第四讲 VNM效用函数与风险升水 第四讲 ′′u(w)1 考察的是阿罗-帕拉特的绝对风险回避指数：R(w)=− a′u(w)′′u(w)−bw2−bw′′′ 由题设可知：u(w)=abe；u(w)=−abe则R(w)=−=b a′u(w)2 未必，其实1题就是一个很好的反例，其实，这是老生常谈的数学问题：一个函数的原函数是无穷多的； ′′u(w)R(w)=−=c a′u(w)′′′′[u(w)]du(w)1du(w)则 =⋅=−c；即 =−c⋅dw ′′′u(w)dwu(w)u(w)两边积分 ′ ln[u(w)]=−c⋅w+C 1du(w)−cw=C⋅e 2dwC−cw−cw2u(w)=−e+C⇒u(w)=−Ce+C 3c（C、C、C与C为任意常数） 123在这里，我们要再次强调：在讨论消费者偏好时，我们只要求消费者能对所有的消费组合按偏好次序作出一致的排列，效用值本身不没有什么意义，通过单调变化，就可得出同一消费者的各种效用函数，所以，消费者的效用函数不是唯一的； 144 E(w)=×900+×100=260 55u(w) 至于此人的效用函数，由题设可知，在同样的效用水平，其期望收入小于确定值收入； 也就是说，当期望收入等于确u(Ew)u(w)2定值收入时，期望收入所带来的效••用水平大于确定值收入所带来的效 用水平，由此可知此人 为风险爱好•u(w)1者； 其效用函数只要满足′′u(w)>02就行，如等。 u(w)=wwww12 3 由题意：′′′u(w)=1−2αw；u(w)=−2α则阿罗-帕拉特的绝对风险回避指数：4-9-1 12/13/2005 5:47:34 PM
第四讲 VNM效用函数与风险升水 2′′u(w)2α4α′R(w)=−=；R(w)=>0，由此可知，阿罗-帕拉特的绝对aa2′u(w)1−2αw(1−2αw)风险回避指数是财富的严格增函数。 ′′u(w)5 考察的是阿罗-帕拉特的绝对风险回避指数：R(w)=−是否小于零 a′u(w)′′u(w)β−1β−1′ （1）R(w)=−=−；R(w)=<0 aa2′u(w)w+α(w+α)′′u(w)（2）R(w)=−=0； a′u(w)′′u(w)11′（3）R(w)=−=；R(w)=−<0 aa2′u(w)w+α(w+α)′′u(w)22′ （4）R(w)=−=−；R(w)=>0 aa2′u(w)ww6 假定两场火灾是否发生是相互独 u(w)立的，而且无论哪一场火灾发生，消费•者只能购买一份保险，此消费者的主要 u(w)u(Ew)••的标准为效用。 但这主要说明的是，这时消费者•先有投保的要求，而保险公司开始并没有提出索价。所以，消费者只能根据自 己的期望效用来确定自己所能放弃的最大金额，而不是根据损失金额和火灾出现的概率的乘积的金额来做标准。 ww 上图中的绿箭头为消费者愿意提供的最大金额，蓝箭头为保险公司的公平保险金额。紫箭头为保险公司所得的利润。 如果保险公司提供公平保险价格，整个社会得到了帕累托效用改进。 91Eu=160000+(90000+40000)=385 1020当此人购买保险时，他的标准为投保后的期望效用不小于之前的期望效用；即： −7620−R+−R≥385 R≤11004 由上可知，消费者愿意提供的最大金额为11004元。 4-9-2 12/13/2005 5:47:34 PM
第四讲 VNM效用函数与风险升水 进一步提问：如何求解方程？ 首先，我们将方程改为： −7620−R+−R=385 当我们放大方程左边时，即把R+7620看成R时，方程变为： 160000−R>385； 此时，我们可得出： R<11775； 而当我们缩小方程左边时，即把R看成R+7620时，方程变为： 160000−7620−R<385； R>4155； 由上可知，R的取值范围： 4155<R<11775； 现在，我们 “异想天开”的认为： R*=×4155+×11775=11013 当我们把R*=11013代入方程得： −7620−R*+−R*≈ 通过不断的捣鼓（其中一个简便的办法是把根号取整）；我们会得到其答案； 9根据十八讲的P58-59的内容，我们可为A,B,C,D构造期望效用函数，有条件可知， C~+ u(A)=1;u(B)=;u(C)=;u(D)=0 