第12卷第3期Vol. 12 工业工程2栅年6月Industrial En阴阳时吨Jo町nalJune 2侃"竞争环境下航空公司动态定价特性李豪，熊中楷(重庆大学经济与工商管理学院，重庆4α)()30) 摘要:传统航空公司收益管理研究主要关注垄断厂商如何利用动态定价获得最大的期望收益，而对竞争的问题研究不足。以提供同一航线的2个航空公司为研究对象，应用H-J方程建立了竞争环境下航空公司动态定价的数学模型，并证明了两航空公司在销售期定价的一些特性，为竞争环境下航空公司价格决策提供了理论依据。算例分析展现了模型的实际应用过程，并发现:如果航空公司有更大空间进行动态定价，将提高均衡收益。关键词:航空公司;收益管理;动态定价;竞争中圈分类号:文献标识码:A文章编号:1∞7-7375(2仪)9)03α)43~5Dynamic Pricing for Airline Companies in Competitive Markets Li Hao, Xiong Zhong-kai (Schω1 of Economy and Business Administration, Chongqing University, Chon回ing4(削30，China)Abstract: A mathematic model with H-J equation is used to model dynamic pricing in competitive environ›ments. A case study is done on two airline companies operating the same airline. The results show that the revenue will be improved if there are larger ranges of dynamic pricing. Key words: airline company; revenue management; dynamic pricing; competition 且能提高整个社会的福利水平;Cheng和Smith[臼]通收益管理作为航空公司提高收人、参与市场竞争的不可或缺的手段，已经在国内外航空公司创造过建立两航空公司收益的Euler-lagrange方程，证明了巨大奇迹，其具体手段包括超额预订、多等级票价了价格均衡的唯一性。上述文章均没有证明均衡价控制、动态定价、团体管理、季节性管理等[1]。随着格的特性。收益管理研究的深入，有关这方面的研究已经比较本文研究市场上只有2个提供同一航线的航空丰富[叫。传统航空公司动态定价研究关注的主要公司这样一个相对简单的情况。两公司通过建立动问题是垄断公司如何利用价格作为引导需求的一种态的价格体系来最大化自身收益，同时还要考虑竞手段，获得最大的期望收入[川]。但是，如果考虑提争对手价格对需求和自身收益的期定价的一些特供同一航线的多个航空公司机票之间的可替代性，性，为航空公司价格决策提供了理论依据。本文引人竞争元疑是对单个公司动态定价的扩展和1 模型假设及符号说明提升，具有更强的现实意义。目前竞争环境下动态定价研究主要有:Te町和假设两航空公司面临的需求率λ(t)(t E [0, Reetabrata [口]在需求过于供给的条件下运用进化博T])满足非齐次的泊松过程。令λ~(t)为t时刻航空弈对多个厂商价格竞争问题进行了研究，并对公司2所定价格为pj和航空公司1所定价格为pJCournot-Nash博弈微分不等式的解法问题提供算法:时，航空公司1面临的需求率。对(t)为t时刻航空12Nobuo[1研究了解决价格和服务质量竞争的2个策公司1所定价格为p:和航空公司2所定价格为pf略一一产品差异化和纵向一体化，表明这两种策略时，航空公司2面临的需求率。叫(yl，l)表示时刻It 不但能解决由价格和服务质量竞争带来消极性，而收稿目;期:2∞8-09~2 基金项目:国家自然科学基金资助项目(70571088);欧盟项目EUAsia IT&C Programme (ASII町-30113152拍9/71553)作者简介:李豪(1982-)，男，四川省人，博士研究生，主要研究方向为收益管理、物流与供应链管理等.
