保险赔付中的最优对冲策略
摘 要
本文对带有付费过程At的保险公司在金融市场(St, Qt, Bt)上通过购买股票St、兑换外币Qt以及
购买无风险资产Bt的投资过程而采取的最优投资策略, 使保险公司所面临的风险最小进行探讨. 利
用Galtchouk-Kunita-Watanabe分解定理将风险表达式重新表达, 从而找到保险公司所能采取的风险
最小的最优对冲策略. 文中举出一个具有现实性意义的例子将文章的重要结论加以应用, 使本文更具
有应用价值.
关键词: Galtchouk-Kunita-Watanabe分解定理, Girsanov定理, 最优对冲策略, 付费过程, 具
有保证的单位联结保险合同.
学科分类号: , .
§1. 引 言
保险公司在对被保险人进行保险赔付的同时又要保证保险公司本身所面临的风险相
对较小, 这便促使人们要对保险公司在资金投资上进行研究探讨, 研究保险公司采用什么
样的投资组合策略才能使保险公司所面临的风险最小. 保险公司或通过购买股票St、或兑
换外币Qt、或以现金流Bt的形式存入银行, 或者同时进行上述的投资过程来进行对冲, 从
而保证风险最小. 本文对上述三种投资过程同时进行来探讨.
Fo¨llmer and Sondermann证明了在鞅情形之下平方可积的或有债权存在唯一的可容
许的风险最小对冲策略. 本文将付费过程给出了具体的表达且将保险公司的投资方式给与
扩展, 应用具有保证的单位联结保险合同进行探讨, 得出了适合保险公司的最优对冲策略.
§2. 模型构建
设(Ω,F ,P)为概率空间, T为一个固定常数. 考虑一个由三个资本组成的金融市
场(St, Qt, Bt), 其中St表示保险公司在t时刻购买股票的价值, Qt表示保险公司在t时刻兑
换外币的汇率, Bt为无风险资产. 分别用Xt、Yt、Zt记为他们的折现过程, 表示为Xt =
本文2005年5月10日收到.
176 应用概率统计 第二十四卷
St/Bt, Yt = Qt/Bt, Zt = Bt/Bt. 我们假设(St, Qt, Bt)满足下面的微分方程组
dSt = r1(t, St, Qt)Stdt+ σ1(t, St, Qt)StdW1(t),
dQt = r2(t, St, Qt)Qtdt+ σ2(t, St, Qt)QtdW2(t),
dBt = r0(t)Btdt,
()
其中B0 = 1, Wi = (Wt)i,0≤t≤T,i=1,2为标准的Brown运动且W1与W2相互独立. rj(j=0,1,2),
σk(k=1,2)满足Lipschitz条件且有界, 那么()的解存在且唯一. r0(t)表示t时刻的国内利率.
设G = (gt)0≤t≤T为由(St, Qt, Bt)生成的自然滤子且已完备化. 由Girsanov定理, 存在概率
测度P∗使得X与Y均为鞅. 不妨认为P即为P∗, 我们直接在鞅测度P之下进行讨论.
设策略φt = (ξt, ζt, ηt)满足通常的可测可积条件. 其中ξt表示为t时刻持有股票的数量,
ζt表示为t时刻兑换外币的数量, ηt表示为t时刻银行的折现存款数量.
各种资金流过程:
(i) 组合价值过程:
Vt(φ) = ξt ·Xt + ζt · Yt + ηt · 1.
即Vt(φ)表示在投资策略φ下t时刻的资产折现价值, 且称满足VT (φ) = 0的策略φ为0-容许策
略.
(ii) 成本过程:
Ct(φ) = Vt(φ)−
∫ t
0
ξudXu −
∫ t
0
ζudYu +At.
其中At为保险公司付给被保险者的付费过程.
(iii) 本性价值过程:
V ∗t = E[AT |Ft].
它是T时刻的赔付额在t时的预测值. 可知V ∗t 是一个鞅, 由Galtchouk-Kunita-Watanabe分
解定理知V ∗t 可表示为:
V ∗t = E[AT |Ft] = V ∗0 +
∫ t
0
ξAu dXu +
∫ t
0
ζAu dYu + L
A
t .
其中LAt 是与X,Y均正交的零均值鞅, 且XLAt 与Y LAt 也均为鞅, ξAu与ζAu为满足可积条件的
可料过程.
