- 1 -
中国科技论文在线
开放系统状态的收敛表达式
赵峰*
作者简介：赵峰，(1970-)，男，工程师，研究方向：系统科学，环境保护，给排水
（南阳仲水环保技术应用中心，河南 南阳 473000）
摘要：物体在一定条件下都会存在一定的内在状态，通过用数学逻辑分析的方法对有机物降
解过程进行推导，发现约束性收敛是系统的一种状态属性，并可建立一种系统约束性守衡的
收敛状态表达式。在满足同等边界条件的情况下，从有机物推导的状态收敛表达式可推广到
一般性开放系统的状态表达。系统的状态约束性守衡收敛表达式可以简化系统状态的解析方
法，改善状态控制的模型，并有助于进一步建立系统的边界条件差值干扰、状态结构运算律、
差别主体等多种系统研究新方法。
关键词：系统科学；约束性守衡；收敛；变量干扰；结构解析；差别主体
The convergence of open expression of the system state
Zhao Feng
(Nanyang Zhong Water Environmental Technology Applicatiom Center,
HeNan NanYang 473000)
Abstract: Objects under certain conditions, there will be some internal state, through the use of
mathematical logic analysis method to derive the degradation process of organic matter and found
convergence of binding properties of a state of the system, and establish a system of conservation of the
convergence of binding state expression. To meet the same boundary conditions, derived from the
organic expression of the state of convergence can be extended to the expression of the general state of
open systems. Binding state of the system can simplify the expression of conservation of the system
state converge analytical methods to improve the model of state control, and help to further establish
the difference between the boundary conditions of the system disturbance, the state structure,
operations law, and other systems of the main differences New methods.
Keywords:System science; conservation of binding; convergence; variable interference; Structure;
different subject
0 引言
自然界中，当一个生物经过成长进入成熟期后，就会保持一个相对稳定的状态，随着时
间的推移以及各种因素的作用，生物随后进入了衰退、衰亡的状态，自然界系统是复杂的［1］，
但状态是自然界中一般性的内在属性。自系统论建立了不同于还原论的理论［2］，科学家们
建立了一系列与系统科学、复杂性相关的新兴理论，其中耗散结构理论提供了对开放系统远
离平衡态的状态描绘［3］，系统工程则从工程应用的角度提供了状态及输入、输出模型的工
程方法［4］，但是基于输入-输出关系传递函数的表达方式，主要是从状态的外部进行描述，
缺乏对于系统内在状态的描述。本文目的是推导系统的内在状态表达模式，首先把对一般性
状态问题的研究约束为对有机物降解问题的分析，借助数学分析的方法推导状态表达模式，
然后通过对状态表达式及边界条件的分析，拓展为一般性状态表达式。由本文所形成的系统
内在状态收敛表达式的观点具有基础性研究的特点和实用性，对于系统科学、复杂性理论、
控制理论、系统工程等领域的研究是一个有益的基础性补充。
- 2 -
