独立自由的开创性研究“复杂系统分析数学”系列论文（38）
完备协同组织动力学的迁移过程模型
李宗诚
苏州大学交叉科学研究室（筹） （215000）
摘要 本文将在忽略生灭过程和 Volterra – Lotka过程的特殊情形之下，初步探讨建
立完备协同组织动力学的迁移模型。
关键词 动力学，完备协同组织，完备协同组织动力学，迁移过程模型
1. 引 言
基于文[1]-[27 ] 的探讨，本文将在忽略生灭过程和 Volterra – Lotka过程的特殊情形之
下，初步探讨建立完备协同组织动力学的迁移模型。为了分析方便，假设只有两个不同的非
线性相互作用集团（子系统）Ψ β 和 Ψ α 在两个分系统（或两个作用区域）之间迁移，并假
定这两种集团仅是“基本群组”中的一部分。
在分系统 i ( i = 1, 2 ) 中集团 Ψ β 和 Ψ α 的组成单元数分别以 m i 和 n i 表示，则有
nnnmmm 2,2 2121 =+=+ (1 )
通过变量代换，以 m和 n表征群组构形，令：
mmmmmmmmm ≤≤−−=+= ,, 21 (2 a )
nnnnnnnnn ≤≤−−=+= ,, 21 (2b )
集团 Ψ β 和 Ψ α 的组成单元从分系统（作用区域）i到分系统（作用区域）j的转移概率分别
为 ),( nmjiββ 和 ),( nmjiαβ ，由文[27] 的 (2 ) 可得到从群组构形 (m, n ) 到构形 (m + k, n + 1 )
的转移概率 W [k, 1; m, n ] 为：
),()(],;0,1[ 21 nmmmnmW
ββ+=−
),()(],;0,1[ 12 nmmmnmW
ββ−=+
),()(],;1,0[ 21 nmnnnmW
αβ+=− (3 )
),()(],;1,0[ 12 nmnnnmW
αβ−=+
2. 主方程与完备协同组织动力学的迁移模型
1
将 (3 ) 代入文[27] 的 (6 ) 得到双变量 m和 n的概率分布 p (m, n; t ) 的主方程如下：
)};,(],;0,1[){1();,( tnmpnmWEtnmp
dt
d
m −−=
)};,(],;0,1[){1( 1 tnmpnmWEm −+ −
)};,(],;1,0[){1( tnmpnmWEn −−+
)};,(],;1,0[){1( 1 tnmpnmWEn −+ − (4 )
由概率分布 p (m, n; t )的主方程 (4 ) 和文[17] 建立的完备协同因子动力学基本方程组
(1 )，我们可以建立完备协同组织动力学的迁移过程基本模型如下：
概率分布 p (m, n; t ) 的主导方程
)},;,(],;0,1[){1();,( txnmpnmWEtnmp
dt
d
m −−=
)},;,(],;0,1[){1( 1 txnmpnmWEm −+ −
)},;,(],;1,0[){1( txnmpnmWEn −−+
)},;,(],;1,0[){1( 1 txnmpnmWEn −+ − (5 )
基本动力学方程组
ll
l fxxxF
dt
tdx += ),,,()( 1621 L (5 a )
其中， ∈= },,,{ 1621 xxxx L Л为完备协同因子动力学变量，l = 1, 2 , ···, 16，
基本动力制约条件 同文[17] 的 (1 b )
基本效应制约条件 同文[17] 的 (1 c )
外部动力制约条件 同文[17] 的 (1 d )
外部协同制约条件 同文[17] 的 (1 e )
内部动力制约条件 同文[17] 的 (1 f )
内部协同制约条件 同文[17] 的 (1 g )
基本动力因子约束关系 同文[17] 的 (1 h )
基本效应因子约束关系 同文[17] 的 (1 i )
外部动力因子约束关系 同文[17] 的 (1 j )
外部协同因子约束关系 同文[17] 的 (1 k )
内部动力因子约束关系 同文[17] 的 (1 l )
内部协同因子约束关系 同文[17] 的 (1 m )
上述方程组 (5 ) 及文[17] 的 (1 b ) - (1 m ) 可称为完备协同组织动力学的迁移过程基
本模型。
由概率分布 p (m, n; t ) 的主方程 (4 ) 和文[18] 建立的完备协同因子动力学典型方程组
(2 )，我们可以建立完备协同组织动力学的迁移过程典型模型如下：
