曹乾●经济学译丛精品系列 Microeconomics Analysis（3th edition） Hal. R. Varian （University of Michigan Ann Arbor） 范里安 微观经济分析（第3版） 完美中文翻译版 第11章：不确定性 曹乾 译 (东南大学 caoqianseu@) 1曹乾（东南大学 caoqianseu@）
11不确定性 直到现在，我们关注的都是消费者在确定条件下的行为。然而消费者的很多选择是在不确定条件下作出的。在本章我们将探讨如何使用消费者选择理论描述这样的行为。 彩票 第一个任务就是描述消费者面临的选择。我们可以将消费者面临的选择想象为彩票（lotteries）的形式。一张彩票可用p?x⊕(1−p)?y表示。这个符号表示：“消费者得到奖品x的概率为p，得到奖品y的概率为(1−p)。”奖品可以为钱、商品或者甚至彩票。风险条件下的绝大多数行为都可以使用彩票架构进行解释。 对于消费者对彩票的认知，我们作出以下一些假设。 L1. 1?x⊕(1−1)?y~x. 以一的概率得奖和肯定得奖是一回事。 L2. p?x⊕(1−p)?y~(1−p)?y⊕p?x. 消费者不关心彩票描述的次序。 L3. q?(p?x⊕(1−p)?y)⊕(1−p)?y~(qp)?x⊕(1−qp)?y. 消费者对彩票的认知仅取决于得到各种奖品的相应净概率。 假设（L1）和（L2）似乎是无害的。假设（L3）有时称为“复合彩票的化简”，这个假设多少让人怀疑它的合理性，因为有证据表明消费者认为复合彩票和一次性彩票是不同的。然而此处我们不打算深究这一点。 在这些假设条件下，我们可以定义消费者可以得到的彩票空间L。我们假设消费者在这个彩票空间上存在着偏好：给定任何两张彩票，他可以做出选择。和往常一样，我们假设偏好是完备的、反身的和传递的。 我们假设彩票只有两个结果是合理的，因为我们可以允许它的结果仍是彩票。这样，通过不断复合只有两个结果的彩票，我们可以构造含有任何数量奖品种类的彩票。例如，假设我们想描述奖品有x,y和z的这样三种结果彩票，每种奖品的概率都为1/3。根据复合彩票的化简可知，这个彩票等价于下列彩票 21??x⊕1y⊕1?z. 3223根据上面的假设L3，消费者只关心奖品涉及的净概率，因此，这个彩票的确等价于原来的彩票。 期望效用 如果我们再增加一些小的假设，则效用函数存在性的相关定理（参见第7章）可用于证明：存在一个连续的效用函数u，它可以描述消费者的偏好。也就是说， 2曹乾（东南大学 caoqianseu@）
p?x⊕(1−p)?y≻q?w⊕(1−q)?z 当且仅当 u(p?x⊕(1−p)?y)>u(q?w⊕(1−q)?z). 当然，这个效用函数不是唯一的；它的任何单调转换一样合适。在某些额外的假设下，我们可以找到这个效用函数的某个特别的单调转换，它具有非常方便的性质，即期．望．效．用．性．质．（expected utility property）: u(p?x⊕(1−p)?y)=pu(x)+(1−p)u(y). 期望效用性质是说，彩票的效用等于它的各个奖品的期望效用。我们可以通过下列方式计算任何彩票的效用：对彩票的每个结果都相应取一个效用值，然后分别乘以各自的概率，最后将它们相加。彩票的效用在加法上对于彩票的结果来说是可分离的，而且彩票效用是概率的线性函数。 需要强调的是，效用函数的存在性问题是不存在争议的；任何良好表现（well-behaved）的偏好顺序都可以用效用函数来表示。我们此处关注的，是具有期望效用性质的效用函数的存在性问题。为了回答这个问题，我们还需要以下的一些公理： U1. {p在[0,1]中:p?x⊕(1−p)?y≻z}和{p在[0,1]中:z≻p?x⊕(1−p)?y}对于L中−−的所有x,y和z来说都是闭集。 U2. 如果x~y，那么p?x⊕(1−p)?z~p?y⊕(1−p)?z. 假设（U1）是关于连续性的假设；这个假设基本无害。假设（U2）是说奖品不同的彩票在某些条件下是无差异的。也就是说，如果给我们一种彩票p?x⊕(1−p)?z，而且我们知道x~y，那么我们可以用y替代x，从而构建另一种彩票p?y⊕(1−p)?z，消费者认为这两张彩票是等价的。这个假设似乎很合理。 为了避免一些技术上的细节，我们再做出两个假设。 U3. 存在最好的彩票b和最差的彩票w。对于L中的任何x都有b≻x≻w. −−U4. 彩票p?b⊕(1−p)?w比彩票q?b⊕(1−q)?w更受偏好，当且仅当p>q。 假设（U3）纯粹是出于方便的目的而做出的。假设（U4）可从其他公理推导出。这个公理是说，如果两种彩票的奖品都介于最好的彩票和最差的彩票之间，而且一种彩票比另外一种彩票更受偏好，那么原因必然是前者得到最好奖品的概率更高。 在这些假设之下，我们可以陈述主要的定理了。 期．望．效．用．定．理．。如果(C,≻)满足上述公理，则存在定义在C上的效用函数u，这个函数满−足期望效用性质： u(p?x⊕(1−p)?y)=pu(x)+(1−p)u(y)。 证明。定义u(b)=1和u(w)=0。为了找到任意彩票z的效用，我们令u(z)=p，其中pzz的定义为 3曹乾（东南大学 caoqianseu@）
