Cauchy分布刻度参数的短估计与区间估计王志祥(淮阴师范学院数学系，江苏淮安2233∞)摘要:文章通过引入新随机变量，利用分布的短估计与区间估计解决1Cauchy分布的刻度参数的矩估计与区闯估计问题.关键词:Cauchy分布;短估计;区间估计中图分类号:立献标识码:A文章编号:1002-6487(2∞8)23斗042--02Xo=LX"。但<1，α，+α.y=a，F.(叭，吵为自由度为V.，Vz的F-分布。引盲的上U分位点。Cauchy分布是一个重要的分布，在诸多领域里有着广泛在制时，取阳，叶卫创业.n+F.(2,2n) 的应用。但是由于Cauchy分布的各阶矩均不存在，我们无法用经典的矩估计法对其参数进行估计。文献11]研究了总体分在Xo=n时取阳一一旦一一件。.~ . ’.’,.L n+F.(2,2n) .,.u v 布的矩确定，提出了局部矩估计法。本文拟改进这一方法，通~I理3阴设X服从参数p为的(0-1)分布，XhX2'…，x.是过引人新随机变量.利用分布的矩估计与区间估计解决X的一个简单随机样本，则在大样本情形下(n>50)，参数P的Cauchy分布的矩估计与区间估计问题。置信水平为l-a的近似冒信区间为[Pr.,pul ’ 定义及引理其中半=」TiM心码再再)t王定义1阴如果连续型随机变量X的密度函数为2(ntz:a)且，1λ 制=石~2:X2(旧，xe(-曲，由))AF」712n王也叫4山LOE)+4:nl )ι 2(ntz:a则称xßIi从参数为λ的Cauchy分布。定义2问如果离散随机变量X的分布律为马为标准正态分布的上α分位点，主:1Ix。n i = I P(X=k)=p’(I-p)’-k(O<p<1 ;k=O, 1)。则称随机变量X服从参数为p的(0-1)分布。2 主要结论~I理11~设X服从参数为p的(0-1)分布，凡，X，..，瓦是 Cauchy分布刻皮参数的矩估计的一个简单随机样本，回情数p的矩估计量为仨LL凡n j = 1 设X服从参数为λ的Cauchy分布，常数C>O事先给~I理2阴设X服从参数为p的(0-1)分布，丸，X2>…，X.是定，令X的一个简单随机样本，则参数p的置信水平为l-a的置信运C!X!区间为B=P 10 Ix I>c [P,.Pul c_~贝IJ:P(8二1问(!x1叫=主了出=芒arctan~r , -、τTA-+X-τ其中盲A从而得到8的分布律为PL=王弓LF.