CP
D
这是一位同学运动完后放的篮球，
如果截它的平面，那么你能从中发现什
么几何知识呢？
墙
地面 P
从圆外一点
可以引圆的
两条切线。A
B
过圆外一点作圆的切线，
这点和切点之间的线段的长,
叫做这点到圆的切线长。
O P
A
B
O P
A
B
∟
∟
根据你的直观判断，猜想图中PA是否等
于PB？∠1与∠2又有什么关系？
⌒
⌒
1
2
关键是
作辅助线
A
O P
B
证明：连结OA、OB
∵PA、PB是 ⊙O的两条切线
∴OA⊥AP，OB⊥BP
又 ∵ OA=OB，OP=OP
∴ Rt△AOP ≌ Rt△BOP
∴ PA=PB, ∠APO=∠BPO
已知PA、PB是⊙O的两条切线，A、B
为切点，如何证明 PA=PB,
∠APO=∠BPO ？
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA=PB
∠OPA=∠OPB
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相
等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
切线长定理:
A
P
O
。
B几何语言
:
切线长定理为证明线段相等、
角相等提供了新的方法。
A
PO。
B
M
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你
又能得出什么新的结论?并给出证明.
OP垂直平分AB
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线
∴OP垂直平分AB
例.PA、PB是⊙O的两条切线，A、B
为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，
交AB于C。
(1)写出图中所有的垂直关系
OA⊥PA，
OB⊥PB，
AB⊥OP
A
PO
。
B
CE D
例.PA、PB是⊙O的两条切线，A、B
为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，
交AB于C。
(2)写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC A
PO
。
B
CE D
例.PA、PB是⊙O的两条切线，A、B
为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，
交AB于C。
(3)写出图中所有的全等三角形
△AOP≌ △BOP，
△AOC≌ △BOC，
△ACP≌ △BCP
A
PO
。
B
CE D
例.PA、PB是⊙O的两条切线，A、B
为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，
交AB于C。
（4）写出图中所有的等腰三角形
△OAB,
△PAB
A
PO
。
B
CE D
例.PA、PB是⊙O的两条切线，A、B
为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，
交AB于C。
（5）若PA=4、PD=2，求半径OA.
A
PO
。
B
CE D
设OA=xcm,则PO=PD+x=(2+x)cm
在Rt△OAP中，由勾股定理，
得 42+x2 =(x+2)2
解得x=3
所以，半径 OA 的长为3cm.
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，
切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，
过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、
F点，已知PA=12cm，∠P=70°,
求:(1)△PEF的周长
(2)∠EOF的大小。E
A
Q
P F B
O
一、判断
（1）过任意一点总可以作圆的两
条切线（ ）
（2）从圆外一点引圆的两条切线，
它们的长相等。（ ）
×
×
如图,PA、PB切圆于A、B两点，
∠APB=50°,连结PO，则
∠APO= 度。25
P B
O
A
二、填空
填空：如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
（1）若PB=12，PO=13，则AO= ;
（2）若PO=10，AO=6，则PB= ；
（3）若PA=4，AO=3，则PO= ；
PD= ；
5
8
5
2
(2)观察OP与BC的位置关系，并给予证明。
(1)若OA=3cm,∠APB=60°，则PA=__ _.
P
A
BC
O M
如图，AC为⊙O的直径，PA、PB分别切
⊙O于点A、B，OP交⊙O于点M，连结BC。
。 P
B
A
O
(3)连结圆心和圆外一点
(2)连结两切点
(1)分别连结圆心和切点
反思：在解决有关圆的切线长问题时，
往往需要我们构建基本图形。
1.切线长定理 从圆外
一点引圆的两条切线，
它们的切线长相等，圆
心和这一点的连线平分
两条切线的夹角。
小结：
A
P
O
。
B
E C D
∵PA、PB分别切⊙O于A、B
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
OP垂直平分AB
切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相
等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵
活应用。
三角形与圆
——三角形的内切圆
思考
一张三角形的铁皮，如何在它上面
截下一块圆形的用料，并且使圆的
面积尽可能大呢？
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
三角形的内切圆的圆心
三角形的内切圆:
三角形的内心:
内心的性质:
I
（即三角形三条角平分线的交点）
1.与顶点的连线平分三个内角。
2.到三角形三边的距离相等。
D E
F
．
o
外心：三角形三边垂
直平分线的交点。
性质：到三角形三个
顶点的距离相等。
．
o
内心：三角形三个内
角平分线的交点。
性质：到三角形三边
的距离相等。
A A
BB
C C
三角形的内切圆三角形的外接圆
1.一个三角形有且只有一个内切圆；
一个圆有无数个外切三角形；
2.一个三角形 有且只有一个外接圆；
一个圆有无数个内接三角形；
3.三角形的内心就是三角形三条内角平分线的
交点；三角形的外心是三角形三条边垂直平分
线的交点；
4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等；
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等。
如图，ΔABC的内切圆分别和BC，AC
，AB切于D，E，F；如果AF=2cm,
BD=7cm,CE=4cm,则BC= cm,
AC= ，AB= 。
11
6cm 9cm
F E
D
如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、
B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已
知P到⊙O的切线长为8CM，则ΔPDE
的周长为（ ）
A .16cm
D.