概率分布 p (m, n; t ) 的主导方程
2
)},;,(],;0,1[){1();,( txnmpnmWEtnmp
dt
d
m −−=
)},;,(],;0,1[){1( 1 txnmpnmWEm −+ −
)},;,(],;1,0[){1( txnmpnmWEn −−+
)},;,(],;1,0[){1( 1 txnmpnmWEn −+ − (6 )
典型动力学方程组
∑∑
== ∂∂
∂+∂
∂−=∂
∂ 16
1,
216
1
)];()([
2
1)];()([);(
ml
lm
mll
l
l
txPxQ
xx
txPxK
xt
txP
(6 a )
∑
= ∂
∂+=
16
1,
)(
)(
2
1)()(
mn
nm
n
lm
ll xgx
xg
xFxK
∑
=
=
16
1
ln )()()(
n
mnlm xgxgxQ
其中， ∈= },,,{ 1621 xxxx L Л为完备协同因子动力学变量，l, m, n = 1, 2 , ···, 16，
基本动力制约条件 同文[17] 的 (1 b )
基本效应制约条件 同文[17] 的 (1 c )
外部动力制约条件 同文[17] 的 (1 d )
外部协同制约条件 同文[17] 的 (1 e )
内部动力制约条件 同文[17] 的 (1 f )
内部协同制约条件 同文[17] 的 (1 g )
基本动力因子约束关系 同文[17] 的 (1 h )
基本效应因子约束关系 同文[17] 的 (1 i )
外部动力因子约束关系 同文[17] 的 (1 j )
外部协同因子约束关系 同文[17] 的 (1 k )
内部动力因子约束关系 同文[17] 的 (1 l )
内部协同因子约束关系 同文[17] 的 (1 m )
上述方程组 (6 ) 及 (2. 69 ) 和文[17] 的 (1 b ) - (1 m ) 可称为完备协同组织动力学的
迁移过程典型模型。
由概率分布 p (m, n; t ) 的主方程 (4 ) 和文[20] 建立的完备协同因子动力学主导方程组
(1 )，我们可以建立完备协同组织动力学的迁移过程主导模型如下：
概率分布 p (m, n; t ) 的主导方程
)},;,(],;0,1[){1();,( txnmpnmWEtnmp
dt
d
m −−=
)},;,(],;0,1[){1( 1 txnmpnmWEm −+ −
)},;,(],;1,0[){1( txnmpnmWEn −−+
)},;,(],;1,0[){1( 1 txnmpnmWEn −+ − (7 )
3
主导动力学方程组
)];()(),()([)();(
)( ][
txPxxWtxPxxWxd
t
txP
x
←−←=∂
∂ ∫ µ τ (7 a )
在此， },,,{ 1621 xxxx L= 为完备协同因子的实际动力学变量， },,,{ 1621 xxxx L= 为完备
协同因子的目标动力学变量，
),()()]()([))]()([
)()(
txPxdxxWxdxdxdj
xx
ττττ ∫∫ ←≡←
);()()]()([))]()([
)()(
txPxdxxWxdxdxdj
xx
ττττ ∫∫ ←≡←
基本动力制约条件 同文[17] 的 (1 b )
基本效应制约条件 同文[17] 的 (1 c )
外部动力制约条件 同文[17] 的 (1 d )
外部协同制约条件 同文[17] 的 (1 e )
内部动力制约条件 同文[17] 的 (1 f )
内部协同制约条件 同文[17] 的 (1 g )
基本动力因子约束关系 同文[17] 的 (1 h )
基本效应因子约束关系 同文[17] 的 (1 i )
外部动力因子约束关系 同文[17] 的 (1 j )
外部协同因子约束关系 同文[17] 的 (1 k )
内部动力因子约束关系 同文[17] 的 (1 l )
内部协同因子约束关系 同文[17] 的 (1 m )
上述方程组 (7 ) 及 (2. 88 ) 和文[17] 的 (1 b ) - (1 m ) 可称为完备协同组织动力学的
迁移过程主导模型。
3. 平均值方程与完备协同组织动力学的迁移模型
应用文[27] 的方法，由文[27] 的 (6 ) 出发可直接得到 m, n, m 2 和 mn及 n 2 的平均值
动力学方程。在此，定义 f (m, n ) 的平均值如下：
);,(),(),( tnmpnmfnmf
