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不同离散混沌系统的广义同步1
林达，王兴元
大连理工大学电子与信息工程学院，辽宁大连 (116024)
摘 要：根据 Lyapunov稳定性理论，提出了一种实现了不同离散混沌系统间的全局广义同
步的新方法，并给出了理论上的证明．利用该方法对三维 Grassi-Miller 映射和二维 Hénon
映射之间以及三维广义Hénon映射和三维Grassi-Miller映射之间的全局广义同步进行了仿真
实验，实验结果进一步证明了该方法的有效性．
关键词：离散混沌系统；Lyapunov稳定性理论；广义同步．
中图分类号： TP 273 文献标识码： A
0 引言
自从 1990年，Pecora和 Carroll实现了具有不同初始状态的两个相同混沌系统的同步以
来[1]，由于混沌同步在保密通信，生物科学，化学反应，社会科学等诸多领域所具有的潜在
应用价值，使得混沌同步的研究引起人们的极大兴趣并在理论及实验上取得一些重要成果
[1-12]．现如今，人们已发现了各种各样的混沌同步现象，如完全同步[1-3]，相同步[4, 5]，滞后
同步及预期同步[6, 7]，和广义同步[8-12]等．目前，已获得的理论成果多为关于同一混沌系统
的自同步[13]．然而，在生物科学和社会科学中经常需要讨论不同混沌系统的异同步问题[14,
15]。可见研究不同混沌系统的广义异同步具有较深远的理论意义和应用价值．众所周知，自
然界中许多现象是由离散影射系统来描述的，且离散影射不同于连续动力系统．为此，本文
提出了一种新方法实现了不同离散混沌系统间的全局广义同步，理论分析和数值实验均证明
了本方法的有效性．
1 广义同步方案
考虑如下耦合离散混沌系统
⎩⎨
⎧
++=+
+=+
)),(),(()),(()()1(
)),(()()1(
nnnnnnn
nnnn
YXUYGBYY
XFAXX ， (1)
这 里 T1 2( , , , )nx x x= …X ， T1 2( , , , )my y y= …Y ( )m n m n= ≠或 为 状 态 向 量 ，
mmnn RR ×× ∈∈ BA , ， )(),( nn BYAX 是线性部分， )),((),),(( nnnn YGXF 为非线性向量
函数或分段线性函数， mRnnn ∈)),(),(( YXU 是控制器．系统(1)的第一个子系统为驱动系
统，第二个子系统为响应系统．
定义 1 对于给定的矢量影射 mn RR →:φ ，若存在控制器 mRnnn ∈)),(),(( YXU 使
得系统(1)的解满足
0))(()(lim =−∞→ nnn XY φ ， (2)
则称系统(1)是广义同步的．
为了研究系统(1)的广义同步，定义系统(1)在第 n次迭代时的广义同步误差为
( ) ( ) ( ( ))e n n nφ= −Y X ，
1本课题得到国家自然科学基金(编号：60573172)和高等学校博士学科点专项科研基金(编号：20070141014)
的资助。
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从而系统(1)中的驱动子系统与响应子系统之间的误差动力系统可表示为
))1(()1()1( +−+=+ nnne XY φ
( ) ( ( ), ) ( ( ), ( ), ) ( ( )) ( )n n n n n n n nφ= + + −BY G Y U X Y D X X ， (3)
其中 ))(( nXDφ 是影射 ))(( nXφ 的雅克比矩阵．
由定义 1 可知，对耦合系统(1)的广义同步研究可归结为对系统(3)的零解渐进稳定性的
分析．为此，下面讨论系统(3)的零解渐进稳定性．
定理 1 对于满足系统(3)的耦合系统(1)，若控制器设计为
))(()())(()),(()))(()(( nnnnnnn XBXXDYGXYKU φφφ −+−−= ， (4)
则耦合系统(1)将获得广义同步．其中 mmR ×∈K 为待定误差反馈增益矩阵．
证明：把式(4)代入式(3)可得误差系统为
)()()()1( nenenene QBK =+=+ ． (5)
令
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+++
+++
+++
=+=
mmmmmmmm
mm
mm
bkbkbk
bkbkbk
bkbkbk
"
#%##
"
"
2211
2222222121
1112121111
BKQ ．
构造 Lyapunov函数为
∑
=
=
m
i
i nenV
1
)()( ，
易证 0)( ≥nV ． )(nV 的变化率为
∑ ∑ ∑∑∑
= = == = ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+≤−+=−+=∆
m
i
m
i
i
m
j
ijiji
m
i
m
j
jijij nebknenebknVnVnV
1 1 11 1
)(1)()()()()1()(
． (6)
因此，若
1
1( 1,2, , )
m
ij ij
j
k b i m
=
+ ≤ =∑ … ， (7)
则 0)( ≤∆ nV ．根据 Lyapunov稳定性理论，误差系统(5)的零解是全局渐进稳定的，即耦合
系统(1)获得了全局广义同步．证毕．
2 仿真实验
为了验证本方法的有效性，下面分别以 mn ≠ 和 mn = 两种情况进行讨论．
mn ≠
令驱动系统为三维 Grassi-Miller映射[16]：
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=+
+−−=+
)()1(
)()1(
)()()1(
23
12
2
231
nxnx
nxnx
nxnxnx
； (8)
响应系统为二维 Hénon映射[17]：
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⎩⎨
⎧
=+
+−=+
)()1(
)()()1(
12
2
2
11
nyny
nynyny ． (9)
图 1给出了 Grassi-Miller映射和 Hénon映射的混沌吸引子．
把系统(9)表示成系统(1)的形式，可得
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
10
B ， ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
0
)(
)),((
2
1 nynnyG ．
定义
[ ]T1 2 3( ( )) 2 ( ), ( )n x n x n xφ = − +X ， (10)
则
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=
002
))(( nXDφ ．
由
