第 21卷第 5期
2007年 9月
甘肃联合大学学报(自然科学版)
Journal of Gansu Lianhe University(Natural Sciences)
Vo1．21 NO．5
Sept．2007
文章编号 ：1672·691X(2007)05’0019‘04
支付红利的欧式期权二叉树模型的矩阵算法
金凌辉，郭丽莎
(1．华中师范大学 数学与统计学学院，武汉 430079；
2．中南民族大学 计算机科学学院，武汉 430074)
摘 要：--y．树方法是期权定价中一种重要的数值方法 ，本文分别对连续支付红利、按已知红利率支付红利和
按已知红利数额支付红利三种情况进行讨论，给出了欧式期权--y．树模型的矩阵形式算法．
关键词：支付红利；欧式期权；二叉树模型；矩阵
中图分类号：O241．6 文献标识码：A
利用二叉树模型为期权估值是期权定价的常
用方法之一，这种方法最早是由John C，Cox S．
Ross A和 Mark Rubinstein于 1979年提 出的(文
献[1])．一般而言要利用二叉树模型为期权估值，
首先是将期权的有效期限 T划分为若干个小时
间段At，并假设在每个小时间段里股价的变化只
有涨和跌两种可能，然后由树的末端即期权到期
日时期权可以确定的价值经过一系列反向推导从
而计算出期权的当前价值，这一系列的推算可归
纳成公式的形式，目前国内相关教科书给出的二
叉树模型的计算公式均为带组合数的二项式形式
(如文献[4]，文献[5])，计算起来较为麻烦。而覃
思乾(z006)~Isl提出了矩阵形式的算法(文献[7])，
显然矩阵更方便使用 MATLAB等数学软件进行
计算，但他的结论是在不考虑红利的情况下给出
的．本文将在考虑红利支付的条件下给出欧式看
涨和看跌期权的二叉树模型的矩阵形式算法．
1 在支付红利条件下的主要结果
一 般而言，红利的支付有三种形式：连续支付
红利、按已知红利率支付红利和按已知红利数额支
付红利，我们现在分别就三种情况讨论相应结果．
1．1 连续支付红利
支付红利的第一种常见形式为连续支付红
利，我们现在将欧式期权的有效期[o，T]分成 N
个长度为At的小时间段，即
0一 to< tl< ⋯ < tN— T．
设当前时刻 t。的股价为 S。，期权的价值为 ，0，期
权的执行价格为 X．股价上升概率为
P— a——d／=——d．
其中 一eVa~i， =e-C,w；一1／u。
由于连续支付红利，设红利率为q，则
口 e(,--q)A
。
这里 r为无风险利率， 为股价波动率．则在期权
到期时的 t 时刻股价有N+1种可能，它们是
So 』_1 Ⅳ一 ， 一 1，2，⋯ ，N + 1。
而此时看涨期权的 N+1种可能价值应为
fN．，一 max(SoUj- 一 X，O)，
一 1，2，⋯ ，N + 1。
看跌期权的 N+1种可能价值应为
fN． 一 max(X— So ．卜 廿 ，O)，
= 1，2，⋯ ，N + 1．
基于以上假设，我们将证明在连续支付红利
的条件下，欧式期权的二叉树模型将满足以下定
理 1，指数期权、货币期权和期货期权都属于连续
支付红利的期权，在使用定理 1为这些期权定价时
应将连续红利率 q换成它们相应的红利收益率．
定理 l 设欧式期权按红利率 q连续支付红
利，在 t 时刻期权的N+1种可能价值分别为
fN，1，fN，2，⋯，，N，肿l。
令行矩阵F一(A．1’A．2’⋯，fw，w+ )，并设 N+1
阶下三角矩阵
G ==
p
1一 P
O
O
O
O
p
1一 P
O
O
O O
O O
O O
P 0
1‘——P 0
收稿 日期 ：2007·04·23．
作者简介：金凌辉(1979‘)，男(瑶族)，广西金秀人，华中师范大学硕士研究生，主要从事金融数学研究．
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20 甘肃联合大学学报(自然科学Xt) 第 21卷
则在当前时刻 t。期权的价值
fo= e-m△‘FG ．
其中矩阵G中的元素p= 亨 为股价上涨
的概率，u=e~-~7， 一1／u，r为无风险利率， 为股
价的波动率，G 为矩阵 G的N 次幂 G 的第一
列．若期权为看涨期权，则
．
j= max(So．J-’ 一 X，0)，
= 1，2，⋯ ，N + 1．
若期权为看跌期权，则
，』一 max(X— So．j- ，0)，
= 1，2，⋯ ，N + 1．
证明 由二叉树方法易知 t 一。时刻在结点
(N一1，1)处的期权价值为
fN--l’l— e_以‘[ N．1+(1一p) ，2]一
e_ ( ．1' ．2’⋯ ， ．肿1)·
(户，1一P，0，⋯ ，0) ．
而在结点(N一1，2)处的期权价值为
fN--。，：=e-rAI[ ，：+(1一p) ．。]=
e-以‘( ．1'fN．2，⋯， ，肿1)·
(0，P，1一 P，0，⋯ ，0) ．
依此类推知在结点(N一1，N)处的期权价值为