(iv) 风险过程:
Rt(φ) = E[(CT (φ)− Ct(φ))2|Ft].
记它描述的是投资策略φ所对应的风险, 我们称使得风险过程Rt(φ)最小的0-容许策略为最
优对冲策略.
利用前面的定义与描述, 我们可以得到以下结果:
第二期 董莹 冯敬海: 保险赔付中的最优对冲策略 177
定理 在所有的0-容许策略中, 存在唯一的最优对冲策略φ = (ξt, ζt, ηt), 其中
ξt = ξAt , ζt = ζ
A
t , ηt = V
∗
t −At − ξAt Xt − ζAt Yt
能够使得风险Rt(Φ)最小, 最小值为Rt(Φ) = E[(LAT − LAt )2|Ft].
证明: 在0-容许策略之下, 由于
AT = V ∗T = V
∗
0 +
∫ T
0
ξAu dXu+
∫ T
0
ζAu dYu+L
A
T = V
∗
t +
∫ T
t
ξAu dXu+
∫ T
t
ζAu dYu+(L
A
T −LAt ),
所以
CT (φ)− Ct(φ) = (V ∗t −At − Vt(φ)) + (LAT − LAt ) +
∫ T
t
(ξAu − ξu)dXu +
∫ T
t
(ζAu − ζu)dYu.
将上式两边同时平方有
[CT (φ)− Ct(φ)]2
= (V ∗t −At − Vt(φ))2 + (LAT − LAt )2 +
(∫ T
t
(ξAu − ξu)dXu +
∫ T
t
(ζAu − ζu)dYu
)2
+2(V ∗t −At − Vt(φ))(LAT − LAt )
+ 2(V ∗t −At − Vt(φ))
(∫ T
t
(ξAu − ξu)dXu +
∫ T
t
(ζAu − ζu)dYu
)
+2(LAT − LAt )
(∫ T
t
(ξAu − ξu)dXu +
∫ T
t
(ζAu − ζu)dYu
)
.
由于W1与W2是相互独立的, 且LA和X, LA和Y均正交, 则上式的后三项均为零, 上式第三
项的平方项打开后交叉乘积项也为零, 所以
[CT (φ)− Ct(φ)]2 = (V ∗t −At − Vt(φ))2 + (LAT − LAt )2 +
∫ T
t
(ξAu − ξu)2d〈X,X〉u
+
∫ T
t
(ζAu − ζu)2d〈Y, Y 〉u.
则
Rt(Φ) = E[(LAT − LAt )2|Ft] + (V ∗t −At − Vt(φ))2 + E
[ ∫ T
t
(ξAu − ξu)2d〈X,X〉u|Ft
]
+E
[ ∫ T
t
(ζAu − ζu)2d〈Y, Y 〉u|Ft
]
.
其中(V ∗t − At − Vt(φ))2是Ft可测的, E[(LAT − LAt )2|Ft]与策略φ无关, 其它项依赖于策略φ.
于是, 为了使得Rt(Φ)取最小值, 只需令
Vt(φ) = V ∗t −At, ξt = ξAt , ζt = ζAt , ηt = V ∗t −At − ξAt Xt − ζAt Yt
即可, 此时Rt(Φ)必取得最小值Rt(Φ) = E[(LAT − LAt )2|Ft]. ¤
178 应用概率统计 第二十四卷
§3. 最优对冲策略在多状态人寿保险中的应用
一、人寿保险模型
1. 模型描述
假设有n个人参加人寿保险, 每个投保人有J种生存状态, J = {0, 1, · · · , J}, 比如0表
示健康、1表示疾病、2表示死亡· · · · · · 以Zt表示被保险人在t时刻的生存状态, 并假设Z =
(Zt)0≤t≤T是F适应的右连续的取值于J的马尔可夫过程, 且Z与(B,S)是独立的. 同时假设
各投保人之间的寿命是独立同分布的, 于是可将这n个人的剩余寿命T1, T2, · · · , Tn视为来
自于同一年龄y的样本.
假设Ti具有风险率(hazard rate)函数µy+τ ,定义被保险人的死亡计数过程N=(Nt)0≤t≤T
为Nt =
n∑
i=1
I(Ti≤t). 记(Ht) = σ{Nu, u ≤ t}, 那么补偿过程Mt = Nt −
∫ t
0
λudu是(Ht)鞅, 其
中λ为N的强度由E[dNt|Ht− ] = (n−N−t )µy+tdt ≡ λtdt定义. 以下用Ft表示Gt ∨ Ht的完备
化, 并假设Gt和Ht独立.
