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太阳黑子数量时间序列的自相关分析和小
波分析
谭亮，李雅梅，黄艺谋**
通信联系人：李雅梅（1966-），女，副教授，主要研究方向：数字信号处理，智能检测与控制
（辽宁工程技术大学电气与控制工程学院，葫芦岛 125105） 5
摘要：为了了解太阳黑子数量的周期特性，查找了 1700年到 2010年 5月期间的平均太阳黑
子数量。并对太阳黑子的时间序列分别进行自相关分析和离散小波进行分解和重构分析。然
后分别对处理后的图像用求所有相邻峰值的年份差的平均值和快速傅立叶的两种算法分别
求取太阳黑子数量的周期性。最后比较自相关和小波两种分析方法，比较平均值和快速傅立10
叶。
关键词：数字信号处理；太阳黑子数；自相关；小波分析；快速傅立叶；平均值
中图分类号：
using correlation and wavelet to analysis the sunspots 15
TAN Liang, LI Yamei, HUANG Yimou
(School of Electrical and Control Engineering, Liaoning Technical University, Huludao 125105)
Abstract: In order to know the characteristics of the number of sunspots, finding the number
from 1700 to 2010 May period of sunspot .And the time series of sunspot self closed and discrete
wavelet decompoistion and reconstructon analysis. Periodic finally respectively on the processed 20
image by using two kinds of algorithm and the average value for fast Fourier all adjacent peakyear
difference is derived from the number of sunspots. Finally a comparison of auto correlation and
wavelet analysis of two methods, comparing the average value and Fast Fourier Transform .
Key words: digital signal processing; sunspot number; self correlation; wavelet analysis; Fast
Fourier Transform ; average valued 25
0 引言
太阳黑子是在太阳的光球层上的一种太阳活动，是观察太阳活动中最基础和最明显的。
太阳黑子实际上是太阳表面的一种炽热气体的巨大漩涡，温度约为 4500摄氏度，而太阳光
球层表面的温度大约是 6000摄氏度。所以太阳黑子的颜色才会看上去要暗一点。太阳黑子30
通常是成群出现，很少单独活动。根据人们的大量的研究发现太阳黑子活动周期是 11年[1]。
自相关是在信号处理、时间序列分析中常用的数学工具，反映了同一序列在不同时刻的
取值之间的相关程度。是随机信号在时间域内描述随机过程的重要特征；小波变换的概念是
1984年法国地球物理学家 在分析处理地球物理勘探资料时提出的。发展到现在小
波分析已经成为当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，小波分析的应用十分广35
泛。比如：信号分析、图像处理、量子力学、理论物理……在信号分析方面可以用于边界的
处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号等等。
本文选用月平均太阳黑子数量的时间序列，采用自相关和小波变换两种方式对其进行分
析，同时比较两种分析方法。
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1 自相关分析 40
相关性[2]在统计通信及数字信号处理中，相关的概念是一个十分重要的概念。相关函数
和信号功率谱有密切关系。通常利用相关函数来分析随机信号的功率谱密度，它对确定信号
的分析也有一定的作用。所谓相关是指两个确定信号或一个信号自身与自身的关系，对于随
机信号，信号一般是不确定的，但是通过对它的规律进行统计，他们的相关函数，往往是确
定的，因而在随机信号的数字处理中，可以利用相关函数来描述一个平稳随机信号的统计特45
征。
自相关处理后的信号满足偶对称关系[3]，当 0m 时自相关序列取最大值，若 x n 是
绝对可和的能量信号时有：
lim 0xx
m
r m
相关函数（包括自相关，互相关）都可用卷积运算出来，而据安吉运算必须将一个序列50
加以翻褶一次，两次翻褶，等于没有翻褶，其效果正好是不需要翻褶的相关运算。
对于功率信号，自相关函数定义为：
1
lim
2 1
M
xx
M
n M
r m x n x n m
M
如果 x n 是周期信号，其周期为 N，则可用一个周期内的平均值来代替公式。
对收集到的太阳黑子数量的时间序列 x n 进行自相关分析： 55
xx
n
r m x n x m n x m x m
便可以得到在时间序列中不同时间与自身序列之间的相关程度。为了使图形更加清晰，
在在时间数列 x n 中减去其均值并将其归一化处理。最后其变化情况用 matlab[4]画出图 1。
0 50 100 150 200 250 300 350
0
50
100
150
200
a
图
太 阳黑子数量变化
0 100 200 300 400 500 600 700
0
1
b
图
自 相关变化
图 1 太阳黑子数量变化与自相关变化 60
Changes in the number of sunspots sun and autocorrelation change
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2 小波分析
小波分析[5]是目前分析时间序列的有效工具它可取时间序列的时间频率特征该分析方
法是一种窗口大小（即窗口面积）固定但其形状可改变,时间窗和频率窗都可以改变的时频65
局域化分析方法,即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具
有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率,所以被誉为数学显微镜。正是这种特性,使小波变
换具有对信号的自适应性。小波变换提出了变化的时间窗，当需要精确的低频信息时，采用
长的时间窗，当需要精确的高频信息时，采用短的时间窗。
小波分析是由傅里叶变换[6]：
1
2
j i tf t f e d e d
发展演变而来70
的。傅里叶分析是一种全局的变换，即对于信号要么在时域上分析，要么在频域上分析。对
于平稳信号很适用，因为平稳信号的
将基本小波函数 n 做位移 后，在不同尺度 a 下与带分析的信号 x n 做内积得到
关于 x n 的小波变换：
1
,x
n
WT a x n dn
aa
0a 75
式中， *
n
a
是
n
a
的逆变换。
