运筹与管理Vol. 13. No. 1 ;在13卷第1期Feb. .2004 OPERA'I、IONSRESEAIKH AND MANAGEMENT SCIENCE 2004年2月一种n人静态博弈纯策略纳什均衡存在性判别法李正龙( 每工程技术大学管理学院，上海200336)摘要:本文首先给出了n人静态博弈纯策略纳什均衡存在的充要条件，然后给出n人静态博弈纯策略纳什均衡存在性的…种判别方法，最后在判别纯策略纳什均衡存在的条件下，纷出判定该静态博弈存在多少纯策略纳什均衡以及哪些纯策略组合是纯策略纳什均衡(解)的方法。关键询:运筹学;存在性判别法;n人静态博弈;纯策略纳什均衡中阁分类哥哥:0225文章标i只码:A文章编辛苦:1007-3221 (2004 )01-0033-05 An Existence Distinguishing Method for Pure Strategy Nash巨quilibrium巨xistencein 仆PersonStatic Games LI Zheng俐long( Collegeυ~r Mαnagernent ,Shanghai Un versity of El1g neering Science ,Shanghai 200336, Chilla) Abstract: In this paper, we first give a necessary and sufficient condition of pure strategy Nash equilibrium ex›istence in n person static games, and then give a distinguishing method for pure strategy Nash equilibrium existence in n person static games. Under distinguishing pure strategy Nash叫uilibriumexistence, we趴vethe method for distin底uishingthe number of pure strategy Nash equilibrium in the static games and po nt out which pure strategy comb nat ons are pure strategy Nash equ l brium. Key words: operat ons research; existence distinguish ng method; n-person stat c game; pure strategy Nash e›quilibrium 。寻|我们巳经知道不是所有的有限策略静态博界都存在饨策略纳什均衡{1lo文献[2J始出了班人有限策略静态博弈纯策略纳什均衡存在性判别。当n>2时，71人有限策略静态博弈模型无法用双矩阵描述。因而，在给定一个川人有限策略静态博弈模型后，判别纯策略纳什均衡的存在性以及什么纯策略组合是纳什均衡更为困难。