故障树分析法（FTA）
1.故障树分析法概述
故障树分析法（Fault Tree Analysis）是由美国贝尔电话研究所
的沃森（Watson）和默恩斯（Mearns）与于1961年首次提出并应用
于分析民兵式导弹发射控制系统的。其后，波音公司的哈斯尔
（Hasse）、舒劳德（Schroder）、杰克逊（Jackson）等人研制出故
障树分析法计算程序，标志着故障树分析法进入了以波音公司为中
心的宇航领域。1974年，美国原子能委员会发表了以麻省理工学院
（MIT）拉斯穆森（Rasmussen）为首的安全组所写的“商用轻水
反堆核电站事故危险性评价”的报告，该报告采用了美国国家航空
和管理部于60年代发展起来的事件树（ET：Event Tree）和故障树
分析方法。这一报告的发表引起了各方面的很大反响，并推动了故
障树分析法从宇航、化工和机械等工业领域。
所谓故障树分析，就是首先选定某一影响最大的系统故障作
为顶事件，然后将造成系统故障的原因逐级分解为中间事件，直
至把不能或不需要分解的基本事件作为底事件为止，这样就得到
了一张树状逻辑图，称为故障树。如图1-1所示就是一简单的故障
树。这一简单故障树表明：作为顶事件的系统故障是由部件A的故
障或部件B的故障引起的，而部件A的故障可能由元件1引起，也可
能由元件2引起，部件B的故障则由元件3和元件4同时发生故障时
引起，这样，就将引起系统故障的基本原因及影响途径表达得一
清二楚。
更一般地说，故障树分析就是以故障树为基础，分析影响顶
事件发生的底事件种类及其相对影响程度。故障树分析包括以下
几个主要步骤：建立故障树、故障树的定性分析和故障树的定量
分析。
图1-1 简单的故障树
2.故障树的建立
故障树的建立有人工建树和计算机建树两类方法，它们的思路
相同，都是首先确定顶事件，建立边界条件，通过逐级分解得到的
原始故障树，然后将原始故障树进行简化，得到最终的故障树，供
后续的分析计算用。
（1）确定顶事件
在故障诊断中，顶事件本身就是诊断对象的系统级（总体的）
故障部件。而在系统的可靠性分析中，顶事件有若干的选择余地，
选择得当可以使系统内部许多典型故障（做为中间事件和底事件）
合乎逻辑地联系起来，便于分析。所选的顶事件应该满足：
①要有明确的定义；
②要能进行分解，使之便于分析顶事件和底事件之间的关系；
③要能度量以便于定量分析。
选择顶事件，首先要明确系统正常和故障状态的定义；其次要
对系统的故障作为初步分析，找出系统组成部分（元件、组件、部
件）可能存在的缺陷，设想可能发生的各种的人为因素，推出这些
底事件导致系统故障发生的各种可能途径（因果链），在各种可能
的系统故障中选出最不希望发生的事件作为顶事件。
对于复杂的系统，顶事件不是唯一的，必要时还可以把大型复杂的
系统分解为若干个相关的子系统，以典型中间事件当作故障树的顶
事件进行建树分析，最后加以综合，这样可使任务简化并可同时组
织多人分工合作参与建树工作。
①不允许出现的事件；
②不可能发生的事件，实际中常把小概率事件当作不可能事件；
③必然事件；
④某些事件发生的概率；
⑤初始状态。当系统中的部件有数种工作状态时，应指明与顶事件
发生有关的部件的工作状态。
（2）建立边界条件
建立边界条件的目的是为了简化建树工作，所谓边界条件是
指：
建立边界条件和建树时应该注意的是:
①小概率事件不等同于小部件的故障和小故障事件；
②有的故障发生概率虽小，但一旦发生则后果严重，为安全起见，
这种小概率故障就不能忽略；
③故障定义必须明确，避免多义性，以免使故障树逻辑混乱；
④先抓主要矛盾，开始建树时应先考虑主要的、可能性很大的以
及关键性的故障事件，然后再逐步细化分解过程中再考虑次要的、
不经常发生的以及后果不严重的次要故障事件；
⑤强调严密的逻辑性和系统中事件的逻辑关系，条件必须清楚，
不可紊乱和自相矛盾。
(3)建树符号
建树符号包括故障事件符号、逻辑门符号和转移符号等，如
表1-1所示。
表1-1 建树符号
下面以减速器的故障为例，来说明说明建树过程。
显然，在本例中，减速器的故障就是顶事件。假定减速器故障
仅包括漏油、振动噪声和减速器不能工作三种形式，它们可作为故
障树的第二级。而减速器的振动噪声可能来自齿轮箱，也可能来自
基座、电机或工作中的不平稳外载荷，它们可作为故障树的第三级。
齿轮箱由转轴组件和轴承系统组成，它们构成故障树的第四级。转
轴组件又包括齿轮和转轴，称为故障树的第五级，这样层层分解，
最后可能建立如图1-2所示的故障树。需要说明的是，图1-2所示的
减速器故障树与某一实际的减速器故障情形可能并不完全相符，此
