行列式的性质
第一章 行列式
一、 n 阶行列式的构造规律
二、 行列式的性质
三、 小结、思考题
一、n 阶行列式的构造规律
概念的引入
观察三阶行列式
（1）三阶行列式共有 项，即 项．
寻找规律
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积，并且行列式的值恰由所有这种可能的乘积组成.
其任一项可写成：
其中
是123的一个排列.
寻找规律
例如
列标排列的逆序数为
列标排列的逆序数为
偶排列
奇排列
（3）（每项的符号规律）
当
是偶排列时，项
取正号
当
是奇排列时，项
取负号
寻找规律
二阶行列式有类似规律.
根据二、三阶行列式的构造规律来定义 n 阶行列式.
考虑：
n 阶行列式的构造规律？
n 阶行列式是 n！项的代数和；
每项都是位于不同行不同列 n 个元素的乘积；
其一般项为
这里
是 12···n 的一个排列.
当
是偶排列时，该项前面带正号;
当
是奇排列时，该项前面带负号.
这就使得我们必须考虑用另外的思路计算行列式.
而行列式的性质可以帮助我们很好地解决这个问题.
二、行列式的性质
行列式 称为行列式 的转置行列式.
记
性质1 行列式与它的转置行列式相等，即
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列
式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.
证明
互换相同的两行，有
例如
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.
性质3’ 行列式的某一行（列）中所有元素的 公因子可以提到行列式符号的外面．
推论 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．
证明
性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和.
则 D 等于下列两个行列式之和：
例如
思考
性质5 把行列式的某一行（列）的 k 倍加到 另一行(列)上，得到的行列式的值不变．
例如
例1
证明
结论：任意奇数阶反对称矩阵的行列式的值为0.
例2
解
方法1
方法2
例3
解
=48
一般地，可以计算
请牢记这种方法，这类题就这种做法。
例4
证明
方法1
方法2
三、小结
行列式的5个性质及推论(行列式中行与列具有
同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也
同样成立).
2. 计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用
性质(行列式的三种变换)把行列式化为上三角形
行列式，从而算得行列式的值．
利用行列式性质（三种变换）计算行列式：
目标
化为三角形行列式
求得行列式的值
变换1
行列式的第s行：
行列式的第s列：
；交换s、t两行：
；交换s、t两列：
变换2
第 s 行乘以 k ：
；第 s 列乘以 k :
变换3
数 k 乘第 t 行加到第 s 行上：
数 k 乘第 t 列加到第 s 列上：
补充:
注2
把几个运算写在一起时，要注意各个运算
次序一般不能颠倒，因为后一次运算是作
用在前一次运算结果上。
例如
注1
写成 ，不要写成 .
思
考
题
箭形行列式
目标：把第一列化为
成三角形行列式