p?b⊕(1−p)?w~z. （） zz在这个构造中，消费者对于下列两个选择无差异：一是z；二是在最好结果（概率为p）z与最差结果（概率为1−p）之间的博彩。 z为了保证上述定义是定义清楚的，我们需要验证两件事情。 （1）p存在吗？集合{p在[0,1]中:p?x⊕(1−p)?y≻z}和集合{p在[0,1]z−中:z≻p?x⊕(1−p)?y}都是闭且非空的，并且[0,1]中的每个点必然（至少）位于这两个−集合中的一个。由于单位区间是连通的，因此必然存在某个p位于这两个集合之中——但这正是我们想要的p。 z（2）p是唯一的吗？假设p和p′是两个不同的数，而且都满足（）式。这两个zzz数既然不同，则必然一个比另一个大。根据假设（U4）可知，得到最好奖品的概率较高的彩票，不可能和得到最好奖品概率较低的彩票一样好。因此p是唯一的。所以u是定义清z晰的。 下面我们证明u具有期望效用性质。作一些简单的替代就可以看清这一点： p?x⊕(1−p)?y~p?[px?b⊕(1−px)?w]⊕(1−p)?[py?b⊕(1−py)?w](1) ~[ppx+(1−p)py]?b⊕[1−ppx−(1−p)py]?w(2)~[pu(x)+(1−p)u(y)]?b⊕[1−pu(x)−(1−p)u(y)]?w.(3)使用（U2）以及px和py的定义替代（1）。使用（L3）替代2，这就是说真正要紧的是得到b或w的净概率。使用效用函数的构造来替代（3）。 根据效用函数的构造可知， u(p?x⊕(1−p)?y)=pu(x)+(1−p)u(y). 最后，我们证明u是一个效用函数。假设x≻y。则 u(x)=px使得x~px?b⊕(1−px)?w u(y)=py使得y~py?b⊕(1−py)?w 根据公理（U4）可知，我们必然有u(x)>u(y)。■ 期望效用函数的唯一性 我们已经证明了期望效用函数u:L→R的存在性。当然，u的任何单调转换都和u代表消费者的同样的选择行为。但是这样的单调转换能否保留期望效用的性质？上面介绍的效用函数的构造方法是否能够刻画期望效用函数的特征？ 不难看出，如果u(⋅)是刻画某个消费者的期望效用函数，则v(⋅)=au(⋅)+c也是，其中a>0；也就是说，期望效用函数的任何仿射转换（affine transformation）仍然是期望效用函数。这一点是很清楚的，因为 4曹乾（东南大学 caoqianseu@）
v(p?x⊕(1−p)?y)=au(p?x⊕(1−p)?y)+c=a[pu(x)+(1−p)u(y)]+c =p[au(x)+c]+(1−p)[au(y)+c]=pv(x)+(1−p)v(y).不难看出其逆命题为：u的任何单调转换如果仍具有期望效用性质，那么这个单调转换必然是仿射转换。换一种表达方法： 期．望．效．用．函．数．的．唯．一．性．。期望效用函数唯一适用于仿射转换。 证明。根据前面的评价，我们只需要证明，如果某种单调转换保留了期望效用性质，它必然是仿射转换。令f:R→R为u的具有期望效用性质的单调转换。则 f(u(p?x⊕(1−p)?y))=pf(u(x))+(1−p)f(u(y)), 或 f(pu(x)+(1−p)u(y))=pf(u(x))+(1−p)f(u(y)). 但这正等价于仿射转换的定义（参见第26章）。■ 和期望效用有关的其他符号 我们已经证明了只有两种结果的彩票情形下的期望效用定理。正如以前指出的，很容易将这个证明扩展到结果为有限多种的彩票的情形，方法是使用复合彩票。如果得到结果xi的概率为p，其中i=1,...,n，则这种彩票的期望效用为 in∑pu(x). （） iii=1如果增加某些技术上的细节，就可以证明期望效用定理对于连续概率分布也是成立的。如果p(x)是定义在结果x上的概率密度函数，则这个博彩的期望效用函数可以写为 ∫u(x)p(x)dx （） 我们可以使用期望算符将这两种情形归纳在一起。令X表示取值为x的随．机．变．量．（random variable）。则X的效用也是一个随机变量u(X)。这个随机变量的期．望．（expectation）Eu(X)是和彩票X相伴的期望效用。在离散随机变量的情形下，Eu(X)由（）给出，而在连续随机变量的情形下，Eu(X)由（）给出。 风险厌恶 下面我们考虑彩票空间仅由奖品为钱的博彩组成。我们知道，如果消费者的选择行为满足各种必要的公理，我们可以找到具有期望效用性质的效用函数来表示他的行为。这意味着如果我们只要知道这种特别形式的效用函数，我们就可以描述消费者对于一切金钱博彩的行为。例如，为了计算消费者对于博彩p?x⊕(1−p)?y的期望效用，我们只要使用5曹乾（东南大学 caoqianseu@）
pu(x)+(1−p)u(y)计算即可。 这种构造可用图表示，其中p=1/2。注意在这个例子中，消费者更喜欢得到彩票的期望价值。也就是说，彩票的效用u(p?x⊕(1−p)?y)小于彩票期望价值的效用pu(x)+(1−p)u(y)。这样的行为叫做风．险．厌．恶．（risk aversion）。消费者也可能是风．险．喜．好．的．（risk loving），在这种情形下，消费者喜欢彩票胜过喜欢彩票的期望价值。 图：某个博彩的期望效用。该博彩的期望效用为11u(x)+u(y)。该博彩期望价值的22效用为11u(x+y)。在这个例子中，期望价值的效用大于期望效用，因此消费者是风险厌22恶的。 如果消费者在某个区间是风险厌恶的，那么他的效用函数曲线上的任何两点的连线，必然位于该曲线下方。这等价于凹函数的数学定义。因此，期望效用函数的凹性等价于风险厌恶。 通常我们想对风险厌恶的程度进行衡量。在直觉上，期望效用函数越凹，消费者越厌恶风险。因此，也许你会认为用期望效用函数的二阶导数衡量风险厌恶程度。然而，这种衡量方法存在着缺陷，因为它会随着期望效用函数的变化而变化：如果我们将期望效用函数乘以2，消费者的行为没有改变，但是这种方法衡量出来的厌恶程度却变化了。 然而，如果我们将二阶导数标准化，即用二阶导数除以一阶导数，我们得到了一种合理的衡量风险厌恶程度的方法，这种方法称为阿．罗．-．普．拉．特．的．（．绝．对．）．风．险．厌．恶．的．衡．量．方．法．(Arrow-Pratt measure of (absolute) risk aversion): ′′wu(w)r()=−. u′(w) 6曹乾（东南大学 caoqianseu@）