A
P
D
C
B E
A
例：已知：如图, △ABC的内切圆
⊙O与BC、CA、AB分别相交于点D、
E、F，且AB＝9cm，BC＝14cm，
CA＝13cm,求AF、BD、CE的长。
A
E
CDB
F
O
x x
y
y
z
z
如图，Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3 ,
BC=4,则内切圆的半径是__ _.
D
E
F
1
直角三角形中,设直角边分别为a、
b,斜边为c,内切圆半径为r，则
a
b
c
r
·
B
D
E
FO
C
A
如图，△ABC的内切圆的半径为2, △ABC
的周长为30,求△ABC的面积S.
设△ABC的三边为a、b、c，周长为l
，内切圆的半径为r, 面积为S，则
S= l r
·
B
D
E
FO
C
A
拓广探索
垂心 重心 外心 内心
交点
性质
位置
三条高线
的交点
三条角平分
线的交点
三边垂直
平分线的
交点
三条中线
的交点
在形内、
形外或直
角顶点
在形内、形
外或斜边中
点
在形内 在形内
到三角形
各顶点距
离相等
到三角形
三边距离
相等
把中线分
成了2:1
两部分
等边三角形的“四心”
等边三角形的“四心”重合
直角三角形的“四心”
内心
外心
重心
垂心
直角三角形的外接圆与内切圆
1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在__________，
半径为___________.
2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在__________，
半径r=___________.
a
b c
斜边中点
斜边的一半
三角形内部
圆的外切四边形的两组对边和相等。
探索圆外切四边形边的关系。
（1）找出图中所有相等的线段
（2）填空：
AB+CD AD+BC（>,<,=)
=
DN=DP，AP=AL，BL=BM，CN=CM
对边和相等的四边形能作出内切圆
比较圆的内接四边形的性质：
圆的内接四边形的对角互补。
对角互补的四边形能作外接圆。
既有外接圆,又内切圆的
平行四边形是__ ____.正方形
直角三角形的外接圆半径为5cm,
内切圆半径为1cm,则此三角形的
周长是_____
⊙O是边长为2cm的正方形ABCD的内
切圆,EF切⊙O于P点，交AB、BC于E、
F，则△BEF的周长是_____ .
E
F H
G
2cm
· O
A B
C
D
E
F · OA B
C
D
E
如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、BC是
切线，点A、E、B为切点，若BC=9，
AD=4，求OE的长.
P
B
A
O
C
已知：如图，PA ，PB分别切
⊙O于A、B，AC为直径。
求证：
为了测量一个圆形锅盖的半径，某同学采用了如下
办法：将锅盖平放在水平桌面上，用一个锐角为
30°的三角板和一个刻度尺，按图中所示的方法得
到相关数据，进而可求得锅盖的半径，若测得
PA=5cm，则锅盖的半径长是多少？
PA
B
OO
小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖,需要测量
锅盖的直径(锅边所形成的圆的直径),而小红
家只有一把长20cm的直尺,根本不够长,怎么办
呢?小红想了想,采取以下方法:首先把锅平放
到墙根,锅边刚好靠到两墙,用直尺紧贴墙面量
得MA的长,即可求出锅盖的直径,请你利用图乙,
说明她这样做的道理.
例.如图，△ABC中,∠C =90º ,它的
内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于
点D、E、F，且BD=12，AD=8，
求⊙O的半径r.
O
EB
D
C
A
F
B
A
PO CE D
·O ·O ·OP · P· P·
A
