第四章 一维一阶线性动态经济系统
第一节 一维一阶线性动态经济系统的数学
描述--微分方程
第二节 一维一阶线性灰色微分方程与预测
——GM (1,1)模型
第三节 一维一阶离散线性动态经济系统
第四节 线性蛛网模型
第五节 微分方程与与差分方程对应关系
——以人口系统为例
第一节 一维一阶线性动态经济系统的数学描述--微分方程
一、一维一阶线性微分方程
经济系统的数学模型是经济规律的数学描述，动态经济系统中的经济变量一般是依赖于时间的，经济规律常与经济变量的变化率有关，因此经济模型中常出现经济变量的导数，因此连续时间动态经济系统的数学模型是微分方程。
微分方程是一个包含未知函数的导数的方程式。也就是，凡含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程（differential equation）。
微分方程中所含导数的最高阶数称为这个微分方程的阶。一阶导数（一阶导数）在一阶微分方程中出现了唯一的导数，但是它可能出幂数如 ， 。导数仅为一次的一阶微分方程的一般形式为
()
如果为线性函数时，的形式是
()
()式中， 和 一样，都是的函数，可以是 、 、 等 的复杂函数。当然，如果， 和 为常数时，即得到一维一阶微分方程。令 ， ，则（）转化为：
()
()式为一维一阶常系数微分方程，即一维一阶常系数动力学程。
（1）什么是微分方程的解
如果一个函数 代入微分方程中，使微分方程在区间 上成为一个恒等式，则称这个函数在该区间上是微分方程的解。例如将函数 代入微分方程
()
得到恒等式
因此，函数 是微分方程()的解。
在经济学中，某个经济变量如国民收入Y， 以速度r增长是指它的变化速度与它本身的比值为r，即
，或 ()
就是说 ，国民收入是按指数形式增长的。 ()式中 “·或´”代表函数关于时间的导数（dx/dt），以后会常采用这些符号。
方程()）的解中都包含任意常数 ，称为微分方程的通解。一般地说，微分方程的通解是指它包含了微分方程的所有可能的解。微分方程的一个不包含任意常数的解称为微分方程的特解。
特别地，线性经济系统 ，其解 x =c*t+C1。
（2）一维一阶线性齐次方程的通解
()式为一维一阶常系数线性微分方程的一般形式，其为非齐次方程。若()式中， 时，为相应的齐次方程：
()
它具有变量分离的形式，它可以改写为
两边积分得到
这时解式()化为
()
当a=1时，x(0)=80、x(0)=40、x(0)=20的（）式的轨迹见图
〖MATLAB语句〗
[X]=dsolve('Dx = -x', 'x(0)=20')
ezplot(X,[0,5])
hold on
[X]=dsolve('Dx = -x', 'x(0)=40')
ezplot(X,[0,5])
hold on
[X]=dsolve('Dx = -x', 'x(0)=80')
ezplot(X,[0,5])
一大类经济系统可以由一阶线性常系数齐次微分方程描述，这一类经济系统有这样一个重要性质：经济变量x以常速度增长或衰减。将方程()改写为
从图方向场中可得出这一结论。
〖MAPLE〗
DEtools[phaseportrait]
([diff(y(t),t)=-y(t),diff(x(t),t)=1],
[x(t),y(t)],t=0..1000,
[[y(0)=20,x(0)=0], [y(0)=40,x(0)=0], [y(0)=80,x(0)=0] , [y(0)=80,x(0)=1]],
y=1..100, x=0..5,arrows=small,
dirgrid=[23,23],
stepsize=,
color=black,linecolor=black,
arrows=SLIM,axes=BOXED);
特别地，线性经济系统 ，其解 x =-a*t+C1。对于初始值为40，x 1=-1*t+C1，x 1=-2*t+C1，其线性轨迹见图。
另一种情况是经济变量x以常速度增长（导论），其方程为
或
当a=1时，x(0)=5、x(0)=10、x(0)=20、x(1)=20的解见图和图。
〖MAPLE〗
DEtools[phaseportrait]
([diff(y(t),t)=y(t),diff(x(t),t)=1],
[x(t),y(t)],t=0..1000,
[[y(0)=5,x(0)=0], [y(0)=10,x(0)=0], [y(0)=20,x(0)=0], [y(0)=20,x(0)=1]],
y=0..100, x=0..3,arrows=small,