n
nn
m
mm
t ∑∑
−=−=
=>< (8 )
可得到如下精确方程：
tmt xnmkmdt
d >=<>< );,( (9 a )
tnt xnmkndt
d >=<>< );,( (9 b )
tmtmt xnmqxnmmkmdt
d ><+><=>< );,();,(22 (10 a )
tmtnt xnmnkxnmmkmndt
d ><+>=<>< );,();,( (10 b )
tntnt xnmqxnmnkndt
d ><+><=>< );,();,(22 (10 c )
4
其中“漂移因子”：
],;0,1[],;0,1[),( nmWnmWnmkm −−=
],;1,0[],;1,0[),( nmWnmWnmkn −−= (11 )
和“涨落因子”：
],;0,1[],;0,1[),( nmWnmWnmqm −+=
],;1,0[],;1,0[),( nmWnmWnmqn −+= (12 )
假定在平均值 )(~ tmm t ≡>< 和 )(~ tnn t ≡>< 附近概率分布 p (m, n; t ) 只有一个尖峰，可以
得到 (9 ) 的近似方程：
)~,~(
~
nmk
dt
md
m≈ ， )~,~(
~
nmk
dt
nd
n≈ (13 )
再者，在 )~,~( nm 附近将 ),( nmkm ， ),( nmkn 及 ),( nmqm 和 ),( nmqn 展开为泰勒级数，
并且仅保留展开式的最低次项，则 (10 ) 的近似方程为：
mnmnmmmmm
mm kkq
dt
d ~2~2~ ∂+∂+= σσσ
mnnnmmnnmnnmmm
mn kkkk
dt
d ~)~~(~ ∂+∂+∂+∂= σσσσ (14 )
nmnmnnnnn
nn kkq
dt
d ~2~2~ ∂+∂+= σσσ
其中，
m
m ∂
∂≡∂ ，
n
n ∂
∂≡∂ ， )~,~(~ nmkk = ， )~,~(~ nmqq = ，以及方差表示为：
22 ttmm mm ><−>=<σ ， tttmn nmmn ><><−>=<σ ， 22 ttnn nn ><−>=<σ 。
(15 )
为方便起见，用归一化变量 y和 z代替 m和 n：
m
my =
n
nz = 1,1 ≤≤− zy (16 )
而漂移和涨落因子为
),(),( zyKmnmk mm = ),(),( zyQmnmq mm =
),(),( zyKnnmk nn = ),(),( zyQnnmq nn = (17 )
将 y~和 z~分别写成 y和 z，则平均值方程 (13 ) 变为：
5
),( zyK
dt
dy
m= ),( zyQdt
dz
n= (18 )
引入
>><−=<= 22 )(1 yym mmyy σσ
>><−><−=<= ))((1 zzyy
nm mnyz
σσ (19 )
>><−=<= 22 )(1 zzn nnzz σσ
代替 σ mm , σ mn 和 σ nn 。方差方程 (14 ) 变为：
myyzmyyym
yy KKQ
mdt
d ∂+∂+= σσσ 221
mzzzmznyyznyyy
yz KKKK
dt
d ∂+∂+∂+∂= σσσσ )( (20 )
nyzynzzzn
zz KKQ
ndt
d ∂+∂+= σσσ 221
由归一化变量 y和 z的平均值方程 (18, 20 ) 和文[17] 建立的完备协同因子动力学基本
方程组 (1 )，我们可以建立完备协同组织动力学的迁移过程基本模型如下：
归一化变量 y和 z的平均值方程
);,( xzyK
dt
dy
m= );,( xzyQdt
dz
n= (21 )
myyzmyyym
yy KKQ
mdt
d ∂+∂+= σσσ 221
mzzzmznyyznyyy
yz KKKK
dt
d ∂+∂+∂+∂= σσσσ )( (22 )
nyzynzzzn
zz KKQ
ndt
d ∂+∂+= σσσ 221
基本动力学方程组
ll
l fxxxF
dt
tdx += ),,,()( 1621 L (22 a )
其中， ∈= },,,{ 1621 xxxx L Л为完备协同因子动力学变量，l = 1, 2 , ···, 16，
基本动力制约条件 同文[17] 的 (1 b )
基本效应制约条件 同文[17] 的 (1 c )
外部动力制约条件 同文[17] 的 (1 d )
