2012年 12月
第27卷 第 12期
渭南师范学院学报
Journal of Weinan Normal University
Dec．2012
Vo1．27 No．12
混合分数布朗运动下可延迟交付的
附息债券期权定价
张 璐，容跃堂，刘明月
(西安工程大学 理学院，西安 710048)
摘 要：基于混合分数布朗运动驱动金融市场的情况下，附息票债券服从混合分数布朗运动驱动的随机微分方程，且
短期利率遵循混合分数布朗运动驱动的Hul1一white模型，运用偏微分方程方法及混合分数布朗运动随机分析理论，建立
了可延迟交付的附息票债券期权的定价模型及定价公式．
关键词：混合分数布朗运动；Hull--White模型；附息票债券期权
中图分类号：029 文献标志码：A 文章编号：1009--5128(2012)12—0o21—07
收稿 日期：2012----07__o8
基金项目：陕西省自然科学研究基金项目(2010JM1010)
作者简介：张璐(1988一)，女，陕西安康人，西安工程大学理学院硕士研究生．研究方向：微分方程的应用．
O 引言
由于金融市场中股票价格具有长期依赖性和自相似性，近年有部分学者 使用混合布朗运动来研
究欧式期权．使用混合分数布朗运动MixH,( ， )= + ，t≥0作为来驱动金融市场，这种噪声与半
鞅有着相类似的性质，且在Hurst指数日≥3／4时，这个随机过程即等价于一个常数乘以Brownian运动．当
H∈(1／2，1)时，混合分数布朗运动MixH,所驱动的市场是完备的且无套利．因此，本文采用混合分数布朗
运动的1tO公式 ]，获得了混合分数布朗运动过程下的可延迟交付的附息债券期权定价模型，并选取了模
型所满足的随机微分方程，最后证明了欧式延迟交付的附息债券看涨期权定价公式．
1 基本假设
现考虑这样一个混合型Black。Scholes市场即有混合分数布朗运动 ( ， )=。 +卢 ，t≥0驱
动的市场．原生资产价格演化遵循混合分数布朗运动．其中标的资产的价格S(t)满足
』 C
=r,dt+ (t)dB~+ 2(t)d ． (1)
￡
其中：rf为短期利率； 。(t)， ：(t)为波动率(关于t的确定性函数)；抛 (t)为分数布朗运动；dW(t)为布
朗运动．
市场中的基本变量过程是服从Hull—white模型的短期利率过程
dr =( 一口r1) + 1dB +or2dW,，0≤t≤L． (2)
其中：0 是时间t的确定性连续函数，且 a，or ，or 均为正常数 ．
市场中的所有衍生证券y的价格过程为Y(t，r ， )，其中 ≤￡，[0，T ]是衍生证券 l，的有效期，且
函数 Y(t，rt；T )∈C ([0，T ])×(一∞，+∞))．假设不支付交易费和税收，且市场是完全的，不存在套
利机会．
2 零息票债券定价公式
引理1 在以上基本假设下，市场中的衍生证券 y的价格函数Y(t，rl；Tr)适合以下偏微分方程：
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oY_+( ) oY+ 1 02YL,2跏 + ；)一r =0
， (3)
其中(t，r)∈[0，Ty]×(一∞，+o。)．
证明 现考虑一个投资组合兀 = —AS ，有
dn =n rdt=dL—AdS ． (4)
设 Y=Y(S ，f)是一个二元可微函数，若随机过程S 适合随机微分方程dS =tzdt+or1dB + d ，
则
d yf=[警+ oY+ 1 0 2 Y (2胁2 + ：2)]d￡+ OY口 H+ z OYd． ． (5)
根据文献[5]，混合分数布朗运动h5公式
d yI=【 +( 一0rf OY+ 1 c ~2Isy：(、2 2。 一1+ )】 + + ： OYd ．
已知 dEs =(ixdt+orl扭 +or2d ) ：2Itt (r~dt+cr~dt+o(dt)．
将式(6)，(7)代人式(4)得，
(6)
(7)
n rd￡=[ OY+( 一 oY+ 1 0 2Y(2胁 + ；)一△．s‘r‘ +
。( 一 )d日 ( 一△5f)d
令 A ： 代人上式，得到衍生证券y适合的偏微分方程
警+( 一 OY+ 1 02YL,2 ￡2 + )一r ：0．
引理2 在基本假设下，令P(t，r， )表示零息票债券在t时刻的价格，到期日为T，那么混合分数布朗
运动下零息票债券 P(t，r，T)的定价公式为
