§ 协方差及相关系数
一、协方差
二、协方差矩阵
三、相关系数
四、条件数学期望
五、条件期望的预测含义
一、协方差
对于二维随机变量，除了讨论X与Y的数学期望和方差以外，还需要讨论描述X与Y之间相互关系的数字特征，本节讨论这方面的数字特征。
E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)E(Y-EY)
又 E(X-EX)=0, E(Y-EY)=0
所以 E(X-EX)(Y-EY)=0。
1、定义
设(X，Y)为二维随机向量，EX，EY均存在，如果E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}存在，则称其为随机变量X与Y的协方差，记为cov(X,Y) ，即
cov(X,Y)= E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
可以证明，如果X，Y 的方差存在，则协方差cov(X,Y)一定存在，且满足下列不等式
2、协方差的性质
5) D(aX+bY)=
6) 若 X与Y 独立，则 cov(X, Y)=0, D(X+Y)=DX+DY
例
解：
例
解：
(
)
的联合密度函数为
，
设连续型随机向量
Y
X
(
)
î
í
ì
£
£
£
=
其它
，
0
1
0
8
y
x
xy
y
x
g
î
í
ì
£
£
-
=
其它
0
1
0
)
1
(
4
)
(
2
x
x
x
x
g
X
．
，
求
)
(
)
,
cov(
Y
X
D
Y
X
+
î
í
ì
£
£
=
其它
0
1
0
4
)
(
3
y
y
y
g
Y
ò
+¥
¥
-
=
dx
x
xg
EX
X
)
(
ò
-
=
1
0
2
)
1
(
4
dx
x
x
x
15
8
=
例(续1)
D(X+Y)
1
0
)
1
(
4
)
(
2
£
£
-
=
x
x
x
x
g
X
，
1
0
4
)
(
3
£
£
=
y
y
y
g
Y
，
15
8
=
EX
ò
+¥
¥
-
=
dy
y
yg
EY
Y
)
(
ò
=
1
0
2
4
dy
y
y
5
4
=
9
4
=
EXY
ò
+¥
¥
-
=
dx
x
g
x
EX
X
)
(
2
2
ò
-
=
1
0
2
2
)
1
(
4
dx
x
x
x
3
1
=
ò
+¥
¥
-
=
dy
y
g
y
EY
Y
)
(
2
2
ò
=
1
0
2
2
4
dy
y
y
3
2
=
二、协方差矩阵
都存在，且称矩阵：
为n维随机变量(X1，X2 ，…，Xn)的协方差矩阵。
若记 X =(X1，X2 ，…，Xn)，则X的协方差矩阵可记为DX。
三、相关系数
为随机变量X与Y的相关系数。相关系数是一个无量纲的量。
称
则称X与Y不相关；
则称X与Y正相关；
则称X与Y负相关。
若对X与Y进行标准化变换
二元正态分布的相关系数的计算
(X, Y) ~
相关系数的性质
对二元正态分布：X，Y独立 =0X，Y不相关。
补充说明
若X与Y之间没有线性关系并不表示它们之间相互独立，也不表示它们之间没有关系。
的量．
之间线性关系紧密程度
与
量
相关系数是表征随机变
Y
X
存在着线性关系；
之间以概率
与
时，
当
，
1
1
Y
X
Y
X
=
r
之间的线性关系越弱；
与
时，
越接近于
当
，
Y
X
Y
X
0
r
一定不独立。
与
且
，
之间一定存在线性关系
与
，则
若
，
Y
X
Y
X
Y
X
0
¹
r
例
解：
独立。
是否不相关，是否相互
与
判断
，
上的均匀分布，
服从
设
Y
X
Y
X
,
cos
sin
]
,
[
q
=
q
=
p
p
-
q
ò
p
p
-
q
q
p
=
d
EX
sin
2
1
ò
p
p
-
q
q
p
=
d
EX
cos
2
1
ò
p
p
-
q
q
p
=
d
DX
2
sin
2
1
ò
p
p
-
q
q
p
=
d
DY
2
cos
2
1
0
=
0
=
2
1
=
2
1
=
ò
p
p
-
q
q
q
p
=
d
EXY
cos
sin
2
1
0
=
0
=
四、条件数学期望
离散型随机向量的条件数学期望
连续型随机向量的条件数学期望
例
例
(
)
服从圆域：
，
设二维随机向量
Y
X
上的均匀分布，
1
2
2
£
+
y
x
).
1
|
|
(
]
|
[
<
=
y
y
Y
X
E
试求
的条件密度为
时，
可知，当
由例
|
X
y
1
|
8
.
3
<
(
)
ï
î
ï
í
ì
-
£
£
-
-
-
=
其它
0
1
1
1
2
1
2
2
2
y
x
y
y
y
x
f
Y
X
条件数学期望的性质
随机变量X关于随机变量Y的条件数学期望
例
(
)
(
)
r
s
s
m
m
，
，
，
，
，
2
2
2
1
2
1
~
N
Y
X
(
)
服从二元正态分布：
，
设二维随机变量
Y
X
].
|
[
Y
X
E
求
解：
例
(
)
满足下列关系：
，
设二维随机向量
Y
X
e
+
+
=
b
aX
Y
].
|
[
0
X
Y
E
X
的随机变量，求
独立的、期望为
是一个与
其中
e
解：
五、条件期望的预测含义
