第十二章 保险费率
本章结构
第一节 大数定律及其在保险中的应用
第二节 保险费率厘定的原则与方法
第三节 人寿保险费率的厘定
第四节 财产保险费率的厘定
第一节 大数定律及其在保险中的应用
知识框架
一、大数定律
二、保险运行的数理解释
一、大数定律
大数定律是用来说明大量的随机现象由于偶然性相互
抵消所呈现的必然数量规律的一系列定理的统称，是
保险经营的重要数理基础。
（一）切比雪夫大数定律
设X1,X2,…,Xn,…是相互独立的随机变量序列,且具有
相同的数学期望和方差:EXn=μ,VarXn=σ2(n=1,2,…),
则对于任意的ε>0,都有:
将这一法则运用于保险经营,可说明其含义。
假设有n个被保险人,他们同时投保了n个相互独立的标
的,用Xn表示每个标的发生损失的大小,它是一个随机变
量,且所有X1,X2,…,Xn的期望值相等,即有:
EX1=EX2=…=EXn=μ
如果我们按照保险标的可能发生的损失的期望值计算
纯保费,而把每个Xn视为实际损失,很显然,每个被保险
人的实际损失Xn与其损失期望值μ一般都不会相等,然
而根据大数定律,只要承保标的数量足够大时,投保人所
缴纳的纯保费μ与每人平均所发生的损失Xk几乎相等。
这个结论反过来则说明保险人该如何收取纯保费,即只
有当一个投保人所缴的纯保费等于他的损失期望值时,
才能保证保险人在整体上的收支平衡。
(二)贝努利大数定律
设事件A在一次试验中以概率p发生。以nA表示在n次
独立重复试验中事件A出现的次数,则对于任意的正数
ε>0,有:
贝努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例。在切比
雪夫大数定律中,设每个Xn是服从0-1分布的随机变量,
即:
P(Xn=1)=p
P(Xn=0)=1-p
EXn=p
令nA=X1+X2+…+Xn,则可由切比雪夫大数定律推出贝努
利大数定律。
贝努利大数定律表明事件发生的频率具有稳定性,也即当
试验次数n很大时,事件发生的频率与其概率有较大偏差
的可能性很小。这一定律是用频率解释概率的数理基础,
这对于利用统计资料来估计损失概率是极其重要的。
在非寿险精算中,可以假设某一保险标的具有相同的损失
概率,这样就可以通过以往的有关统计数据,求出一个比率,
即这类保险标的发生损失的频率,这个计算出来的频率即
为损失概率。
但通过这种方法计算出来的损失概率是对实际概率的估
计,与实际概率之间有一个偏差。根据大数定律,在观察次
数很多或观察周期很长的情况下,计算出来的这一比率将
与实际损失概率很接近。也就是说,随着保险标的数量的
增加,根据概率的频率解释计算出来的损失概率与实际损
失概率之间的误差会逐渐减少,估计出来的损失概率的稳
定性和真实性变得更高。
所以,保险人承保的保险标的的数量越大,则保险人根据大
数定律厘定的保费越准确,财务稳定性越强,经营危险越小。
(三)泊松大数定律
假设某一随机事件A在第一次试验中出现的概率为p1,
在第二次试验中出现的概率为p2,…,在第n次试验中出
现的概率为pn。同样用nA来表示此事件在n次试验中发
生的次数,则根据泊松大数定律对于任意的ε>0,有:
泊松大数定律的意思是:当试验次数无限增加时,其平均
概率与观察结果所得的比率将无限接近。
泊松大数定律运用于保险经营上,可以说明,尽管各个相
互独立的危险单位的损失概率可能各不相同,但只要有
足够多的标的,仍可在平均意义上求出相同的损失概率。
为了有足够多的标的,便于运用大数定律,可以把性质相
近的标的集中在一起,求出一个整体的费率。
大数定律应用于保险得出最有意义的结论是:当保险标
的的数量足够大时,通过以往统计数据计算出来的估计
损失概率与实际概率的误差将很小。
保险经营利用大数定律把不确定数量关系向确定数量
关系转化,即某一危险是否发生对某一个保险标的来说