P(t，r，T)=exp(A( ，T)一rB(t，T))，0≤t≤T， (8)
其中：
) T ㈣ 2 TB2㈤ s
． (9)
【B(t， d—eW& (1 “ )
证明再根据零息票债券价格函数在到期 日P(t=T，r；T)=1的特征可得~lJ(9)成立．P(t，r；T)满足
式(3)，利用伊滕引理及偏微分方程方法可证明(8)成立 ．
3 模型建立与求解
根据文献[6]，考虑标的资产为附息票债券 P一的欧式看涨期权，其执行价格为 K，到期 日为 T，附息票
债券的交付日期 期权的价格函数表示为Y(t，r；T， )．本文研究可延期交付的附息票债券期权标的资产
的交付日期 与期权到期日 不一定相同，即T≤ ≤ 因此，可将此期权分为三类：
(1)设t <T=T<t ，在期权到期日交付标的资产，即就是标准欧式看涨期权．期权在到期日的损
益为y( ，r ； )=maxt0，∑Qp( ，r，；￡ )一K}，此类可延期交付的附息票债券期权定价模型为
』号 +( ( )一ar)号 +( 胁 J=，。+丢 I)~d~-- -一y-rY=O,(t，r)∈[。， ]×(一∞，+∞)
． (1。)
【y( = ，r； )=maxt 0，∑c p( ，r；t，)一K}，r∈(一∞，+o。)
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(2)设t <T<7’<tm~1，且p期权到期 日与延迟交付日在I司一个相邻息票交付 日之间．因此需要将 时
刻可能要支付的执行价格K贴现到 T时刻与标的资产在 时刻的价值作比较．期权在 时刻的损益为
y( ，r ； ， )：max{0，∑c 尸( ，r，；￡ )一KP( ，rr；T)}，此类可延期交付的附息票债券期权定价模型
为
J-警 ㈩⋯) m + -rY=O, r)∈[0'小 ， ．(11)
【y( = ，r； ， )=max{0，∑CiP( ，rr；￡ )一K尸( ，rr；／3}，r∈(一∞，+∞)
(3)设t < <t +1<⋯ <t +^ < <t +^+l<⋯ <t = ，即期权到期日与延迟交付日不在同一
个相邻息票交付日之间．在期权到期日T和延迟交付日期 之间有附息票债券 有 次^息票支付金额为
C 小⋯，C 期权持有人若执行期权，在延迟交付日期 只能得到t m。之后(包括tm+ )的所有息票和
债券的面值，因此，该期权在到期日T时刻的损益为
y( ，rr； ， )=maxl0， ∑ c P( ，rr； )一KP( ，rr； )}，
此类可延期交付的附息票债券期权定价模型为
f)． ÷ ) -rY=O, r)∈[0，小 )
． (12)
【y(￡= ，r； ， )=max{0， ∑ CiP( ，r；t1)一KP( ，r； )}，r∈(一∞，+∞)
引理3 抛物型偏微分方程
警+( 一 OY+ 1 02YL,2胁 一1+ )一r =o，( )∈lo, )×(一∞，+ ．(13)
有如下形式的基本解：
咖 唧[一 】． (14)
其中：)，(t)=rexp(口t一口 )+1 (s)exp(口s一口T)ds— 1』(2砌 s2H-1exp(口s一口 )+
~exp(as一0 ))ds+÷∑ ，
∑ =f 2胁 s exp2a(s—T)ds+I~exp2a(s—T)ds．
．It St
证明 偏微分方程(13)的基本解 (T—t，r一 )也是
J-一 OY+( ⋯ OY+ 1 0 2Y(、2胁 2)一r ～ (15)
【y I ：。：6( 一 )
的解，其中6( )为 Dirac函数．
设 Y( ，r)=vexp(A( )一rB( ))，由此得：
i
oY
： ( ( 一r掣 )+ )exp(A( )一rB( ))， d7 n7 n7 df
= ( 一 B(f))exp(A(r)一棚(丁))，
= ( ㈩ 一2B(丁) 031／+ Or2)ex ㈩ 一曲 ))，
代入式(15)的微分方程后，有
：查 掌，刘明月：混合分数布朗运动下可延迟交付的附息债券期权定价 第27卷
f一 01：+ )一2 r) 71一r)2 1) 一 ( ) z2一口，) ov+(日( 一．r)。 1 2 + 1 ：2)雾+
1[一( 一r ) 咧 z z㈩+了1 】
【 I ：。=6(r— )
为了消去 含项，令
f一 一附) )+(Ho'21(T +了1 ；) )：0
I r)+ 一 ：。 ‘
得 刽
fA( )=一上曰(s) (s)ds+上H(T—s) B (s)tr 2ds