下列分析可以进一步说明上述衡量方法是合理的。现在我们用一对数字(x1,x2)表示一个博彩，其中消费者得到x1如果事件E发生，得到x2如果不是E发生。于是我们将消费者的可．接．受．集．（acceptance set）定义为由消费者在初始财富水平为w时可以接受的所有博彩组成的集合。如果消费者是风险厌恶的，可接受集将是个凸集。这个集合的边界——由那些无差异博彩组成的集合——可由隐函数x2(x1)给出，如图所示。 图：可接受集。这个集合刻画了消费者在初始财富水平情形下可以接受的所有博彩。如果消费者是风险厌恶的，可接受集将是凸集。 假设消费者的行为可由期望效用最大化刻画。则x2(x1)必然满足下列恒等式： pu(w+x1)+(1−p)u(w+x2(x1))≡u(w). 可接受集边界在点(0,0)的斜率可用下列方法找到，将上式对x1求导并计算该导函数在x1=0的数值： pu′(w)+(1−p)u′(w)x′2(0)=0. （） 由此可以解得该斜率为 px′2(0)=−. 1−p也就是说，可接受集在点(0,0)的斜率给出了博彩的赔率。这种方法比较妙，因为我们可以得到概率——找到消费者恰好愿意为某事件押注一小笔钱的赔率。 现在假设我们有两个消费者，他们在事件E上的概率相同。我们自然可以说，消费者i比消费者j更厌恶风险，如果他的可接受集包含于消费者j的可接受集之中。由于上述说法意味着消费者j可以接受消费者i接受的任何博彩，这种对于风险厌恶的陈述是总体性的7曹乾（东南大学 caoqianseu@）
（global）。如果我们将注意力限定在较小的博彩上，我们可以得到更有用的衡量方法。 自然可以说，消费者i比消费者j在．局．部．上．（locally）更厌恶风险，如果他的可接受集包含于消费者j的可接受集中的点(0,0)的某个领域之中。这意味着消费者j可以接受消费者i接受的任何较小的博彩。如果这种包含关系是严格的，那么消费者i可以接受的较小博彩数量比消费者j可接受的少。 不难看出，消费者i比消费者j在局部上更厌恶风险，如果他的可接受集在点(0,0)附近比消费者j的可接收集“更弯曲”。这是一个有用的结论，因为我们可以通过计算x2(x1)二阶导数的方法来找到可接受集的曲率。将恒等式（）再一次对x1求导，并计算该导函数在零点的值，可得 pu′′(w)+(1−p)u′′(w)x′(0)x′(0)+(1−p)u′(w)x′′222(0)=0. 将x′2(0)=−p/(1−p)代入上式，整理可得 pu′′(w)x′′2(0)=−−. (1−p2uw)′()这个表达式与前面定义过的阿罗-普拉特的局部风险厌恶程度成比例。我们可以断言消费者j接受的较小博彩的数量比消费者i多，当且仅当消费者i的阿罗-普拉特局部风险厌恶程度比消费者j的大。 例子：保险的需求 假设某消费者初始拥有的钱数为W元。他损失L元的概率为p，比如他家有可能失火。消费者可以购买保险，如果购买保险，那么在上述损失发生时，他可以从保险公司得到q元的赔偿。如果保险金额为q元，他必须向保险公司缴纳piq元的保险费；其中pi是每一元钱保险金额的保险费，即保险费率。 消费者会购买多大的保险金额？我们看看这个效用最大化问题 maxpu(W−L−piq+q)+(1−p)u(W−piq). 将目标函数对q求导，并令该导函数等于零，可得 puWLq*1pi))(1pi)(1p)u(Wpiq*′(−+(−−+−′−)pi=0. u′W−L+(1−piq*())1−ppi=. u′(W−piq*)p1−pi如果保险事故发生，保险公司的净收入为(piq−q)元。如果保险事故不发生，保险公司的净收入为piq元。因此，保险公司的期望利润为 (1−p)piq−p(1−pi)q. 假设竞争使得保险行业的利润为零。这意味着 −p(1−pi)q+(1−p)piq=0, 8曹乾（东南大学 caoqianseu@）
由此可得pi=p. 在零利润的假设下，保险公司索要的是精．算．公．平．费．率．（actuarially fair premium）：保险单的成本恰好等于它的期望价值，即p=pi。将其代入效用最大化的一阶条件，可得 u′W−L+1−piq*=u*(())′(W−piq). 如果消费者是严格厌恶风险的，因此u′′(W)<0，于是上式意味着 W−L+(1−piq*=W−piq*). 由此可得L=q*。因此，消费者会购买足额保险以抵御损失L。 这个结果主要取决于消费者无法影响损失发生的概率这个假设。如果消费者的行为的确会影响到损失发生的概率，保险公司可能只希望提供部分保险（partial insurance），因此消费者有动机进行风险的预防。在第25章我们将分析这样的一个模型。 总体的风险厌恶 阿罗-普拉特度量似乎是局．部．（local）风险厌恶的合理解释：一个人比另一个人更厌恶风险，如果他愿意接受的较小博彩比后者愿意接受的少。然而，在很多情形下，我们需要风险厌恶的总体（global）度量——也就是说，我们想表达的是，在所有财富水平上，一个人都比另一个人更厌恶风险。那么很自然地表达这种条件的方法是什么呢？ 第一种可行的方法是，如果A的效用函数为A(w)，B的为B(w)，那么若A比B更厌恶风险，则必然有 A′′(w)B′′(w)−>− A′(w)B′(w)对所有财富水平w成立。这只是说A的风险厌恶程度处处都比B高。 第二种可行的方法是，如果A比B更厌恶风险，那么A的效用函数比B的“更凹”。