是不确定的,可能发生也可能不发生。但当保险标的的
数量很大时,我们可以很有把握地说,其中遭受危险事故
的保险标的数量是多少。
这样,根据大数定律,我们把对单个保险标的来说不确定
的数量关系转化为对保险标的的集合来说确定的数量
关系。
二、保险运行的数理解释
(一)大数定律与损失分摊
保险提供了一种帮助人们分散危险、分摊损失的机制。
这就是保险的本质——损失分担,其方法是以确定的
小损失(缴纳的保费)取代不确定的大损失。
大数定律在这种损失分摊的机制中起着重要的作用。
保险就像是一个蓄水池,每人贡献一点保费,这些资金
被保险公司集中起来以弥补少数不幸者所遭受的损失。
当参与这种蓄水机制的单位数越多时,蓄水池的功能
越能正常稳定地发挥。
(二)大数定律与风险分散
虽然保险人不能准确预测具体某个被保险人是否发生
损失,但是保险人可以对承担的整体危险作出比较准确
可信的估计。下面就从随机变量的方差与变异系数上
加以具体分析。
设保险人承保了n个危险相同、相互独立的危险单位,用
随机变量X1,X2,…,Xn表示每个保险单位的损失量,则
X1,X2,…,Xn是相互独立并且与随机变量X具有相同的分
布。对单个被保险人而言,他自己面临的危险是实际损
失X与期望损失EX的偏差,可用X的标准差σX表示这种
偏差,如果将n个被保险人看成一个整体,那么平均每个
被保险人的实际损失为:
这说明如果将n个被保险人看成一个整体,那么每个被保
险人面临的平均危险随着保险人数的增加而减少。
可以看出,承保单位数n越大,保险人对危险的估计就越准
确。
(三)大数定律在保险中应用的双重性
据大数定律,以往经验数据越多,对事件发生的概率估计
就越准确。这种估计的准确性是能否准确预测未来危
险的前提条件。但是另一方面,即使我们能准确估计出
事件发生的概率,如果未来危险单位数较少时,也很难准
确预测未来危险。为使预期结果能很好地接近真实结
果,必须将概率估计值运用到大量危险单位中。
因此,大数定律的应用具有双重性。
第一,为准确估计事件发生的概率,保险公司必须掌握大量的
经验数据。经验数据越多,对事件发生的概率的估计就越准
确。
第二,一旦估计出事件发生的概率,必须将此概率估计值运用
到大量的危险单位中才能对未来损失有比较准确的估计。
第二节 保险费率厘定的原则与方法
知识框架
一、保险费率的构成
二、保险费率厘定的基本原则
三、保险费率厘定的方法
一、保险费率的构成
保险费率是保险费与保险金额的比例,保险费率又被称为
保险价格,通常以每百元或每千元的保险金额应缴的保险
费来表示。
保险人制定费率时主要依据的是过去的损失和费用统计
记录,在此基础上对即将发生的损失及费用进行预测。
保险费率一般由纯费率与附加费率两部分组成。纯费率
又称净费率,它是用来支付赔款或保险金的费率,其计算依
据因险种的不同而不同。财产保险纯费率的计算依据是
损失概率,人寿保险纯费率的计算依据是利率和生命表。
附加费率是附加保费与保险金额的比率。把纯费率和附
加费率加总起来,就构成了保险费率。
二、保险费率厘定的基本原则
(一)公平合理原则
公平有两方面的含义,对保险人来说,其收取的保费应与其
承担的危险相当,对投保人来说,其负担的保费应与被保险
人获得的保障相对称
(二)充分原则
充分原则是指收取的保费在支付赔款及合理的营业费用、
税收后,仍有一部分利润。
(三)相对稳定原则
相对稳定原则是指在一定时期内应保持费率的稳定。稳
定的费率有利于保险机构核算。
(四)促进防灾防损原则
促进防灾防损原则是指保险费率的厘定应有利于促进防
灾防损。具体说,对注重防灾防损工作的被保险人采取较
低的费率。
三、保险费率厘定的方法
保险费率的厘定,从理论上讲是在依据损失概率测定
纯费率的基础上,再加上附加费率得到的市场保险费
率或毛保费率。
