合同线性化与线性化合同
张巍
(东北财经大学 大连 116025)
The Linearization of Contracts and Linear Contracts
Zhang Wei
(Dongbei University of Finance and Economics, Dalian 116025)
摘要：本文讨论了不对称信息下委托代理关系中合同的线性化与线性化的合同。我们的出发点是代
理人之间的能力差异，由此诱发了同时存在的逆向选择和道德风险问题，为处理这一问题我们得到
一个产出呈凹性的支付合同，并对其线性化，考虑到这一参数线性合同系的不稳定性，我们最终以
无参数的线性合同来替代，从而更为接近现实中使用的合同。
关键词：线性合同，委托代理，逆向选择，道德风险
Abstract ： The paper discusses the linearization of contracts and linear contracts in principal-agent
relationships under asymmetric information. Our starting point is the difference of capability between
agents; therefore adverse selection and moral hazard coexist. To handle such a problem, we get a
parameterized payment contract concave on output, linearize it, and in view of its instability substitute it
with non-parameterized linear contracts, which is more approximate to realistic contracts.
Key Words: Linear Contracts, principal-agent, Adverse Selection, Moral Hazard
中图分类号：C936 JEL 分类号：M52
合同线性化与线性化合同
0、引言
在委托代理理论中，由于委托人与代理人具有不同的目标函数，在信息不对称的情况下，处于
信息劣势的委托人无法对代理人进行有效的监督，代理人追求自身效用最大化的行为就会偏离甚至
损害委托人利益，从而产生了道德风险与逆向选择问题。解决此问题的关键在于委托人必须给与代
理人适当有效的激励，那么补偿的形式是怎样的？以往的委托代理文献[1]-[6]表明，在具有特定的分
布函数与符合严格的约束条件下，最优的补偿合同是线性的，换句话说，通常意义下的最优合同应
该是非线性的。然而事实上恰恰是线性的补偿合同得到了大量的应用，原因可能来自下面两个方面：
首先复杂的激励方案是难以实现的，制订这一方案必须考虑众多与代理人私人信息相关的因素，而
实行中代理人却可能以合谋等种种手段来放松委托人的约束条件，使得期望的最优配置难以实现；
其次，信息结构或技术条件的即使是微小的变化都将使得这种激励方案很难保持最优，或者说不具
有稳健性（Robustness）。这些原因激发了在线性合同方面大量的研究。
Holmstrom与Milgrom[1] (1987)是讨论线性合同的经典文献，它假定委托人风险中性，代理人具
有常数绝对风险规避系数（CARA）和负指数效用函数，那么当随机误差服从正态分布，最优的合
同关系就是线性的，这样使得比较静态分析变得十分简单，因此也受到了广泛的关注，但是这一模
型仅仅考虑了道德风险问题。Scattle和Sung(1993)[2] ,(1997)[3]对其进一步的完善，前者得出了应用一
阶方法的充分必要条件，后者指出了假设不满足时最优解将不再具有马尔可夫性质。Diamond[4](1987)
讨论了当代理人努力水平相对产出水平缩减时，如果代理人的控制空间是满秩的（无法以套利等模
式获取相关收益），最优合同就收敛为线性的。Laffont和Tirole[5](1986)讨论了另一个极端，当委托
人能够对项目信息充分了解并能够投资于成本缩减，他会为代理人提供一个与成本呈线性的激励合
同。Levy和Vukina[6] (2002)关注于代理人的能力差异，指出如果不存在交易成本，委托人会向代理
人提供一系列基于个人的线性合同，最终合同的线性程度取决于对代理人能力差别的鉴别成本。国
内这一方面研究比较少见，罗大伟[7]等在二阶多项式及二点分布条件下，以合同的曲率来判断其凸