更准确地说，我们说A的效用函数是B的效用函数的一个凹转换（concave transformation）;也就是说，存在递增、严格凹的函数G(⋅)使得 A(w)=G(B(w)). 第三种方法是，如果A比B更厌恶风险，则为了规避一定的风险，A愿意比B支付更多的钱。为了将这种想法表达清楚，令ε~表示一个随机变量，它的期望为零：Eε~=0。然后令pi~A(ε)表示消费者为了规避随机变量ε~而愿意放弃的最大财富数量。用符号可将这个风．险．贴．水．（risk premium）表示为 Aw−piAε~=EAw+~(())(ε). 上式左侧表示的是初始财富w减去pi~A(ε)之后的效用；上式右侧表示的是博彩ε~的期望效用。自然可以说，A比B（总体上）更厌恶风险，如果piε~~A()>piB(ε)对于所有财富水平w都成立。 9曹乾（东南大学 caoqianseu@）
如果我们想表达一个人比另一个人总体上更厌恶风险，我们应该选择上述三种方法中的哪一种？似乎很难作出取舍。幸运地是，我们不需要作出选择：这三种方法是等价的！为了证明这个结论，我们需要下列结果，这个结果在处理期望效用函数时非常有用。 詹．森．不．等．式．（Jensen s inequality）。令X表示一个非退化的（nondegenerate）随机变量，f(X)表示该随机变量的严格凹函数，则Ef(X)<f(EX)。 证明。这个结论具有一般性，但我们将在可微的凹函数情形下证明这个结论，因为这么做最容易。这样的函数具有下列性质：对于任何点x都有f(x)<f(x)+f′(x)(x−x)。令X表示X的期望值，将前面的那个式子的两边取期望值，可得 Ef(X)<f(X)+f′(X)E(X−X)=f(X), 由此可得 Ef(X)<f(X)=f(EX). ■ 普．拉．特．定．理．（Pratt s theorem）。令A(w)和B(w)表示财富w的两个期望效用函数，它们都是可微的、递增的而且凹的函数，则下列性质是等价的。 A′′(w)B′′w1）()−>−对于所有w成立。 A′(w)B′(w)2）A(w)=G(B(w))对于某些递增的严格凹函数G成立。 3）piε~~A()>piB(ε)对于Eε~=0的所有ε~成立。 证明。 （1）蕴涵（2）。将G(B)隐含地定义为A(w)=G(B(w))。该效用函数为单调函数的事实意味着G是定义清晰的——即，对于每个B，G(B)是唯一的。现在对该定义微分两次可得 A′(w)=G′(B)B′(w) A2′′(w)=G′′(B)B′(w)+G′(B)B′′(w). 由于A′(w)>0和B′(w)>0，上面第一个式子表明G′(B)>0。将上面的第二个式子除以第一个式子可得 A′′(w)G′′(B)′′()=′(wBwB)+. A′(w)G′(B)B′(w)重新整理可得 G′′(B)A′′(w)B′′(w)B′(w)=−<0, G′(B)A′(w)B′(w)其中不等式的符号由（1）推知。这表明G′′(B)<0，这正是我们想要的。 10 曹乾（东南大学 caoqianseu@）
（2）蕴涵（3）。这可由下列的一系列式子推出： Aw−pi=EAw+i=EGBw+ε~(A)()(())<G(EB(w+i)=G(B(w−piB)) =A(w−piB).上面的式子中，除了不等式之外，其余均根据风险贴水的定义推出；不等式是根据詹森不等式推出。比较第一项和最后一项可知，piA>piB. （3）蕴涵（1）。由于（3）对于所有均值为零的随机变量ε~都成立，它必然对于任意小的随机变量成立。固定一个i，考虑ti定义的随机变量族，其中t∈[0,1]。令pi(t)表示风险贴水，它是t的函数。在t=0附近的pi(t)的二阶泰勒序列展开式为 1pi(t)≈pi(0)+pi′(0t+pi′′02)()t （） 2我们需要计算这个泰勒序列中的每一项，目的在于分析对于较小的t，pi(t)的行为是怎样的。pi(t)的定义为 A(w−pi(t))≡EA(w+ti). 根据这个定义可知pi(0)=0。将上式对t求导两次可得 −A~~′(w−pi(t))pi′(t)=E[A′(w+tε)ε] A2~~2′′(w−pi(t))pi′(t)−A′(w−pi(t))pi′′(t)=E[A′′(w+tε)ε] （有些读者可能对期望的微分不熟悉。但是求期望值只是求和或者求积分，因此它们的法则相同：期望的导数等于导数的期望。） 求上面第一个式子在t=0时的值，可得pi′(0)=0。求上面第二个式子在t=0时的值，可得 EA2′′(w)iA′′(w)pi2′′(0)=−=−σ A′(~)A′(w)其中σ2是ε~的方差。将这些导数值代入（）可求得pi(t)： A′′(wσ2)pi2(t)≈0+0−t. A′(w)2这意味着对于任意小的t值，风险贴水单调地取决于风险厌恶程度，这正是我们想要证明的结果。■ 例子：一个简单的投资组合问题的比较静态分析 我们使用所学过的知识分析一个简单的两阶段投资组合问题，这个组合涉及两种资产，一种是风险资产，另一种是无风险资产。由于风险资产的收益率是不确定的，我们用随机变量R~表示该收益率。 11 曹乾（东南大学 caoqianseu@）