在实际业务中,因为保险费率的测定还需要必要的技
术支持,所以存在不同的费率厘定,即有各种不同的厘
定方法。
一般来说,保险费率的计算方法大致可分为三种:分类
法、增减法、观察法。
(一)分类法
分类法是依据某些重要的标准,对危险进行分类,并据此
将被保险人分成若干类别,把不同的保险标的根据危险
性质归入相应群体,分别确定费率的方法。
分类费率可通过两种方法来计算,即纯保险费率法和损
失比率法。两种方法的不同之处在于:
一是纯保险费率法以实际经验为计算基础,损失比率
法则以整个行业的实际损失比率为计算基础;
二是当费率调增或调减时,损失比率法要求把增减额
分摊于各类,而纯保险费率法则不需要这样做。
１．纯保险费率法。
纯保险费率法以某一时期内保险单位具体发生的损失
为基础。首先，计算出纯保险费。
已发生的损失包括会计期间所有已付赔款和同期已发生但
未赔付的损失准备金。
其次，再求出每一危险单位的毛保费。计算毛保费不
仅要考虑损失因素，还要考虑费用因素。附加费用、
承保利润和意外准备金一般以毛保费的一个比率表示，
称为费用比率。
不难发现：
于是，就可以得出总保险费，根据总保险费，可厘定
出保险费率：
保险费率确定后，并不是一成不变的，它要随着现实
情况的变化作出调整。在调整过程中，一般不改变损
失比率和预付比率。
信赖度和理赔次数是密切相关的，理赔次数越多，信
赖度越高。考虑了信赖度因素，上例中的费率调整就
要加以修正：
式中，Ｍ 为调整因素，即保险费费率调整比例；Ａ
为实际损失比率；Ｅ 为预期损失比率；Ｃ 为信赖度。
(二)增减法
增减法是指在同一分类中,对投保人给以变动的费率。
增减法是在凭借分类法确定的基本费率的基础上,再依
据实际情况予以细分所测定的费率。与分类费率相比,
在增减法下厘定出来的费率,有可能高于或低于分类法
所确定的费率。
增减法主要分为三种:表定法、经验法、追溯法。
但无论何种方法,均适用于较大规模的投保人。
1.表定法。表定法以每一危险单位为计算依据,在基本
费率的基础之上,参考标的物的显著危险因素来确定费
率。
2.经验法。该方法又称为预期经验法。它是根据被保险
人过去的损失记录,对按分类法计算的费率加以增减,但
当年的保费额并不受当年经验的影响,而是以过去数年的
平均损失来修订未来年份的保险费率。计算公式如下:
式中,M为经验调整数;A为经验时期被保险人的实际损失;E为
被保险人适用某费率的预期损失;C为信赖度。
3.追溯法。该法是依据保险期间的损失为基础来调整费
率的。投保人起初以其他方法(如表定法或经验法)确定
的费率购买保单,而在保险期届满后,再依照本法最后确
定保费。计算公式是:
式中,RP为追溯保险费;BP为基本保险费;L为实际损失金额
;VCF为损失调整数(大于1);TM为税收系数(大于1)。
(三)观察法
该法又被称为个别法或判断法,它就某一被保危险,单独
厘定出费率,在厘定费率的过程中保险人主要依据自己
的判断。
之所以采用观察法,是因为保险标的的数量太少,无法获
得充足的统计资料来确定费率。这种方法虽不尽科学,
但有其可取之处:
(1)根据不同性质的危险,确定出相应的费率,更具有
灵活性。在标的数量较少的情况下,不能将各种危险
生硬地集中在一起来厘定费率,这样做违反了大数定
律,无法保证费率的准确性。
(2)用观察法厘定费率,尽管主要考虑个别危险因素,
但仍不可避免地运用相关的经验和数据,这就在一定
程度上保证了其科学性。
第三节 人寿保险费率的厘定
知识框架
一、人寿保险费概述
二、利息
三、生命表
四、纯保险费率的计算
五、毛保险费的计算
一、人寿保险费概述
人寿保险费由两部分构成:纯保险费和附加保险费。
投保人所缴纳的纯保险费部分可分为危险保险费和储蓄
保险费。前者用于当年保险金的支付,后者则是一种累积
的保险费,用来弥补未来年份的赤字。