，(2(叫1)，均剧1) 阳)=(tMC?)k(l-ZMC田二)'-1<(凶，再设孔，凡，…，X.为X的-个简单随机样本，相应的B，，82，…，. 监LF..问附1)，刻n-Xo))p俨n吗运C!x，1fl 1+亚LFn2ρ(时l问n-划)B且为8的一个简单随机样本，其中;i=I2B;=I=,,’" n-Xo 10 瓦>c1IDo 基金项目:江苏省高校自然科学基金资助项目(05KJDI10034)42 统计与诀策2∞8年第23期(总第275期)䍡俒⢻햪튪쫽맘훐컄뗄폃늼맽䝡?뚨昨攨퓲偏틽ㄱ墵쟸ꆾ웤튻灆䘬믹㐲춳㢡椽?췵?볆뗄볼춼쿗볤훐듒ꎺ헂畣펦뺭틽돆쓒烒뷰ꆾ샭틥ꆫ튻폫뻘듊럖뇪캪횾컄뇠桹폃뗤죫ㆽ墷㉴쯦㊳뮸뮣쿮뻶㵫ㆱ?맀ꎺ샠쪶벰ꎬ砩룶닟ꏎ畣ꚷ헂뫅럖ꆣ뗄좷탂었ﺴꎺ믺냉거쒿쿩볆䍡뫅싫⤽헉㈰틽⨩뛑춨늼떫뻘뚨쯦펲泅뇤喡폫畣ꎺ볲뿳맽쫇맀ꎬ믺뗄﯁컊깴솿럾ꗋ붭쟸桹〲?샭㵽⠱럾떥桹?췲랽쫽뻝硆碣硯퓚훃쟧㈨ꆭ뿛ꇫ㋖㊣짨㠽䤾䦡듓倨慲퓙溡룝쿹ꎮ긱짏탅渫墷ꎮ뛸捴짨䍬ꆣꇆ걯桹훐ꆰ㎱쮮稬ﺴ뷱뗃慮墣㠽ꆶ倨웸㴰솿ꪽ럖?헉욽愲펲쏐떽挩꺣뷣늼㱣匽캻캪?횾컊㢵ꆰ걘〸뇪뿌欩䤩㱬슿쓪뗣氭쒷⡫ꎺ쿃㶡?뗚㴭뫊틽볤럖ㄲ〲튻평볆쳡뇤뻘곐油墷듓쯕ꆣ整닎ꩫ횲ⴭꎬⰬ㈳ힼ맀늼ꎮ튻듓쫽倨죫ꆪ룶폚램돶솿꩞﯀ﺴ닎𣏕쪡뗄볂侣ꆭ쯦웚볆ꎺ?좡뗄⣗撣탂㘴훘䍡뛔쇋ꎮ췋뗄瀩펲닎쫽鈴룟뷼슪䥘짎갱ꎬ묭컊뻘믺?헽綶럖떣쯦㠷튪畣웤뻖샻폫䍡ꋋ컊캪뺣킣僎쯆?碡ㄴ쫽?짏쳢맀긫滊경믺⠲뗄桹닎늿폃쟸缾畣퇹債껔ퟔ㜵ꪵ곔훃ꏎꎮ볆⠰캪뮲웚첬ꉣ⡸捣귋뇤〰럖쫽뻘볤桹缾꩐쐨좻짴탅꩘ꎺ弲㱰炵놾?튻늼햻솿쟸㠩뷸맀뽘럖뗄ァ컊뿆?틕㰱쐰撣컊ꎬㄫꆪ럖瑡뒰ꎮ㈳뗄탐볆늼뽘⡏ꨱﵐ톧볤滖튻㸰퇔맀ꎻ䐭눲샻ⴭ퓚룷램뻘컊쏜ꆣ뗄튻⦷믹鈴캪뎣룶곋퓲볆놣殣ꜫ뿌㈳폃〰훮뷗볆ꆣ맀쳢뛈럖ㄩ횲훃뷰뻇늼쫽汬볲닎㌰럖㐲뛠뻘ꆣ놾볆몯늼먽벣탅⮸䌾떥ꎬ짌랦〩늼ⴭ쇬뻹컄폫쫽싉걘쮮훺칔俊쯦侣뗄綾볲몣뛈뗄〲폲늻쿗쓢쟸캪ꆣꆿ욽쿮튻⡮싏믺갱ꎬ炵곪뻘샯듦ꆾ룄볤?ꎬ캪쒿㸵좸ꇞ퇹渭⠲짏얲⦡碡곈맀폐퓚ㆡ뷸쒾堲⠰墣〩꧞?놾떥샎ꇌ?ꎣ?닎볆ퟅꎬ뿑헢ꆯꨰ㕋몣ꆣ?撷랣겡ꎻ폫맣컒킾튻뷢ꆭꆾ䩄닎쿠㑮삼쯦쟸랺쏇뿁랽뻶ꎬ뗄汬궣쫽펦ꎻ퓓훎긲쫽볤컞쯗램궣墡훃〰걘債볝뗄닦웁ꇚ慲맀램?ꎬꏊ탅㌴ꋲ?卮갩즶뿎硯⡮뮵믺볆춨?쫇랦㠲ꆾ죎뗄뷢?➡ꪣ揗滊⠱뻶뽝궣ꩶ의묽퇹쇋?뻄뚾沣뻘䍡짏겲畣ꇆ걶놾⤫桹⭬䙣碡맀럖㊵랦늼쾡?箣ꎬ쑆뗄?볆뿌뮷뛈웤횲닎捶ꙸ꒻폫?훐ꆣ쟸㢲늡컊氩﨨맀?ꎺ볆ⰲㅘ砬ꎮ硯䥬㹣?ⴼ䎣뭩㴱ꎮ㊣겡?