令w表示初始财富，令a≥0表示投资在风险资产上的钱数，预算约束表明投资在无风险资产上的钱数为w−a。为方便起见，假设无风险资产的收益率为零。 在这种情形下，第二阶段的财富为 W~~~=a(1+R)+w−a=aR+w. 注意，第二阶段的财富是个随机变量，这是因为R~是个随机变量。投资a元在风险资产上的期望效用可以写为 ~v(a)=Eu(w+aR), 该期望效用关于a的前两阶导数分别为 ~~v′(a)=Eu′(w+aR)R,~~ v′′(a)=Eu′′(w+aR)R2.注意到风险厌恶意味着v′′(a)处处为负，因此二阶条件自动满足。 我们首先考虑边界解。求一阶导数在a=0的值，可得v′(0)=E′(w)R~~u=u′(w)ER。由此可知，如果ER~≤0，v′(0)≤0；而且在严格风险厌恶的情形下，v′(a)<0对于所有a>0成立。因此a=0是最优的当且仅当ER≤0。也就是说，一个厌恶风险的人对风险资产的投资钱数为零，当且仅当该风险资产的期望收益是非正的。 相反，如果ER>0，由此可知~v′(0)=u′(w)ER>0，因此投资者一般对风险资产的投资钱数为正。最优投资钱数满足下列一阶条件 E~~u′(w+aR)R=0, （） 上式要求财富的期望边际效用等于零。 下面我们对该选择问题进行比较静态分析。首先我们分析当w变化时a如何变化。令a(w)表示a的最优值，它是w的函数；这等价于要求满足下列一阶条件 E~~u′(w+a(w)R)R≡0. 上式对w求导可得 E~~~u′′(w+aR)R[1+a′(w)R]≡0, ~′′wEuw+aR~()Ra′()=− E~~.u′′(w+aR)R2和往常一样，分母是负的，这由二阶条件可知，因此我们知道 a′(w)的符号与E~u′′(w+aR~)R的符号相同. E~u′′(w+aRR~)为正还是负并不明显。然而，可以证明它由绝对风险厌恶r(w)的行为决定。 12 曹乾（东南大学 caoqianseu@）
风．险．厌．恶．。E~u′′(w+aR)R~为正、负或零，当r(w)为w的递增、递减或不变的函数。 证明。我们选择证明r′(w)<0蕴涵E~~u′′(w+aR)R>0，因为这是最合理的情形。其他情形的证明是类似的。 首先考虑R~>0的情形。在这种情形下我们有 ~′′w~u(w+aR)r(+aR)=−~<r(w), u′(w+aR)将上式变形可得 ~~u′′(w+aR)>−r(w)u′(w+aR). （） 由于R~>0， ~~~~u′′(w+aR)R>−r(w)u′(w+aR)R. （） 现在考虑R~<0的情形。检查（）式，我们可知绝对风险厌恶递减意味着 ~~u′′(w+aR)<−r(w)u′(w+aR). 由于R~<0， ~~~~u′′(w+aR)R>−r(w)u′(w+aR)R. 将该式与（）比较可知，（）对于R~>0和R~<0必然都成立。因此，对于所有的R~取期望可得 ~~~~u′′(w+aR)R>−r(w)u′(w+aR)R=0, 其中最后一个等式是根据一阶条件推导出。■ 这个引理给出了我们想要的结果：当风险厌恶函数为财富的递减、不变或递增函数时，对风险资产的投资额是增加、不变或减少的。 下面我们转而分析当收益的概率分布变化时，对风险资产的需求如何变化。随机收益率移动可用hR~(1+)进行参数化表示，其中h是一个移动变量。当h=0时，就是原来的随机变量；如果h>0，这表示每个已实现的收益比以前相应的收益高了h个百分点。 在（）式中用+hR~(1)代替R~，并将该式的两侧同时除以(1+h)可得 E~~u′(w+a(1+h)R)R=0. （） 我们可以对这个式子再对h微分一次，并分析出它的符号。但是还有一种更简单的方法能看清当h变化时a是如何变化的。令a(h)表示风险资产的需求，它是h的函数。我们可以断言 a(0)a(h)=. 1+h13 曹乾（东南大学 caoqianseu@）
将这个表达式代入一阶条件（）式就可知道上述结论是成立的。 直觉上，如果随机变量变为原来的(1+h)倍，消费者就会相应减少持有的投资资产，减少比例为1/(1+h)，这样就可以恰好恢复到随机变量移动前的收益模式。随机变量的这种线性移动，消费者可相应调整自己的投资组合，从而将其完全抵消。 随机变量的一个更有趣的移动，称为保留均值的伸展（mean-preserving spread）。这种移动使得R的方差变大，但不会导致均值变动。这种变动的其中一种参数化表达方式是将其写成R~+h(R−R)。这个随机变量的期望值为R，但是方差为1+h2δ2()R，因此h的增加不会使均值变动但却使方差变大。 我们也可以将这个表达式写为(1+h)R−hR。这表明这样的保留均值的伸展，可以看成将随机变量乘以(1+h)，然后再减去hR。根据前面的分析结果可知，随机变量乘以(1+h)使得需求按(1+h)的比例下降，进一步减去财富之后使得需求下降得更多，当然前提是绝对风险厌恶函数是减函数。因此，保留均值的扩展使得风险资产的投资额减少幅度超过了线性减少幅度。 例子：资产定价 假设风险资产有很多种，但无风险资产只有一种。每种风险资产的随机总收益（random ~total return）为R，其中i=1,...,n；无风险资产的总收益为R0。（总收益R等于1加上收益i率；在上一节我们使用R表示收益率，而在本节我们用它表示总收益。）消费者最初拥有财富w，对于资产i他选择的投资金额占财富的比例为x，其中i=0,1,...,n。因此，消费者i在第二阶段的财富——当随机收益实现时——将由下式给出 nW~w∑~=xR （） iii=0我们假设消费者希望选择(x)来使随机财富W~的期望效用最大化。 i这个最大化问题的预算约束为∑nx=1。由于x是消费者在第i种资产投资额占财富iii=0w的比重，因此这些比重的和必然为1.我们也可以将这个预算约束写为 nx0+∑x=1 ii=1n因此，x0=1−∑x。将这个式子代入（）并且经整理可得 ii=1~nnnnWw~~~=x0R0+∑xR=w(1−∑x)R0+∑xR=wR0+∑x(R−R0). iiiiiiii=1i=1i=1i=1 将预算约束这样变形之后，我们就得到了一个无约束的最大化问题 14 曹乾（东南大学 caoqianseu@）