dirgrid=[23,23],
stepsize=,
color=black,linecolor=black,
arrows=SLIM,axes=BOXED);
〖MATLAB〗
[X]=dsolve('Dx = x', 'x(0)=5')
ezplot(X,[0,3])
hold on
[X]=dsolve('Dx = x', 'x(0)=10')
ezplot(X,[0,3])
hold on
[X]=dsolve('Dx = x', 'x(0)=20')
ezplot(X,[0,3])
特别地，线性经济系统 ，其解 x =a*t+C1。对于初始值为10，x 1=1*t+C1，x 1=2*t+C1，其线性轨迹见图。初始值为10，x1=2*t+C1与初始值为12，x 1=1*t+C1相交，说明，速度快的要超过速度慢的。
三、一维一阶线性非齐次方程的解
用“·”号表示对时间的导数，一阶线性微分方程方程（）改写为
（）
如果我们已经得到齐次方程()的通解 和非齐次方程()的一个特解 ，则
是非齐次方程()的通解。这 一结论很容易验证：
即
这表明 是非齐次方程()的解。
也就是说非齐次方程的通解等于齐次方程的通解加非齐次方程的一个特解。由于 中包含一个任意常数，因此 是非齐次方程的包含一个任意常数的解，因而是非齐次方程的通解。
齐次方程()的通解 前面已经求出，对于求非齐次方程的一个特解。令dx/dt=0解得 。于是()的通解为
()
由于特解是在非齐次方程()中令dx/dt=0得到的，在经济系统中也称它为均衡解。
〖MATLAB解〗
X=dsolve('Dx = -a*x+b')
X =(b+exp(-a*t)*C1*a)/a
例已给非齐次方程
求其通解。
齐次方程：
的通解为
容易看出非齐次方程有常数特解，令 代入非齐次方程得到
解得 =15，于是非齐次方程的通解为
〖MATLAB解〗
X=dsolve('Dx = *')
X =15+exp(1/10*t)*C1
四、初值问题的解
在一阶微分方程的解中包含一个任意常数，齐次方程通解() 中的和非齐次方程特解() 中都存在C。这些常数要通过经济变量的进一步的信息来确定。最常见的补充信息是经济变量的初始值。由初始值确定待定常数是最常见的一类问题，这类问题称为初值问题，或初始问题。
1、一维一阶非齐次线性常系数微分方程
一维一阶非齐次线性微分方程的初始问题是，求x(t)使得：
()
如果已经得到一阶线性微分方程的包含一个任意常数的通解，那么求初始问题()的解就是在通解()中，确定一个常数C ，使得这个解满足()中的初始条件。显然初始问题()的解为
()
2、一维一阶齐次线性常系数微分方程
相应的齐次方程的初始问题
()
的解为
()
事实上由通解(和已给的初值得到
由此解出
代入解()即得到初值问题()的解。
〖MATLAB解〗
X=dsolve('Dx =-a*x+b','x(0)=x0')
X =1/a*b+exp(-a*t)*(x0-1/a*b)
X=dsolve('Dx =-a*x','x(0)=x0')
X =x0*exp(-a*t)
例解
初始问题。
在例中，已求出该非齐次方程的通解为
由初始条件
=20
解得C=5，于是该初始问题的解为
〖MATLAB解〗
X=dsolve('Dx =*', 'x(0)=20')
X =15+5*exp(1/10*t)
X=dsolve('Dx =*x', 'x(0)=20')
ezplot(X,[0,20])
hold on
X=dsolve('Dx =*', 'x(0)=20')
ezplot(X,[0,20])
第二节 一维一阶灰色动态经济系统与预测
一、灰色预测理论
二、GM(1,1)模型
三、GM(1,1)模型预测
一、灰色预测理论
（一）经济预测
经济预测是宏观经济分析与经济决策的一项重要而基础性内容，其基本思想就是运用已建立的计量经济模型对被解释变量的未来值作出预测估计或推算。随着随机过程、统计学和计量经济学等理论的发展，时间序列预测模型得到了广泛地应用和发展，然而，经济预测的计量经济模型的选择影响经济预测结果的精度，从而影响宏观经济分析与经济决策的效果，因此，必需依据经济变量的运行方式和经济时间序列的数字特征来选择预测的计量模型。
（二）传统经济预测的方法
1、线性模型
随着时间的推移经济指标的绝对量上表现出持续增长的迹象，为此选取经济指标与时间构建出线性模型，能够反映出经济指标与时间的相关关系。