凹性，但合同形式的假设过于苛刻。洪剑峭[8]以数值模拟的方式来比选预算报酬方案与线性报酬方
案，其更加关注于成本而非激励。我们的研究起点接近于Levy和Vukina，承认能力差别导向一个线
性合同系，但我们考虑到同时存在的逆向选择和道德风险问题，更加关注与此情形下的激励特性与
可操作性。本文余下部分的结构为：第2部分介绍完全信息下的基准模型，第3部分在非对称信息下
对合同线性化，第4部分给出两种可行的线性合同，第5部分给出了一个数值例子，第6部分是本文的
总结。
1、基准模型
我们由一个简单的完全信息模型开始，这一基准模型来自 Laffont 和 Martimort[9](2002)。考虑一
个风险中性的委托人，委托代理人生产 单位的产出，从中获得的效用为 ， 为代
理人生产 单位产出得到的转移支付， ， 。代理人存在能力差异，体现在不同的边际
成本 ，其累积分布函数为 ，分布密度 ，风险中性代理人的效用函数为
。
q ( , ) ( )V q t S q t t
q 0S 0S
[ , ] ( )F ( ) 0f
( )U t q
在完全信息情况下，没有了隐藏信息和隐藏行动，事前（ex ante）与事后（ex post）毫无区别，
也就没有必要考虑时序问题。委托人可以充分监测代理人的努力程度，因此不必考虑激励相容约束
（IC），只需满足参与约束（PC），那么委托人的规划式为
（1）
（2）
容易验证，最优配置下参与约束（PC）是紧的，那么我们可以将其代入（1）式，求得一阶条件
（3）
二阶条件 有假设可知，故充分必要条件成立。我们可以将一阶条件（FOC）对 求导
， 即
这意味着最优合同具有单调性质，能力越高，产量越高。由参与约束我们得到代理人获得的转移支
付为 ，将其对 求导可得 ，它的符号是不确定的，这意味者代理人收入并
未呈现出单调性质，举个例子，当 （即 ），每个代理人的收入都是一样的，从成本
角度而言这是公平的，能力高的人单位成本低，就应该多生产，但从效率角度而言这不符合多劳多
得原则，完全信息造成了静态下的棘轮效应（ratchet effect）1。
2、合同线性化
在不对称信息情况下，委托人面临代理人逆向选择与道德风险问题，简单的说，前者使得某种
类型的代理人有动机冒充其他类型的代理人，通过选择其他合同以获利；后者影响代理人在选定的
合同执行过程中是否偷懒。我们考虑此时的合同时序
这里 A 和 P 代表代理人（Agent）和委托人（Principal）。逆向选择发生在 ，道德风险发生在
。为避免其发生，必须加入一些假设和条件。
假设：类型 的分布函数 满足单调风险率性质（monotone hazard rate property），即
1 简单的理解为，如果信息不对称，那么代理人必将减少产出以使委托人认为其能力较低，从而获取租金，因为产量
越高，委托人认为其成本越低，对其标准越高，而完全信息单期下就实现了这一效应。
,
max ( , ) ( ( ) ) ( )
q t
EV q t S q t f d
0. . ( ) ( )s t PC U t q U
( ) ( ) 0FOC S q
( ) 0S q
( ) 1 0S q q
1 0
( )
q
S q
0t q U t q q
1q ln( )S q
t=0
A
´ú ÀíÈË»ñÖª
ÀàÐÍ
P
t=5t=4t=3t=2t=1
ί ÍÐÈËÌá ¹©
Ò»×éºÏ ͬ
A
´ú ÀíÈ˽ÓÊÜ
»ò¾Ü¾ø
A
´ú ÀíÈËÖ´ÐÐ
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²ú ³ö ʵÏÖ
P
ί ÍÐÈËÌá ¹©
ת ÒÆÖ§̧¶
ʱÐò
2t
3t
( )F
。
这一假设条件很容易为通常的分布函数所满足，如均匀分布，正态分布，伽玛分布或贝塔分布
等，只需对某些参数加以适当的限制。
这时我们必须加入代理人的激励相容约束，得到新的规划式
（4）
（5）
（6）
这里 为类型为 的代理人报告类型为 所能获得的收益，根据显示原理存在一个直接的显
示机制。为了使代理人真实报告其类型，应该有
也就是说，当代理人报告真实类型时效用最大。根据包络定理可以得到
（7）
为保证我们取得的是最大值，二阶条件要求 ，这一条件将在下面得到满足。由（7）我们可以
求出代理人的效用函数
（8）
注意（6）和（8）式不是等价的，（8）式只能保证代理人报告真实类型，（6）式同时保证了代理人
按委托人期望提供产出，我们将在命题 1 中对这后一性质进行处理。由（8）式可知效用是能力的递
增函数，那么参与约束（5）可变为 ，可验证最终这一约束是紧的。这样我们将简化后的
