（六西格玛管理）用彼得斯
公式估计总体标准差的误
差分析
X X X X
n
~ , , ,N ( , ),
2
1 2
X X i
1
n
i 1
n
.
W X X i
用彼得斯公式估计总体标准差
的误差分析
朱安远
（冶金工业部自动化研究院·北京，100071）
【摘要】本文作者独立地推导出了用彼得斯公式估计总体标准差的标
准
差系数 Cn的计算公式。根据各种估计总体标准差方法的标准差系数
Cn的大小，我们能够分析出各种估计方法的优劣及其适用范围。
【关键词】彼得斯公式总体标准差标准差系数误差分析
1彼得斯公式及其由来
假设总体为独 立地抽自总体 X 的壹个
随机样本，定义随机变量其中
这里不妨假设 n为大于 2的正整数。
因 故 即随机变
量 和随机变 量之间的关联系数 为
据 此其联合概
率密度就确定了。于这个基础上，我们就可求得随机变量
的概率密度为：
X ~ N ( ,
n
)
2
.
V X Xi i
1 2 1 2 1
2
2
2X X ~ ( , ) ,N
1 2 1
2
2
2, ,
Y X X 1 2
D E( ) ( )Y Y 2 2 2
Y X
1
于上式中代入则
于推导彼得斯公式之前，作为预备知识，我们先介绍绝对正态分布。
绝对正态分布是壹种常见的不对称分布。只计大小而不计方向的随
机误差壹般均服从绝对正态分布。假设
且 X1，X2相互独立，则即
其中那么随机变量
的分布就是壹个绝对正态分布。不难求得随机变 量
的数学期望和方差分别为：
上式中
iV i
i
i
i
v v
v
v
f d
d
n
n 1
EX P
n
n 1
n
n 1
EX P
n
n 1
EX P
n
n
n 1 n
EX P
n
n 1
n
n 1
2
( ) .
. .
. . –
. .
2 2
2 2 2
2 2 2
1
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
EX P
n
n 1
~ N (0,n-1
n
)2
– ,( )i
v
i
i
v
v
2
22
E E 1n
1
n
E E
2(n 1)
ni 1
n
i 1
n
( )Y X X X X X X
i i i
∴于上述结论中，令亦即 k=0,则
∴随机变量的数学期望为：
于是用作为标准差σ的估
计是无偏估计。此公式就是用于计算总体标准差σ的彼得斯(Peters)
公
式。彼得斯（,1806～1880）是德国天文学家，1839～1849
年于俄国工作，主要成就是确定章动常数和恒星视差的光行差等。
于科学实验中，评定实验的准确度（Accuracy）是壹个极其重要的
问题。于评定准确度的时候，壹般均要计算实验的标准差。计算标准
差
的方法除彼得斯法外，仍有贝塞尔法、极差法、较差法、最大误差法
和
最大残差法等。标准差对理论和实际应用来说均是壹个很重要的指标，
它描述了随机变量的可能值和均值的疏密程度。
2彼得斯公式的误差分析
于实验过程中，可能同时存于系统误差（SystematicError）、随机
误差（RandomError）和粗大误差（ParasiticError）。当粗大误差被
剔
除后，决定准确度的就是系统误差和随机误差。系统误差影响实验的
正确
度（Correctness），随机误差影响实验的精密度（Precision）。系统
误差和
随机误差的合成结果称为综合误差(CompositeError)。而实验的准确
度
~ N ( , ) , ~ N ( ,
n
) , ~ N (0,
n -1
n
)2
2
2X X X Xi i
E
n 1
n
D E
n 1
n
2(n 1)
n
n 1
n
X X
X X X X
i
i i
2
2
2
22 2 2 2 2
.
W X Xi i
Y X X
i
1
n i 1
n
X (
W X Xj j
（Accuracy）就是用综合误差来衡量的，它表征了实验结果和真值的
接近
程度。
因为彼得斯公式是无偏估计,故不存于系统误差。下面我们重点来讨
论彼得斯公式的随机误差。由于随机变量 和
(i≠j，i&j＝1,2,…,n）之间不是相互独立的，其关联系数不易求得，
故随机变量 的方差也不易求得。于这里我们采用下
述独
特的思路来求随机变量 Y的方差：首先求出随机变量和
它们之间也不是相互独立的）的联合概率密度，然后求出随机
变量
和的联合概率密 度，由此可求得联合数学期
望 E(WiWj)。根据公式 COV(Wi，Wj)＝E(WiWj)－E(Wi)·E(Wj)即可求得
随机变量 Wi和 Wj之间的协方差。于此基础上求随机变量 Y的方差就轻
而易举了。下面我们就来逐步地作这些工作：
对于随机变量 Vi和 Vj（i≠j，i&j＝1,2,…,n），有
f
n
2 n 1
EX P
n
n -1
n
n 1
n
n 1
{ [ i
1
2 2
1
2
1
2
2
1 2
2
2
1
1
2 1
2
( ) . .
. ,
,
,
–
]}
v vi j
i j
v
vv vi j j
v v
F , P , P ,
P ,
P , P ,
P , P ,
F , F , F , F ,
1 1 1 1
2
i j i i j j i i j j
i i i j j j
i i j j i i j j
i i j j i i j j
i j i j i j i
w w v v
v v
v v v v
v v v v
j
故其关联系数为：
故二维正态随机变量（Vi，
Vj）的联合概率密度为：
令则二
维随机变量（Wi，Wj）的联合分布函数和联合概率密度分别为：
其余地方为
零)
1
2 2 2
2
1
n
1
n
n 2
1 n
n
1
n
1
n
n 1
1 n
n
1
n 1
E( ) .