离散小波变换（DWT）： ,,f m n
R
WT m n f t t dt 离散小波变换是将小波变换
的连续相平面离散化。利用 Mallat 分解算法是采样信号通过离散小波变换得到原是信号的
不同系数，然后保留高频部分，对低频部分继续进行离散小波变换，如此循环下去，直到符
合要求。重构算法正好是这个过程反向进行。 80
利用小波 Daubechies2(db2)对太阳黑子数量时间序列采用多层分解和重构，分别对近似
系数进行重构和细节系数进行重构画出图 2和图 3。
0 50 100 150 200 250 300 350
0
20
40
近似系数重构
A
0 50 100 150 200 250 300 350
-50
0
50
细节系数重构 1
D
1
0 50 100 150 200 250 300 350
-100
0
100
细节系数重构 2
D
2
0 50 100 150 200 250 300 350
-200
0
200
细节系数重构 3
D
3
0 50 100 150 200 250 300 350
-50
0
50
细节系数重构 4
D
4
0 50 100 150 200 250 300 350
-50
0
50
细节系数重构 5
D
5
图 2 近似系数重构与细节系数重构
the approximation coefficients and detail coefficients reconstruction 85
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0 50 100 150 200 250 300 350
-50
0
50
细节系数重构 6
D
6
0 50 100 150 200 250 300 350
-50
0
50
细节系数重构 7
D
7
0 50 100 150 200 250 300 350
-10
0
10
细节系数重构 8
D
8
0 50 100 150 200 250 300 350
-50
0
50
细节系数重构 9
D
9
0 50 100 150 200 250 300 350
-20
0
20
细节系数重构 10
D
1
0
图 3 细节系数重构
The detail coefficient reconstruction
随着层数的增加明显发现细节信号随时间的趋势逐渐趋于平缓，无法反映原时间序列的90
趋势，因此合理的选用分解和重构的层数是很关键的。在此选用强制消噪，通过实验选择了
八层 Daubechies2(db2)离散小波对时间序列进行分解与重构，见图 4.
0 50 100 150 200 250 300 350
0
50
100
150
200
原始信号
0 50 100 150 200 250 300 350
-100
0
100
200
重构信号
图 4 原始信号与重构信号
the original signal and the reconstructed signal 95
3 经处理后信号周期特性
由分析过后的信号，通过常用的平均值求取周期： 1
1
1 n
i
T x n
n
其中 1x n 为经分析
后得到的信号，再让其极大值的横坐标构成的新序列。自相关分析后周期为：年，小
波分析后周期为：年。
通过快速傅里叶变换（FFT）计算最后的周期。利用快速傅立叶变换的优势是当数据很100
多的时候可以大大的减少计算量。快速傅立叶变换的原理是将长序列离散傅里叶变换（DFT）
分解为短序列的离散傅里叶变换（DFT），利用旋转因子的周期性、对称性、可约性。将时
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域上的序列分解成多个自序列，利用旋转因子的特性，从而由子序列的离散傅里叶变换
（DFT）来实现整个序列的离散傅里叶变换（DFT）。
基 2时间抽取（Decimation in time）FFT算法： 105
2
2 1
x r
x k
x r
其中 0,1,2 1
2
N
r
基 2频率抽取（Decimation in frequency）FFT算法：
2
2 1
x m
x m
x m
设
nx 为 N项的复数序列，由 DFT变换，任意 ( )mx 的计算都需要 N次复数乘法和 1N
次复数加法，而一次复数加法等于两次实数加法，一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实110
数加法，即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次运算，那么为了求出 N 项复数序
列 ( )mx ，即 N 点 DFT 变换大约就需要
2N 次运算。利用相乘系数 nkNW 的周期性和对称性，
把 N项序列（ 2kN ，k为正整数），分为两个
2
N
的子序列，每个
2
N
点 DFT变换需要
2
2
N
次运算，再用 N次运算把两次
2
N
点的 DFT变换组合成一个 N点的 DFT变换。这样变换以
后，总的运算次数就变成
2 2
2
2 2
N N
N N
。绘制结果图 5和图 6 115
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
500
1000
1500
2000
2500
能
量
周 期
周期 =
自相关分析周期特性
图 5 自相关分析周期特性
Periodicity analysis using autocorrelation
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0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
1
2
x 10
7
能
量
周 期
周期 = 周期 = 周期 =
小波分析周期特性
图 6 小波分析周期特性 120
Periodicity analysis using wavelet
4 结果比较
通过对太阳黑子时间序列分别进行自相关分析和小波分析后，对其结果用平均值计算周
期和快速傅里叶变换计算周期。发现用快速傅里叶变换计算周期时结果更加接近 11年。自
相关分析和小波分析后的数据进行傅里叶分析其功率谱图比较如下，见图 7. 125
0
0
500
1000
1500
2000
2500
频率
自相关功率谱
0
0
1
2
x 10
7
频率
小波功率谱
图 7 自相关和小波功率谱
The autocorrelation and wavelet power spectrum
5 结论
自相关分析和小波分析都可以比较正确的表现出时间序列的周期特性。自相关为130
年，小波分析为 年。
离散小波的分解和重构，只要合理的选择好分解的层数和小波，在强制消噪重构后所得
到的结果，可以很明显的表示出原信号的周期特性；而自相关不能对原信号进行去噪，容易
受到其它信号的干扰。
本文应用了以上两种方式对太阳黑子数量的时间序列进行了分析。自相关分析得到的周135
期为；小波分析得到的周期为；小波分析的结果更接近公认的周期。在数据处理方面自相关
分析保留了信号的完整，但无法去掉干扰部分；小波分析可以根据需要改变分解和重构的层
数可以去掉干扰部分。小波分析在信号的处理方面优于自相关分析，周期特性也更加明显。
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[参考文献] (References)
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