外部协同制约条件 同文[17] 的 (1 e )
内部动力制约条件 同文[17] 的 (1 f )
6
内部协同制约条件 同文[17] 的 (1 g )
基本动力因子约束关系 同文[17] 的 (1 h )
基本效应因子约束关系 同文[17] 的 (1 i )
外部动力因子约束关系 同文[17] 的 (1 j )
外部协同因子约束关系 同文[17] 的 (1 k )
内部动力因子约束关系 同文[17] 的 (1 l )
内部协同因子约束关系 同文[17] 的 (1 m )
上述方程组 (22 ) 及文[17] 的 (1 b ) - (1 m ) 可称为完备协同组织动力学的迁移过程基
本模型。
由归一化变量 y和 z的平均值方程 (18, 20 ) 和文[18] 建立的完备协同因子动力学典型
方程组 (2 )，我们可以建立完备协同组织动力学的迁移过程典型模型如下：
归一化变量 y和 z的平均值方程
);,( xzyK
dt
dy
m= );,( xzyQdt
dz
n= (23 )
myyzmyyym
yy KKQ
mdt
d ∂+∂+= σσσ 221
mzzzmznyyznyyy
yz KKKK
dt
d ∂+∂+∂+∂= σσσσ )( (24 )
nyzynzzzn
zz KKQ
ndt
d ∂+∂+= σσσ 221
典型动力学方程组
∑∑
== ∂∂
∂+∂
∂−=∂
∂ 16
1,
216
1
)];()([
2
1)];()([);(
ml
lm
mll
l
l
txPxQ
xx
txPxK
xt
txP
(24 a )
∑
= ∂
∂+=
16
1,
)(
)(
2
1)()(
mn
nm
n
lm
ll xgx
xg
xFxK
∑
=
=
16
1
ln )()()(
n
mnlm xgxgxQ
其中， ∈= },,,{ 1621 xxxx L Л为完备协同因子动力学变量，l, m, n = 1, 2 , ···, 16，
基本动力制约条件 同文[17] 的 (1 b )
基本效应制约条件 同文[17] 的 (1 c )
外部动力制约条件 同文[17] 的 (1 d )
外部协同制约条件 同文[17] 的 (1 e )
内部动力制约条件 同文[17] 的 (1 f )
内部协同制约条件 同文[17] 的 (1 g )
基本动力因子约束关系 同文[17] 的 (1 h )
基本效应因子约束关系 同文[17] 的 (1 i )
外部动力因子约束关系 同文[17] 的 (1 j )
7
外部协同因子约束关系 同文[17] 的 (1 k )
内部动力因子约束关系 同文[17] 的 (1 l )
内部协同因子约束关系 同文[17] 的 (1 m )
上述方程组 (23, 24 ) 及 (2. 69 ) 和文[17] 的 (1 b ) - (1 m ) 可称为完备协同组织动力
学的迁移过程典型模型。
由归一化变量 y和 z的平均值方程 (18, 20 ) 和文[20] 建立的完备协同因子动力学主导
方程组 (1 )，我们可以建立完备协同组织动力学的迁移过程主导模型如下：
归一化变量 y和 z的平均值方程
);,( xzyK
dt
dy
m= );,( xzyQdt
dz
n= (25 )
myyzmyyym
yy KKQ
mdt
d ∂+∂+= σσσ 221
mzzzmznyyznyyy
yz KKKK
dt
d ∂+∂+∂+∂= σσσσ )( (26 )
nyzynzzzn
zz KKQ
ndt
d ∂+∂+= σσσ 221
主导动力学方程组
)];()(),()([)();(
)( ][
txPxxWtxPxxWxd
t
txP
x
←−←=∂
∂ ∫ µ τ (26 a )
在此， },,,{ 1621 xxxx L= 为完备协同因子的实际动力学变量， },,,{ 1621 xxxx L= 为完备
协同因子的目标动力学变量，
),()()]()([))]()([
)()(
txPxdxxWxdxdxdj
xx
ττττ ∫∫ ←≡←
);()()]()([))]()([
)()(
txPxdxxWxdxdxdj
xx
ττττ ∫∫ ←≡←
基本动力制约条件 同文[17] 的 (1 b )
基本效应制约条件 同文[17] 的 (1 c )
外部动力制约条件 同文[17] 的 (1 d )
外部协同制约条件 同文[17] 的 (1 e )