fN--1．N—e_以‘[ N．N+(1一p) ， 1]=
e一心 ( ．1' ．2’⋯ ， ，肿1)·
(0，0，⋯ ，P，1一 p) ．
即有
( l-l， 1．2，⋯ ， 1．Ⅳ'0)= e- FG．(1)
再考虑 t 一：时刻，对于 =1，2，⋯，N一1，在结点
(N一2， )处期权的价值应为
fN--2． =e_以‘[PfⅣ-l， +(1一p) 1． 1]一
e_ ( lll， 1．2，⋯ ， 1．Ⅳ'0)·
(0，⋯ ，P，1一 P，0，⋯ ，0) ．
结合式(1)有
( 2．1’ 2．2'⋯ ， 2．Ⅳ-l，*，0)=
e- ( l’l， lf2，⋯ ， 1．Ⅳ'0)·G =
e- △‘FG ．
继续下去可得
(fo，*，⋯，*，0)一 e-m△‘FG ．
即
fo= e-is△‘FG ．
以上证明过程中出现的“*”表示一些不在我们考
虑范围内的实数，事实上容易知道
G =
P
pⅣ- (1一 p)
pⅣ- (1一 p)
CⅣ_ P(1一p)Ⅳ-
(1一 p)
0 0
0 O
0 0
： ：
● ●
* 0
* 0
其中 是组合数，由此可知我们给出的结果与
通常教科书中给出的二项式形式的结果是等价
的．若所考虑的期权是欧式看涨期权，则定理中的
行矩阵 F，即
fN，l， ．2，⋯，fN．肿l
可由公式 ， =max(So 广 dⅣ- ¨ 一X，0)确定；
若所考虑的期权为欧式看跌期权，则 F由公式
fN． =max(X--SoU1一 d 一， ，0)确定．
1．2 按已知红利率支付红利
有些期权的标的资产是按已知红利率在某固
定时间支付红利，在二叉树估值理论中红利可看
作是在除息日使股票价格下降的减少量．假设在
未来某时刻将支付一次红利，且红利率为已知的
． 则在除息 日之前的某时刻 t ，树图上结点处相
应的股价为 S。 ，- d卜，+ ，J=1，2，⋯，i；若时刻 ti
在除息 日之后，则树图上的结点对应的股价为 S。
(1一 ) d卜j¨ ， 一1，2，⋯，i．以上分析方法可
类似地推广到支付多次红利的情形．
当期权的标的资产按已知红利率支付红利
时，股价上升的概率 P—a—d／．一d所涉及的参
数与不付红利的欧式期权是一样的，即
= e~-~7，d= = 1／u，a= era‘．
于是我们可以不加证明地给出适合此类欧式期权
的二叉树模型的矩阵形式算法：
定理 2 设按已知红利率 支付一次红利的
欧式期权在t 时刻期权的N+1种可能价值分
别为
fN^ ，fN．2，⋯，fN．N¨ ，
行矩阵 F和N+1阶下三角矩阵G定义与定理 1
相同，则在当前时刻 t。期权的价值
fo— △IFG ．
~
r／Xt
一 ，，
其中矩阵G中的元素 P= = 为股价上涨的
概率， =e ， =1／．，r为无风险利率， 为股价
的波动率，G 为矩阵G的N 次幂G 的第一列．
若期权为看涨期权 ，则
．
— max(So(1一~)uj- 一 X，0)，
．，一 1，2，⋯ ，N+ 1．
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第5期 金凌辉等：支付红利的欧式期权二又树模型的矩阵算法 21
若期权为看跌期权，则
．
厂Ⅳ．f— max(X—So(1一 ) Ⅳ。什 ，O)，
一 1，2，⋯ ，N + 1．
定理 2是在假设只支付一次红利的情况下给
出的，如果在期权的有效期内按已知红利率 支
付多次红利的话，只需按支付红利的次数计算出
新的 厂Ⅳ． 即可．
13 按已知红利数额支付红利
某些情况下，事先已知红利数额而非红利率
更为现实．如果股价标准差为常数，则二叉树的数
枝在除息 日之后将不再重合，这意味着如果股票
支付多次红利的话，所要估算的结点将变得很多．
对于这样的问题，可将股票价格看作由两部分组
成：一部分是不确定的，而另一部分是期权有效期
内所有未来红利的现值．为便于讨论，我们假设只
有一个除息日r，且 r处于时刻 t 与t 之间．则
在除息 日后股价不确定部分的价值 S 一S。，而在
除息 日前股价不确定部分 的价值 S 一S。一
De r_ ’，其中D为红利．假设 S 的波动率 为
常数，用 。可计算出关于 S 的参数 P、d、 ，这样
就可用通常的方法构造模拟 S。的二叉树图，通过
把未来红利的现值加在除息日前每个结点的股票
价格上，就会使原来的二叉树图转化为另一个模
拟 S0的二叉树图，在除息 日前这个树图上结点对
应的股价为
S。 』一 卜，H +De—r(r- ‘)， 一 1，2，⋯ ，i，
而在除息日后这个树图上结点对应的股价则为
S 严 ‘ ， 一 1，2，⋯ ，i．
根据以上方法，我们可以恢复树枝重合的状
态，而且这种方法还可以直接推广到处理支付多
次红利的情况．最为重要的是，由于树枝的重合，
我们仅须对定理 1做适当修正，就可以得出以下
针对按已知红利数额支付红利的欧式期权的二叉
树模型的矩阵形式算法：
定理 3 设按已知红利数额 D支付一次红利