2. 参数设置
考虑两种基本的赔付方式:
(a) gjkt = g
jk(t, St, Qt)表示t时刻被保险人由状态j到状态k变化后保险公司的赔付
额(带跳跃的);
(b) gjt = g
j(t, St, Qt)表示t时刻被保险人逗留在状态j时保险公司的年度付费(不带跳
跃的). 且有
sup
u∈[0,T ]
E[(B−1u g
jk(u, Su, Qu))2] <∞, sup
u∈[0,T ]
E[(B−1u g
j(u, Su, Qu))2] <∞, (j, k ∈ J ).
该条件确保
∫
B−1gjkdM jk是平方可积鞅.
在上述假设下保险公司的总赔付可表示为
H/BT = g(T, ST , QT )B−1T
n∑
i=1
I(Ti>T ) = g(T, ST , QT )B
−1
T (n−NT ).
其中 g为 gjk或 gj , (n − NT )是保险到期时仍然生存的人数 (一般在T 时刻支付的合同称
为T -索取权). 这些保险合同利益依赖于被保险人的剩余寿命, 并且与金融市场以及外汇
汇率的变化有关. 注意H是Ft-可测的. g(T, ST , QT )为保险利益, 这依赖于T时刻的风险资
产购买股票的价格以及兑换的外汇汇率, 其形式一般在合同中写明. 例如: g(T, ST , QT )
= max(K,ST , QT ), 通常称为具有保证的单位联结保险合同, 其中K为合同的最低执行价
格.
注 滤子F的选择是非常重要的, 因为一个或有债权通常定义为Ft可测P平方可
积的随机变量, 因此债权依赖于过程(Bt, St, Qt)的发展及保险状态Z的不确定性. 而市
场(B,S,Q, F )是不完全的, 因此债权不一定是可达的. 但是, 若或有债权H ∈ L2(GT ,P) ⊆
L2(FT ,P),则H是可达的且可被唯一定价. 因此作为或有债权gj(u, Su, Qu)与gjk(u, Su, Qu)
第二期 董莹 冯敬海: 保险赔付中的最优对冲策略 179
可被唯一定价, 且其无套利定价过程F j和F jk为
F j(t, St, Qt, u) = E[BtB−1u g
j(u, Su, Qu)|Gt],
F jk(t, St, Qt, u) = E[BtB−1u g
jk(u, Su, Qu)|Gt], 0 ≤ t ≤ u ≤ T.
本文中假设对任意的j, k ∈ J函数F j(t, St, Qt, u)与F jk(t, St, Qt, u)都是连续且可测的,
∂F j/∂t, ∂F jk/∂t, ∂2F j/∂S2t , ∂
2F jk/∂S2t , ∂
2F j/∂Q2t , ∂
2F jk/∂Q2t都是连续的且∂F j/∂St,
∂F jk/∂St, ∂F j/∂Qt, ∂F jk/∂Qt是一致有界的. 那么F j(t, St, Qt, u)·B−1t 与F jk(t, St, Qt, u)·
B−1t 都是鞅.
二、与模型相关的主要资金流过程
未折现付费过程Ât为
dÂt =
∑
j∈J
(
Ijt g
j
tdt+
∑
k:k 6=j
gjkt dN
jk
t
)
,
则折现付费过程可表示为
At = A0 +
∫ t
0
B−1u dÂt = A0 +
∫ t
0
B−1u
∑
j∈J
(
Ijug
j
udu+
∑
k:k 6=j
gjku dN
jk
u
)
. ()
本性价值过程V ∗为
V ∗t = At + E[(AT −At)|Ft] = At + E
[ ∫ T
t
B−1u
∑
j∈J
(
Ijug
j
udu+
∑
k:k 6=j
gjku I
j
uµ
jk
u du
)∣∣∣Ft]
= At +B−1t
∑
j∈J
[ ∫ T
t
pZt,j(t, u)
(
F j(t, St, Qt, u) +
∑
k:k 6=j
µu
jkF jk(t, St, Qt, u)
)
du
]
.