nmE~axu(wR0+∑x(R−R0)). iix1,...,xni=1将目标函数对x求导可得到一阶条件 iE~~u′(W)(R−R0)=0, i其中i=1,...,n。注意到这个式子在本质上和前一节推导出的式子是相同的。 这个式子也可以写为 E~~~u′(W)R=R′0Eu(W). i使用随机变量协方差的恒等式cov(X,Y)=EXY−EXEY，我们可以将这个式子写为 ~~~~~cov(u′(W),R)+EREu′(W)=R′0Eu(W), ii整理可得 ER~1=R~~−~cov(′0Wu(W),R). （） iEiu′()这个式子是说，任何资产的期望收益可以写成两部分之和：一是无风险收益；二是风险贴水。风险贴水取决于财富的边际效用与资产收益之间的协方差。（注意这里的风险贴水概念和我们证明普拉特定理时用到的风险贴水概念是不一样的。不幸的是，它们的名字是一样的。） 考虑某种资产，它的收益与财富正相关。由于风险厌恶意味着财富的边际效用随着财富的增加而递减，由此可推知，这样的资产将和边际效用负相关。因此，为了补偿风险，这样的资产的期望收益率必然高于无风险资产的收益率。 另一方面，某资产如果和财富是负相关的，则它的期望收益率小于无风险收率率。在直觉上，某资产和财富负相关，则该资产对于减少风险来说具有特别重要的价值，因此人们为了持有这样的资产，愿意牺牲期望收益。 相对风险厌恶 考虑一个财富为w的消费者，假设我们提供给消费者下列的博彩形式：在p概率下他可得到他当前财富的百分之x；在1−p概率下他可得到他当前财富的百分之y。如果消费者使用期望效用评价彩票，上述彩票的效用将为 pu(xw)+(1−p)u(yw). 注意，这个多重的博彩的结构和前面分析过的可加性博彩的结构不同。然而，这类相对博彩经常在经济问题中出现。例如，投资的收益通常表达为相对于投资水平来说。 和以前一样，我们也可以问：给定一定的财富水平，一个消费者在什么条件下才愿意比另一个消费者接受更多的较小相对博彩。回顾前面使用过的类似分析，我们发现合适的度量是阿．罗．-．普．拉．特．的．相．对．风．险．厌．恶．度．量．（Arrow-Pratt measure of relative risk aversion）: 15 曹乾（东南大学 caoqianseu@）
u′′(w)wρ=−. u′(w)我们对绝对和相对风险厌恶如何随财富的变化而变化感兴趣。自然我们可以假设绝对风险厌恶是随着财富的增加而下降的：当你变得更富有时，你可能愿意接受赌博额更大的赌博。相对风险厌恶的行为有些问题；随着你的财富增加，你是更愿意还是更不愿意失去某个既定份额的财富呢？假设相对风险厌恶程度不变，这可能是个不错的假设，至少当财富小额变化时，这样的假设是合理的。 例子：均值-方差效用 一般来说，一个博彩的期望效用取决于所有结果的整个的概率分布。然而，在某些情形下，博彩的期望效用仅取决于分布的某些概述性质的统计量（summary statistics）。最常见的例子是均．值．-．方．差．效．用．函．数．（mean-variance utility function）。 例如，假设期望效用函数是二次型的，因此u2(w)=w−bw。于是期望效用为 Euw=Ew−bEw2=w−bw2−bσ2()w. 因此，这种博彩的期望效用只是财富的均值和方差的函数。 不幸的是，二次型效用函数具有人们不喜欢的性质：在某些区间，它是财富的减函数，而且它表现出递增的绝对风险厌恶。 在一个更有用的情形下，均值-方差分析也是合理的，这就是财富是正态分布的情形。我们都知道正态随机变量可完全由均值和方差刻画；因此，在正态分布的随机变量中的选择问题简化为对它们均值和方差的比较。 我们也对一种特别的情形感兴趣，这就是消费者的效用函数具有uw−e−rw()=的形式。可以证明这种效用函数具有绝对风险厌恶程度不变的性质。而且，当财富是正态分布时 Euw=−−rwr∫efwdw=−−[w−σ2r/2]()()ew （积分时，可以进行配方，或者注意到这个积分就是找到正态分布的矩母函数（moment generating function）。）注意，期望效用关于w−σ2rw/2是递增的。这意味着我们可以对该期望效用函数进行单调转换，并且使用效用函数uσ2=−σ2(wr,w)ww计算财富的分布。这2个效用函数非常方便，因为它对财富的均值和方差是线性的。 依赖于状态的效用 我们分析消费者在不确定环境下的选择决策时，一开始我们假设奖品只是抽象的商品束；后来我们专注于只具有货币结果的彩票的分析。然而，这样做有一定的缺陷。毕竟，一元钱的价值取决于当前商品的价格；因此金钱博彩结果的完整描述，不仅应该包括每种结果下能得到的钱数，还应该包括每种结果下的当前价格水平。 16 曹乾（东南大学 caoqianseu@）