中国科技论文在线
1 方法和假设
基本方法
1. 把具有衰变性的一般性系统状态问题缩小化，通过对有机物降解过程的状态研究，
作为推导相应约束性状态表达式的路径。
2. 进行边界条件约束，采取逻辑性数学推导的方法，从基本假设出发，通过逻辑性的
数学与物理分析开展分析和推导。
3. 探讨系统状态表达式的应用方向和分析方程，进行一般性推广拓展。
对系统进行约束
1、具有物质与能量交换的开放系统；
2、确定系统的内在状态对象及边界条件，如：以系统物质的质量为内在状态对象，相
对于状态目标对象以外的输入、环境因素、条件等都视为边界条件。
3、系统的目标主体对象具有衰变性。
目标主体的设定
以有机物降解过程的质量衰减变化为状态研究对象。
基本假设
1. 遵循物质的质量守恒律；
2. 有机物的降解速率不同，在充分的理想条件下，最终都会完全降解。
2 有机物降解过程的状态建模分析
有机物的概念及特点
有机物即有机化合物，通常是对碳化合物、碳氢化合物及其衍生物的总称。与无机物相
比，有机物的热稳定性比较差，除少数有机物外，一般都能燃烧，受热容易分解。有机物一
般难溶于水，有机物的反应相对复杂，反应速度一般比较缓慢。利用有机物的反应过程缓慢
的特点，从宏观观测和认识的角度，有利于进行反应过程分析及状态的研究。
除少数低分子有机物外，有机物一般拥有多个碳原子，在热、光、化学试剂、微生物等
外部因素的作用下，有机物由相对的高分子分解为小分子，碳原子数量减少，分子量降低。
这里把有机物的降解过程看成是有机物由高分子分解为小分子的过程。
在一定边界条件下，根据有机物降解速率的快慢，把降解速率快的有机物称为易（可）
降解有机物，把降解速率慢的有机物称为难降解有机物。
有机物状态表达式推导
设：未降解的有机物质量为 M，已降解的有机物质量为 M’，有机物的初始质量为 0M ；
根据假设条件，在理想条件下，有机物最终完全降解。有机物在一个理想的容器中进行
降解，未降解的有机物存在于容器中，已降解的有机物排出容器。
系统中有机物的质量遵循物质质量的守恒律：
初始时：M =M0， M’=０
中间过程ｎ时： /0 nn MMM += （１）
- 3 -
中国科技论文在线
式中： nM ——初始有机物 M0经过 n 时，剩余未降解有机物的质量；
/
nM ——初始有机物 M0 经过 n 时，已经降解有机物的质量；
从有机物降解速率的区别，把有机物分成易（可）降解和难降解两部分，对于易降解有
机物与难降解有机物分界时间点的界定，设在有机物降解过程中的某一时间点λ，有机物中
已经完成降解且降解速率极限趋于零的部分是易降解有机物，在该时间点λ仍未开始降解的
有机物是难降解有机物，难降解有机物在时间大于λ的充分理想条件下完全降解。
λ ——分界时间，区别易降解有机物与难降解有机物的分界时间；
初始时：M =M0， M’=０ ：
−+ += 000 MMM (2)
式中： +0M ——初始有机物中难降解部分的质量；
−
0M ——初始有机物中易（可）降解部分的质量；
−+ += nnn MMM ( 3)
式中： −nM ——初始有机物 M0经过 n 时，有机物中可降解部分的质量；
+
nM ——初始有机物 M0 经过 n 时，有机物中难降解部分的质量；
把式（3）代人式（1），得：
/
0 nnn MMMM ++= −+ （4）
有机物降解的质量比衰减速率：
dt
dM
M
v •−=
0
1 （5）
dt
dM
M
v
−
−
− •−=
0
1 （6）
dt
dM
M
v
+
+
+ •−=
0
1 （7）
式中：v ——有机物降解质量的比衰减速率；
v- ——易（可）降解有机物质量的比衰减速率；
v+ ——难降解有机物质量的比衰减速率；
dt
dM ——有机物质量衰减速率；因
dt
dM =
dt
MM nn 1−− ＜0，v ＞0，故（2）式为负号；
dt
dM − ——易降解有机物质量的衰减速率；因
dt
dM −
=
dt
MM nn
−
−
− − 1 ＜0，v- ＞0，故（3）
式为负号；
+
dt
dM ——难降解有机物质量的衰减速率；因
+
dt
dM
=
dt
MM nn
+
−
+ − 1 ＜0，v+ ＞0，故（4）
式为负号；
dt——有机物衰减单位时间；
比衰减速率的无穷级数判敛：
- 4 -
中国科技论文在线
∑∑ ∑ ∞
=
∞
=
∞
=
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ •−=
101 0
11
n
n
n nn
n
n dt
dM
Mdt
dM
M
v （8）