附加保险费用于保险费经营中的一切费用开支。纯保险
费和附加保险费构成了营业保险费,它是寿险机构实际收
取的保险费。
寿险计算的基本原则是收支平衡原则,“收”是指保险
机构收取的保险费总额;“支”是指保险机构的保险金
给付和支出的各项经营费用。
以缴费方法为依据,寿险保险费可分为自然纯保险费、
趸缴纯保险费和均衡纯保险费。
二、利息
利息是资金所有者由于借出资金而获得的报酬。
以计算利息的期限单位为标准,利率可划分为年率、
月率和日率。利息的计算方法有两种,即单利和复利。
(一)单利
单利计算利息的特点,就是对利息不再付息,其计算公
式为:
式中,I为利息额;P为本金;i为利息率;n为借贷期限;S为
本利和。
(二)复利
复利是一种将上期利息转化为本金一并计算的方法,即
上期的利息在本期也生息,如按年计息,第一年按本金算
出利息,第二年计算利息时,要把第一年利息加在本金之
上,然后再计算。如此类推,直到合同期满,复利计算的公
式是:
(三)终值和现值
以单利计算的情况下，终值是现在一定量现金在未来
某一时点上的价值,也是本利和；现值是指未来某一时
点上的一定量现金折合到现在的价值。
在以复利计算时,终值和现值可表示为:
(四)年金
年金是指在一定时间内按照一定的时间间隔有规则地
收或付的款项,依据不同的标准,年金可划分为很多类。
按支付条件,年金可分为确定年金和生命年金。
对人寿保险而言,有意义的年金划分方式还有以下几种:
以每期年金支付的条件为标准,可分为期首付年金和期
末付年金。
以支付开始的时间为标准,可分为即期年金和延期年金。
三、生命表
(一)生命表的含义及分类
生命表是根据一定时期某一国家或地区的特定人群的
有关生存、死亡的统计资料,加以分析整理而形成的
一种表格,它是人寿保险测定危险的工具,是寿险精算
的数理基础,是厘定人寿保险纯费率的基本依据。
生命表以年龄为纲,全面地反映某一国家和地区一定
人群的生死状况。在生命表中,最重要的是计算每个
年龄段的死亡率。
以死亡统计的对象为标准,生命表可分为国民生命表和经
验生命表。
以反映程度为标准进行分类,生命表可分为完全生命表和
简单生命表。
(二)生命表的内容
在生命表中,首先要选择初始年龄并假定在该年龄上,有一
定数量的人生存,这个数量就叫做基数。一般选择0岁为
初始年龄,并规定此年龄的人数,通常选择10万、100万、
1000万等整数。
以中国人寿保险业经验生命表的部分内容为例
年龄x 年初生存人数Lx
年死亡人数dx 生存率px 死亡率qx
35 979738 1170
36 978568 1248
37 977321 1336
38 975985 1437
39 974548 1549
可以看出,生命表一般包括以下内容:
x:年龄。
Lx:生存数,是指从初始年龄至满x岁尚生存的人数,即x岁
的生存人数。例如,L35表示在初始年龄定义的基数中有
L35人活到了35岁,或者说35岁的生存人数为Lx。
dx:死亡数,是指x岁的人在一年内死亡的人数,即在x~x+1
岁的年龄间死亡的人数。如d36表示36~37岁的年龄间死
亡的人数。
px:生存率,是指x岁的人在一年内仍生存的概率,即x岁的
人生存到x+1岁的概率。
qx:死亡率。是指x岁的人在一年内的死亡率。
ex:平均余命。是指x岁的人以后还能生存的平均年数。
对年龄为0岁的人来说,其平均余命就是其平均寿命。
(三)生命表中的几个关系式
-dx=Lx+1。
该式表示,x岁的人年初的生存数Lx与年内的死亡数dx的差额
就是次年x+1岁的人的生存人数Lx+1;
上式也可写作:dx=Lx-Lx+1即来年死亡人数是本年初生存人数
与次年初生存人数之差。
+dx+1+…+dx+n-1=Lx-Lx+n。
该式表示连续数年死亡人数之和等于第一年年初生存人数
与最后一年年初生存人数之差。
3.