内部动力制约条件 同文[17] 的 (1 f )
内部协同制约条件 同文[17] 的 (1 g )
基本动力因子约束关系 同文[17] 的 (1 h )
基本效应因子约束关系 同文[17] 的 (1 i )
外部动力因子约束关系 同文[17] 的 (1 j )
外部协同因子约束关系 同文[17] 的 (1 k )
内部动力因子约束关系 同文[17] 的 (1 l )
内部协同因子约束关系 同文[17] 的 (1 m )
上述方程组 (25, 26 ) 及 (2. 88 ) 和文[17] 的 (1 b ) - (1 m ) 可称为完备协同组织动力
学的迁移过程主导模型。
8
4. Fock-Planck方程与完备协同组织动力学的迁移模型
不难从主方程 (4 ) 推导出如下 Fock – Planck方程：
)]};,(),([)];,(),([{);,( tzypzyKtzypzyKtzyp
t nzmy
∂+∂−=∂
∂
)];,(),([
2
1)];,(),([
2
1 22 tzypzyQ
n
tzypzyQ
m nzmy
∂+∂+ (27 )
概率分布 p ( y, z ; t ) 的归一化条件是
1);,(
1
1
1
1
=∫∫ +−+− tzydydzp (28 )
由定义 (3, 11, 12, 17 ) 断定：在 (27 ) 中的漂移和涨落因子是变量 y、z的函数。
为了使得到的模型具体而适用，需要找到两个集团（子系统）Ψ β 和 Ψ α 的转移概率
),( nmji
ββ 和 ),( nmjiαβ 的适当模型。在此，可以采用在完备协同因子动力学条件下可能形成
状态的几种迁移过程的有限灵活模型：
]},[exp{)],(exp[),(12 zyBnmBnm γγβ β ≡=
]},[exp{)],(exp[),(21 zyBnmBnm −≡−= γγβ β
]},[exp{)],(exp[),(12 zyAnmAnm γγβ α ≡= (29 )
]},[exp{)],(exp[),(21 zyAnmAnm −≡−= γγβ α
在此，
zykzyBnmknmB ββββββ σπσπ ++==++= ],[ˆˆ),(
yzkzyAmnknmA γγγγγγ σπσπ ++==++= ],[ˆˆ),( (30 )
以及
ββ kmk ˆ= ββ σσ ˆn= γγ knk ˆ= γγ σσ ˆm= (31 )
参数 γ决定了发生迁移的时间尺度，它是机动性参数。
参数 π β > 0（或 π β < 0）表示 Ψ β 的组成单元和某个分系统（作用区域）趋向于相互适
应的程度。可以将 π β 看作是 Ψ β 对分系统 1（或分系统 2）的基本适应参数。
参数 k β > 0（或 k β < 0）表示在同一分系统中 Ψ β 的组成单元和该集团趋向于相互适应
的程度。可以将 k β 看作是 Ψ β 的内部协同参数。
参数 σβ > 0（或 σβ < 0）表示在同一分系统中 Ψ β 的组成单元和另一集团 Ψ α 的组成单元
趋向于相互适应的程度。可以将 σβ 看作是 Ψ β 的外部协同参数。
将具体的涨落和漂移因子 (17 ) 代入来自 (18 ) 和 (20 ) 的关联方程的具体公式，利用
(11 ) 和 (12 ) 定义的 (3 ) 和 (29 )，可得到：
])},[cosh(]),[{sinh(2),( zyByzyBzyK m −= γ
])},[cosh(]),[{sinh(2),( zyAzzyAzyK n −= γ (32 )
9
])},[sinh(]),[{cosh(2),( zyByzyBzyQm −= γ
])},[sinh(]),[{cosh(2),( zyAzzyAzyQn −= γ (33 )
由概率分布 p ( y, z ; t ) 的 Fock – Planck方程 (27 ) 和完备协同因子动力学的基本方程
组 (2. 1 )，我们可以建立完备协同组织动力学的迁移过程基本模型如下：
概率分布 p ( y, z ; t ) 的典型动力学方程
)]},;,(),([)],;,(),([{);,( txzypzyKtxzypzyKtzyp
t nzmy
∂+∂−=∂
∂
)],;,(),([
2
1)],;,(),([
2
1 22 txzypzyQ
n
txzypzyQ
m nzmy
∂+∂+ (34 )
基本动力学方程组