若令
V i(t, St, Qt) =
∑
j∈J
[ ∫ T
t
pi,j(t, u)
(
F j(t, St, Qt, u) +
∑
k:k 6=j
µu
jkF jk(t, St, Qt, u)
)
du
]
,
那么
V ∗t = At +
∑
i∈J
IitV
i(t, St, Qt)B−1t .
三、主要结果
定理 对于()式所给出的付费过程At, 其0-容许的风险最小的对冲策略为
φ = (ξ, ζ, η) =
( ∑
i∈J
Iit−ξ
i
t,
∑
i∈J
Iit−ζ
i
t ,
∑
i∈J
IitV
i(t, St, Qt)B−1t −Xt
∑
i∈J
Iit−ξ
i
t − Yt
∑
i∈J
Iit−ζ
i
t
)
,
其风险过程最小值为
Rt(Φ) =
∑
i∈J
Iit
∫ T
t
∑
j,k:j 6=k
E[(υjku )
2|Ft]pij(t, u)µjku du.
180 应用概率统计 第二十四卷
其中:
(a) ξit =
∑
j∈J
[ ∫ T
t
pZt,j(t, u)
(
F js (t, St, Qt, u) +
∑
k:k 6=j
µu
jkF jks (t, St, Qt, u)
)
du
]
;
(b) ζit =
∑
j∈J
[ ∫ T
t
pZt,j(t, u)
(
F jq (t, St, Qt, u) +
∑
k:k 6=j
µu
jkF jkq (t, St, Qt, u)
)
du
]
;
(c) υjkt = B
−1
t (g
jk
t + V
k(t, St, Qt))− V j(t, St, Qt)).
欲证明此定理我们首先要证明下面引理.
引理 若V i(t, St, Qt) ∈ C1,2,2, 则
V ∗t = V
∗
0 +
∫ t
0
( ∑
i∈J
Iiu−ξ
i
u
)
dXu +
∫ t
0
( ∑
i∈J
Iiu−ζ
i
u
)
dYu +
∑
j,k:j 6=k
∫ t
0
υjku dM
jk
u ,
其中ξit, ζit , υjkt 如定理中的(a), (b), (c)所表示.
证明: V ∗t = At + B−1t f(t, St, Qt, Zt), 令f(t, s, q, i) = V i(t, s, q), i ∈ J , 导函数F js ,
F jks , F
j
q , F
jk
q 是一致有界的.
fs(t, St, Qt, Zt) =
∑
j∈J
[ ∫ T
t
pZt,j(t, u)
(
F js (t, St, Qt, u) +
∑
k:k 6=j
µu
jkF jks (t, St, Qt, u)
)
du
]
,
fq(t, St, Qt, Zt) =
∑
j∈J
[ ∫ T
t
pZt,j(t, u)
(
F jq (t, St, Qt, u) +
∑
k:k 6=j
µu
jkF jkq (t, St, Qt, u)
)
du
]
.
利用分部积分, 有
V ∗t = At + f(0, S0, Q0, Z0) +
∫ t
0
f(u, Su, Qu, Zu)dB−1u +
∫ t
0
B−1u df(u, Su, Qu, Zu). ()
因为V i(t, St, Qt) ∈ C1,2,2, 将(f(t, St, Qt, Zt))0≤t≤T应用Ito公式有
f(t, St, Qt, Zt) = f(0, S0, Q0, Z0) +
∫ t
0
∂f
∂u
du+
∫ t
0
∂f
∂S
dS +
∫ t
0
∂f
∂Q
dQ
+
1
2
∫ t
0
∂2f
∂S∂Q
d〈S,Q〉u + 12
∫ t
0
∂2f
∂S2
d〈S, S〉u
+
1
2
∫ t
0
∂2f
∂Q2
d〈Q,Q〉u +
∫ t
0
J jku . ()
其中f(0, S0, Q0, Z0) = 0, J jku 为被保险人在u时刻从状态j到状态k的跳跃项. 同时将(),
()代入()整理可得
V ∗t = A0 +
∫ t
0
B−1u
∑
j∈J
(
Ijug
j
udu+
∑
k:k 6=j
gjku dN
jk
u
)
+
∫ t
0
fdB−1u +
∫ t
0
B−1u
∂f
∂u
du
+
∫ t
0
∂f
∂S
dXu +
∫ t
0
∂f
∂Q
dYu +
1
2
∫ t
0
B−1u
∂2f
∂S∂Q
d〈S,Q〉u
+
1
2
∫ t
0
B−1u
∂2f
∂S2
d〈S, S〉u + 12
∫ t
0
B−1u
∂2f
∂Q2
d〈Q,Q〉u +
∫ t
0
J jku B
−1
u . ()
第二期 董莹 冯敬海: 保险赔付中的最优对冲策略 181
令
∂
∂s
V i(t, St, Qt) = ξit,
∂
∂q
V i(t, St, Qt) = ζit ,
所以
fs(t, St, Qt, Z−t ) =
∑
i∈J
Iit−ξ
i
t, fq(t, St, Qt, Z
−
t ) =
∑
i∈J
Iit−ζ
i
t .