该式给出了生存率与存活人数之间的关系。生存率是次年
年初生存人数与本年年初生存人数之比,它表示x岁的人能生
存到x+1岁的概率。
同理,可以推导出另一个关系式，表示x岁的人存活到x+n岁
的生存率。
四、纯保险费率的计算
与自然纯保险费、趸缴纯保险费、均衡纯保险费对应,保
险费缴纳方式分为两种:趸缴和分期缴纳。
趸缴是指投保人将保险费一次缴清;
分期缴纳指在一定期限内按某一数额缴纳保险费。
(一)趸缴纯保险费的计算
1.定期生存趸缴纯保险费的计算。
定期生存保险是以被保险人在一定时期继续生存为保险
金给付条件的一种保险形式
2.定期死亡保险的趸缴纯保险费计算。
定期死亡保险又叫定期人寿保险,是以被保险人在保险
期限内死亡为条件支付保险金的一种形式。
3.混合保险趸缴纯保险费率的计算。
混合保险是一种生死保险,是一种无论被保险人生死与
否,一旦保险期届满,保险人均须支付保险金的保险形式。
(二)分期缴付纯保险费的计算
1.定期生存保险年度缴付纯保险费的计算。
设有x岁的被保险人Lx人购买n年的定期生存保险,保险
金额为M,利率为i,保险费均在期初支付,令V=1/(1+i),年
度纯保险费为:
2.定期死亡保险年度缴付纯保险费的计算。
3.混合保险年度保险费的计算。
混合保险年度保险费是定期生存保险与定期死亡保险
的年度保险费之和。
五、毛保险费的计算
毛保险费是由纯保险费和附加保险费构成的。
1.三元素法。
三元素法把附加费用分为三类:原始费用、维持费用、
收费费用。原始费用是保险公司为招揽新合同,在第一
年度支出的一切费用,在这里,我们把单位保额的原始费
用设为P1。维持费用是指整个保险期间为使合同维持
保全的一切费用,它应分摊于各期,可把单位保额的维持
费用设为P2。收费费用是指收取保险费时的支出。与
维持费用一样,它也分摊于各期,单位保额的费用可设为
P3。然后,把将来年份的附加费用折合成现值,就可得到
附加保险费的现值之和。再根据“毛保险费现值=纯保
险费现值+附加保险费现值”的原理,来计算总保险费。
2.比例法。
比例法假设附加保险费为毛保险费的一定比例K。这一
比例通常是根据经验来确定的。
整理得：
3.比例常数法。
比例常数法是根据每张保单的平均保额确定出的每单
位保额所必须支付的费用,并把其作为一个固定常数。
然后,再确定一个毛保险费的比例作为附加保险费。设
固定常数为C,则可得:
整理得：
第四节 财产保险费率的厘定
财产保险费率的厘定是以损失概率为基础的,它先通
过对保额损失率和均方差的计算求出纯费率,然后再
计算附加费率。
知识框架
一、纯费率的计算
二、附加费率的计算
一、纯费率的计算
纯费率是用于弥补被保险人因保险事故而造成的损失
的金额,它的计算公式是:
纯费率=保额损失率×(1+稳定系数)
式中,保额损失率是赔偿金额与保险金额的比值,稳定
系数则是衡量期望值与实际结果密切程度的一个参数。
保额损失率的计算公式为:
根据历年来的保险事故发生的情况,可求出平均保额
损失率。
举例说明
可见,%是9年间的平均保额损失率,但它并不是所要求
的纯保险费率,因为它具有不稳定性,还要求出稳定系数才
能了解损失率的波动程度。稳定系数的计算公式为:
稳定系数=均方差÷平均保额损失率
式中,均方差是指保额损失率与平均损失率的离差平方和平均
数的平方根,它能表明平均保额损失率的代表性。
于是可求出稳定系数:
稳定系数=×100%=%
一般说来,稳定系数越低,则保险经营的稳定程度越高;稳
定系数越高,则保险经营的稳定程度越低。一般认为稳
定系数的取值在10%~20%之间是合适的,因此,%的
稳定系数很低,保险经营的稳定程度很高。
有了平均损失率和稳定系数,就可以计算出纯费率。
二、附加费率的计算
附加保险费率与营业费用密切相关。附加费率的计算公式
为:
营业费用主要包括:
1.按保险费的一定比例支付的业务费、企业管理费、代理手续
费及缴纳的税金。
2.支付的工资及附加费用。
3.预期的营业利润。
除了按上述公式计算附加费率外,还可以纯保险费率的一
定比例来确定,如规定附加保险费率为纯保险费率的20%。
财产保险的毛保险费是由纯保险费和附加保险费构成的,
其计算公式为:
毛保险费=纯保险费+附加保险费
本章思考题
1.大数定律对保险经营有何重要意义?
2.保险费厘定时应遵循什么原则?
3.简述厘定保险费的各种方法。
4.生命表对人寿保险费率的厘定有什么重要意义?
5.人寿保险的纯保险费率是如何计算的?
6.人寿保险毛保险费的计算有几种方法?
7.财产保险费率是如何厘定的?
8.试从大数定律的角度分析保险公司具有扩大市场份
额的倾向。
9.影响保险费率的因素主要有哪些?制定保险费率需
要考虑哪些原则?