线性回归模型的数学基础是回归分析，即用回归分析方法建立的线性模型，用以揭示经济现象中的因果关系。选取某一经济指标序列{ }和时间指标序列{ }，其中，线性回归模型为：
（1）
（1）式中， 为被解释变量， 为解释变量， 与 为待估参数，可采取普通最小二乘法(OLS)估计， 为随机干扰项。
2、非线性模型
线性回归模型反映出经济指标与时间存在着一种线性关系，然而一些经济指标随着时间推移在其数字特征中却表现出非线性增长的趋势，这时用时间多项来预测经济指标的变化。选取某一经济指标序列{ }和时间指标序列{ }，其中，线性回归模型为：
（2）
（2）式中， 为被解释变量， 为解释变量， 、 、 与 为待估参数，可采取普通最小二乘法(OLS)估计， 为随机干扰项。
3、指数增长模型
一些经济指标随着时间推移在其数字特征中却表现出指数增长的趋势，构造经济指标与时间指标的指数增长模型：
（3）
（3）式中 与 为待估参数。
取经济指标的对数序列序列{ }，则指数增长模型可转化为线性回归模型：
用普通最小二乘法便可估计出 与 。
4、ARIMA模型
当经济指标的非平稳性，然而在进行宏观经济分析过程中不考虑经济指标序列的平稳性而直接对非平稳性数据建立线性回归模型，很可能会出现“虚假回归”，导致模型中各种统计检验毫无意义，从而使模型不具有代表性。因此，针对这种非平稳性经济指标，可选取ARIMA模型作为经济指标的预测模型。
5、传统预测方法评价
现有预测方法，大都是数理统计法如回归分析、方差分析、主成分分析等，其中以回归分析用得最多。然而回归分析有下述弱点：
（1）要求大样本量；
（2）要求样本有较好的分布规律和确定的发展趋势；
（3）计算工作量大；
（4）可能出现量化结果与定性分析结果不符的现象。
（二）灰色系统理论
1、简介
灰色系统理论是20世纪80年代，由中国华中理工大学邓聚龙教授首先提出并创立的一门新兴学科，它是基于数学理论的系统工程学科。主要解决一些包含未知因素的特殊领域的问题，它广泛应用于农业、地质、气象、经济等学科。 1982年，中国学者邓聚龙教授创立的灰色系统理论，是一种研究少数据、贫信息不确定性问题的新方法。灰色系统理论以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。社会、经济、农业、工业、生态、生物等许多系统，是按照研究对象所属的领域和范围命名的，而灰色系统确是按颜色命名的。
2、三类系统
（1）黑色系统
黑色系统是指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过它与外界的联系来加以观测研究。
在控制论中，人们常用颜色的深线形容信息的明确程度，如艾什比(Ashby)将内部信息未知的对象称为黑箱(BlackBox)，这种称谓已为人们普遍接受。
（2）白色系统
白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全充分的。
（3）灰色系统
灰色系统是指部分信息清楚,部分信息不清楚的系统。灰色系统理论是以灰色系统为研究对象,通过研究灰色系统 。
3、灰色系统理论观点
灰色系统理论认为任何随机过程都是在一定幅值范围、一定时区变化的灰色量，称随机过程为灰色过程，在处理技术上，灰色过程是通过原始数据的整理来寻找数据的规律的，这叫数的生成，这是一种就数找数的现实规律途径。
而基于概率统计的随机过程，则是按统计规律，按先验规律来处理问题，作这种处理，要求数据越多越好，或者说它是建立在大样本量的基础上的。事实上，即使有了大样本量也不一定能找到规律，即使有了统计规律也不一定是典型的，而非典型的过程（如非平稳，非高期分析，非高斯分布，非白噪声等）是难以处理的，经济系统数据亦是非平稳的随机过程。
而灰色过程则无此限制，事实上将许多历史数据作累加处理后便出现了明显的指数规律。这是由于尽管客观系统表象复杂，数据离乱，但它总是有整体功能的，总是有序的，因此它必然潜藏着某种内在规律，这是由于大多数系统都是广义的能量系统，而指数规律便是能量变化的一种规律。由于生成的数据列有了较强的规律，有可能对变化过程用较长时间的描述，因此有可能建立微分方程模型。
灰色系统理论是以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”为研究对象的不确定性系统，它通过对“部分”己知信息的开发和生成去了解、认识现实世界，实现对系统运行行为和演化规律的正确把握和描述，为用尽可能少的数据建立起描述经济系统的模型提供了另外一种思路。
（三）灰色预测
（1）灰色预测技术的基本思想