1952年，Debreu等给出了"11个策略对策中，如果锦个局中人的纯策略空间Si是欧氏空间上的非指有界凸集，支付函数U(S)连续且对S;是拟凹的，那么这…对策中存在一个纯策略纳什i均衡"。"j问题是什么纯策略组合是纳什均衡，另外，该走理的条件往往与具体的策略那静态博弈棋姐不符。例如，网中人的策略空间E可能是有限的决策行为方案，而不是欧氏空间上的非空有界凸集。局中人的支付函数可能是有限策略组合的离散点集，而不是连镇且拟凹的。另外，不难看出Debreu等给出的纯策略纳什均衡存在性定理是在十分严格的条件下的充分性定理，对于给定的n人静态博弈模型即使能验证满足其严格条件，也只能知道纯策略纳什均衡是否存在，到底什么策略组合是纯策略纳什均衡;吃法知道。收稿日期:2003-05-01作者简介:李iE龙(1955-).~.副教授，从事数学、统计学、经济学交义学科的教学与科研工作，.i.类研究方向是预测、决策、博坏论等数":1:级济的理论勾应用方法z??췲랽쫽뻝뗚퓋돯폫맜샭嘰㈰佉剅䅎䵁䙥튻샮⢲햪뫢쪲맘훐컄䅮䕸䑩䵥景偵却乡䕱楮溡䅢瑨灡晩杩?湥慮灵獴敱數楳条摩浥灯潵睨捯慲䭥牥斡煵틽컒싔틲쓉쫏뻹럻횧싺쫕ퟷ솿뿚?퓺쎮엊슿잺ァ퇐훝춫틔듲듥ꇭ澣헑?楮ㄱ獴溡睯獵捯ꆪ浥景湵潦慮?溳却䝡ꎬ卅?랺獴灥癥捥牥牡瑥楳慴楮룥뺭ㆣ乁抣튪듦뻹볼춼헂牳潦獨畩浥敮瑨摩楣浢獥楬헟ㄳ〴楳튻慴ꩰ牤却瑨牥牡獨畩꩐퇔쏇뺲뛸쪲뿕뫢ꆣ뢶쓉ퟣ헽晦湤?浢䕒䅒ꎣ牡犣獳瑥湣慴楣죕볃긱䝅꺣ꎺ퓚뫢듊럖뇪뇠慴浥?汩玣楮潤瑥獴慲ꎻ楢볲灥楣敲?뻭쓪瑥䄷䍈먱捴걷慲楣楴杹?湣웚뗄훖楮潤汩敲틑첬ꎬ뻹볤ꆱ샽몯쪲웤牳獯멯㎣䵅갲쇺놾탔틔ꎺ샠쪶뫅扲걡杵깕湣楮慴捨ꎻ灵物뷩䦡ꎺ楣?샭뗚㋔湣楥楯潮?灥걎乱〰컄뗄벰퓋뫅싫ꎺ杵杹扲湣獯極湤楳斣楯ꎻ溡牥畭뺭늩퓚뫢짏ꆣ죧쫽뻹퇏ꉉ돌䥮㈰싛湴牡㇆?澣低ꆢ?벼쫗튻쓄돯ꎺ桩敲걷楳湳涣數ꩰ〳샮폫滈楳極횪?룸룼뗄ꆾꎬ뿉뫢룱瑩?쫵ꎮ펦긱千쿈훖킩톧〲〷湧桩楳敲洲潮듳桩?뗀뚨캪럇㌱뻖쓜듦쳵〵폃䥅룸에뒿ꎻ㈵ꎮ湧瑥獯㤨?톧ꎮ랽乃쮾돶뇰닟듦㌲湧湣?늻튻삧뿕컊훐쫇퓚볾ㄹ맜〱램?쇋랽싔퓚㈱㔵샭쫇룶쓑폐쳢죋탔ꎬ톧滈램ퟩ탔⠲튻닌쯹쓉ꆱꆣ뷧쫇뗄쿞뚨튲풺쮾ꎬ뫏에〰⦣ꎬ닌ퟮ쫇뇰㐩폐쪲죋ㄹ춹닟샭횻껄짏겲뫳뒿램〱킣겲몣뗄뻹폐㔲벯쎴싔쫇쓜꧞퓚닟ꎻꎬ겸㈰폐뫢쿞쓪ꎬ뒿뿕ퟩ퓚횪〳쒴에싔滈〰놽㌶꧞뾲뇰쓉쮾㌳쿞듦닟ꎬ횧볤뫏쪮뗀쳊??뒿쪲닌ꆪ?닟퓚싔䑥뢶뿉뗄럖퓄닟뻹겲〵겴쒴탔뺲扲몯ퟩ쓜샫퇏닟짊싔뫢꧞폊늾쓉⢽쒣뺲에첬敵쫽뫏쫇즢룱싔싊了쪲뮴뾲첬뇰늩뗈啩쫇폐뗣뗄쓉뻹뗄뾲ꞡ늩ꆣ?룸⡓쓉쿞벯쳵쪲뫢랽?ꋍ??듦램퓄?떱쒣돶⧁쪲뗄ꎬ볾뻹뎼쒳퓚ꆣ짊웑뚼ꎬ탍쇋곐뻹뻶뛸쿂뫢뗄늾ꞡ퓄듦稾뫳ꆰ뫢닟늻뗄쫇쳵了ꊾ볾?퓚㋊ꎬꆱ튶탐쫇돤럱궼ﺣ쿂쏑짊뒿놡㼭룶푓쇭캪솬럖듦곈ꎬꞽ닟꼷䥊槊췢랽탸탔퓚뮺룸뮲늾돶싔㋈亴쟄ꎬ낸쟒뚨에ꞿ쓉쯓뾲뛔룃ꎬ쓢샭떽뚨욵了쪲탏?닟벵뚨뛸낼ꎬ뗗죋룃쒽뺲뻹?퓄훐쒣샭늻뗄뛔쪲쳑첬ꟓ뫢?짊ꎬ계뗄쫇ꆣ폚쎴늩ꆭ풾늾죧쟃쳵얷쇭룸닟?놼웑뒿듦ㆡ닌了맻듕볾쫏췢뚨싔킹닟퓚ꓗꏎ겲쎿췹뿕ꎬ뗄ퟩ싔뛠?쓏꧞쒴룶뮶췹볤늻ꆱ뫏쓉짙곖쪲뒿흛쓄뻖풲폫짏쓑죋쫇뻹닟퓅㉝ꏐ?훐?뻟뗄뾴뺲뒿싔킾룸췎퓒죋킴쳥럇돶첬닟쓉뾷킱돶?풼뗄뿕䑥늩싔뷏쇋꣓냊뒿?닟폐扲?쓉쟔쮫쏋닃닟뮸싔뷧敵쒣쪲꒲죋ꮾ뒴싔탍춹뗈뻹ꊾ?폐?뾲뿕뺲벯룸벴뫢쿞?볤첬ꆣ돶쪹컞?닟퓗厣퓄늩뻖뗄쓜램ꊲ꧞곊짊?훐뒿퇩횪쓂?쿊쟅쒣죋닟횤뗀??탍뗄ꆣ죊?늻