l (r)： ’
整理后：
们 ㈩ _2附 2 丁 2⋯ ) 031,,砌 (h ～ 2 1
：
2 O2
_ _ v -o'
【 I ：。= (r— )．
为消去 项中的r，令 =re-aT，代人方程后消去 项中的r后
，整理得
J．一 +‘ (r)一2 (丁) ( 一下)。 ～ 一日(丁) ；)e一 031 ．；+(日( 一丁) 日～ 2。+ 1 2)e一2"0 2__vv：=。
【 I ：。= (r— )
为消去 项，令 = + (7-)，有
r 晰)-2附 h ～ 附 ]考 ( 一 扣 0Y2=。
【 I，：。=6( — )
为消去 ，取 ( )= e～(2H(T—s，2H-1 2 r,／ )+ B( )一o(s))
，方程化为
J-一筹+( 2H-I 2 1 2 e-2口 02,／-=。
【 l
：。= (y一 )
令s=上’(日( 一 ／2H-I 2 +． 1 2)e-2ax 得到标准抛物方程
f’ + C921)：0
J Os Oy 【
I ：。： (y— )
其解 (s，y)： 一 ．
^／‘● ，r
以上变换均可逆'眦 ，标准抛物方程的解也可以表示成 (
， ) 丽 1 ～ ，其中：
(r)=I_r( ( 一 )2H-10． + 1 2)e ，
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)，(r)= 。 +Jcre一 (s) 一 rz盯 2。( 一s 2．-1e⋯B(s) 一 'tr一2e-a,B(s)ds．
从而已得到(15)偏微分方程的解 y( ，r， )=P( ，r) ·
综上所述，引理中(13)微分方程的基本解的形式可表示为：
yc ，r； ， =_= exp【一 】，
其中：∑ (t， )：((2Hx + ；)e。 ’dx，
y( ； )= (t— )+ e。( ) ( ) 一 1 JlT(2 2／／-1 2a(x-T) 2。+e 一r) ；) +丢∑。( ， )．
定理在基本假设下，模型(11)的解有如下表达形式：
Y(t，r；T， )=∑CiP(t，r；，ti)Ⅳ(d ，2))一KP(t，r；T)N(d(t，2))， (16)
其中：
d ￡， +E 2(t'T) ， 一y t，r' ' =，n+ '⋯，n· 7
‘t' l_ ‘ +∑‘‘ ， ‘ ， 一y‘￡，r， · 8
其中：z是方程∑c尸( ，x；t )一KP( ， ； )=0唯一的实数根．
证明 已知定价模型(11)：
f警+( (￡)一口r) OY+( 胁 肛l+ 1 ：2) 一ry=0，( )∈[0， ]×(一a。+∞)
? · ly(￡： ， ； ， )：ma {0，主G P( ，，；t)一后P( ，，； )}， ∈(一。。+∞)
根据引理3可知，定价模型的解为
(，r；，)：广_( ；， ) {，∑c 尸(， )一KP(V t T T Y T max 0 T；ti T一， ； ． (，r；，)=f ( ，r；， ) {， c 尸(， )一 ， ； )l} ．
设G( )=∑c exp[A( ，t )-A( ， )一( ( ，t )一曰( ，T)x)]一K，其中 (z’，t )，A( ， )， (T，
t )，B(T，T)形式如引理 1中的(12)，显然 B( ，t1)一B(T，T)>0，i=m+1，⋯，n．那么，
dG(x)一
。
c ( ) ( ))ex ( ) ( ， )一(B( ) ， 驯 <0，可知’
lira C(x)=一K<0，lim C(x)=+∞．因此，存在一个实数l(有且仅有一个)，使得C(1)=0，且当 ≤l
时，G(f)≥0．上述G( )等号两边同乘一个P( ， ； )得G( )p( ， ； )=∑Qp( ，x；t1)一KP( ， ；
、．
因此，l也是方程∑c P(T,x；t )一 ( ， ； )=0唯一的实数根，当且仅当 ≤l时，∑
．
C P(T,x；
t )一 P(T， ；T)≥0．习 么，
V(t，r；T，T)
L y( ； ， 。c P(T， )一KP( ， ； )蟛
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= ∑n c pl A(T， 一B(T ))， )+ 1 ( )∑ (f’ )l 'r． )Ⅳ( ))一
1 m +1 I I
xp【 ， y )+ ， )∑ ) ) f))．
又因为
exp[ ， y )+ 。( ∑ ) ， )=Jp(T,r；ti)，