状态Z的跳跃项是
J jku = f(u, Su, Qu, Zu)−f(u−, Su− , Qu− , Zu−) =
∑
j,k:k 6=j
(V k(u, Su, Qu)−V j(u, Su, Qu))dN jku .
将J jku 的表达式代入(),又因为dN jku = dM jku +λudu,且令υjkt = B−1t (gjkt +V k(t, St, Qt))
−V j(t, St, Qt)), 有
V ∗t = A0 +
∫ t
0
B−1u
∑
j∈J
(Ijug
j
u)du+
∫ t
0
fdB−1u +
∫ t
0
B−1u
∂f
∂u
du
+
1
2
∫ t
0
B−1u
∂2f
∂S∂Q
d〈S,Q〉u + 12
∫ t
0
B−1u
∂2f
∂S2
d〈S, S〉u + 12
∫ t
0
B−1u
∂2f
∂Q2
d〈Q,Q〉u
+
∑
j,k:k 6=j
∫ t
0
υjku λudu+
∫ t
0
∂f
∂S
dXu +
∫ t
0
∂f
∂Q
dYu +
∑
j,k:k 6=j
∫ t
0
υjku dM
jk
u .
由于V ∗t 与上式等号右边的第一、九、十、十一项都为连续鞅, 而第二、三、四、五、六、七、
八项都为有限变差过程, 所以上式的第二、三、四、五、六、七、八项之和为有限变差的连
续鞅, 所以为常数零. 又由于A0 = V ∗0 , 所以上式即为
V ∗t = V
∗
0 +
∫ t
0
( ∑
i∈J
Iiu−ξ
i
u
)
dXu +
∫ t
0
( ∑
i∈J
Iiu−ζ
i
u
)
dYu +
∑
j,k:k 6=j
∫ t
0
υjku dM
jk
u .
证毕. ¤
所以利用定理及引理, 定理的证明就是显然的. 其0-容许的最优对冲策略为
φ = (ξ, ζ, η) =
( ∑
i∈J
Iit−ξ
i
t,
∑
i∈J
Iit−ζ
i
t ,
∑
i∈J
IitV
i(t, St, Qt)B−1t −Xt
∑
i∈J
Iit−ξ
i
t − Yt
∑
i∈J
Iit−ζ
i
t
)
.
风险过程最小值为
Rt(Φ) = E
[( ∑
j,k:j 6=k
∫ T
t
υjku dM
jk
u
)2∣∣∣Ft] = E[ ∑
j,k:j 6=k
∫ T
t
(υjku )
2d〈M,M〉u|Ft
]
= E
[ ∑
j,k:j 6=k
∫ T
t
(υjku )
2λjku du|Ft
]
=
∑
i∈J
Iit
∫ T
t
∑
j,k:j 6=k
E[(υjku )
2|Ft]pij(t, u)µjku du.
182 应用概率统计 第二十四卷
§4. 一个算例
现考虑一个具有保证的单位联结保险合同, 其只在被保险人状态变化之时给予付费.
给定状态空间J = {0, 1, 2}, 其中0表示健康, 1表示给定的某种程度的疾病, 2表示意外死
亡. 在保证被保险人开始保险的时刻为健康的前提之下, 保险公司对被保险人只进行一
次赔付, 之后合同便停止效应. 用T 1x表示被保险人从保险之日起到患有给定的某种程度的
疾病所经过的时间, 用T 2x表示被保险人从保险之日起到意外死亡所经过的时间. 该险种
的数学模型如文章最前面所定义的. 假设状态变化的风险率是相同的均为{µt}, 状态变
换概率为pij(t, u) = exp
(
−
∫ u
t
µτdτ
)
, (i, j = 0, 1, 2). 可见该合同的gj(t, St, Qt, u) = 0,
则F j(t, St, Qt, u) = 0, (j = 0, 1, 2). 令g01(t, St, Qt, u) = max(St, Qt)为被保险人从健康到
患有给定的某种程度的疾病所获得的保险利益, g02(t, St, Qt, u) = max(St, Qt,Ker0t)为被
保险人从健康到意外死亡所获得的的保险利益, K为最低收益.
