 模型。按照估计 MA 模型参数的估计方法，可以得到 及
的估计值。
第五节 随机时间序列模型应用
时间序列模型的应用是广泛的，下面通过一个例子探讨如何利用样本建立时间序列模型，
并通过时间序列模型对某种经济现象进行分析和预测。
一、时间序列模型的计算公式
设有模型 ，如果 表示在已知 的条件下，对 作出的预测值，称它
为 步预测，其 步预测误差为：
并且最优的预测值就是其条件期望值：
假设有一平稳可逆的 ARMA 模型，它可以表示为三种等价形式：
)1( q 221 ˆ,,,, q
),( qp
),( qp )1( qp p ,,, 21 q ,,, 21
2
p ,,, 21
pq
q
q
qpqpq
pqqq
pqqq
p
2
1
1
21
1
11
2
1
k
q ,,, 21
2
qtqtttptpttt yyyy 22112211
ptptttt yyyyy
2211
~
qtqtttty 2211
~
)(q )(q q ,,, 21
2
ty )(ˆ lyt ,, 1tt yy lty
l l
)(ˆ)( lyylu tltt
),,,()(ˆˆ 11 yyyyElyy ttlttlt
),( qp
其中： ；
。
如果考虑向前 步预测，也就是说用第 期及前期的序列观测值，即 对未来时
刻 的序列 的值进行估计。假设以时刻 为起点， 步的预测值为 ，并假设
显然这种预测是线性的，选择系数 ， 使得预测误差 的方
差达到最小，即使 达到最小。于是就称 为线性最小方差预
测。由式 和 有
这样
由上式知当 时，预测误差的方差最小，且有
由此可以看出预测误差同预测的起点无关，而是随 增大而增大。这样预测值可表示为：
利用条件期望的基本性质，不难推导出 ARMA 模型的预测的更简明的公式。譬如：
一步预测公式：
=
=
tt ulyl )()(
tt uly )(
tt ylu )(
1
1 1)()()(
j
j
jllll
1
1 1)()()(
j
j
jllll
l t ,, 1tt yy
lt lty t l )(ˆ lyt
22110)(ˆ tttt ycycycly
jc ,2,1,0j )(ˆ)( lyyl tltt
22 )](ˆ[))(( lyyElE tltt )(ˆ lyt
2211)(ˆ tltltlt uuuly
2
01
2 ][))((
j
jtjl
j
jltjltt uuuElE
2
0
2
1
22
1
2
1 )()1( u
j
jljul
)2,1,0(
jljlj
))(( 2 lE t
22
1
2
1 )1( ul
l
0
2211)(ˆ
j
jtjltltltlt uuuuly
),( qp
),,,()1(ˆ 111 yyyyEy tttt
),,,( 11
1
11
1
11 yyyuyuyE t
q
j
ttjtj
p
j
tjtj
11211121
ˆˆˆˆˆˆ
qtqttptptt uuuyyy
其中 是可计算的观测残差。
二步预测公式：
=
类似的可以求出 3 步直至 步预测公式。
步预测公式为：
=
特别是当 时，则式 就为
=
二、时间序列模型的应用
例 1 ARMA（1，1）模型预测值的计算。
假设模型为
已知 的现在值 和 时刻以前的值 ，求一步预测值 和二步预测值 。
解 根据上面的公式，我们有
利用 在 时刻的值 以及 时刻以前的值 通过所给定的模型 来计
算 。由于所给的模型满足平稳可逆条件，所以 分别在平稳与可逆域内。为了求出
的表达式，将所给的模型改写成为
从而有
=
=
由于 ，所以当 时，上式右边第一项趋于零，这样得到
,, 1tt uu
),,,()2(ˆ 112 yyyyEy tttt
22221
ˆˆˆˆ)1(ˆˆ qtqtptptt uuyyy
l
l
)(ˆ lyt lqtqtllptpt uuyly ˆˆˆ)1(ˆ1̂
qlpl ,
)(ˆ lyt )(ˆˆ)1(ˆ1̂ plyly tpt
tttt uuyy 1111
ty ty t 11 ,, yyt )1(ˆ ty )2(ˆ ty
111 ,,,)1(ˆ yyyyEy tttt
11111 ,,, yyyuuyE ttttt
tt uy 11
ty t ty t 11 ,, yyt
tu 11, tu
ttttt yyuyu )()()( 1111
111111 )()( ttttt yyuyu
1112112211 )(])()([ tttt yyyu
1
1
111
0
00
0 )()(
t
tj
j
jt
tt
tt yyu
11 0t
将式 代入式 得到
公式 可以修改为逆推方程的形式
这里 是在时刻 时一步预测。同理可求二步预测值 。
例 2 我们考察某种商品的销售情况，假设某种商品销售量已进入稳定状态期，销量的
数据记录可以认为是一个平稳随机序列。现利用 50 个月的销售记录，通过整理得到月平均
销售量为 30 万件，月销售量与平均值的差（简称“月销售量距平”）的数据如表 所示。
表 月销售量与平均销售量的差 单位：万件
序号 月销量距平 序号 月销量距平 序号 月销量距平 序号 月销量距平
1 14 27 + 40 +
2 15 28 + 41 +
3 16 29 + 42 +
4 17 + 30 + 43
5 18 + 31 + 44 +
6 19 + 32 + 45 +
7 20 + 33 46 +
8 21 + 34 + 47 +
9 22 + 35 48
10 23 + 36 49
11 24 + 37 50
12 25 + 38
13 26 + 39 +
解 利用表 中的数据建立时间序列模型，并且利用它来作预测分析。
首先根据自相关函数和偏相关函数的计算公式估算由表 中数据作为样本序列的自
1
1
111 )(
t
j
j
jt
tt yyu
t
j
j
jt
t
j
j
jt
ttt
y
yyyy
111
1
1
111111
)(
)()1(ˆ
))(()1(ˆ
1
111
t
j
j
jt
tt yyy
))((
1
1
1111
t
j
j
jt
t yy
tt yy )()1(ˆ 1111
)1(ˆ 1ty 1t )2(ˆ ty
65
65
t tY t tY t tY t tY
65