处所列只是为说明故障树的建立方法。由此可以看出，一张实际的
故障树可能非常复杂，这取决于考虑问题的角度和出发点。
图1-2 减速器故障树
3.故障树的简化
在分析系统故障时，最初建立的故障树往往并不能最简的，
可以对它进行简化。最经常采用的简化方法是借助逻辑代数的逻
辑法则进行简化，为此，先来介绍几个基本的逻辑关系和逻辑运
算法则、故障树的结构函数，最后以一个实例来说明简化方法。
（1）基本逻辑关系 两个变量的基本逻辑关系如表1-2所示，逻辑
运算的真值表如表1-3所示。
表1-2 两个变量的基本逻辑关系
表1-3 两个变量逻辑运算的真值表
表1-4 两个变量逻辑运算的真值表
（2）逻辑运算的基本法则，为简便起见，现将逻辑运算的基本法
则列于表1-4。
（3）故障树的结构函数 由图1-1所示的简单故障树可以看出，由
于故障树是由构成它的全部底事件的“或”和“与”的逻辑关系
联结而成，因此可用结构函数这一数学工具给出故障树的数学表
达式，以便于对故障树作定性分析和定量计算。
系统故障称为故障树的顶事件，以符号T表示，系统各部件
的故障称为底事件，如对系统和部件均只考虑故障和正常两种状
态，则底事件可定义为：
（1-2）
系统顶事件的状态如用φ来表示，则必然是底事件状态Xi（i=1
，2，…,n）的函数。
同时
定义为故障树的结构函数。
显然，图1-3所示的与门故障树的结构函数为
（1-3）
（1-4）
（1-5）
图1-4所示的或门故障树的结构函数为
图1-3 与门故障树 图1-4 或门故障树
也可写为
（1-6）
（1-7）
（4）简化实例 下面以两个简单的例子来说明故障树的简化过程。
对图1-5（a），故障树的简化过程如下
对图1-5（b），故障树的简化过程如下
图1-5 故障树简化实例
4.故障树的定性分析
对故障树作定性分析的主要目的是为了弄清系统（或设备）。
出现某种故障（顶事件）可能性有多少，亦即分析有哪些因素会引
发系统的某种故障。定性分析首先必须确定系统的最小割集。
⑴割集和最小割集 割集是引起系统故障发生的几个故障底事
件的集合，即一个割集代表了系统发生故障的一种可能性或一种故
障模式。
如一故障树的底事件集合为 ,当有一子集
当 ，
当满足条件 时，使 ，亦即该子集所含
之全部底事件均发生时，顶事件必然发生，则该子集就是割集，其
割集数为K。
（1-8）
割集的对偶式路集，路集是系统不发生故障的底事件的集合，
即一个路集代表了一个系统正常的可能性或模式。
最小割集是指包含有最少数量而又最必须的底事件的割集，
全部最小割集的完整集合代表了给定的全部故障，因此，最小割
集的意义就是在于它给出了处于故障状态的系统中所必须要修理
的故障模式。
⑵ 最小割集的求取 目前，对最小割集的研究较多，在此介绍
较常用的两种方法，即赛迈特里斯算法和富赛尔算法。
①赛迈特里斯算法（上行法） 由赛迈特里斯（Semanderes）
研制（1972年）的最小割集算法，其基本原理是：对给定的故障树
从最下一级中间事件开始，如中间事件是以逻辑与门把底事件联系
在一起，可用与门结构函数式（式1-5）；如中间事件是逻辑或门
与底事件相联，则用或门结构函数式（1-6）；依次往上，直至顶
事件，运算才终了。在所得计算结果中，如有相同的底事件出现，
就应用布尔代数加以简化。
对图1-6所示的故障树，显然可以写出:
（1-9）
由此得到8个割集。
可用逻辑代数对上式进行简化得到最小割集为
即该故障树有4个最小割集，为 ，同时可
得其等价故障树如图1-7所示。
（1-
10）
图1-7 图1-6的等价故障树图1-6 故障树举例
②富赛尔（Fussell）算法（下行法） 求故障树最小割集的另
一种算法是富赛尔（Fussell）根据范斯莱（Vesely）编制的计算机
程序MOCUS（获得割集的方法）于1972年提出的一种手工算法。
它根据故障树中逻辑或门会增大割集容量的性质，从故障树的顶事
件开始，由上到下，顺次把上一级事件置换为下一级事件，遇到与
门将输入 横向并列写出，遇到或门则将输入事件竖向串列写出，
直至把全部逻辑门都置换为底事件为止，由此可得该故障树的全部
割集。
需要说明的是，由于图1-7所示的故障树已经过最小割集处理，
故富赛尔推算得到的结果均为最小割集，而对于一般地故障树，则
仍须用布尔代数对富赛尔推算结果进行简化，才能求得最小割集。
5.故障树的定量分析
所谓故障树的定量分析，就是以故障树为基础，分析系统故障
的发生概率以及各底事件的重要程度，包括结构重要度、概率重要
度和关键性重要度等三个不同含义的定量指标。