（5），（8）代入（4），得到无约束的规划问题。
（9）
对上式求导我们可以得到次优产出的一阶条件：
( )
( ) 0
( )
d F
d f
( ), ( )
max ( ( ), ( )) ( ( ( )) ( )) ( )
q t
EV q t S q t f d
0. . ( ) ( ) ( ) ( )s t PC U t q U
( )IC ( , ( ))q arg max
{ , ( )}q % %
( , ) ( ) ( )U t q % % %
( , )U % %
( ) ( , ) max ( , )U U U %
( ) ( , ) ( , )
( )
dU dU dU
q
d d d
%
%
0q
( ) ( ) ( )U U q x dx
0( )U U
( ), ( )
max ( ( ), ( )) ( ( )) ( ) ( )
q t
EV q t S q t f d
( ( )) ( ) ( ) ( )S q q U f d
( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )S q q q x dx f d U
( )
( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
F
S q q f d U
f
（10）
由于假设其满足单调风险率性质，（10）式对 求导可得到 ，这就表明次优合同同样具有单
调性质，能力越高，产量越高，同时也满足了（7）式的二阶条件。注意到当 ，即最高能力代
理人类型时，（10）式与（3）式是等价的，也即产出是无扭曲的，这就是通常所说的“角点无扭曲原
理”。
此时我们可以得出代理人获得的转移支付
（11）
其中第一部分是成本补偿，第二部分是信息租金，第三部分是保留效用。此时的转移支付体现了一
些有趣的性质，将其对 求导可得到 ，说明转移支付具有单调性质，能力越高，支
付越高。对 求一，二阶导数可得 ， ，这意味着转移支付对产出具有凹性，
这一结果与 Popova 和 Haubrich[10]（1998）的实证结论是一致的，那么一个直观的想法就是用一组切
线逼近转移支付曲线来实现合同的线性化，有如下命题。
命题 1.如下的线性合同诱导代理人报告真实类型并实现了次优的产出。
(12)
这里 ， 。
证明：见附录
这样一个线性合同同时解决了逆向选择与道德风险问题，但是必须注意到这个线性合同是发生
在事后的，具体而言是发生在 ，也就是说，针对委托人确立的 对，代理人选择实
现 以获取相应的 ，而（12）只是对这一非线性合同的线性逼近方式。实际上，由于转移支
付的凹性，给定产出不变，选择其他代理人的线性合同是绝对占优的，但是产出暴露了代理人的类
型，使得他只能选择真实类型的合同。因此，可以看出，这种线性合同是事后不稳定的，如果产出
的受到随机扰动的影响，那么代理人必将从中获得风险租金。
3、线性化合同
毫无疑问，以 为参数的一组线性合同对次优配置有良好的拟合性质，但是，正如我们前面所
说，这样的合同是复杂且不稳健的。我们的思路是用无参数的线性合同来实现（11）式的转移支付，
( )
( ) ( ( )) 0
( )
SB SB FFOC S q
f
0SBq
( ) ( ) ( )t q q x dx U
( ) 0t q
q 0qt
1
0
( )q
t
q
( ) ( ) ( )t q
( ) ( ) ( )q x dx U
( )
5t [ ( ) ( )]q t ，
( )q ( )t
直观的，有以下两种选择：
激励强度平衡（II）
保持代理人的激励强度不变，对参数在可行域上积分，容易得到
这里 ， 。
期望支付平衡（EP）
另一个思路来自最小平方法，求残差的最小平方
（13）
由概率论的基本知识 2，当且仅当
（14）
这也是我们将其称为期望支付平衡的原因。（14）式左边为 ，右边第一项变化如下
＝
那么可得到
这里 ， 。
根 据 前 面 的 假 设 和 论 证 ， 显 然 是 小 于 0 的 ， 那 么 可 见 ，
。进一步我们有如下命题。
命题 2.期望支付平衡要比激励强度平衡付出更少的期望转移支付。
证明：见附录
我们可以在图形上表示出合同线性化和线性化合同，如下
2 详见一般的概率论教材，如性质 ，《概率论与数理统计》，中山大学数学系编著，高教社：北京，1988，pp194
II II IIt q
( )
[ ( )] ( )
( )II
F
E q U
f
( )II E
,
2