20 由引理l知，.Larc1an孚的矩估计量为上L8;，令主1T’ ^ n i=i 1T C 1飞、arct皿~=..!....2..哉，解得λ的矩估计量为A n i三1λ=-一旦--一tan(;: L8J 圄1"ll i::: I 在节的假设下，给定由E{).令8=L8;，应用引理且规定，当L8;均时~=∞;当L8;二n时问。i = 1 3，解不等式例如，从服从参数λ司的Cauchy分布总体中随机取出: .1_’ .1_2 C 容量为10的一个样卒，样本观察值为 --=--Z--;-l2nı+z"" -V4 nız"" (I-ı)+ 1毛EazuunE2(n+z",,) , ω4 运」了l2n8+z~州雨雨↓'z:n] 2{n+z",,) , . ~<， 利用上述方法取C=dO，经计算得~=得到O.的置信水平为l-a的近似置信区间为 Cauchy分布刻度参数的区间估计[5:IJuJ 在节的假设下，给定0:E (0，1)，令Xo=L8;，应用引理其中i:l 2，解不等式~=- C L 阳M叫3叫{_1f_，_加2[n♂附b岛M品忧仇缸+z二叫〈:心2 ...._ C ::$;~arctan~ 2刻(n何+g二n…)1+ErLR(2(叫川划霄A 叶5:~ C 均一生pr--h1n-M刀U-划的2-n7-)运得其恤{」「imL-雨二(LMD -L→阳水一JI但吨K脏A'ιr)4置2(n+z",,) 〕AEE--图2是一个随机模拟的结果。从服从参数λ斗的到中信区同为竹Cauchy分布总体中随机取出1∞个容量为l∞的样木。在计AI队内』算中取C=IO，置信水平为图上的每一条竖线表示由一0个具体样本算得的一个置信区间。C λ.L=------: " 于于F.，剧时1)，2(n-均)iMlanl7--’ -’-’， 习Jh..’2 1+亚LF.，(2(宜。+1).2{n-叫刷n-Xo 州~，.= C WTV-Blan[1!.. .----:-~----川’2 1+守1气飞仲时川叫1盯叫)刷树一眉目9町.c阳当x庐0时取~，卢C，i，庐=∞E固2lan[立...f.(2J止2 n+Fu(2,2n) J 参考文献:当Xo=n时，取~1.=O，5:IF-一一千卫(1)邹新堤.关于总体分布的短确定[1].高校应用数学学报. tanr1T .