在灰色系统理论的研究中，灰色预测是就灰色系统所做的预测。例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。
灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
灰色系统理论认为任何随机过程都是在一定幅值范围、一定时区内变化的灰色量，称之为随机过程为灰色过程，在处理技术上，灰色过程是通过原始数据的整理来寻找数据的规律的，这叫做数的生成，这是一种从数据中寻找数据现实规律的途径。而基于概率统计的随机过程，则是按统计规律、按先验规律来处理问题，它要求数据越多越好，或者说它是建立在大样本量的基础之上的。而灰色过程则无此限制，在实际中我们将许多历史数据做累加处理后数据便出现了明显的指数规律。由于生成的数据列有了较强的规律，有可能对变化过程做长时间的描述，因此就有可能建立微分方程模型。
2、灰色预测依据
（1）灰色理论将随机量当作在一定范围内变化的灰色量，将随机过程当作在一定范围、一定时区内变化的灰色过程。
（2）灰色理论将无规律的历史数据列经累加生成后，使其变为具有指数增长规律的上升形状数列，由于一阶微分方程解的形成即是指数增长形式，所以可对生成后数列建立微分方程模型。所以灰色模型实际上是生成数列所建模型。
（3）灰色理论通过灰数的不同生成方式，数据的不同取舍，不同级别的残差GM模型，来调整、修正、提高精度。
（4）对高阶系统建模，灰色理论是通过GM(1，n)模型群解决的。GM模型群即一阶微分方程组组成的灰色模型。
（5）GM模型所得数据必须经过逆生成，即累减生成做还原后才能应用。
三、GM（1,1）模型
（一） GM（1，1）模型
GM（1，1）模型是最常用的一种灰色模型，它是由一个只包含单变量的一阶微分方程构成的模型，是作为预测的一种有效的模型。即：
（4）
（4）式中，a、b未知，无法直接解方程，须先求出参数。解之可得
（5）
（二） GM（1，1）模型建立
1、生成一阶累加生成序列
设有变量为的原始数据序列：
用1－AGO生成一阶累加生成序列
其中
累加的规则:
将原始序列的第一个数据作为生成列的第一个数据，将原始序列的第二个数据加到原始序列的第一个数据上，其和作为生成列的第二个数据，将原始序列的第三个数据加到生成列的第二个数据上，其和作为生成列的第三个数据，按此规则进行下去，便可得到生成列。
2、微分方程离散化
根据导数定义，有
若以离散形式表示，微分项可写成
其中 值只能取时刻和的均值，即
因此，微分方程改写成
可推出
3、矩阵形式
简记为
（6）
方程组中， 和 为已知量， 为待定参数。
4、参数估计
由于变量只有a和b两个，而方程个数却有（n-1）个，而(n-1)>2，故方程组无解。但可用最小二乘法得到最小二乘近似解。
因此，（5）式可改写为
（7）
（7）式中，E为误差项。
欲使
利用矩阵求导公式，可得
5、GM(1,1)
将所求得的 代回原来的微分方程，有
（8）
解之可得
令
， ，则
显然，GM（1，1）是一种指数预测模型。由于序列具有指数增长规律，而一阶微分方程的解恰是指数增长形式的解 。
灰色预测法用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一 特征量的时间。
（三）GM(1,1)预测检验
通过创建GM模型，可以得到未来的预测值，但是，这个模型是否能进行预测还需要进行检验。只有通过检验的模型才能进行预测。灰色模型的建模优劣精度通常用后验差检验方法进行分析。一般情况下，常用的是残差检验，最常用的是相对误差检验指标。
绝对误差： ，（i=1,2,…,n）
相对误差： ，（i=1,2,…,n）
平均相对误差：
精度检验等级参照表
20
10
5
1
四级
三级
二级
一级
等级
四、GM（1,1）实例
某市第三产业人数列入下表，试建立模型，并预测2006～2010年的从业人数。
某市第三产业人数表
x(0)(1)
x(0)(1)
x(0)(1)
x(0)(1)
x(0)(1)
x(0)(1)
x(0)(i)
人数
2005
2004
2003
2002
2001
2000
时间
——李工农等：《经济预测与决策以及MATLAB实现》，
清华大学出版社2007年，第47-63。
第一步 ：计算累加生成数列
x(1)(i)
x(0)(i)
6
5
4
3
2
1
时间
第二步：计算矩阵B和
第三步：计算矩阵 和
=
=
第四步：参数估计
于是， ， 。
第五步： 模型
将所求得的 代回原来的微分方程，有
即