工业工程第12卷44 航空公司1剩余座位为y1和航空公司2剩余座位为泸)J +λ!(t)At[ V:_ l(y1 ,y2 + 1) J + (1 -λ~(t)At沪的情况下航空公司i的收益(i=I，2)。模型假设λ;(t)At)町_ål(y1，卢)10(1) 两航空公司间信息对称，即在任一时刻t，两航空公令At→0，化简，可得航空公司1收益的Hamil司均了解对方的价格、库存、收益状况等。协n-Jacobi方程为定义AV:(Ay1，卢)为t时刻给定对手剩余座位。时(y1，y2) t =m户|λ~(t)[p: +问(y1+ 1 ,l) -y2，航空公司1剩余座位的边际收益。其表达式为A叫(Ay1,y2) =V : (y1 ,y2) _阿(y1_ 1, y勺，而问(y1,y2) J +λ!( t)[川(y1,l + 1) -叫(y1，l)JI。A时(y1，Ay2)为给定自身剩余座位数量，航空公司1(2) 对竞争对手剩余座位变化的边际收益，其表达式为相应的，航空公司2收益的Ha眩m时il曲诅il山to盼n1卜-叫叶J配呻ωobi方A时(y1,Al) =时(y1，l)-叫(y1,y2 -1)。程为AV~(y1 ，Al)、AV:(Ay1，l)可类似推出。。阿(y1，泸)。=m严|λ!(t)[pJ +时(y1，卢+1) -本文的讨论将基于以下4个假设。假设1若p;:S;;p~ ,i =1 ，2，则λ;j(t) p;注A:/t)可(y1，y2)J+λ~(t)[时(y1+ 1，卢)-可(y1，卢)J 1。pi，λ~(t)p:注λ~1(t) p~。(3) 假设1表明需求与价格应满足以上关系，厂商为了讨论方便，以下的研究以航空公司1为才会有降价的动力;否则，低价永远不会被采用。这基准。是收益管理领域的一个基本假设。定理1给定时间t和对方剩余座位数户，假设2在任意时刻t，有V:(y1，y2)是自身剩余座位数旷的凹函数。A川(Ay1,y2 _ 1 ) ~ AV : ( A1 ,y2 ) , AV : (y1 -1 , y证明只需证明对所有的y1>0，下列关系式成立。Al)注AV:(y1，Ay勺，V: (y1 ，y2)寸[V:(y1-1，l)+时(yl+l，y2)]。AV : (y1 + 1 , Al )法AV: (y1 , Ay2 ) , AV ~ ( A1 ,y2 y+ 1)注AV:(Ay1，y2)。(4) 假设2表明，对座位有限的需求来说，如果竞争假设航空公司1有1，2、1、2四种状态。在状态对于剩余座位越少，或自己剩余座位数量越多，自己1下剩余座位为y1+ 1个，在状态2下剩余座位为将越有可能在剩余的时间内垄断市场，从而使得剩l-1个，而在状态!，~下剩余座位为y1个。令p1、余座位的边际收益增加。p2分别为[0，t]状态1、2的最优价格策略，其期望收假设3V: (y1 , 0) = M: (y1 ) ，阿(O，l)= 益为时(y1-1，卢)+时(l+ 1，卢)。令p'( ’T) ,’T E M:(y2) ，0:S;;t运T。其中，M:(y1)和M:(y2)是垄断市[0 ，t]为T时刻下状态i的价格;~(’T) ,’T E [O,tJ, 场下航空公司1，2的收益。为T时刻下状态j的价格(i，j= 1，2)。令i.('T)= 假设3表明如果竞争对手座位卖完，那么自己m阻jpl('T),l(’T) 1、t，(’T) = min jp1 (’T) ,l (T) 1分将垄断整个市场。别为[句，t]时刻状态!，~下的价格。马定义为状态1假设4V~ (y1 ,l) = V~ ( y1 ,l) = M~ ( y1) = 剩余座位的数量刚好比状态1少一个。令~('T)= M~(l) =0, Vy1，y2。p’ ( 'T)为'TE[O，t]状态i的价格(i=!，~)。O假设4表明销售期一结束，机票残值为0。显然只有在时刻[0，马]，且p1('T)<p2('T)下，状态1(2)和状态!(~)可能产生不同的收益，且1剩余2 模型座位的数量刚好比状态1少一个，可分为以下情况考虑在任意时刻t，给定剩余库存状态(y1(t) , 讨论。l(t)) ，如果没有乘客到达，那么两航空公司的库存1)乘客不发生购买。这种情况下整个收益不变。将没有变化，即在t-1时刻，库存为(y1(t -1) , 2)乘客可能购买任何价格的机票。若乘客在价y1 (t -1)) ，且y'(t) =扩(t-l)，i=I，2;如果在t时格p1( 'T)下购买，那么状态1和状态2的收益增加刻有乘客到达，那么航空公司i将选择最优价格pi'p1('T);若乘客在价格旷('T)下购买，那么状态2和状来最大化自身收益问。态1的收益增加p1( 'T)。对于状态1，2和状态1，2收在任意时间t(t~O)，航空公司1的收益为益的比较没有影响。问(l,y2) = max jλ~ ( t) At [p~ +叫-åI(y1 + 1 , 3)乘客购买状态1和状态2的机票，而不购买