ll
l fxxxF
dt
tdx += ),,,()( 1621 L (34 a )
其中， ∈= },,,{ 1621 xxxx L Л为完备协同因子动力学变量，l = 1, 2 , ···, 16，
基本动力制约条件 同文[17] 的 (1 b )
基本效应制约条件 同文[17] 的 (1 c )
外部动力制约条件 同文[17] 的 (1 d )
外部协同制约条件 同文[17] 的 (1 e )
内部动力制约条件 同文[17] 的 (1 f )
内部协同制约条件 同文[17] 的 (1 g )
基本动力因子约束关系 同文[17] 的 (1 h )
基本效应因子约束关系 同文[17] 的 (1 i )
外部动力因子约束关系 同文[17] 的 (1 j )
外部协同因子约束关系 同文[17] 的 (1 k )
内部动力因子约束关系 同文[17] 的 (1 l )
内部协同因子约束关系 同文[17] 的 (1 m )
上述方程组 (34 ) 及文[17] 的 (1 b ) - (1 m ) 可称为完备协同组织动力学的迁移过程基
本模型。
由概率分布 p ( y, z ; t ) 的 Fock – Planck方程 (27 ) 和文[18] 建立的完备协同因子动力
学典型方程组 (2 )，我们可以建立完备协同组织动力学的迁移过程典型模型如下：
概率分布 p ( y, z ; t ) 的典型动力学方程
)]},;,(),([)],;,(),([{);,( txzypzyKtxzypzyKtzyp
t nzmy
∂+∂−=∂
∂
)],;,(),([
2
1)],;,(),([
2
1 22 txzypzyQ
n
txzypzyQ
m nzmy
∂+∂+ (35 )
典型动力学方程组
∑∑
== ∂∂
∂+∂
∂−=∂
∂ 16
1,
216
1
)];()([
2
1)];()([);(
ml
lm
mll
l
l
txPxQ
xx
txPxK
xt
txP
(35 a )
∑
= ∂
∂+=
16
1,
)(
)(
2
1)()(
mn
nm
n
lm
ll xgx
xg
xFxK
10
∑
=
=
16
1
ln )()()(
n
mnlm xgxgxQ
其中， ∈= },,,{ 1621 xxxx L Л为完备协同因子动力学变量，l, m, n = 1, 2 , ···, 16，
基本动力制约条件 同文[17] 的 (1 b )
基本效应制约条件 同文[17] 的 (1 c )
外部动力制约条件 同文[17] 的 (1 d )
外部协同制约条件 同文[17] 的 (1 e )
内部动力制约条件 同文[17] 的 (1 f )
内部协同制约条件 同文[17] 的 (1 g )
基本动力因子约束关系 同文[17] 的 (1 h )
基本效应因子约束关系 同文[17] 的 (1 i )
外部动力因子约束关系 同文[17] 的 (1 j )
外部协同因子约束关系 同文[17] 的 (1 k )
内部动力因子约束关系 同文[17] 的 (1 l )
内部协同因子约束关系 同文[17] 的 (1 m )
上述方程组 (35 ) 及 (2. 69 ) 和文[17] 的 (1 b ) - (1 m ) 可称为完备协同组织动力学的
迁移过程典型模型。
由概率分布 p ( y, z ; t ) 的 Fock – Planck方程 (27 ) 和文[20] 建立的完备协同因子动力
学主导方程组 (1 )，我们可以建立完备协同组织动力学的迁移过程主导模型如下：
概率分布 p ( y, z ; t ) 的典型动力学方程
)]},;,(),([)],;,(),([{);,( txzypzyKtxzypzyKtzyp
t nzmy
∂+∂−=∂
∂
)],;,(),([
2
1)],;,(),([
2
1 22 txzypzyQ
n
txzypzyQ
m nzmy
∂+∂+ (36 )
主导动力学方程组
)];()(),()([)();(
)( ][
txPxxWtxPxxWxd
t
txP
x
←−←=∂
∂ ∫ µ τ (36 a )
在此， },,,{ 1621 xxxx L= 为完备协同因子的实际动力学变量， },,,{ 1621 xxxx L= 为完备
协同因子的目标动力学变量，
),()()]()([))]()([
)()(
txPxdxxWxdxdxdj
xx