为替该保险公司找到一个风险最小的对冲策略, 我们可以直接运用前面所给出的定理.
首先我们要求出F 01(t, St, Qt, u)与F 02(t, St, Qt, u). 因为
F 01(t, St, Qt, u) = E[BtB−1u g
01(u, Su, Qu)|Ft],
F 02(t, St, Qt, u) = E[BtB−1u g
02(u, Su, Qu)|Ft], (0 ≤ t ≤ u ≤ T ).
本例中假设r0(t), r1(t, St, Qt), r2(t, St, Qt), σ1(t, St, Qt), σ2(t, St, Qt)均为常数, 分别记
为r0, r1, r2, σ1, σ2. 则模型为
dBt = r0Btdt;
dSt = r1Stdt+ σ1StdW1(t);
dQt = r2Qtdt+ σ2QtdW2(t),
解得
Bt = er0t;
Su = Ste(r1−σ
2
1/2)(u−t)+σ1W1(u−t);
Qu = Qte(r2−σ
2
2/2)(u−t)+σ2W2(u−t).
由于
F 01(t, St, Qt, u) = E[e−r0(u−t) ∗max(Su, Qu)|Ft]
= E[e−r0(u−t)(Qu + (Su −Qu)+)|Ft], ()
F 02(t, St, Qt, u) = E[e−r0(u−t) ∗max(Su, Qu,Ker0u)|Ft]
= E[e−r0(u−t)(Ker0u + (Qu + (Su −Qu)+ −Ker0u)+)|Ft]. ()
令u− t = θ, 先做()
F 01(t, St, Qt, u) = E[e−r0(u−t)Qu + e−r0(u−t)(Su −Qu)1{Su≥Qu}|Ft].
令
a =
ln(St/Qt) + (r1 − r2)θ − [(σ21 − σ22)/2]θ
σ2
√
θ
,
I(a) =
∫ +∞
−∞
ϕ(x1 − σ1
√
θ)N
(
a+
σ1
σ2
x1
)
dx1,
第二期 董莹 冯敬海: 保险赔付中的最优对冲策略 183
所以运算整理可得
F 01(t, St, Qt, u) = E[e−r0θQu] + e−r0θ
∫ +∞
−∞
dx1
∫ a+(σ1/σ2)x1
−∞
(Su −Qu)ϕ(x1)ϕ(x2)dx2
= Qte(r2−r0)θ + Ste(r1−r0)θ
∫ +∞
−∞
ϕ(x1 − σ1
√
θ)N
(
a+
σ1
σ2
x1
)
dx1
−Qte(r2−r0)θ
∫ +∞
−∞
ϕ(x1)N
(
a+
σ1
σ2
x1 − σ2
√
θ
)
dx1
= Ste(r1−r0)θI(a) +Qte(r2−r0)θ(1− I(a− σ2
√
θ)).
再做()
F 02(t, St, Qt, u) = E[(e−r0θSu −Ker0t)1{Su≥Ker0u}]1{Su≥Qu}
+E[(e−r0θQu −Ker0t)1{Qu≥Ker0u}]1{Su<Qu}.
令
h1 =
ln(St/K) + (r1 − σ21/2− r0)θ − r0t
σ1
√
θ
,
h2 =
ln(Qt/K) + (r2 − σ22/2− r0)θ − r0t
σ2
√
θ
,
有
F 02(t, St, Qt, u) =
∫ +∞
−h1
ϕ(x1)e−r0θSuN
(
a+
σ1
σ2
x1
)
dx1
−Ker0t
∫ +∞
−h1
ϕ(x1)N
(
a+
σ1
σ2
x1
)
dx1
+
∫ +∞
−h2
ϕ(x2)e−r0θQuN
(
a+
σ2
σ1
x2
)
dx2
−Ker0t
∫ +∞
−h2
ϕ(x2)N
(
a+
σ2
σ1
x2
)
dx2 +Ker0t.