因 dt 为一个单位时间，数值为 1，则： 0
1
M
dt
dM
n
n −=∑∞
=
；
故：∑∞
=1n
nv =1， ∑∞
=1n
nv 收敛；
同理：
∑∞
=
−
1n
nv ＝1，∑∞
=
−
1n
nv 收敛；
∑∞
=
+
1n
nv ＝1，∑∞
=
+
1n
nv 收敛；
nn vvvSv +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++= 21 （9）
−−−− +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++= nn vvvSv 21 (10 )
++++ +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++= nn vvvSv 21 （11）
式中： nSv ——衰减程度，即有机物质量 n 单位时间的比衰变速率之和；
−
nSv ——易（可）降解有机物质量 n 单位时间的衰减程度；
+
nSv ——难降解有机物质量 n 单位时间的衰减程度；
由此得已降解有机物的质量：
/
nM =M0· nSv （12）
将（12）代人（1），得：
nM =M0·(1－ nSv ) （13）
同理：
( )+++ −= nn SvMM 10 （14）
( )−−− −= nn SvMM 10 （15）
把（14）（15）代人（3）,得：
Mn = ( ) ( )−−++ −+− nn SvMSvM 11 00 （16）
当 +nSv =0，则：Mn = +0M ＋ ( )−− − nSvM 10
当 +nSv =１， −nSv =１，则： −+ += nnn MMM = ( ) ( )−−++ −+− nn SvMSvM 11 00 =０
表示有机物完全降解。
当 n ≥λ， −nSv =１，则：
−+ += nnn MMM ＝ ( ) ( )−−++ −+− nn SvMSvM 11 00
＝ +0M （１－ +nSv ）＋ −0M （１－１）
＝ +0M （１－ +nSv ）
当 −nSv =0，则：Mn= +0M ，表示有机物处于不降解状态。
- 5 -
中国科技论文在线
连续输入有机物时：
依据质量守恒律，输入的有机物质量的总量：
/
nnn SSI += （17）
nI ——连续输入ｎ单位时间的有机物总量；
nS ——有机物经过ｎ单位时间降解，容器中未降解有机物的质量；
/
nS ——有机物经过ｎ单位时间降解，已降解有机物的质量；
在理想条件下，向容器中连续输入有机物进行降解，单次输入有机物质量恒定为 M0。
经过ｎ时输入的有机物质量为： nI ＝ｎ· 0M （18）
把（2）代人（18）得： nI ＝ｎ· ( )−+ + 00 MM （19）
根据式（3），未降解有机物由已降解有机物与难降解有机物组成，则：
−+ += nnn SSS （20）
+
nS ——有机物经过ｎ单位时间降解，容器中难降解有机物的质量；
−
nS ——有机物经过ｎ单位时间降解，容器中未降解的易（可）降解有机物的质量；
设在理想条件下，不考虑输入条件变化的影响，单批次输入时有机物降解的质量比衰减
速率ｖ，v- ，v+与连续输入时对应的各批次有机物降解的质量比衰减速率ｖ，v- ，v+相同。
−
nS ＝ −−− +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++ nMMM 21 （21）
+
nS ＝ +++ +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++ nMMM 21 （22）
设理想条件下根据式（2）， +0M 确定，当 +nSv ＝0 时， ++ = 0MM n ，代人式（22）；
得： +nS ＝ｎ +0M （23）
对于易（可）降解有机物来说，由（15）式 ( )−−− −= nn SvMM 10 ；
当ｎ＝λ，易降解有机物充分降解衰减， −λSv ＝１；
−
λS ＝ −−− +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++ λMMM 21
＝ ( )−− − 10 1 SvM ＋ ( )−− − 20 1 SvM ＋……＋ ( )−− − λSvM 10 （24）
−
λS ——连续输入有机物至分界时间λ，容器中未降解的易（可）降解有机物的质量；
−
λSv ＝１， −∞→ nn Svlim =
−
λSv ，即 −−∞→ = λSSnnlim ；那么，根据无穷级数收敛定义， ∑