min [ ( )] [ ( ) ( ) ( )] ( )q q q x dx U f d
[ ( )] [ ( ) ( ) ] ( )E q E q q x dx U
[ ( )]E q
[ ( ) ( ) ]E q q x dx
( )
[( ) ( )]
( )
F
E q
f
( ) ( )
( ) [ ( )] [ , ( )]
( ) ( )
F F
E E q Cov q
f f
EP EP EPt q
( )
[ , ( )] ( )
( )EP
F
Cov q U
f
( )
( )
( )EP
F
E
f
( )
[ , ( )]
( )
F
Cov q
f
II EP
II EP
首先， 是一个凹性合同，上面的两条切线是（12）定义的线性化合同，从图形上更容易看出其事
后的不稳定性，同样的产出在其他合同下带来的收益更高；其次， ， 是我们设定的无参数的
线性合同，两者斜率与截距的差异由 ， 可知，考虑到代理人的效用曲线与合同
曲线（直线）相交以确立其效用， 比 更高的激励强度使得高能力代理人获得更高的效用；最
后， ， 的交点是容易求出的，
4、一个数值例子
为了更清晰的理解上述线性合同的含义，以下的数值例子是有帮助的。
委托人： ，满足 ，
代 理 人 ： 服 从 在 上 的 均 匀 分 布 ， 即 ， 易 得 ，
， ，令 。
由一阶条件式（10），可得 ，代入 的上下限，得 ，这满足
。
考虑 分别为 14，15，16 三种情形，简单计算得到
，
，
0 q
t
SBt
EPt
IIt
SBt
IIt EPt
II EP II EP
EPt IIt
IIt EPt
( , )q t
( ) ( )
[ ( )] [ , ( )]
( ) ( )
,
( )
( ) ( )
( )
F F
E q Cov q
f f
F
E E
f
( ) ( ) ( )
[ ( )] ( ) [ , ( )] ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
F F F
E q E Cov q E
f f f
F
E E
f
21( ) 60
4
S q q q
1
( ) 60 0
2
S q q
1
( ) 0
2
S q
[10,20] 10, 20
10
( )
20 10
F
1( ) 10f
( )
10
( )
F
f
( ) 800U
( ) 140 4q 100, 60q q
1
( ) 60 0
2
S q q
14 1232 14t q 14 84q
15 1150 15t q 15 80q
，
注意到，当代理人隐瞒真实类型，按其他类型的代理人的合同生产，其效用低于选择自身类型合同：
比如类型 ，当选择 获得信息租金 350，选择 获得信息租金
348，选择 获得信息租金 348，因此代理人倾向于选择自身类型合同，而一旦选定，
产量变动带来的收益变动会被成本变动抵消，那么代理人就倾向于按委托人要求生产产出，这里即
；另一方面，事后的不稳定性体现在，代理人在选择自身类型合同按委托人要求生产产出
时 ， 其 效 用 低 于 选 择 其 他 类 型 合 同 生 产 同 样 产 出 ， 比 如 类 型 ， ， 当 选 择
获得信息租金 350，选择 获得信息租金 352，选择
获得信息租金 352，即产出的变动影响了合同选择的稳定性。
无参数的线性合同计算结果如下：
为了防止不生产或过度生产，加上 的限制是必要的。显而易见， 只对高于平均类
型的代理人产生激励作用，并且其激励水平相对 较低，低于平均类型的代理人会倾向于生产
，而 则对除了最低能力 之外的其他代理人全部具有激励作用，这在实践中有着重要意
义：对业绩要求较高的职业倾向于采用 ，而 合同则有利于人才的选拔。
5、结论
本文讨论了不对称信息下委托代理关系中合同的线性化与线性化的合同。我们的出发点是代理
人之间的能力差异，由此诱发了同时存在的逆向选择和道德风险问题，为处理这一问题我们得到一
个产出呈凹性的支付合同，并对其线性化，考虑到这一参数线性合同系的不稳定性，我们最终以无
参数的线性合同来替代，从而更为接近现实中使用的合同。
值得注意的是，最终实现的无参数的线性合同丧失的灵活性使得对于代理人的逆向选择问题再
次呈现，对此我们的解释是：我们制订的无参数的线性合同具有次优配置下参数的整体特性，这一
点上要远远强于其他方式；当参数分布的方差不大时，均值占据了分布的绝大部分信息，此时的无
参数的线性合同也向次优配置逼近，极端情况下， ， ， 三者重合为一条直线。
16 1072 16t q 16 76q
15 15 1150 15t q 14 1232 14t q
