第二章
第二节
随机变量的概率分布
一、随机变量的分布函数
二、离散型随机变量的分布律
三、连续型随机变量及概率密度
函数
一、随机变量的分布函数
有了随机变量的概念，就可以将上一章中的随机事件转化为随机变量来研究 。
如：掷一枚骰子，设 表示点数不超过3， 表示点数不超过6， 表示点数少于。
显然由上一章知识有:
现在有了随机变量的概念，就可以用随机变量
来表示随机试验。
设 表示掷一枚骰子的点数，则:
下面定义一个很重要的概念――分布函数，这个
函数在以后对随机变量的研究中起着很重要的作用。
由上面的例子可以看出概率值 的大小
与 的取值有关，因此 是 的函数，就将
其定义为随机变量 的分布函数。
称为随机变量的分布函数。
定义：设 为一随机变量， 为任意实数，
当 时， 的取值为1,2,3,4,5,6，不可能小于 ，
则 ；
比如刚才例子，掷一枚骰子，用 表示点数，
求 的分布函数 。
当 时，若 取1则满足 ，有 的概率,
因此 ；
当 时，若 取1或2则满足 ，有 的
概率，因此 ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， 。
综上：
比如求
分布函数 表示 落在 内的概率,
定理 任一随机变量 的分布函数 具有如下性质：
（1） 为非减函数，若 ,则 ；
（2） ， ；
（3） 为右连续函数，对任意实数 有
例1.
判断下列函数是否为分布函数
①
②
不是,因为不满足规范性
不是,因为不满足单调非降性
③
是
其实，若某一函数 满足上述三个性质，一定可以做为某随机变量 的分布函数。可以用此方法判断一个函数是否分布函数。
例2：设随机变量 的分布函数为
试求（1）系数 ；
（2） 落在 内的概率。
解：（1）由性质可得
解得 ，
因此 ；
（2）
。
例3.
设某随机变量的分布函数为:
求:
及
解:
利用右连续性知:
即:
二、离散型随机变量及其分布
若随机变量 的全部可能取值为有限多或可列无穷多，称 为离散型随机变量。
的所有可能取值，事件 的概率
定义 设 为离散型随机变量
称为离散型随机变量 的概率分布或分布律。
分布律经常可写成表格形式：
分布律性质：
(1)
(2)
或
反之，若某一数列 具有以上两条性质，均可做为某离散型随机变量的分布律。
例4： （ 的自然数）
是随机变量 的分布律吗？
解:
由
可得
又
满足以上两个条件，因此是 的分布律。
注：分布函数与分布律的不同之处
分布律描述的是随机变量取某个值的概率；
因此通过分布律可求分布函数
分布函数描述的是随机变量不超过某个值的概率;
例5：进行两次射击，每次命中目标的概率为,用 表示击中目标的次数，求 的分布律及分布函数。
解:
的可能取值为0，1，2
0
1
2
则 的分布函数为
1
2
1
三、连续型随机变量及概率密度函数
定义 设 是随机变量 的分布函数，若存在一个非负函数 ，使对一切 ，有
则称 为连续型随机变量， 为 的概率密度函数或分布密度函数。
概率密度函数 的图像称为分布曲线，则连续型随机变量 的分布函数 的几何意义是:以分布曲线 为顶，以 轴为底，从 到 的一块区域的面积（见下图）。
定理 概率密度函数 具有如下性质
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）若 在 处连续，则 ；
对于定义在 上的可积函数 ，若满足性质（1）和（2），则 必可作为某连续型随机变量的概率密度函数。
证毕
证明：只证（4）
例6：设随机变量 的概率密度函数为
试确定常数 ，并求 的分布函数及 。
解:
由于
即
则
得
所以
下面求 的分布函数
当 时，
当 时，
所以
概率 既可通过分布函数 来求，也可通过概率密度函数 来求
或
例7：设 为一连续型随机变量， 为任意常数，
则 。
证明:
设 的概率密度函数为 ，对任意 ,有
由于
由夹逼准则
注： 并不表示 。
概率为0的事件是有可能发生的.
(几乎不可能事件)
概率为1的事件有可能不发生。
（几乎必然事件）
思考：当 为连续型随机变量时
与
的大小关系.
由例6的结论知:
注：该结论只对连续型随机变量成立，离散型随机变量无此结论。
例7：
设某连续型随机变量的概率密度函数为：
求：
的值，
及分布函数
解：
利用规范性得
注:
概率密度函数
分布函数