∞
=
−
1n
nM
收敛；
则： −
∞
=
− =∑ λSM
n
n
1
； （25）
设α ＝ ∑∞
=
−−
1n
nn MS ＝ −
−
λS
Sn ； 则： −nS ＝α · −λS （26）
把（23）（26）代人（20），得： nS ＝ +⋅ 0Mn ＋ −⋅ λα S （27）
把（27）代人（17）得： /nnn SSI += ＝ +⋅ 0Mn ＋ −⋅ λα S ＋ /nS （28）
- 6 -
中国科技论文在线
把（2）代人（18）得： nI ＝ｎ· ( )−+ + 00 MM （29）
把（28）代人（29）得： /nS ＝ nI － nS ＝ −⋅ 0Mn － −⋅ λα S （30）
3 结果
由以上过程中得到状态的两个表达式：
nS ＝ +⋅ 0Mn ＋ −⋅ λα S
/
nS ＝ −⋅ 0Mn － −⋅ λα S
nS 表示了被约束了的有机物在ｎ时的结构及质量， /nS 表示了ｎ时已降解的有机物的质
量。
从质量守恒的角度得到：
nI ＝ +⋅ 0Mn ＋ −⋅ λα S ＋ /nS
4 应用示例
有机物降解动力学的关系式一般依据 Monod 关系式［5］，当采用级数收敛的有机物降解
状态表达式，能够简化并解决一些应用问题，如下例。
化粪池是基本的生活污水及污泥处理设施，污泥是化粪池的累积物。国家建筑标准设计
图集中，化粪池的污泥容积计算模型［6］是相对于时间的线性关系，不能客观反映化粪池的
容积，虽然通过污泥缩减系数进行修正，但是包含修正系数的数学模型也是时间的线性计算
关系。我国化粪池的设计清掏周期一般为 90 天、180 天、360 天，对于超出 360 天的化粪池
污泥容积计算的适用公式并未见到相关说明。在化粪池的实际应用中，清掏周期多数都超过
设计清掏周期，有的甚至是十倍以上的污泥停留时间，这可能就存在计算偏差的影响。
采用现行的化粪池污泥计算模式的不利影响是：
1. 污泥清掏周期短，持续产生清掏费用，浪费大量的物力、财力；
2. 产生大量的清掏污泥，污泥有进一步处理处置的需求，存在二次污染的隐患；
3. 不能评估清掏超期情况下的风险，不利于管理；
利用有机物降解的状态表达式 nS ＝ +⋅ 0Mn ＋ −⋅ λα S ，可简化化粪池污泥的计算，在一
定边界条件下，化粪池污泥 +0M 和 −⋅ λα S 的数据是可以通过实验及计算得到的，在该模式下，
−⋅ λα S 是一个恒定值， +⋅ 0Mn 是时间的线性关系。通过该状态模式的数学计算，可以近似
求得化粪池中不同污泥停留时间的污泥容积，建立污泥腐化期以外 360 天以上的污泥清掏周
期的数据关系，消除化粪池设计清掏周期不完善所产生的负面影响。
5 讨论
从有机物降解状态表达式的推演过程及结果，可以推广到以下的讨论内容。
关于系统收敛守衡的属性
从结果中看到，有机物降解时质量衰减的状态都与 −λS 有关，在一定边界条件约束下， −λS
是一个级数收敛的衡定值。为了更好表达，以 O 表示 −λS ，作为系统状态的约束性守衡值，
可用符号 O 表示系统状态的约束性收敛值。一定条件下状态约束性收敛值是衡定的系统状
- 7 -
中国科技论文在线
态，可简称为系统状态的衡敛值，把系统的这种属性称为系统的衡敛性。通过系统状态的衡
敛性建立状态方程计算，可以把复杂的非线性过程简化为一个量化值，由系统状态的衡敛值
建立的系统状态方程称为系统衡敛方程或系统状态衡敛表达式。
系统输出的两种定义
对于系统基本状态的输出，在特定系统中，输入、环境边界条件、内在状态决定了系统
的输出；这种意义上的输出是建立在状态空间对应关系上的一个基本状态系统的输出。
相对于系统基本状态的边界条件发生改变时，系统内在状态相应受到影响而产生变化，
系统内在状态由系统基本状态变化为另一状态。把系统基本态的改变也看成是一种输出。
系统边界条件干扰的解析法
目标对象的状态受边界条件约束，以有机物的状态看，受到输入条件、时间、容器条件、
温度、气压、PH 值、假设、外部环境条件等多方面的作用。当边界条件变化时，即对系统
的基本状态产生了干扰，系统状态的输出发生变化，可用 Fb 表示边界条件对系统基本状态
的作用。系统的状态表达式因此分别表示为：
nS ＝ bF ：（ +⋅ 0Mn ＋ −⋅ λα S ）或 nS ＝ bF ：（ +⋅ 0Mn ＋ O⋅α ） (31)
/
nS ＝ bF ：（ −⋅ 0Mn － −⋅ λα S ）或 /nS ＝ bF ：（ −⋅ 0Mn － O⋅α ） (32)
bF ——边界条件对系统基本状态的干扰作用。