65
相关函数值和偏相关函数值。计算结果如表 所示。
表 自相关函数和偏相关函数
1 7
2 8
3 9
4 10
5 11
6 12
由表 可看出， 的值随着 的增大而变小，呈衰减的趋势，也就是逐渐收敛于零，
所 以 ， 可 以 认 为 它 是 拖 尾 的 。 而 在 大 于 2 以 后 ， 在 零 的 附 近 波 动 ， 而 且
的点一个也没有，因而可以认为 以后是截尾的。
根据 AR 模型的识别准则，由上述样本数据我们可以判断该序列是 AR(2)序列。其模型
的形式为
现在对参数 作出估计，由式 有
解此方程组得 ，
这样由一步预测公式得到一步预测方程为
二步预测方程为
三步预测方程为
应用上述的预测方程，固定 ，进行一步、二步、三步预测，并与实际观测值相比较，
得到的结果如表 所示。
表 预测值与实测值比较
实测值 一步预测值 二步预测值 三步预测值
46
75
75
k kk k
k kk k
75 k
k
kk k
50
2
kk kk
tttt yyy 2211
21,
ˆˆ
ˆˆ
21
21
̂ ̂
)1(
ttt yyy
ttt yyy )1()2(
ttt yyy
)2()3(
47t
85
85
t
ty )1(ty
)2(ty
)3(ty
47
48
49
50
习题五
1. 我国 年的蜂蜜产量如表 所示（单位：吨），试用移动平均预测
（ ）对蜂蜜产量进行预测，比较预测值和实际值，并用此时的 预测出我国 1998 年蜂
蜜的产量。
表
年份 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
实际产量 4529 4012 3052 2640 2600 2899 2801 3038 2964 2934
2．我国 年的人均粮食产量如表 所示（单位：公斤），假定我国在 1997
年的人均粮食产量只与此前两年的人均粮食产量有关，且 1995 年人均粮食产量所占的权重
是 ，试利用加权一次移动平均预测法来预测我国在 1997 年的人均粮食产量。
表
年份 1985 1986 1987 1988 1989 1990
人均粮食
产量
年份 1991 1992 1993 1994 1995 1996
人均粮食
产量
3．我国 年的人均糖料产量如表 所示（单位：公斤），试令 和
，利用指数平滑法预测 2001 年我国人均糖料产量。
表
年份 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00
人均产量 52 64 73 76 65 62 65 69 76 79 66 60
4．我国 年的水田种植面积如表 所示（单位：万公顷），试用下列方法
对我国 2000 年水田种植面积进行预测，并比较预测值与实际值，说明哪种方法更优。
（1）移动平均预测法（ ） （2）指数平滑法（ ）
表
年 份 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
实际种植面积
5．我国 年人均茶叶产量如表 所示（单位：公斤），试建立一阶自回归
模型 AR(1)，并预测 年各年的人均茶叶产量。
)2(47
y )3(47
y
19971988 — 95
5k k
95
19961985 — 105
105
20001989 — 115 k
115
19991990 — 125
3k k
125
19991980 — 135
20042000 —
表
年 份 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989
实际产量
年 份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999
实际产量
6．某市 年新鲜蔬菜月销售量如表 所示（单位：公斤），试建立模型对
2000 年的后 6 个月的月销售量进行预测。
表
年 份 1999-1 1999-2 1999-3 1999-4 1999-5 1999-6 1999-7 1999-8 1999-9
实际销量 6 241 7 275 8 619 11 859 22 116 20 191 26 390 19 057 24 498
年 份 1999-10
1999-1
1
1999-12 2000-1 2000-2 2000-3 2000-4 2000-5 2000-6
实际销量 25 021 69 643 7 859 7 053 7 106 9 764 13 818 22 998 21 081
7. 选择合适的随机序列模型拟合 年北京市夏季 8 月份平均温度序列。
表
年份 温度 年份 温度
1949 1961
1950 1962
1951 1963 39
1952 1964
1953 37 1965
1954 1966
1955 1967
1956 1968
1957 1969
1958 1970
1959 1971
1960 1972
8. 已知某地区每年常驻人口数量近似服从 MA(3)模型（单位：万），最近 3 年的常驻人口数
量及一步预测数量如表 所示，预测未来 5 年该地区常住人口数。
表
年份 统计人数 预测人数
2002 104 110
2003 108 100
2004 105 109
9. 对 年中国社会消费品零售总额序列（数据见表 ）进行确定性时序分
析。
135
20001999 — 145
145
19721949 —
155
165
165
20001993 — 175
表
1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000
1 1 1 1 2 2 2 2
2 1 1 1 2 2 2 2 805
3 1 1 1 2 2 2 2 627
4 1 1 1 2 2 2 2 572
5 1 1 1 2 2 2 364 2 637
6 1 1 1 1 966 2 2 326 2 2 645
7 1 1 1 2 2 2 2 597
8 1 286 1 1 2 2 2 2 636
9 1 1 1 756 2 2 2 2 2 854
10 1 1 1 818 2 2 348 2 536 2 3 029
175