第3期李豪，熊中楷:竞争环境下航空公司动态定价特性45 1状态2和状态1。由于p(T)<l(T)，乘客购买状态时，航空公司1的收益为1和状态2的机票，而不购买状态2和状态1，这时1问(y1,y2 _ 1) =m 阻|λt( t) t [p ~ + V: _ t (y1 + 1 , 卖出的机票比1少一个(也就是to时刻)，状态1和卢-1)]+λ!( t) t[ V!+缸(y1.泸)]+(1-λ~(t)àt状态2的收益增加p1('T)，与状态1、状鹤的收益相同。λ! ( t) t) V: -,:1, (y1 ，泸-1)10(7) 所以，对于状态!，~来说，其价格策略P1、P2所产式(1)减去式(7).得生的收益与状态1，2最优价格产生的收益相等。那AV: (y1 , l) - V: _ t (y1 , y2) 么状态1，2最优价格策略下所产生的收益2v:(y1， t y2 )大于等于状态1、2最优价格策略下所产生的收λ~(t)[V:_åt(y1 +1，l)-阿-ω(y1+ 1 ,y2 -1) _时-，:1，益[问(y1-1，卢)+叫(y1+ 1，卢)]。(y1，卢)+问，也(y1，卢-1)]+λ!(t)[问-åt(y1 ，卢+定理得证。1) -叫_åt(y1,y2) _问_åt(y1，l)+时_åt(y1，l-I)J。同理，对航空公司2也有此结论成立。定理1(8) 表明如果知道对方的剩余座位数量，在给定时间存令àt→0，式(8)左边为在最优座位数量使自身收益达到最大。由假设，在,. à川(y1, l) -àV:_却(y1，àl) V:(y1, y2) E 任意时刻t，竞争双方均了解对手库存情况，各航空JEAt-公司可以根据实际情况决定什么时候卖出机票。而由假设2，式(8 )等式右边为正，所以下面考虑座位的边际收益随时间的变化情况。aAV:(yl，Ay2)、h定理2给定沪，à时(ày1，卢)随时间的增加而ðt。减少。定理得证。证明当两航空公司剩余座位分别为yl-ky2同理，àV:(ày1，卢)也有此结论成立。由定理2时，航空公司1的收益为和定理3可知，假设对手剩余座位数量不变，自身机V: (y1 -1，卢)= m皿|λ~(t) t [p: +时_åt(y1，票越早卖出其边际收益越大;给定自身座位不变，对方机票越晚卖出对自己越有利。由本文假设，价格卢)] +λ!(t)àt[ V:+(y1 -1 ,l + 1) ] + t是影响需求的唯一因素，要达到自身收益最大化，必(1-儿(t)àt-λ!(t)àt)问4(yl-1，卢)10(5) 须降低价格才能使自己座位越早卖出同时利用价格式(1)减去式(5)得优势使对方座位越晚卖出。由对称性，航空公司2AV:( 1 ,l) - V:_( y1 ,y2) y t也如此。那么竞争双方会在销售期开始采用最低价 t 格来吸引乘客，且最低价是销售期开始时航空公司λ~ ( t)[ V: -.:1, (y1 + 1 ,y2) -V: _ t (y1 ,y2) -川-，:1，(y1 , 对对手策略的最优反应。卢)+时_åt(y1-1，泸)J+λ~ (t)[时-u(y1，y2+1)]推论在销售期开始，双方竞争的纯策略纳什时_åt(y1，l)-V:_(y1-1,l+l) +V:_(y1_1，y2)。 tåt均衡为最低价格。(6) 令àt→0，式(6)左边为3 算例分析,. à时(ày1,l) - V!_ t( Y1 ,y2) V:( y1,y2) -本节将用算例来分析模型的实际应用过程。首」EAt先应指出，Lin和Sibdari[叫中定理2证明了此多周而由假设2和式(4)可得，式(6)右边为负，所以，期离散时间动态定价问题存在价格均衡，为我们的OAV:(y1,yz) 。t运0，即A时(ày1，y2)对于给定的l随研究提供了理论依据。由推论，在销售初期两航空公司均采用最低价。以此为条件，对单个航空公司时间的增加而减少。的最优价格在(2)和(3)上进行一维搜索，可以依次定理得证。推出低价之后的最优价格及价格的转换时间。为了由对称性，给定y1, V: (y1 ，ày2)随时间的增加计算方便，假定2个航空公司可行的价格集合为p=而减少。定理2表明，竞争对手剩余座位数量一定,,, ì己P'1= 1. 0、p;= 1. 2、p;= 1. 4、时，自己座位越早卖出其边际收益越大。定理3给定自身剩余座位数量y1，à川(y1，p~ = 1. 5，航空公司1，2所面临的需求率随机假设如下。ày2)随时间的增加而增加。λ:1=，λi2=，λ:3 =，λ;4=; 证明当两航空公司剩余座位分别为y1、卢-1
工业工程第12卷46 λ;1=，λ;2=，λ;3=，λL=; 司1自身库存的边际收益âV!(âyl，泸)随销售时间λ;1=，λ;2=，λ;3=，λL=; t的增加而减少，而竞争对手库存的边际收益A川λ;1=，λ乌=，λ;3=，λL=;(yl，âl)随销售时间t的增加而增加，验证了定理2对1=，λL=，儿=，儿=;和定理3。A~I =，λ;2=，λ;3=，λL=; 140 120 对1=，λ:z=，λ:3=，λL=; 100 λ:1=，λ:2=，λ:3=，λL=。-、::: 80 <1’ 经检验，上面给出的需求率满足假设10音60如果航空公司1或2垄断整个市场，假设需求<3 40 率如下。20 λ: . (t) = O. 97 ，A~. (t) = O. 82，λ~. (t) = O. 77 , 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A!. (t) =; 销售期(ηλ飞1(t) = ，λ勺(t)= , A飞(t)= , 固1卢(t)= 10时航空公司1自身库存的边际收益λ飞(t)=。140 取ât= 1 ,yl (t) = y2 (t) = 10，假设航空公司1和120 2销售周期为[0，1∞]。