（1）概率计算的基本公式 设事件 的发生概率分别
为 ，
①当 为相互独立的事件时，有
和的概率 （1-11）
积的概率 （1-12）
②当 为相斥事件时，有
和的概率 （1-
13）
积的概率 （1-
14） ③当 为相容事件时，有
和的概率
（1-
15）
积的概率
（1-
16）
实际计算时，当 时，相容事件近似独立事件；
当 时，相容事件近似于相斥事件。
值得注意的是，在应用上述公式计算系统故障的概率时，当故
障树中包含两个以上同一底事件时，则必须应用逻辑代数整理简化
后，才能使用以上概率计算公式，否则会得出错误的结论。因此，
在计算概率之前，必须将故障树化为结构最简，即与最小割集对应。
（2）顶事件的发生概率 求顶事件的发生概率有多种方法，这
里介绍由最小割集结构函数求顶事件的故障概率的算法。该算法的
基础思路是：将故障树的结构函数表示成最小割集和的形式，然后
应用概率计算的基本公式求出系统故障发生的概率。即将系统的最
小割集结构函数表达为
（1-
17）
式中 k—最小割集数；
—某一最小割集，其定义为
（1-18）
系统顶事件发生的概率，即是使 的概率，为
（1-19）
对图1-7所示的故障树数，令底事件求顶事件 的发
生概率分别为 ，各最小割集
间看做相斥事件，于是又系统（顶事件）故障发生的概率为：
（3）事件的重要度计算 故障树的各个底事件（或各最小割集）
对顶事件发生的影响称为底事件（或最小割集）的重要度。研究事
件对改善系统设计、提高系统的可靠性或确定故障监测的部位、制
定系统故障诊断方案、减小排除故障的时间等具有重要意义。
一个故障树往往包含有多个底事件，为了比较它们在故障树中
的重要程度，在故障树的定量分析中常作结构重要度、概率重要度
和关键重要度等计算。
①结构重要 某个底事件的结构重要度，是在不考虑其发生概
率值得情况下，观察故障树的结果，以决定该事件的位置重要程度。
由于底事件 的状态取0或1，当 处于某一状态时，
其余n-1个底事件组合系统状态为 。因此，第i个底事件 的结
构重要度定义为：
式中 ，即第i个底事件为1；
，即第i个底事件为0；
n—底事件个数。
该定义中， 表示底事件 和顶事件同时发生的状态组合数
目，即 表示底事件 不发生而顶事件
发生的状态组合数目，即 。两者相减则代表了底事
件 发生则顶事件发生、且底事件 不发生顶事件也不发生的情况，
这些状态组合与顶事件发生与否密切相关因此可以利用其数目与系
统总状态数之比来表示底事件 的结构重要度。
（1-20）
仍以图1-7所示的故障树为例来说明事件结构重要度的计算方
法。为此，先列出底事件状态与顶事件状态表，如表1-3所示。
表1-3 底事件状态与顶事件状态
对底事件1来说，首先找出底事件1和顶事件同时发生的集合
即 ，有（1001）、（1010）、（1011）、（1101）、
（1110）、（1111）共6个，再找出底事件1不发生而顶事件发生的
集合，即 有（0011）、（0101）、（0111）共3个，于是
可得底事件1的结构重要度为
同时可得
即在此例中，底事件4的结构重要度最高：
②概率重要度 底事件 发生概率的变化引起顶事件发生概率
的变化程度定义为该底事件的概率重要度，记作 其数学表达
式为
（1-21）
由于在一般情况下，有
（1-22）
式中 —顶事件发生的概率
—顶事件 发生的概率
因此，底事件 的概率重要度为
（1-23）
式中 —底事件发生时顶事件发生的概率；
—底事件 发生的概率。
由式（1-21）可得顶事件发生概率 的变化量 与底事件发
生概率的变化量 间的近似关系为
图1-7所示故障树种各底事件的概率重要度（假定 ，
可 ， ， ）可如下求得：
对于底事件1而言，在表1-3中找出只有右边的 （此时
）而左边的 （此时 ）的事件组合，即只有底事件1发生顶
事件才发生的事件组合，为（1001）、（1010）和（1110），把各
底事件看成相互独立、各事件组合看成相斥，应用式(1-23)可得
（1-24）
同理可得
即
③关键重要度 底事件 发生概率的变化率的改变引起顶事件发
生概率变化率的改变程度定义为该底事件的关键重要度，记作
，其数学表达式为
即关键性重要度是顶事件发生概率与某事件概率变化率之比，
式中 为顶事件发生的概率。
关键性重要度 与概率重要度的关系为
（1-25）
（1-26）
仍以图1-7所示的故障树为例，前已求得顶事件发生的概率为
， 于 于是可得底事件
的关键性重要度分别为
即 。
由以上讨论可以看出，对于不同的重要度定义，各底事件间的
相对重要程度是不同的。