7 设 U=U(10000)；U=U(1000)；U=U(0) 1231严格偏好于2：U+9U>2U+6U+2U； 121233U>U+2U 2133严格偏好于4：2U+6U+92U>U+9U+90U； 1231233U<U+2U 213由此，我们可知他的选择不是一致的； 12 如果此人参赌，那么他的期望效用最少要与不参赌时的效用一致，这是他的底线； πln(w+x)+(1−π)ln(w−x)=lnw π1−π对参赌额进行求导： = w+xw−xx=2π⋅w−w 1当π=时，此人的参赌额为： x=0 24-9-3 12/13/2005 5:47:34 PM
第四讲 VNM效用函数与风险升水 另一种做法： 此消费者追求最大化VNM函数，其中x=x(π)，从第一种做法，我们可知参赌额与获胜概率之间是存在联系的；这时，他是追求期望效用最大化，而不是只要 “保本”；这才是他的最优选择： Max πln(w+x(π))+(1−π)ln(w−x(π)) 设W=w−x；则w+x=W+2x；原式变为： Max πln(W+2x(π))+(1−π)ln(W) ′2πx(π)对求π一阶导，得： ln(W+2x(π))+−ln(W)=0 W+2x(π)W2πdxln= W+2x(π)W+2xdπ1W+2x(π)dπlndx= W+2x(π)W2π1W+2x(π)dπ两边积分： lndx= ∫∫W+2x(π)W2π122cW+2x(π)= lnπ122c把W=w−x代入得： w+x(π)= lnπ122cx(π)=−w lnπ因为当π=0时，消费者不会参赌，x=0，当π=1时，消费者会把全部财产都赌上，x=w代入上式都不能解出c，这是因为题目中没有给出初始值，所以在这里保留c或令c=1，则分别得出： 11222c2x(π)=−w；x(π)=−w lnπlnπ1当π=时，代入得： 211222c2x(π)=−w；x(π)=−w≈−w 11lnln224-9-4 12/13/2005 5:47:34 PM
第四讲 VNM效用函数与风险升水 进一步提问：这个答案合理吗？ 因为答案的第一项为常数，当w大于这个常数时，则x为负数；此负数绝对值的大1小我们可理解为：表示此人不愿参赌的程度。由答案，我们可看出即使当π=时，此2人也有可能不参赌，请想一想现实中所发生的情况。 （这道题困扰了我三天，三天之内什么书都没看进， wπ−w−xw−x如果直接解方程，到了′x=ln，我无论如何都不能解出， 22w−xw+x其中，如果没有想到等价代换的话，也许还得自杀一回，好险，好险……） 8由效用函数的性质可知，效用函数为消费束的非减函数，效用函数的比较可等价于期望收益的比较；设三种打赌的期望收入的变化量为： EΔw=p(x−2)+(1−p)(−2)=px−2 1AAAEΔw=0 2EΔw=p(x−2)+(1−p)(−2)=px−2 3BBB由题设的三种排列序，我们可知EΔw>EΔw>EΔw。其中可知，px−2>0；123Apx−2<0；又由0≤p≤1，p+p=1，解不等式得：p>12 BABA（1）我们能得到p>p，而且能得到p>12； ABA（2）消费者为风险回避者时，他会选择参与A的赌博，因为EΔw>EΔw>EΔw由上123可知，px−2>0，则px>2。 AA进一步的问题：如果由多于两匹马的赛跑的话，重复课本的问题： （1）我们只能得到p>p，而不能得到p>12； ABA（2）消费者为风险回避者时，他会选择参与A的赌博，因为EΔw>EΔw>EΔw由123上可知，px−2>0，则px>2。 AA一、为什么不能确定其值？ 因为题中有三个未知数；但只有两个相关不等式，或者说只有一个含有两个未知数的不等式。 二、两匹马赛跑时，当px>2时，消费者真的会参赌吗？ A为了充分的搞清楚这个问题，我们首先要区分消费者的类型： 当消费者为风险回避者时 4-9-5 12/13/2005 5:47:34 PM