运用编程，得到声:的结果如表1、表2所示。h <3’ 飞了 表1两航空公司的最优价格序列司40航空公司1的航空公司2的20 时间间隔时间间隔最优价格最优价格o 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 [0,33 ) P:’ = 1. 0 [0,25 ) p~' = 1. 0 销售期(η[33,44 ) p!’ = 1. 5 [25,38) p;’ = 1. 5 固2l(t) =10时航空公司1竞争对手库存的边际收益[ 44,56) p~' = [38,49) p~' = [56,61) p~' = [49,60) p~'= 最后来看收益的情况。需求假设如上，同时令[61,75) P:’ = 1. 0 [ω，70) p~' = 1. 0 yl ( t) = 30 , T = 2∞，所得结果如表3所示。[75，1∞) p!’ = 1. 5 [70，1∞) p;’ = 1. 5 褒3y1 ( t) = 30 , T = 200时的均衡收益均衡收益(åt=0. 5) 均衡收益的比值1)表2均衡价格Y2 (t) 航空公司l航空公司2航空公司1航空公司2时间间隔均衡价格时间间隔均衡价格10 7731 3061 [0,25 ) [56，ω) !P:’ ，p~' I !p~' ，p~'1 20 7546 4794 [25,33) !P:’ ,p;’ I [60,61) !p~' ，p~'1 30 7350 5901 0,9963 [33,38) ! p!’ ，p~' I [61,70) !P:’ ，p~' I 40 7167 6521 [38,44) !p!’ ，p~' I [70,75 ) !P:’ ,p;’ I 50 7010 6812 [44,49) !p~' ，p~'1 [75，1∞) !p!’ ,p;’ I 1)均衡收益的比值为dt/dt，其中dt= ,dt= 1 [49,56) !p~' ，p~' 211I 2 由表3可以看到，本文得出的收益在ât= 由表1可以看到，在销售期初，两航空公司都采时，要比在ât= 1时高。这是由于所取的时间间隔用低价进行促销，与推论相符。在期初的低价结束较小使得航空公司有更充足的时间来调整价格。这后，两航空公司均会恢复高价，然后采用降价策略，说明如果航空公司有更大空间进行动态定价，将提最后两航空公司均采用高价。同时，竞争双方的均高均衡收益。衡价格均没有表现出垄断环境下价格的单调性，这j与lin和Sibdari[14所得结论相同。4 结论需求假设如上，如果令泸(t)=20，取ât= 1，在本文讨论竞争环境下提供同一航线的两家航空yl(t)分别等于10、20、30时，可得航空公司1边际收公司的动态定价策略。两公司通过建立动态的价格益的变化情况如图1、图2所示。可以看出，航空公
第3期李豪，熊中楷:竞争环境下航空公司动态定价特性47 256. 体系来最大化自身收益，同时还要考虑竞争对手的[ 5 ] Gallego G, G J Van Ryzin. Optimal dynamic pricing of inven›价格对需求和自身收益的影响。通过建立的模型，tories with stochastic demand over finite horizons [ J ]. Man›本文得出了两航空公司在销售期定价的一些性质。agement Science, 1994 ,40 ( 3 ) : 999-1020. 1 )给定时间和竞争对手剩余座位数量，收益是[ 6 ] Zhao Wen, Zheng YuSheng. Optimal dynamic pricing for per›自身剩余座位的凹函数。ishable剧团tswith nonhomogeneous demand [ J ]. Manage›2)给定竞争对手剩余座位数量，航空公司自身ment Science ，2α刻，46(3) :375-388. 剩余座位的边际收益随时间的增加而减少。[7] Yossi Aviv, Amit pazgal. A partially observed Markov Deci›3)给定自身剩余座位数量，航空公司对竞争对sion Process for dynamic pricing [ J]. Management Science, 手剩余座位的边际收益随时间的增加而增加。2∞5，51(9) :14∞-1416. 这些性质表明追求收益最大化的航空公司一方[ 8 ] Dimitrs Bertsimas, Sanne de Boer. Dynamic pricing and in›venωηcontrol for multiple pl’oducts [ J] . Joumal of Revenue 面采取措施让自身越早卖出座位，另一方面希望能and Pricing Management，2∞5，3(4) :303-319. 让竞争对手越晚卖出。博弈的结果是两航空公司在[9]熊中楷，李根道，唐彦昌，等.网络环境下考虑动态定价的销售初期均采用最低价格。最后，本文应用算例展渠道协调问题研究[J].管理工程学报，2∞7，21(3) :45-现了模型的实际应用过程，并发现:如果航空公司有55. 更大空间进行动态定价，将提高均衡收益。本文的[ 10]熊中楷，李豪，向东.需求函数为非线性的按订单生产企研究不仅弥补了竞争环境下动态定价研究的不足，业动态定价的特性研究[J].