ττττ ∫∫ ←≡←
);()()]()([))]()([
)()(
txPxdxxWxdxdxdj
xx
ττττ ∫∫ ←≡←
基本动力制约条件 同文[17] 的 (1 b )
基本效应制约条件 同文[17] 的 (1 c )
外部动力制约条件 同文[17] 的 (1 d )
外部协同制约条件 同文[17] 的 (1 e )
内部动力制约条件 同文[17] 的 (1 f )
内部协同制约条件 同文[17] 的 (1 g )
基本动力因子约束关系 同文[17] 的 (1 h )
基本效应因子约束关系 同文[17] 的 (1 i )
11
外部动力因子约束关系 同文[17] 的 (1 j )
外部协同因子约束关系 同文[17] 的 (1 k )
内部动力因子约束关系 同文[17] 的 (1 l )
内部协同因子约束关系 同文[17] 的 (1 m )
上述方程组 (36 ) 及 (2. 88 ) 和文[17] 的 (1 b ) - (1 m ) 可称为完备协同组织动力学的
迁移过程主导模型。
5. 完备协同组织动力学迁移模型的进一步分析
进而，利用 (28 ) 和 (32 )，并引入标度无量纲时间 τ = 2 γ t，可以得到如下具体的平均
值方程（对平均 y~和 z~分别用 y和 z代替）：
)cosh(])[tanh( ByB
dt
dy −=
)cosh(])[tanh( AzA
dt
dz −= (37 )
其中， zyknmB βββ σπ ++=),( ， yzknmA γγγ σπ ++=),( 。
不必推导，可以从 (20 )、(32 ) 和 (33 ) 得到具体而冗长的方差方程。
迁移系统的平均值随时间变化的整体结构主要依赖于微分方程 (37 ) 的定态或奇点
),( jjj zyp ，其定义如下：
0]))[tanh(cosh( =−=
jjj
pj
yBB
d
dy
τ
0]))[tanh(cosh( =−=
jjj
pj
zAA
d
dz
τ (38 )
即等效于
0}]),[{tanh(),( =−≡ jjjjj yzyBzyFβ
0}]),[{tanh(),( =−≡ jjjjj zzyAzyFγ (39 )
从奇异点 ),( jjj zyp 引入小的偏差
jyy −= )()( ττξ jzz −= )()( ττη (40 )
来考察该点。将上式代入 (37 ) 后，对 ξ (τ ) 和 η (τ ) 线性化得：
ησξγξ ββ jjdt
d +−= ηγξση γγ jjdt
d −= (41 )
其中，
)cosh( j
j B
K
K ββ = )cosh( jj A
K
K γγ =
12
jjj KB ββγ −= )cosh( jjj KA γγγ −= )cosh( (42 )
)cosh( j
j B
β
β
σσ =
)cosh( j
j A
γ
γ
σσ =
(41 ) 的解是本征解的线性组合：
)exp()( ,,0 τλξτξ ±±± = j ， )exp()( ,,0 τλητη ±±± = j (43 )
且本征值为：
]4)()[(
2
1 2
, jjjjjj εγγγγλ αβαβ ++±+−=± (44 )
其中， jjjjj αβαβ γγσσε −≡ 。
本征值 +,jλ 和 −,jλ 或者是实数，或者是共轭复数。显然，
如果 0}Re{ , <+jλ 和 0}Re{ , <−jλ ，则 P j 是稳定焦点。
如果 0}Re{ , >+jλ 和 / 或 0}Re{ , >−jλ ，则 P j 是不稳定焦点。
如果 +,jλ 和 −,jλ 是实数（复数），则 P (τ ) 将以直线（或螺旋形）趋近（或离开）P j 。
根据 (44 )，可按如下五种情形进行稳定性分析：
a ) 参数条件： 0>+ jj αβ γγ ， )(2
1
jjj αβ γγε +−<<∞− ；本征值 ±,jλ 为共轭复数，
0}Re{ , <+jλ ， 0}Re{ , <−jλ ；P j 是稳定焦点。
b ) 参数条件： 0>+ jj αβ γγ ， 0)(2
1 <<+− jjj εγγ αβ ；本征值 0}Im{ , =+jλ ，
0}Im{ , =−jλ ， 0, <±jλ ；P j 是稳定焦点。
c ) 参数条件： 0<+ jj αβ γγ ， ||2
1
jjj αβ γγε +−<<∞− ；本征值 ±,jλ 为共轭复数，