通过运算整理可得
F 02(t, St, Qt, u) = Ker0t
[
1−
[
σ2 exp
(
− σ
2
2a
2
2(σ21 + σ
2
2)
)
N(h(2)1 )
+σ1 exp
(
− a
2σ21
2(σ21 + σ
2
2)
)
N(h(2)2 )
]/√
2pi(σ21 + σ
2
2)
]
+
[
σ2St exp
(
(r1 − r0)θ − (σ
2
1
√
θ + σ2a)2
2(σ21 + σ
2
2)
)
N(h(1)1 )
+σ1Qt exp
(
(r2 − r0)θ − (σ
2
2
√
θ − aσ1)2
2(σ21 + σ
2
2)
)
N(h(1)2 )
]/√
2pi(σ21 + σ
2
2).
184 应用概率统计 第二十四卷
其中a, h1, h2如前所定义,
h
(1)
1 =
√
σ21 + σ
2
2
σ2
h1 − σ1(a− σ2
√
θ)√
σ21 + σ
2
2
, h
(2)
1 = h
(1)
1 −
σ1σ2
√
θ√
σ21 + σ
2
2
,
h
(1)
2 =
√
σ21 + σ
2
2
σ1
h2 +
σ2(a+ σ1
√
θ)√
σ21 + σ
2
2
, h
(2)
2 = h
(1)
2 −
σ1σ2
√
θ√
σ21 + σ
2
2
.
对于这道例题所给出的条件, 在状态空间J = {0, 1, 2}中, 只有被保险者状态在0→ 1,
0 → 2两种情况下发生改变保险公司才会给予赔付. 又由µjku = µu, p00(t, u) = p01(t, u) =
p02(t, u) = exp
(
−
∫ u
t
µτdτ
)
(其他状态变换概率为0). 则根据前面定理, 可知最优对冲策
略φ = (ξt, ζt, ηt)为
ξt =
∑
i∈J
Iit−ξ
i
t
= I0t−
∫ T
t
p00(t, u)(µuF 01s (t, St, Qt, u) + µuF
02
s (t, St, Qt, u))du
= 1{T 1,2x ≥0}
∫ T
t
e−
∫ u
t µτdτµu
[
(exp((r1 − r0)θ)I(a))
+
σ2 exp((r1 − r0)θ − (σ21
√
θ + σ2a)2/(2(σ21 + σ
2
2)))N(h
(1)
1 )√
2pi(σ21 + σ
2
2)
]
du,
ζt =
∑
i∈J
Iit−ζ
i
t
= I0t−
∫ T
t
p00(t, u)(µuF 01q (t, St, Qt, u) + µuF
02
q (t, St, Qt, u))du
= 1{T 1,2x ≥0}
∫ T
t
e−
∫ u
t µτdτµu
[
(exp((r2 − r0)θ)(1− I(a− σ2
√
θ)))
+
σ1 exp((r2 − r0)θ − (σ22
√
θ − σ1a)2/(2(σ21 + σ22)))N(h(1)2 )√
2pi(σ21 + σ
2
2)
]
du,
ηt = 1{T 1,2x ≥0}B
−1
t
∫ T
t
p00(t, u)µu(F 01(t, St, Qt, u) + F 02(t, St, Qt, u))du−Xtξt − Ytζt
= 1{T 1,2x ≥0}B
−1
t
∫ T
t
e−
∫ u
t µτdτµu
{
Ker0t
·
[
1−σ2 exp(−σ
2
2a
2/(2(σ21 + σ
2
2)))N(h
(2)
1 )+σ1 exp(−a2σ21/(2(σ21 + σ22)))N(h(2)2 )√
2pi(σ21 + σ
2
2)
]
+Ste(r1−r0)θ
(
I(a) +
σ2 exp(−(σ21
√
θ + σ2a)2/(2(σ21 + σ
2
2)))N(h
(1)
1 )√
2pi(σ21 + σ
2
2)
)
+Qte(r2−r0)θ
(
1− I(a− σ2
√
θ)
+
σ1 exp(−(σ22
√
θ + σ1m)2/(2(σ21 + σ
2
2)))N(h
(1)
2 )√
2pi(σ21 + σ
2
2)
)}
du−Xtξt − Ytζt.