.
n
n 2
EX P
n
2 n
EX P
n 1
2 n n 1
{
{ [ d d
j
W Wi j j
i i
j
i j
. . .
.
}
] }
1
1
2
2
0
2
2
0
2
2
( ,
i
,
j 0 其余地方为零)
于上式中代入则
,
F ,
f , f , f , f ,
n
n 1
EX P
n
n 1
n
n 1
n
n 1
n
n 1
EX P
f
j
j
j
j j j 1 j
i
i j
{
{
2
2
1 1 1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2 2
1
2
1
1
2 1
1
1
2 1
2
1
i
i
i
i i i i
j
.
. .
. .
[
]}
1
2
2
2 2
2
2
2
1
. .[
]}
n
n 1
n
n 1
n
n 1
i i
j
j
m x
j j i
n 1 n 1 n 2
n 1
n 2
,
2 2
,
令则
又令则
1 2 1
n 1
n
n 2
n
, ,
E( ) EX P .d dW W x xi j j
j
m
j
e em m
2
2
2
1
0
2
1
2
2 2
0
2 2
. .( . ).
再令即则
上式中常数
又
用 数 学 归
纳 法 容 易
证明：
其中 k=0,1,2,…)
m
t tj
n 1 n 2 n 1 n 2 n n 2
,1
C = n n 2 d dt e et x x t
t
2
00
2 2
2 2. . .{ }
C d=
2 2k 1 k!n n -2
k
k 2k 1
k 0
2k 3
+1
2
0
2 2. t
t
te
Y X X Wi i
1
n
1
n
i 1
n
i 1
n
∴
随
机
变
量
和
的
协方差为：
∴随机变量的方 差为：
C
arctg
arcsin
arcsin
=
k 1
2k 1 n n -2
2k 1 n n -2 n n -2
1
n n -2 n n -2 n n -2
1
n -1
n n 2
n n 2 n n 2
1
n -1
n n 2
k
2k 1
k 0
k
2k 1
k 0
k
2k 1
k 0
4k 1
k 0
4k 3
k 0
2 2
1 2
1 1
1 1
1
1
1
1 1
2
3
.
.
n 1
2
W X Xi i
C O V , E E .E
n 2 n n 2
n 1 n n 1
n n 2
n 1
n
n
W W W W W W
i j i j i j
2 2 1
2 1
2
2
2
2
2
arcsin
.
n
2(n 1) 2n(n 1) i 1
n
y x xi
前面已作过 n>2的假设，实际上经验算此公式也适合 n=2时的情况。
用彼得斯公式来估 计 随 机
变量
的标准差σ是无偏估计，不存于系统误差，其随机
误差的标准差为 故定义其标准差系数为：
精确到小数点后 六位，借助于计算机用 Excel97算得标准差
系数 Cn如
下面的表 1所示。根据各种估计总体标准差方法（如贝塞尔法、极差
法、较
差法、最大误差法和最大残差法等）的标准差系数 Cn的大小，我们能
够分
析出各种方法的优劣及其适用范围。
D ,Y
n Cn n Cn n Cn n Cn
2 22 42 120
3 23 43 130
4 24 44 140
5 25 45 150
6 26 46 160
7 27 47 170
8 28 48 180
9 29 49 190
10 30 50 200
11 31 55 250
12 32 60 300
13 33 65 350
14 34 70 400
15 35 75 450
16 36 80 500
17 37 85 600
18 38 90 700
19 39 95 800
20 40 100 900
21 41 110 1000
¡Þ 0
表 1 标准差系数 Cn 表
参考文献
[1]张世英、刘智敏编著，《测量实践的数据处理》，科学出版社，1977
年 11月（首版）。
[2]M.费史(波兰)著，王福保译，《概率论及数理统计》，上海科学
技术出版社，1962年 10月（首版）。
1990年 03月 21日完成第壹稿
1990年 12月 25日完成第二稿
1998年 10月 20日完成此定稿
TheErrorAnalysisofaPopulationStandard
DeviationEstimatedbyPeters’Formula
ZhuAn-yuan
(AutomationResearchInstituteofMinistryofMetallurgicalIndustry,Beijing,1
00071)
AbstractTheauthorhasexportedonhisownthecalculatingfo
rmulaofastandarddeviationcoefficientCnofapopulations
tandarddeviationestimatedbyPeters’
alysedthatvariousestimatingmethodsaregood,badandthei
rscopeofapplicationaccordingtobigorsmallofdifferents
tandarddeviationcoefficientsCn’sofvariousestimatingm
ethods.
KeywordsPeters’formulapopulationstandarddeviation
standarddeviationcoefficienterroranalysis
作者简介
朱安远 1964年 10月生于湖南省邵东县。1985年 7月毕业于包头钢
铁学院机电工程系工业电气自动化专业，获工学学士学位。现为冶金
工业部自动化研究院助理工程师，主要从事交直流传动及自动化工程
的设计研究工作，业余爱好数学和集邮。
说明
本论文曾以《用彼得斯公式评定精度的误差分析》为题于中国现场统
计研究会华北协作组第四届年会（会议地点：内蒙古包头市）上宣读，
获论文证书（证书号：第 045号，发证日期：1990年 8月 4日）壹本。