16 1072 16t q
15 80q
15 15 80q
15 1150 15t q 14 1232 14t q 16 1072 16t q
15IIt q
20EPt q
100, 60q q IIt
EPt
60q EPt
EPt IIt
SBt IIt EPt
附录
命题 1 的证明：对这一问题的证明实际上是将代理人报告真实类型后按委托人期望提供产出这一性
质添加进来，注意到，委托人确立的合同是针对 的 对，代理人可能虚报类型 选择
其他合同，也可能选定合同后变动产出 ，那么代理人所面临的规划是
()
其一阶条件为
()
()
当 且 时，这些条件得到满足，注意这里的 ，是由委托人确定的次优产
出。由于
取最大值的二阶条件得到满足。 证毕
命题 2 的证明：分别求出两者的期望支付。
＋ ＋ （）
＋ ＋
＋ ＋
＋ ＋ （）
可见（）式仅比（）式多个 ，而根据第三部分的论证 ，因此前
者要比后者付出更多的期望转移支付。 证毕
[ ( ) ( )]q t ， %
q
( , )
max ( , , )
q
U q
%
% ( ) ( )q q % % ( ) ( )q q x dx q U
%%
( , , )
( ) 0
U q
q q
%
%
%
( , , )
0
U q
q
%
%
% ( )q q ( ) ( )SBq q
1D
2
2
( , ( ))
( , , )
( ) 0q q
U q
q
%
%
%
2D
2 2 2
22
2
( , ( ))
( , , ) ( , , ) ( , , )
1 0q q
U q U q U q
q q
%
% % %
% %
( )IIE t
( )
[ ( )]
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F
E q
f
( ) [ ( )]E E q ( )U
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[ , ( )]
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( ) [ ( )]
( )
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( )
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( )
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( )
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E q E q
f
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( )
[ ( )] ( ) [ ( )]
( )
F
E q E E q
f
( )U [ , ( )]Cov q
[ , ( )]Cov q [ , ( )] 0Cov q
参考文献
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[9]Jean-Jacques Laffont and David Martimort, The Theory of Incentives: The Principal-Agent Model[M].
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[10]Ivilina Popova and Joseph G. Haubrich, Executive compensation: a calibration approach," Economic
Theory, (1998), Vol:12 (3), pp:561-581.
作者简介
张巍（1978,02—），男，辽宁抚顺人，现为东北财经大学数量经济系教师，博士研究生，研究方向：
优化决策
电话：0411-84711753 手机：13042456650 Email dufezw@
联系方式：大连东北财经大学数量经济系 张巍 邮编 116025
作者简介
张巍（1978,02—），男，辽宁抚顺人，现为东北财经大学数量经济系教师，博士研究生，研究方向：
优化决策
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联系方式：大连东北财经大学数量经济系 张巍 邮编 116025