第二期 董莹 冯敬海: 保险赔付中的最优对冲策略 185
最小风险表达为
Rt(Φ) = 1{T 1,2x ≥0}
∫ T
t
{p00(t, u)µ00u {E[(υ01u )2|Ft] + E[(υ02u )2|Ft]}
+ p01(t, u)µ01u {E[(υ10u )2|Ft] + E[(υ12u )2|Ft]}
+ p02(t, u)µ02u {E[(υ20u )2|Ft] + E[(υ21u )2|Ft]}}du
= 1{T 1,2x ≥0}
∫ T
t
e−
∫ u
t µτdτµu
[
e−r0t((F 01(t, St, Qt, u))2 + (F 02(t, St, Qt, u))2)
− 2e−r0u(F 01(t, St, Qt, u) + F 02(t, St, Qt, u))
·
∫ u
t
e−
∫ x
t µτdτµx(F 01(t, St, Qt, x) + F 02(t, St, Qt, x))dx
+4e−r0(2u−t)
∫ u
t
e−
∫ x
t µτdτµx(F 01(t, St, Qt, x) + F 02(t, St, Qt, x))2dx
]
du,
其中F 01(t, St, Qt, x)与F 02(t, St, Qt, x)的表达式为将前面给出的F 01(t, St, Qt, u)与F 02(t,
St, Qt, u)的表达式中的θ (θ = u− t)变为θ′ (θ′ = x− t).
由此, 该例题所给出的此险种的最优对冲策略φ = (ξ, ζ, η)就由上面的计算得到了, 最
小风险Rt(φ)也由上面给出来了.
§5. 结 语
保险公司要定期的或在被保险人突发某种意外事件时给与付费, 本文将此付费过程
用一个付费流At描述, 并且令保险公司在金融市场(St, Qt, Bt)上通过购买股票St、兑换外
币Qt以及购买无风险资产Bt来进行投资, 从而保证保险公司所面临的风险最小. 基于这一
目的, 本文利用Galtchouk-Kunita-Watanabe分解定理将给出的风险表达式在此要求的金
融市场模型之下重新表达, 从而找到保险公司所能采取的最优对冲策略. 文章后面举出了
一个具有现实性意义的例子将文中的重要结论加以应用, 给出了一个较为具体与完善的最
优对冲策略的表达, 对于保险公司规避风险具有一定的现实性意义.
参 考 文 献
[1] Mo¨ller, T., Risk-minimizing hedging strategies for insurance payment process, Finance and Stochas-
tics, 5(2001), 419–446.
[2] Nguyen, X., Hedging of contingent claims in incomplete markets, STAT 250 Project Report, Springer,
2002.
[3] Rheinla¨nder, T. and Schweizer, M., On L2-projections on a space of stochastic integrals, The Annals
of Probability, 4(1997), 1810–1831.
[4] Colwell, D., EI-Hassan, N., Kwon, ., Hedging Diffusion Processes by Local Risk-Minimisation
with Applications to Index Tracking, Quantitative Finance Research Centre, University of Technology,
Sydney Research Paper Series.
186 应用概率统计 第二十四卷
[5] Lamberton, D. and Lapeyre, B., Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance, Chapman &
Hall, 2–6 Boundary Row, London SEI 8HN, UK. 1996.
[6] 王春发, 随机利率权益连结保险合同的局部风险最小化, 系统工程学报, 19(2)(2004), 141–147.
[7] 杜立金, 刘继春, 汤思英, 局部风险最小下保险合约的套期保值, 厦门大学学报, 43(3)(2004), 302–305.
The Hedging Strategies of Optimization in Insurance
Payment Processes
Dong Ying
(College of Sciences, Dalian Nationalities University, Dalian, 116600 )
Feng Jinghai
(Department of Applied Mathematics, Dalian University of Technology, Dalian, 116024 )
In this paper we discuss the insurance companies with payment process At hedge their risk to the
level of minimax by buying stocks St, exchanging foreign – currency Qt and buying risk – free asset Bt
in the financial market (St, Qt, Bt). In virtue of Galtchouk-Kunita-Watanabe Decomposition Theorem,
the expression of risk is expressed over again. Then we get the hedging strategies of optimization with
minimal risk. It gives out a realistic example to apply the important conclusion in this paper, which makes
this paper to be more practical.
Keywords: Galtchouk-Kunita-Watanabe Decomposition Theorem, Girsanov Theorem, the hedg-
ing strategies of optimization, payment processes, unit-linked insurance contracts with guarantee.
AMS Subject Classification: 60H30.