解之可得该市第三产业人数的模型
=
=
〖MATLAB解〗
X=dsolve('Dx =*x+','x(0)=')
X =-304123/3653+31497241/365300*exp(3653/100000*t)
第六步：模型检验
2005
2004
2003
2002
2001
0
2000
相对误差
绝对误差
预测人数
就业人数
时间
残差检验表
预测精度等级为一级
历史预测
第六步：预测
就业人数
2010
2009
2008
2007
2006
2005(实际)
时间
五、GM（1,1）程序
（一）EXCEL+MATLAB
c =a*b
g=e*f
g =
h=c^(-1)*g
h =
〖MATLAB程序1〗
T=input('T=');
n=length(x0)
x1=cumsum(x0)
B1=*(x1(1:n-1)+ x1(2:n))
B=[B1 ones(1,n-1)']
yn=x0(2:n)
z=(B'*B)^(-1)*B'*yn
a=z(1,1)
b=z(2,1)
for t=0:n-1+T
nx1(t+1)=(x0(1)-b/a)*exp(-a*t)+b/a;
x1=nx1;
end
x1=x1'
for t=1:n-1+T
nx0(t+1)= nx1(t+1) - nx1(t);
nx0(1)=x0(1);
end
for t=1:n-1
nx0(t+1)= x1(t+1)-x1(t);
nx0(1)=x0(1);
x00=nx0;
end
x00=x00'
运行结果
2010
2009
2008
2007
2006
2005
2004
2003
2002
2001
2000
x00
x0
时间
1
2005
1
2004
1
2003
1
2002
1
2001
2000
Z
B
B1
x1
x0
时间
（二）〖MATLAB程序〗
x0=y'
T=input('T=');
x1=zeros(1,length(x0));B=zeros(length(x0)-1,2);
yn=zeros(length(x0)-1,1);Hatx0=zeros(1,length(x0)+T);
Hatx00=zeros(1,length(x0));Hatx1=zeros(1,length(x0)+T);
epsilon=zeros(length(x0),1);omega=zeros(length(x0),1);
for i=1:length(x0)
for j=1:i
x1(i)=x1(i)+x0(j);
end
end
for i=1:length(x0)-1
B(i,1)=(-1/2)*(x1(i)+x1(i+1));
B(i,2)=1;
yn(i)=x0(i+1);
end
HatA=(inv(B'*B))*B'*yn
a= HatA(1)
u= HatA(2)
for k=1:length(x0)+T
Hatx1(k)=(x0(1)-HatA(2)/HatA(1))*exp(-HatA(1)*(k-1))+HatA(2)/HatA(1);
end
c=(x0(1)-u/a)
d= u/a
Hatx0(1)=Hatx1(1);
for k=2:length(x0)+T
Hatx0(k)=Hatx1(k)-Hatx1(k-1);
end
for k= length(x0)+1:length(x0)+T
x(k)=Hatx0(k)
end
y=x(:)
for i=1:length(x0)
Hatx00(i)=Hatx0(i);
end
z=1:length(x0);
plot(z,x0,'-',z,Hatx00,':')
m=x0(:)- Hatx00(:)
A=[x0(:), Hatx00(:),m]
B=[a,u,c,d]
运行结果
预测人数
就业人数
时间
2005
2004
2003
2002
2001
0
2000
绝对误差
绝对误差
b
a
2010
2009
2008
2007
2006
0
2005
0
2004
0
2003
0
2002
0
2001
0
2000
预测数
就业人数
时间
（三）EXCEL例分解
第一步 ：计算累加生成数列
GDP
2008
2007
2006
2005
2004
2003
时间
第二步：计算矩阵B和
第三步：计算矩阵 和
第四步：参数估计
第三节 一维一阶离散线性动态经济系统
一、 数列的概念
一个数列就是实数的任何(有限或无限的)有序集。 这些数称为数列的项或元素。
用 来表示数列的第n项，称之为数列的通项。