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
+=+=
2221
1211
1
kk
kk
BKQ ，
选择
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
K
满足式(7)．
(a) Grassi-Miller吸引子 (b) Hénon吸引子
图 1 系统(8)和系统(9)的混沌吸引子
采用上述参数，根据式(4)设计控制器U ，选取驱动系统(8)和响应系统(9)的初值分别为
)0(1 =x ， )0(2 =x ， )0(3 =x 和 )0(1 =y ， )0(2 −=y ，在迭代 500次后
打开控制器．图 2给出了驱动-响应系统的广义同步误差 )()()( 21 nenene += 的效果图，图
3给出了系统(8)和系统(9)实现广义同步时的相图．从图 2可以看出，控制器打开后误差 )(ne
很快稳定于零点，这表明系统(8)和系统(9)获得了广义同步．
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n
(a) 广义同步误差曲线 (b) 广义同步时的相图
图 2 系统(8)和系统(9)的广义同步效果图
mn =
令驱动系统为三维广义 Hénon映射[18, 19]，由下式给出
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+−+=+
−+=+
=+
22
3213
2
322
31
))()(1()(1)1(
))()(1()1(
)()1(
naxnxanxnx
naxnxbnx
nbxnx
， (11)
当 , == ba 时，系统(11)进入混沌态[18, 19]，图 4为对应的混沌吸引子．响应系统为
由系统(8)给出的三维 Grassi-Miller映射．
图 4 三维广义 Hénon吸引子
把系统(8)表示成系统(1)的形式，可得
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ −
=
010
001
B ，
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ −
=
0
0
)(
))(),((
2
2 ny
nnyG ．
定义
[ ]T1 2 3 3( ( )) 2 ( ), ( ) ( ), ( )n x n x n x n x nφ = − +X ， (12)
则
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−=
110
002
))(( nXDφ ．
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由
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
−
=+=
333231
232221
131211
1
1
kkk
kkk
kkk
BKQ ，
选择
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=
K
满足式(7)．
采用以上参数，根据式(4)设计控制器U ，选取驱动系统(11)和响应系统(8)的初值分别
为 )0(1 −=x ， )0(2 =x ， )0(3 =x 和 )0(1 =y ， )0(2 −=y ，
)(3 =ny ，在迭代 500 次后打开控制器．图 5 给出了驱动-响应系统的广义同步误差
)()()()( 321 nenenene ++= 的效果图，图 6给出了系统(11)和系统(8)实现广义同步时的相
图．从图 5 可以看出，控制器打开后误差 )(ne 很快稳定于零点，这表明系统(11)和系统(8)
获得了广义同步．
n
(a) 广义同步误差曲线 (b) 广义同步时的相图
图 2 系统(11)和系统(8)的广义同步效果图
3 结论
本文研究了不同离散影射混沌系统间的广义同步问题，提出了一种有效的广义同步方
案．理论分析表明，合理地选取误差增益矩阵即可实现离散影射混沌系统之间的广义同步．通
过仿真实验进一步验证了本文所提方案的有效性．
本文所设计的控制器具有一定的鲁棒性，不仅可以实现相同维数离散影射混沌系统之间
的广义同步，而且也适用用于不同维数离散影射混沌系统之间的广义同步问题．
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参考文献
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Generalized synchronization in different discrete-time
chaotic maps
Lin Da, Wang Xingyuan*
School of Electronic & Information Engineering, Dalian University of Technology, Dalian,
China (116024)
Abstract
In this paper, the generalized synchronization of different discrete-time chaotic maps is investigated.
Based on Lyapunov stability theory, a new method is proposed to achieve generalized synchronization
between two different discrete-time chaotic maps. The schemes are successfully applied to two groups
of examples: the generalized synchronization between 3D discrete-time Grassi-Miller map and 2D
Hénon map; the generalized synchronization between 3D generalized Hénon map and 3D discrete-time
Grassi-Miller map. The corresponding numerical results are presented to verify the effectiveness of this
method.
Keywords: discrete-time chaotic maps; Lyapunov stability theory; generalized synchronization
作者简介：
林达，男，1974年 6月生，博士生，主要研究方向为混沌控制和同步；
王兴元，男，1964 年 6 月生，博士，教授，博士生导师，主要研究方向为混沌与分形理论
及应用，E-mail: wangxy@.