0}Re{ , >+jλ ， 0}Re{ , >−jλ ；P j 是不稳定焦点。
d ) 参数条件： 0<+ jj αβ γγ ， 0||2
1 <<+− jjj εγγ αβ ；本征值 0}Im{ , =+jλ ，
0}Im{ , =−jλ ， 0, >±jλ ；P j 是不稳定焦点。
e ) 参数条件： 0>+ jj αβ γγ ， 0<+ jj αβ γγ ， 0>jε ；本征值 0}Im{ , =+jλ ，
0}Im{ , =−jλ ， 0, <±jλ ；P j 是不稳定焦点。
尤为重要的情形如下：
2>+ αβ kk 0<αβσσ 0== αβ ππ (45 )
13
其原点 P (0, 0 ) 仅是情形 c ) 的不稳定焦点。
再者，在区域的 (37 ) 的流线总在边界的内部，因为：
−=>=<
−=>=<
10;10
10;10
zwhen
d
dzzwhen
d
dz
ywhen
d
dyywhen
d
dy
ττ
ττ (46 )
根据 Poincare – Bendixon定理，(46 ) 表明，在 D（不包括原点 P (0, 0 ) 构成的区域 D）中 (37 )
的解必定是极限环。
根据已有分析，由 D中变量 x、y子域的定义可划分为以下四种情形：
1 ) D + + (0 < x < 1, 0 < y < 1 ) 两个集团 Ψ β 和 Ψ α 集结在分系统 1
2 ) D - + (-1 < x < 0, 0 < y < 1 ) 集团 Ψ β 集结在分系统 2, 集团 Ψ α 集结在分系统 1
3 ) D + - (0 < x < 1, -1 < y < 0 ) 集团 Ψ β 集结在分系统 1, 集团 Ψ α 集结在分系统 2
4 ) D - - (-1 < x < 0, -1 < y < 0 ) 两个集团 Ψ β 和 Ψ α 集结在分系统 2
参考文献
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[13] 李宗诚，完备集成分布统计力学模式，“复杂系统分析数学”系列论文 ( 20 )，2005。
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[23] 李宗诚，完备协同规则动力学的典型分析模型，“复杂系统分析数学”系列论文 ( 33 )，2005。
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[25] 李宗诚，完备协同模式动力学的集成分布方程，“复杂系统分析数学”系列论文 ( 35 )，2005。
[26] 李宗诚，完备协同模式动力学的基本拓展模型，“复杂系统分析数学”系列论文 ( 36 )，2005。
[27] 李宗诚，完备协同组织动力学的基本分析模型，“复杂系统分析数学”系列论文 ( 37 )，2005。
Transport Process Model
of Dynamics of Complete-Synergy Organization
Li Zong-Cheng
Research Group of Interdisciplinary Science, Suzhou University, 215000
Abstract
It is explored preliminarily under the special situation neglecting the birth-death process and the
Volterra-Lotka Process to set the transport process model of dynamics of complete-synergy
organization.
Keywords: dynamics, complete-synergy organization, dynamics of complete-synergy
organization, transport process model
作者简介：李宗诚，男，1958年 5月出生，祖籍在大连。1997年被破格晋升为教授，
现为苏州大学教授、国家自然科学基金会项目评审专家，研究领域涉及物理学、系统科学及
交叉科学。
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