定义：一个数列是一个函数, 其定义域为全体正整数(有时，为方便计，是全体非负整数集合)，其值域包含在全体实数集中。
二、数列表示
（1）列举法
A=｛2，4，6，8，…｝
B=｛2，4，8，16，…｝
C=｛1/2，2/3，3/4，…｝
（3）描述法
斐波那契(Fibonacci意大利 约1170-1250本名Leonardo)
（2）通项法
1，1，2，5，8，13，21，
例 （1）通项
（2）列表法
3
22
9
3
19
8
3
16
7
3
13
6
3
10
5
3
7
4
3
4
3
3
1
2
-2
1
n
例 （1）通项
（2）列表法
3
22
9
3
19
8
3
16
7
3
13
6
3
10
5
3
7
4
3
4
3
3
1
2
-2
1
n
（3）图象法
二、 数列差分的概念
数列相邻项的差, 称为数列的差分。
对任何数列 ，其差分算子(读作delta)定义如下:
：
一般地, 对任何n有
应用这个算子，从原来的数列A构成一个新的数列｛A｝, 从数列｛A｝ 可得到数列
这里
称之为数列A的二阶差分，
二阶差分 的差分 称为三阶差分。
二阶及二阶以上的差分称为高阶差分
为一阶差分 。
差分的物理和几何意义
（1）在物理方面： 一阶差分表示物体运动的平均速度，二阶差分表示平均加速度。
（2）在几何方面：一阶差分表示数列图形中相邻两点连线的斜率。
例： 外出汽车旅行，每小时记录下里程表的读数 ，设
A=｛322，342，372，412，462，522，592，672，762｝
A=｛ 20，30，40，50，60，70，80，90｝
｛A ｝=｛10，10，10，10，10，10，10｝
两个定理
定理1 若c和b为常数且对所有n 1， 2， 3，…
有
则:（1）对所有n，数列的差分为常数；
（2）当画关于n的图形时, 这些点都落在一条直线上。
定理2 若 ，其中c是一个与n无关的常数,
则有一个 的线性函数。
例：
则： 为对角线。
三、差分方程
——离散时间动态经济系统的数学描述
离散时间动态经济系统的数学描述是经济变量的一个时间序列：
这里 代表时间， 为经济变量x在 时刻的取值。这时 的定义域为全体实数。
若相邻的两个变量之间存在递推关系：
(-1)
称为该经济系统的递归方程。
差分 与差分方程
（1）差分。在数学中
称为x的差分。
在金融中股价对数一阶差分为收益率。
（2）差分方程
称为一阶差分方程，式（-1）更一般的形式
差分方程 与递归方程 (离散方程)
差分方程
离散方程
四、一阶一维线性离散经济系统
如果差分方程中包含数列变量的项不包含数列变量的乘积、指数、对数或三角函数在内的函数，那么该差分方程是线性的. 否则差分方程就是非线性的。
一阶一维线性齐次方程：
(-1)
一阶一维线性差分方程的解有三种:
（1）公式
（2）数值
（3）图形
一阶一维线性齐次方程的解
如果已给定初始条件
用递归（迭代）法求通解：
MATLAB求解
MATLAB命令：
x=maple('rsolve({x(t+1)=g*x(t)},x(t))')
x =x(0)*g^t
如果给定初始条件
x=maple('rsolve({x(t+1)=g*x(t),x(0)=c},x(t))')
x =c*g^t
例4. 3-1 解齐次差分方程
解：通过正则化并移项，方程写成
通过与 (-1)式类比，解为
例5. 2-2 假设一个系统（变量）以常数的比率递增，即
问：50年暗含的x值是多少？（琼斯：《经济增长导论》，168-169）。
（1）MAPLE解
[x]=maple('rsolve({x(t+1)=*x(t),x(0)=1},x(t))')
ezplot(x,[1,50])
x =(21/20)^t
图为，g=时的x(t)曲线。
（2）用EXCEL求解
（3）MATLAB求解
MATLAB程序
x=1;
for i=1:50
x=*x
g(i)=x
x=x
plot(i,x,'k:*')
hold on
end
讨论
（1）不同初始值 设x(0)=、1、、
（2）不同递增倍数
例-2假设一个系统（变量）以常数的比率递增，即
问：50年暗含的x值是多少？
MATLAB求解:
[x]=maple('rsolve({x(t+1)=*x(t),x(0)=12},x(t))')
ezplot(x,[1,50])
x =12*(19/20)^t
图为12，g=时的x(t)曲线。
MATLAB求解:
x=12;
for i=1:50
x=*x
g(i)=x
x=x
plot(i,x,'k:*')
hold on