一~. 民2n+F.ρ.2n) , [2]盛穰.谢式千，潘承教.概率论与数理统计[M]北京:高等教育出屁图1是-个随机模拟的结果。从服从参数λ司的社，2∞分布总体中随机取出1∞个容量为20的样本。在计[3] ìP诗松，王静龙，l!l晓龙.高等数理统计[M].北京:高等教育出版算中取C=lO，置信水平为图上的每一条竖线表示ffJ→社，1998.个具体样本算得的一个置信区间.基于中心极限定理向，我们可以得到Cauchy分布的刻度(责任编辑/浩天)参数的近似置信区闯D统计与决策氢阳8年第23期(总第TlS期)43 ??췲랽쫽뻝평쿶?楪?慲椽瑡쟒榣ꇱ샽죝㊣ㄴ샻䍡퓚ꎮꇜ쫻氫?쳬믻폖떱쯣믹뒨籼筼즾䥻ꋨ룕筬ꆭ㎣횾뗃ꆾ웤컄㈨룶좦닎卣乯짧⣔춳㎣ㆣ멉㵌?춼?긳ㄶⴰꎮ긲犣볆뾼ㆡ㊡㎡죧솿폃畣경略훐폚䦡꺽歴渫뻟긹떽ꆣ맦〰ꎮ㔷㊣極깁ㆣ폫㋊汻ꋨ틽쟤管컄뿗뿊㈰뿜ㄹ㜵㌴ꇀ즽훝捴ꎬ캪짏桶桹좡훐䅯媣쳥캱渨?㐸㈴㠴絡ꆣ䥼뻶砰墵뗈㘭?쟒ꆰ쿗?ꋖぬ㤸뚨ㄲ㈸ꆪ긱ꆿ닟듓쫶럖뮵䌽탄籬?깡퇹䲣ꆭⴶ샭䦡ꆮ쓖ꪵꎺ습ꎬꯋꎮ뮸ꆪㆣ溡㈰䱫籼ꎮ慉럾뗄랽늼죊벫솽샶?䥏놾궣쫰ꆣ㞣긹뷚牣ꎻ籬첣곐즣〸㵮쏐㐱ꆮ欨듓튻긹ㄵ램뿌?ퟜꎮ쿞ꎬ쯣꾺쓪槖훐퓲ꥲ꺹믊껍㘵⠲ꋭ떱〴?뗄ꆾ엋뗚梹汽닎룶좡뛈쳥훃뚨籬뗃?뷇워꺡닺昽ꆣ㒡瑡ꆪ?㈳醙ꪣ쪱ꆮ껆ㄲ?ꞣ닁쫽퇹挽닎훐탅샭뗄ꇆꨶ볙쒫뻲웚㈨⡸粡ꏄ??곅画ꎮ⣗㵽欽놾쫽쯦쮮탚웲㇂뷎껄튻곊ꎻ㢣㌱짨䥬ꆪ〽짊쮳곥?㖵ꎬ뗄믺욽籦룶ꩬ㌶튻ꆣ?ꪡ횲킽쒽킡볆뻊ꎮ갭쑃퇹뺭쟸쿂좡캪컒훃㜵ꕡ瑲熵ⴭ벵첣ﻁ㡊?ꆪ늡웚慵놾볆컊돶ィ쏇탅ㄩ궣쒾꺸画ⴭꎬ澺좡쒽⤴ﮡ牣ꎻ敨맛쯣맀긹뿉橼튻붡콭⬲쟸?엂꺸ㄩ?ꎴꪡ웷ﳋナ룸ꆪ쏦랶쫂?禷달뗃볆ꎬジꆣ틔볤귷펷瑡폛웖ꆣꡛ?좷㢣횲횵椽춼뗃뇖뚨샶꿎ﺴꆯ횡䪡㈨쏐볗캪㖣ꆪ?짏떽?溳컥㋒뾣ﷀ펲ꜽ慅ꪡꋹ꺣?기䥪뿎뗄䍡엇猫꺸덩컊滘㤵㈨ꨲ쎿畣ꨱ쪵⪣⠰ꆪힲ䔨뮡?뎼氭?ﵫ듆경탋㎡椱サ튻桹〰ꏓ욡孍ィ쫎㴵뮵ꎬ澣쒾ꪡꊣꛓ빍嶣?쓑쳵럖뗄ꆪ渭꿄?뗄쏊ꆿ꺱놡靖ㄩ響鈴쫺늼갱⮸랦퇹?샶곌꼴ꎮ놾ꆳ뺡쿟뗄놾옸ꎬꆪ⦣ꟑ놱ꦣ硤쏈?ꪡꏔ뇭뿌ꆣ삼滟Ʇ뺩몸ꎮ쇮ㆡ곁?쪾뛈퓚榺ꢣꎺ?ꆪ웁평솽꧀⮡련볆걖룟좽㵮磂?쾡〱뗈쳓튻ꪡ䚡뿎쪱꺡ꆪ꼱ꨱ㶡㇒ꎮ뷌ﶳ쒾?폽榣옸ꪡ믎돶?ꆪ?䭡ꊣꪡ냦멯ꆣ⋔ꎮ쾡?ꪡ삼ꆣꎬꆪ옸랦펦ꎡꆪ뛾웁ꪡ牣ꙝ꼴ꆻꎻꆿ폃뿎ꎬ틽䲡ꪵ?ꪡꆪ샭㐭?뾧滟ꪡꦡ甭?뭟ꆪꪡ냈?련ꪡ御ꆪꪡ뮡ꪡꆪㅟꪡ?ꪡꆪ컷ꪡꪡꆪꪡ⮷ꪡꆪ?ꆪ?ꆪ싼ꆪꇪꆪ榡ꎺꪡꎺꪣꎺ뮣ꎺ몣ꎺ몣ꎺ몣ꎺ몣ꎺ몣ꎺ몣튻몣몣뫒?