科技管理研究，2∞7，27同时对于指导竞争环境下航空公司对价格的实际管(5) :128-131. 理具有重要的指导意义。[ 11 ] Terry L Frie钮，ReetabrataMookhErjee. An evolutionary game-theoretic model of network revenue manage-ment in 参考文献:oligopolistic competition[ J]. Joumal of Revenue and Pricing [1]肖勇波，陈剑，刘晓玲.基于乘客选择行为的双航班机票Management ，2∞5，4(2) :156-173. 联合动态定价模型[J].系统工程理论与实践，2∞8，7[ 12] Nobuo Matsubayashi. Price and quality competition: the (1) :46-55. effect of differentiation and vertical int咿'atio叫J].Europe›[2] Wedad Elmaghraby, Pinar Keskinocak. Dynamic pricing in an Joumal of Operational research ，2∞7，180(1) :佣 presence of inventory considerations: Research overview, [ 13] Cheng Currie, Smith HK. Dynamic pri叫ofairline tickets Current practices and Future direction [ J] . Management Sci›叨thcompetition [ J ]. Joumal of the Operational Research nce，2∞3 ,49( 10) : 1287-1309. Society，2∞7，5(4) :1-12. [ 3 ] Bitran G, Caldentey R. An overview of pricing models fo [14] Lin Y, Sibdari Y. Dynamic price competition with discrete enue management [ J ]. Manufacturing & Service Operations customer choices [ J ]. European Joumal of the Operational Management，2∞3，5(3) :203-229. Research，2∞8，2(3) :121-133. [ 4 ] McGill Van Ryzin. Revenue management: Research overview and pl'ω严cts[ J ]. Transportation Science, 1999, 33: 233-(上接第38页)[3] Tsay A. The quantity flexibility contract and 8upplier-custom›[7]徐建忠，张汗江，洪予魏.供应链上两种不同促销策略er incentives[ J]. Management Science, 1999 ,45 (10) : 1399-[J].系统工程，2∞8，26(3):112-115. [8] Konstantin Kogan, ViHerbon. A supply chain under limited›1358. [4]邱若臻，黄小原.供应链渠道协调的收入共享契约模型time promotion: the effect of customer sensitivity [ J] . Europe›[J].管理学报，2创后，3an Joumal of Operational Research, 2∞7，188 ( 1 ) :273-292. (2) : 148-152. [5]Te町AAaylor. [9]Xiao Ti叫un，Yu Gang, Sheng ZhaoHan. C∞roination of sup›Supply chain c∞roination under channel re›ply chain with one-manufacturer and two-retailers under de›bates with sales effort efforts [ J] . Management Science, 2∞2， mand promotion and disruption management decisions [ J ] . 48(8) :992-1∞7. [6]Li S X. C∞perative advertising game theory and manufacture›Annals of Operations Research, 2∞5，135(1) :87-1佣.[ 10]邓云，卢光松.基于零售商促销努力的混合契约设计retailer supply chain [ J ] . Operations Research, 2∞2，30(5) : [J] .价值工程，2∞8，27(6):12-14. 347-3571.