end
一阶线性非齐次差分方程
例-3 一阶线性非齐次差分方程
(1)Maple命令：
[x]=maple('rsolve({x(t+1)=*x(t)+,x(1)=1},x(t))')
x =-3*(-2/5)^t+4
(2)MATLAB求解
x=1;
for i=1:1:20
x1=*x
x=x1
d(i)=x1
end
plot(d)
（3）应用Excel解
这一问题非常简单，其过程：
（1）设定初始值。在计算时只要在处输入初值1。
（2）在处输入的计算公式=*B4+，既得到的值，
（3）然后通过鼠标拖动即可得到的所有值。
（4）最后只要用鼠标选中列，再利用Excel的图表功能即可得到的图形。
第四节 动态经济系统的实例分析
——线性蛛网模型
每一个学习经济学的人都必须学习供求的概念。供求的概念成为经济学的核心概念。以至于说“一只鹦鹉也能成为经济学家，只要它会说供求”。说明各种供求关系的是蛛网模型（Cobweb model)，它是运用弹性原理解释某些生产周期较长的商品在失去均衡时发生的不同波动情况的一种动态分析理论。
蛛网模型的基本假定是：
商品的本期产量 决定于前一期的价格 ，即供给函数为 ，商品本期的需求量
决定于本期的价格 ，即需求函数为
。
根据以上的假设条件，蛛网模型:
其中， a、b 、c 和 d 均为常数且均大于零。
由于区别了经济变量的时间先后，因此，蛛网模型是一个动态模型。
蛛网模型三种情况
第一种情况：供给曲线斜率的绝对值小于需求曲线斜率的绝对值。当市场由于受到干扰偏离原有的均衡状态以后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动，但波动的幅度越来越小，最后会回复到原来的均衡点。
第二种情况：供给曲线斜率的绝对值大于需求曲线斜率的绝对值。当市场由于受到外力的干扰偏离原有的均衡状态以后，实际价格和实际产量上下波动的幅度会越来越大，偏离均衡点越来越远。其原有的均衡状态是不稳定的。相应的蛛网被称为“发散型蛛网”。
第三种情况：供给曲线斜率的绝对值等于需求曲线斜率的绝对值。当市场由于受到外力的干扰偏离原有的均衡状态以后，实际产量和实际价格始终按同一幅度围绕均衡点上下波动，既不进一步偏离均衡点，也不逐步地趋向均衡点。相应的蛛网被称为“封闭型蛛网”。
三种类型：
（1）收敛型蛛网
（2）发散型蛛网
（3）稳定型蛛网
的图形解
收敛型蛛网
发散型蛛网
稳定型蛛网
三类蛛网模型的条件
（1）收敛型蛛网的条件：供给弹性<需求弹性，或，供给曲线斜率>需求曲线斜率。因为需求弹性大，表明价格变化相对较小，进而由价格引起的供给变化则更小，再进而由供给引起的价格变化则更小……
（2）发散型蛛网的条件：供给弹性>需求弹性，或，供给曲线斜率<需求曲线斜率。
（3）稳定型蛛网的条件：供给弹性=需求弹性，或，供给曲线斜率=需求曲线斜率。
二、相平面中的蛛网模型
求解下列一般蛛网模型：
（1）
（2）
（3）
将（1）、（2）式代入（3）式得
这是一个一阶非齐次动态方程。因为该模型中不显含，它是一个自治方程。
当价格在所有时间不变，即 时，供求系统处于均衡状态。
其中当时 ， 。也就是说，只有当被满足时，这样的正数不动点才有意义。其实一般蛛网模型属于一阶线性离散模型，是二阶离散方程组的一个特例。
从（4）式可知，当存在均衡点时，那么
解得：
当 时解满足初始条件 。进一步有
如果供给与需求曲线采用通常形式，如 ， 时，则有 ，因此， 的符号会发生变化，当为偶数时其符号为正，当为奇数时其符号为负。
讨论三种情况
（1）如果，则的序列当数字逐步减小，其极限是均衡价格。
（2）如果，则的序列当数字逐步减增大，偏离均衡价格；
（3）如果，则的序列既不增大，也不发散，而是呈现出两种周期的循环。
考虑简单的线性方程：
那么
这是一个重复的形式。如果代表初始值。则有
其不动点：
例-1
对下模型进行相平面分析：
该模型有均衡值 。
推导出差分方程为
由于价格方程的斜率小于1，这个蛛网模型是收敛的，系统具有稳定机制。
MATLAB程序
x=1;
for i=1:1:20
x1=*x
x=x1
d(i)=x1
end
plot(d)
相图
clear;
x=
for i=1:6
x=*x; y(i)=x;
end
x1(1)=; y1(12)=0;
for i=1:6
x1(2*i+1)=y(i); x1(2*i)=x1(2*i-1);
y1(2*i)=y(i); y1(2*i+1)=y1(2*i);
end;
x2=0::6; y2=x2; y3=*x2 ;