这里用“：”作为表示边界条件对系统作用相对关系的符号。（暂时以该方式表示）
基态的 bF ＝1，由于同一状态中的 +⋅ 0Mn 和 O⋅α 的稳定性不同，受到 bF 干扰所产生
的影响也不同，需具体分析。式（31）表示边界扰动作用分别对系统的衡敛值和累积叠加值
产生干扰，式（32）表示边界扰动作用分别对系统衡敛值和分解叠加值产生干扰。
若系统的基本态为 I，边界条件对于基态的作用为 bF ，则输出状态＝ bF ：（I）。
bF 的作用是相对于系统基本状态边界条件产生变化的差值干扰，这类解析方法可归为
系统边界条件差值干扰法或变量干扰法。
系统的衡敛性对数学运算律的适用性
易降解有机物与难降解有机物是相对而言的，在充分的条件下，难降解有机物也将完全
降解，这表明难降解有机物只是可降解有机物的特殊情况。有机物的降解在整体上存在无穷
级数收敛的特性，在多种有机物共存情况下，每种有机物都遵循级数收敛的特性，因此，有
机物的状态表达模式可适用于收敛级数的性质及运算律。同样，通过数学运算律，可以对一
个衡敛性的状态表达模式进行结构分解和解析。
有机物除了分解还存在合成，利用状态的收敛级数特性对结构分解进行数学解析，可以
把合成过程转化为对分解过程的结构分析。这种通过收敛级数性质和数学运算律对系统状态
进行结构分解的解析方法，可归为系统状态的结构运算律法或结构解析法。
系统衡敛表达式的一般性及无量纲化
有机物降解的状态衡敛表达式是以有机物的质量为基本对象的，如果换成能量或者无机
物形式，或者其他非物质状态的基本对象，在满足１、开发的系统；2、确定系统的基本状
态对象和边界条件；3、状态对象具有衰变性；满足上述条件的系统在理论上都可适用状态
- 8 -
中国科技论文在线
衡敛表达模式。其中的关键在于对状态对象及边界条件的确定。
因此，可以尝试着对有机物降解的状态衡敛表达式进行推广，进行无量纲化的一般性表
达，在针对一定的状态对象展开建模时，可根据情况进行相应的量纲化变换。
采用无量纲的衡敛状态表达模式，可看做表示开放系统的衡敛状态表达式。在无量纲的
系统衡敛状态表达式中， nS 表示系统中未衰变的量， /nS 表示系统中已衰变的量； +0M 表示
初始状态中的稳定值， −0M 表示初始状态中的不稳定值；O 表示系统状态对象的衡敛值。
对系统建立不同的衡敛方程
对于同一个系统，选择不同的状态目标对象的主体，就可以建立不同的基于主体的衡敛
方程，比如有机物的降解过程，除了质量的衰减，同样存在能量的衰减，分子数量的变化、
体积变化，温度变化等，因此，可考虑根据输出目的和可测性条件选择适宜主体对象。这类
建立衡敛表达式的方法可归为状态表达的差别主体法。
不足和期望
系统状态的衡敛表达式为系统研究提供了一个工具，虽然可以有效解决部分问题，但是，
系统问题涉及内容很广，具有复杂性，基于状态衡敛模式的相关研究只是初始阶段，相关理
论的表达还明显不够，面对复杂对象和应用的拓展，尚需进行更多的理论性研究和完善。在
上面的推导和讨论中，主要给出了系统衡敛性及状态表达式，但是涉及状态结构的运算律法、
边界条件干扰解析法、差别主体法、状态空间解析、无量纲表达等方面还只是简单的概括性
讨论，希望以后能够对相应内容逐步完善。
6 结论
本文给出了衰变的开放系统中存在衡敛性状态属性的结论，并且基于状态的衡敛性进行
了推广，得出下面的结论。
1. 在开发系统中，当系统状态中存在衰变，则存在收敛级数的状态，状态收敛级数是
一个受边界条件约束的量，衡敛性是系统的内在状态属性。
2. 把通过系统状态收敛级数构成的方程称为系统衡敛表达式或系统衡敛方程，可构建
基于边界条件的状态表达式：
nS ＝ bF ：（ +⋅ 0Mn ＋ O⋅α ）
/
nS ＝ bF ：（ −⋅ 0Mn － O⋅α ）
受边界条件影响的输出状态为 bF ：（I）。
3. 应用收敛级数不但可简化系统状态的计算过程，系统状态衡敛性也适用于数学运算
中的收敛级数性质及运算律，可利用该特性建立系统结构分解解析。
[参考文献]
[1]米.沃尔德罗普，复杂-诞生于秩序与混沌边缘的科学[M]，陈玲译，北京： 三联书店出版，
[2]冯.贝塔朗菲， 一般系统论[M]， 林康义译，北京：清华大学出版社，
[3]伊.普利高津，伊.斯唐热， 从混沌到有序[M]，曾庆洪、沈小峰译，上海：上海译文出版社， 1987
[4]钱学森等， 论系统工程（新世纪版）[M]， 上海： 上海交通大学出版社，
[5]排水工程（下册）， 哈尔滨建筑工程学院主编[M]， 中国建筑工业出版社， 1987
[6]国家建筑标准设计图集 03S702[S]， 中国建筑标准设计研究院编制，中国计划出版社，