的欧式期权在 ￡ 时刻期权的 N+1种可能价值
分别为
fN． ，fN" ⋯，fN． ，
行矩阵 F和N+1阶下三角矩阵G定义与定理 1
相同，则在当前时刻 t。期权的价值
t"o：=：e- △ FG ．
一 ra t— J
其中矩阵 G中的元素P一 = 为股价上涨的
概率 一e‘"4Z7， 一1／u，r为无风险利率， 为股
价不确定部分 S 的波动率．G 为矩阵G的N次
幂 G 的第一列．若期权为看涨期权，则
厂Ⅳ． — max(S 一X，O)，
若期权为看跌期权，则
厂Ⅳ． — max(X—S ，O)，
s．一
s。一De f)' 除息 日前，
I s。， 除息日前．
2 实例分析
正如我们在前言里所说，给出二叉树模型的
矩阵形式算法，主要是因为矩阵是数学中最常用
的工具之一，我们最后给出一个实际应用的例子，
跌期权，初始股价为 52元，执行价格为 5O元，无
风险利率为每年 1O ，波动率为每年 4O ，除息
红利．求当前时刻该期权的价值．
将有效期分成 5个时间段，每段长度为 1个
造一个树 图模拟 S ，不难求出红利的现值为
一 2—50元．假设 S 的波动率为每年 4O ，即
利的现值，就可得到的二叉树图模型．
根据定理 3，由公式 fN，j—max(X—S
dⅣ- ，O)不难确定期权在树末端期权到期 日时
f。：。34．0。0。0。00 163 0 034 ：1 I I 1 ． ． O O O O I
G5一 1 0·317。‘163。‘034 0 0 0 I． J 0
． 308 0．317 0．163 0．034 0 0 I
1 0．150 0．308 0．317 0．163 0．034 0 I
1 0．030 0．120 0．185 0．127 0．033 0 I
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22 甘肃联合大学学报(自然科学版) 第 21卷
再由公式 一e-,-sAtFG{可求得当前时刻期
权的价值为 4．605元．
当然 ，由于所分割的时间段只有 5个 ，所得结
果与精确值肯定存在一定误差，但当对有效期分
割得非常小时，求出的结果将会非常接近真实值．
实际上我们这里需要说明的是，用矩阵形式的二
叉树模型对期权进行估值时，关键在于矩阵 F和
G的确定，红利支付带来的影响对我们而言仅仅
是 F或G的取值，一旦确定了 F和G，我们就可
以忽略掉通常二叉树方法一步步反向推导的繁杂
过程．
3 结语
本文讨论的对象是支付红利的欧式期权，实
际上由于 B—S公式的存在，很多时候我们可以
在连续时间情形下更为精确她为欧式期权定价．
不过有些期权如美式看跌期权却是没有精确的公
式解的，因此我们这里所讨论的二叉树模型矩阵
形式算法显然更适合于美式看跌期权的估值，但
美式期权相对于欧式期权而言较为复杂，其结果
还待进一步研究．
参考文献 ：
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[73覃思乾．基于二叉树模型期权定价的矩阵形式算法
[J]．广西师范学院学报，2006，23(1)：26-30．
The M atrix Form Algorithm for Binomial M odel of
European Option of Dividend—Paying
J IN Ling—hui，GUO Li—sha
(1．Department of Mathematical and Statistics，Central China Normal University，W uhan 430079，China；
2．School of Computer Science，South China Minority University，W uhan 430074，China)
Abstract：Being a method of option pricing，binomial tree methods(BTM)is very important．In this ar—
ticle，the authors give the matrix form algorithm for binomial model of European option under three
kinds situation：paying a continuous dividend yield，paying dividend which yield is known，paying div—
idend which dollar amount iS known．
Key words：dividend-paying；European option；binomial model；matrix
们 0 眦 M 弧
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