一般来说，某商品的有用性取决于它所处的自．然．状．态．（state of nature）。对于消费者来说时，雨天的雨伞和晴天的雨伞似乎是大不相同的。这样的例子说明，在某些选择问题中，有必要区分商品所处的自然状态。 例如，假设有两种自然状态，炎热和寒冷，我们分别用h和c表示这两种状态。令xh表示天气炎热状态下分发的冰淇淋数量，xc表示寒冷状态下分发的冰淇淋数量。如果天气炎热的概率为p，我们可以将这种特别的彩票写为pu(h,xh)+(1−p)u(c,xc)。此处分发的商品束在一种状态下为“天热和xh单位冰淇淋”，在另外一种状态下为“天冷和xc单位冰淇淋”。 更正式的例子是健康保险。钱的价值取决于你的健康状态——如果你处于昏迷状态，一百万元对你来说价值多少？在这种情形下，我们可将效用函数写为u(h,mh)，其中h是健康状况的指标，m表示钱数。这些情形下的效用函数都是取．决．于．状．态．的．效．用．函．数．（state-dependent utility functions）。这样的效用函数只是说，消费者对于商品的偏好取决于商品所处的自然状态。 主观概率理论 在期望效用理论的讨论中，我们对进入期望效用函数的“概率”的本质有些含糊其辞。最简单的解释是他们是“主观”概率——比如基于观测到的频率基础之上的概率计算。不幸的是，大多数选择问题涉及的是主．观．概．率．（subjective probabilities）:某个既定的人对某事件发生可能性的预期。 在期望效用理论情形下，我们曾关注消费者选择行为的什么样的公理假设，将蕴涵代表行为的期望效用函数的存在。类似地，我们想知道消费者选择行为的什么样公理，可以推断主观概率的存在性问题；也就是说，可以将消费者的选择行为看成如下的情形：他使用某些主观期望测度方法测度期望效用，并根据期望效用评估博彩。 幸运的是，这样的公理是存在的而且是相当合理的。主观概率的构造方法类似期望效用函数的构造方法。我们已经知道某个博彩x的效用可按下列方法构造：选择数u(x)使得 x~u(x)?b⊕(1−u(x))?w. 假设我们想确定某个消费者对于某天将下雨的主观概率预期。于是我们可以询问在什么样的概率下，他在下列两个事件之间无差异：一是博彩p?b⊕(1−p)?w；二是“若下雨则得到b元，否则得到w元”。 更正式地，令E为某个事件，令p(E)表示该事件发生的（主观）概率。我们将事件E发生的主观概率定义为:数p(E)，它需要满足 p(E)?b⊕(1−p(E))?w~若E发生则得到b元否则得到w元. 可以证明，在某些正则性（regularity）假设下，上述方法定义出的主观概率具有普通客观概率的所有性质。特别地，它们遵循条件概率计算的常用法则。这对经济行为有着一些有用的应用。 我们将简要分析其中一种应用。令p(H)表示某消费者对于某个特定假设为真的主观概17 曹乾（东南大学 caoqianseu@）
率，E是表明H为真的某个事件。一个理性人如何根据E调整他的概率预期？也就是说，在事件E发生的条件下，H为真的概率为多大？ 我们可以写出事件E发生和H为真的联合概率 p(H,E)=p(HE)p(E)=p(EH)p(H). 将上式右侧整理可得 p(EH)p(H)p(HE)=. p(E)这是贝叶斯法则的一种形式，它将先验概率p(H)和后验概率联系起来。先验概率是在观察到证据之前假设为真的概率；后验概率是在观测到证据之后假设为真的概率。 贝叶斯法则是直接从条件概率的简单运算中推导出的。如果某个人的行为满足的限制足以保证主观概率的存在，这些概率必定满足贝叶斯法则。贝叶斯法则非常重要，因为它表明了一个理性人在看到证据的情形下应该如何更新自己的概率，因此这个法则是多大多理性学习行为（rational learning behavior）模型的基础。 因此，效用函数和主观概率都可以从观测到的选择行为中构建，只要观测到的选择行为满足某些在直觉上合理的公理。然而，我们应该强调，尽管这些公理在直觉上是合理的，但这并不意味着它们就是个人实际行为的准确描述。这个决定必须依据于实证证据。 例子：阿莱悖论（Allais paradox）和埃尔斯伯格悖论（Ellsberg paradox） 期望效用理论和主观概率理论是受理性行为启发而构建出的。期望效用理论背后的公理似乎是合理的，我们用于构建主观概率理论的公理似乎也是合理的。 不幸的是，现实生活中的个人行为似乎违背了某些公理。此处我们介绍两个著名的例子。 阿莱悖论 你要在下面两个赌博中做出选择： 赌博A：赢得100万元的机率为100%。 赌博B：赢得500万元的机率为10%，赢得100万元的机率为89%，赢得零万元的机率为1%。 在进一步阅读下面的内容之前，请先选择一个赌博（A或B），把它写在纸上。现在考虑下面两个赌博： 赌博C：赢得100万元的机率为11%，赢得零万元的机率为89%。 赌博D：赢得500万元的机率为10%，赢得零万元的机率为90%。 再次选择一个赌博（C或D），并将它记在纸上。 18 曹乾（东南大学 caoqianseu@）
很多人偏好A胜于B，偏好D胜于C。然而，这些选择违背了期望效用公理！为了看清这一点，只要将A≻B蕴涵的期望效用关系写出即可： −u(1)>(5)+(1)+(0) 将上式变形可得 (1)>(5)+(0) 再在上式两侧同时加上(0)可得 (1)+(0)>(5)+(0). 这意味着，根据期望效用最大化，博弈C必定好于D。但在现实中，大多人偏好D胜于C，所以违背了期望效用公理。 埃尔斯伯格悖论 埃尔斯伯格悖论和主观概率理论有关。你要在一个壶中摸出一个球。已知该壶一共装有300个小球，其中100个为红色的，另外200个要么是蓝色的要么是绿色的。 赌博A：如果你摸出的球是红的，你得到1000元。 赌博B：如果你摸出的求是蓝的，你得到1000元。 在纸上记下你的选择（A或B）。现在考虑下面的赌博： 赌博C：如果你摸出的球不是红的，你得到1000元。 赌博D：如果你摸出的球不是蓝色的，你得到1000元。 再次在纸上记下你的选择（C或D）。 人们通常严格偏好A胜于B，严格偏好C胜于D。但是这些偏好违背了标准的主观概率理论。为了看清这一点，令R表示球是红色的这个事件，令¬R表示球为非红的事件，令B表示球是蓝色的这个事件，令¬B表示球为非蓝的事件。根据概率常识， p(R)=1−p(¬R) （） p(B)=1−p(¬B)为简单起见，将u(0)标准化为0，即u(0)=0。于是，如果A比B更受偏好，我们必定有p(R)u(1000)>p(B)u(1000)，由此可知 p(R)>p(B). （） 如果C比D更受偏好，我们必定有p(¬R)u(1000)>p(B)u(¬1000)，由此可知 p(¬R)>p(¬B). （） 然而，容易看出（）式、（）式和（）式是不一致的。 埃尔斯伯格悖论出现的原因似乎是人们认为赌红球比赌篮球更“安全”一些。 19 曹乾（东南大学 caoqianseu@）