exp【们， ) )y( ，孙丢 )∑ (f’ ) )=
综上所述
( ， ； ， )：壹CiP(t,r；ti)，v(d (￡，f))一KP(￡，r； )』、r(a(t，f))，
其中：
Ⅳ(d ( ，z)) _= 南 exp【一 主 l_ +(∑ (t’ ) ( ， i)-y(t,r,T))) 】d ，
Ⅳ( ( ，z)) _= exp【一 主 ‘ +(∑2(t,T)B( ， )一y(￡，r， ))) 】d ·
同理，可以得到此期权的另外两种类型的定价模型的解的表达式：
(1)定价模型(12)的解 (￡，，； ， )： c P(t,r；ti)Ⅳ( (￡，f))一KP(￡，，； )Ⅳ( (f，z))，其中：
d (￡， )， (f， )由定理中(17)，(18)式给出．实数f是方程 ∑n CiP(T
，戈；￡ )一KP(T， ； )：0唯一实数
根．
(2)若期权到期日与标的资产交付日相同，即为标准的欧式附息票债券看期权，其定价模型(10)的
解为 (f，r； )：∑n c P(t
,r；ti)Ⅳ(d ( ，?))～KP( ，r； )Ⅳ( (f，f))，其中：
d (￡， ) 南 ( +2( ， )B( ， )一，，(￡，r， ))， =m+1，⋯，n·
(￡， ) 南 ( —y( ，r， ))·
(19)
(20)
上述的P(t，r； )，B(t， )f13~lN2给出．z是方程∑CiP( ，X；t )一K=0唯一的实数根．Ⅳ( )为标
， +I
准正态分布累积函数．经过验证可得，当T=T时，(16)的解恰为表达式(1O)的解．
推论 (欧式可延期交付的附息票债券看跌期权定价公式) 表示看跌期权，则
(I)设t <T=T<t ，在期权到期日交付标的资产，即标准欧式看跌期权，
(￡，r； )=一 ：CiP(t，r；t )N(一d ( ，z1))+^ ( ，r；T)N(一d( ，z1))
l=m +J
(II)设t <T=T<t 小 即期权到期日与延迟交付日在同一个相邻息票交付日之间．
(￡，r；T， )=一∑CiP(t，r；t )Ⅳ(一di(￡，f2))+KP(t，r； )Ⅳ(一 (￡，f2))
l m +l
(III)设t <T<t m+l<⋯ <t +^ <T<t ml<⋯ <t = ，即期权到期日与延迟交付日不在同
一 个相邻息票交付日之间．
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(t，r； ， )=一∑ CiP(t，r；t )Ⅳ(一dl( ，z3))+KP(t，r； )』、，(一 ( ，z3))，
f m+ +l
证明 利用期权看涨一 看跌平价公式即可 ．
4 结语
文章结合了混合分数布朗运动随机分析理论以及偏微分方程方法对可延期交付的附息票债券期权价
格进行定价，本文还有进一步的研究空间．
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2256—2260．
【责任编辑 牛怀岗】
Coupon-bonds Option Pricing under a M ixed Fractional
Brownian M otion Environment
ZHANG Lu，RONG Yue-tang，LIU Ming-yue
(School of Science，Xi’all Polytechnic University，Xi’an 710048，China)
Abstract：Assuming that the mathematical model for the financial market in mixed fractional Brownian motion setting．And the
short．term interest rates satisfy the Hull-White model driven by mixed fractional Brownian motion．Using the methods of PDEs，we
obtained the pricing formula for coupon—bonds option with delay in delivery．
Key words：mixed fractional Brownian motion；Hull-White model；coupon—bonds option