plot(x1,y1,'r-',x2,y2,'k-',x2,y3,'b-')
例-2 对下模型进行相平面分析：
该模型的差分方程：
该模型有均衡值 ， 。由于价格方程的斜率大于1，这个蛛网模型是发散的，系统具不稳定机制。
EXCEL解
假定一个价格上限 =6（涨停价），由
给出一个处出现弯点的函数。这时价格分段函数为
第五节 人口增长模型
人口问题是一个非常复杂的生物学、社会学和经济学问题。
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。建立中国人口预测模型具有重要意义，预测未来人口发展状况的主要有三个依据：第一,根据现有人口的数量、性别、年龄构成、出生率、死亡率、迁移率等预测未来人口数量的变动；第二，根据过去某一时期内人口增长的速度或绝对数，预测未来人口发展状况；第三，根据影响人口总数变动的因素进行人口预测。
一、人口增长模型
二、连续Malthus模型
三、 离散Malthus 模型
马尔萨斯在1798年发表的《人口论》是最著名的一个，它是一个线性迭代方程（差分方程）
设 是某人类群体在第n个时间段（例如年）末（出生率与死亡率之差），那么人口增长数与原人时的总数，若在单位时间段内人口相对增长率为r口数成正比，从而即是
（-4）
其中
记，则是函数迭代
迭代得到
于是Malthus的结论：人口增长呈几何级数，约35年增加一倍，与1700－1961年世界人口统计结果一致。
当然，与近年统计结果有误差，由 ，趋向无穷，模型在人口长期预测方面必定是失效的。
四、中国人口模型预测
（一）动态模型的特点
动态模型一般具有两个特点：一、方程与时间相关，即自变量中含有时间；二、方程中出现导数或微分。在处理实际问题时，有时很难找出变量之间的直接函数关系，却容易找到这些变量和它们的微小增量或变化率之间的关系式(有时人们特别关心这些变量的增加幅度和变化快慢)，这种关系式中通常含有导数或微分，故称微分方程模型。
（二）建立微分方程模型步骤
建立微分方程模型时，会经常出现一些术语，如“速率”、“增长率”、“单位时间内的变化量”等，应与导数联系起来，再结合问题所涉及的基本规律就很容易得到微分方程。一般微分方程建模的基本步骤可以概括为：
（1）根据实际要求确定要研究的量，如自变量、未知函数、必要参数等，有时需要确定坐标系。
（2）找出这些量所满足的基本规律(几何的、物理的、经济的规律等)。一时看不出规律可用“微元分析法”进行分析，选取研究对象后，研究对象在一定时间内量的变化。即
净变化率＝输入率－输出率
通过对时间取极限可以得到微分方程。
（3）列出方程和定解条件(初始条件和边界条件)。
（4）解方程。可以找到精确解的微分方程只是极少数，多数情况下需要进行数值分析或找到数值解，对于自治的常微分方程(组)，可以运用稳定性分析方法，转换到相平面去分析解的性态。
（5）解的讨论。所得的方程的解是否有意义？是否反映了原问题的实质？模型是否可以深化和改进？这些问题可以通过解的讨论加以回答。
（三）中国人口模型
1、微分方程。1982年我国总人口为百万，人口生育率为20‰，年死亡率为6‰。把这些数代入（-3）式后得:
——周义仓等《常微分方程及其应用》，科学出版社2003年，第97页
2050
2000
1990
1985
1984
1983
相对误差(%)
绝对误差
统计值
预测值
年份
2、离散方程。1982年我国总人口为百万，人口生育率为20‰，年死亡率为6‰。把这些数代入（-4）式后得:
X(2050)=^(68)* ()
2050
2000
1990
1985
1984
1983
相对误差(%)
绝对误差
统计值
预测值
年份
3、评价
马尔萨斯人口模型核心内容是：人口按几何级数增长， 而微分模型是按指数规律增长。两者相近。但对于长期预测仍不合理。原因在于人口长期不可能无限增大。为此，学者们对马尔萨斯进行修正，加入一个环境限制项，成为非线性的Logist模型。
第六节 离散与微分方程关系
动力学系统用连续变量表示为微分方程，离散数表示时为映射(map)，两者对应关系为：
微分方程可以用差分方程来逼近，微分方程解是精确解，差分方程解是近似解，两者有许多类似之处。对于中国人口预测，两者很相近。
作业
1、根据表中 2000～2008年昆明经开区GDP数据，用GM（1，1）模型预测2008～2010年GDP值。
3、比较 与 ，当 x(0)=1的解。
GDP
2008
2007
2006
2005
2004
2003
2002
2001
2000
时间