阿莱悖论和埃尔斯伯格悖论重要吗？经济学家对此看法不一。有些经济学家认为需要为这些反常现象构建新的模型来描述人们的行为。另外一些经济学家认为这些悖论类似于“视觉错觉”。尽管人们在某些情形下不能很好地判断距离，但这并不意味着我们必须发明新的距离概念。（本章结束）■ 注释 期望效用理论源于Neuman and Morgenstern(1944)。我们此处对期望效用理论的处理采用的是Herstein and Milnor(1953)的方法。风险厌恶的衡量归功于Arrow(1970) 和Pratt（1964）。我们此处对风险厌恶衡量的处理采用的是Yaari（1969）的方法。期望效用理论一般化的近期研究综述，可参见Machina（1982）。我们对主观概率理论的简短介绍是基于Ansombe and Aumann(1963)。 习题 证明为了避免参加方差为v的小赌博，一个人愿意付出的钱数大约为r(w)v/2。 如果风险厌恶度为常数，期望效用函数是什么样的？如果相对风险厌恶度是常数呢？ 如果对风险资产的投资和财富数量无关，那么期望效用函数是什么样的？ 考虑二次（quadratic）期望效用函数的情形。证明在某个财富水平上，边际效用是递减的。更重要的是，证明绝对风险厌恶度在任何财富水平上都是递增的。 一枚硬币落地时正面向上的概率为p。有人邀请你参加下面这样的赌博：如果第j次投掷硬币时，硬币落地后才首次出现正面，那么你将得到2j元。 （a）当p=1/2时，这个赌博的期望价值为多少？ （b）假设你的期望效用函数为u(x)=lnx。求这个赌博带给你的效用表达式，这是一个求和式。 （c）求（b）中表达式的值。（这要求你掌握一定的求和公式。） （d）令w0表示一笔钱数，这笔钱带给你的效用和你参加这个赌博的效用是一样的。求w0。 西野加奈（Esperanza）从他五岁起就是个期望效用最大化者。由于他在一所保守的英国寄宿学校上学，他的效用函数u是严格递增的和严格凹的。现在，已经30岁左右的他正打算评估某个风险资产，该资产的随机结果R是正态分布的（其中均值为µ，方差为σ2）。因此，它的密度函数为 211r−µf(r)=exp−σ 2pi2σ20 曹乾（东南大学 caoqianseu@）
（a）证明西野加奈从R得到的期望效用是一个仅关于µ和σ2的函数。因此，证明EuR2[()]=φ(µ,σ)。 （b）证明φ(⋅)关于µ递增。 （c）证明φ(⋅)关于σ2递减。 令R1和R2分别表示两种风险资产的随机报酬。假设R1和R2是独立的而且具有相同的分布。证明一个期望效用最大者如果是厌恶风险的，那么他将会把他的财产分配在这两种风险资产上；如果他喜欢风险，他会将他的所有财产全部用于投资其中一种风险资产。 假设某个消费者面对两种风险，在这两种风险中只有一种可以消除。令wɶ=w1和wɶ=w2的概率分别为p和1−p。令εɶ=0若wɶ=w2；如果wɶ=w1，则εɶ=ε1和εɶ=ε2的概率分别为1/2。现在定义εɶ的风险贴水piu满足 E[u(wɶ−piu)]=E[u(wɶ+εɶ)] （*） （a）证明如果εɶ足够小，那么 1−pu2′′(w1)εpi2u≈. pu′(w1)+(1−p)u′(w2)[提示：对（*）式两侧取泰勒适当阶数的展开式——左侧取一阶，右侧取二阶。] （b）令uw=−e−aw()和v(w=−e−bw)。计算u和v的阿罗-普拉特度量。 （c）假设a>b。证明如果p<1那么存在足够大的(w1−w2)使得pi>pi。对于风险只vu能部分降低的问题，上述结果意味着阿罗-普拉特度量还有用吗？ 某个人的期望效用函数为u(w)=w。他的初始财富为4元。他有一张彩票，这张彩票值12元和0元的概率分别为1/2。求他的期望效用。求他卖掉彩票的最低价格p。 某个消费者的期望效用函数为u(w)=lnw。他受邀参加投掷硬币的赌博，已知硬币正面向上的概率为pi。如果他赌注x元，那么若正面向上他将得到w+x元，如果反面向上他将得到w−x元。请将x的最优值表示为pi的函数。当pi=1/2时，x的最优值为多少？ 某个消费者的期望效用函数为u(w)=−1/w。他受邀参加一个赌博，在该赌博之下，他的财富为w1和w2的概率分别为p和1−p。他现在的财富水平为多少时正好能使得他在下列两个选择之间无差异：一是保留当前财产（不参加赌博）；二是参加赌博。 某个人关心他在下一期的货币收益，已知下一期可能发生的自然状态为s=1,...,S。用x表示他在状态s下的货币收益，状态s发生的概率为p。假设此人为了使得收益的贴ss现期望值最大化，他将选择x=(x1,...,x)。贴现因子记为α，即α=1/(1+r)，其中r为s贴现率。可行收益集用X表示，我们假设这个集合非空。 （a）写出此人的最大化问题。 （b）定义v(p,α)为此人在概率p=(p1,...,p)和贴现因子α之下能实现的最大贴现期s21 曹乾（东南大学 caoqianseu@）
望值。证明v(p,α)关于α是一次齐次的。（提示：v(p,α)和你见过的什么函数看起来相似？） （c）证明v(p,α)是p的凸函数。 （d）假设对于各种p和α值，你能观察到任意大次数的关于x的选择。集合X应该具有什么性质，才能从上述观测到的选择行为将其还原？ 22 曹乾（东南大学 caoqianseu@）