第四讲 VNM效用函数与风险升水 当李某人下注在A马上时： • u(Δw)A当概率为零时，其期望收益为-2；当概率为一时，其期望收益为•• x-2； u(Δ0) 两图的区别在其概率不同，从 −2Δ0而导致了纵轴的移动，当概率越大Ew=px−2x−21AΔw时，纵轴越靠左。 我们由上图可知，和EΔw• 1当李某人下注在B马上时： 是分布在-2到X-2之间，只有EΔw3•u(Δw)期望效用大于不赌时的效用时，他B••u(Δ0)才会参赌，这取决于P值和X；即当与的组合分布在EΔwu(EΔw)ii蓝线段或与的组合EΔwu(EΔw) 33Ew −23是分布在紫线段时，他才会参赌。x−2Δ0Δw• 当消费者为风险爱好者时 当李某人下注在A马上时： • u(Δw)A在这，我们需要清楚（效用函数的比较可等价于期望收益的比较）和（效用函数与期望收益的比 Ew −21Δ0较）之间的区别，前者只是定性分x−2析，而后者之间的值则不能等额比Δw u(Δ0)较。 • •• 在图中的收益变动率为零时当李某人下注在B马上时： 即，并不代表或Δ0u(Δ0)u(ΔEw=0)•u(Δw)B等于零，而当Δw时，并不代表>0一定有，只有当u(ΔEw>0)>u(Δ0)时，消费者才会参u(ΔEw)>u(Δ0) 赌（所以，我们应在图中画得尽量Ew −2Δ03x−2••一般化一点，以免误导）。 u(Δ0)Δw• 大家可以画出当消费者为风险中性者时的图形。 由以上分析得： u(ΔEwu )>(Δ0) u(px−2)>u(Δ0)i4-9-6 12/13/2005 5:47:34 PM
第四讲 VNM效用函数与风险升水 px> 2i （此题困扰着我长达二天之久，通过在不断写的过程中，灵感在不断的涌现。） 10（1）Eu(w)=+≈ （2）根据需要函数可知，消费者为风险回避者； （3）根据（1）所得；w=e=e≈;则消费者愿意最多支付的保险金额为： 100000−= （4）公平保险费为25%×20000=5000元，保险公司的纯收入为： −5000= 11（1）由效用函数的性质可知，效用函数为消费束的非减函数，由题设可知，当期望收益（所得货币）小于支付货币时，其期望收益（所得货币）的效用大于支付货币的效用，此时，此人为风险喜爱者。 u(w) o 当消费者购买下价值为的彩票wu(w)•1o时，他有的概率获得的财富；而 pwu(w)•1有剩下的概率这张彩票会打水1−p漂；这时的期望财富小于彩票的价格，而消费者却热衷于此，这说明买彩票o所带来的期望效用大于所带来的效w u(Ew)• 用； o u(w)•从图中，我们可看出，只有当消费者为风险爱好者时，才会使得u(Ew) Eu(w)• o大于。 u(w)w1• o wEww （3）消费者的主要的标准为效用: 111112222Eu=(4+25)=;Eu=×9+×16= 122Eu<Eu;所以此人偏好于第二种收益。 12111112222另一种解法：uE=(4+25)=;uE=(×9+×16)= 122uE>uE;所以此人偏好于第一种收益。 12第二种解法对吗？ 4-9-7 12/13/2005 5:47:34 PM
第四讲 VNM效用函数与风险升水 在这里，我们首先要•• Eu(w)区分一下期望值的效用与2● 期望效用，因为题目是让• ● 我们比较期望收益的效用，这等价于出去风险升水的效用曲线上的某点的• 效用水平，而第二种方法所得的是期望值得效用，之间的区别是存在风险生水和风险升水所带来的效4 9 E2 E1 1 6 25 w 用损失，在两图中可更加清楚地说明题目的意思。 •u(Ew )1•● ● • • 4 9 E2 E1 1 6 25 w （2） 题中只能得出期望•收入相等，但不能得出•期望值得效用相等的结• • • 论。因为此结论中还忽略了方差的存在，即前• •者比后者的变化范围• 小，所以相对平稳，对两者的评价还要看消费• 者对风险的态度如何，•图中可能更加一目了• 然。 • • • 5 10 15 20 25 4-9-8 12/13/2005 5:47:34 PM
第四讲 VNM效用函数与风险升水 1112213 此人的期望效用 Eu=((4+12)+4)=3；出让前后的期望效用应是一致的；则： 212而奖劵的期望效用为Eu=(4+C)=3，C=5则此人出让时的最低价位5元。 14 pu(w)+(1−p)u(w)=u(w) 120−1−1−1pw+(1−p)w=w 120ww12w= 0pw+(1−p)w21（瓦里安 微观经济学 高级教程 经济科学出版社 p209） 4-9-9 12/13/2005 5:47:34 PM