运筹与管理34 2004年第13卷本文试图解决:在给定n人有限策略静态博弈的基础上，如何判定纯策略纳什均衡是~存在。在判定纯策略纳什均衡存在的基础上，存在多少纯策略纳什均衡，哪些策略组合是纯策略纳什均衡(解)等相关问题o11人有限策略静态博部模型与纯策略纳什均衡设参与有限策略静态博弈有n个局中人，第i个局中人吁采取的纯策略为: S;= lA). A~.…， A:II; 1 1,2, ,n n个同中人的纯策略构成的纯策略空间为:S = S) X S2 X x S" 策略空间S中的任一策略组合为:sz(Ajl,Ai, ,Aj’) , AjεSi' i口1，2，…，n i巳~'可1口51X S2 X XS;_1 C1<i:S;;n)，~; 1口φU1) S + )口5;t)X 512 X…×吼，(1 :S;; i < n ) , Si+ 1 =φ(i == n) 显然(5) X ,,; 1) S口~5-) X S n 1 15lX5;XS+1< i< n 不失一般性，当1< i< n时，有:’v sÎ-)εse-1，5尸12(Ajl'Aj2，…，A;11)，A:εs们h口1，2，…，i一1’V S t )廷Sì叶，/+1二(A;;;，1，…，ALLA:"们护i+l，i+2，…，11定义谁在n人有限纯策略静态博弈中，第i(j""1，2，…，川个局中人的般用函数为Uj(S)，s廷队带存在S曾Z(AjJ，AjJ，…，Aj.:) "" (si-)饵，AY，矿叫铃),,中史-t Ui(S娓)= U(丘'由l\AY，5'tl始)~UiU-)\ALsi41铸)，’V Al，εSi' i ì1,2, ,11 则称"=(/-1祷，AY，fI铃):(AjJ，Ai:，…，A.*) J是n人有限策略静态博弈的一个纯策略纳什均衡(NishEqui\ibrium)。也称s*:J是一个纯策略纳什均衡解。2 纯策略纳什均衡存在的几个结论定理1(纯策略纳什均衡存在的充耍条件)记了Î(s˛ 1川川1)=1(/-1，气，f1)|?:俨i(/寸，心，/+))/i=1,2,"’,n T;命UTi(i ) , s l 1) = 1( Si寸，Aj" / +!) 1m axU(si 1, Ai, S + 1) , j (; ,s’ ")叫‘叫‘R AiεSj吁’V (./ ), /t J)E豆ìJ X Si+ J I川1，2，…，n则n人有限策略静态博弈存在纯策略纳什均衡的充分必要条件是nTφ笋i证(~)若存在纯策略纳什均衡:I t hjm1，AL，5'咱J)口(A)"A]2’ , Aj’) 其中??췲랽쫽뻝㌴퓋돯폫맜샭㈰놾뚨컊?ꎬ짨卩椽㜱匽닟㈨볇튪⠱믊⡩厡뿷쿔卉碿猽汧ㄼ늻椭卫ㆡㆣㄽꆮꆣꆯ㝉죴猫㕩喣䆣퓲玡쫇䕱㊴⢴呩ㄩ浩慸횤⡪웤壆쯀ꆶ籬튻ꇁ탄㦡ꇊꎮ틶ꇱ嗴?椫獩獈ꎬ?ꦡꇱ쪹ꆭ?ꆱ걳ꎮㆣ匱椼ꎬꇱ?〴쳢㱩㴱ꇜꆮ좻쩓틥⭬긩샭컄뒿닎룶싔뷐긫㷀㳂쪧퓚듦돆훤畩⧈훐竈䆣弱ⴱ?갨몡긽뾲㵻튻ㆣ?⡁嗐絩ꆱꎬ㴨꼩⡳갲ꇁꎬ欽쓪ꆣꇜ?椼⬱ꇊㅉ쫔닟폫뻖뿕㷖ㄽﲽ튻퓚죋汩쯓ꎬ匲뮣㵓?ㆣ玡쩓⡳?늷䅪ㆡ걳榡ꆲ㴱죋뗚ꎬ温㶴?䅉㴨䢣춼싔폐ꆭ훐ꇁ컊?卩킡냣갲竈扲퓄탏꺣没긩檣늷퓄ㆣㄳ稩?ꎬꆭ椭ꎣ뜱폐ꆣ뷢쓉쿞죋取쪮셓탔쯓極짊?ꎮ䅪걳뻭ꎬ?ꆱꇁ걁셓ꆭ㵕걩ㆡ짊뻶쪲닟䅪뗄킵没ꎬ榡ㄽ긱탏洩늾㊣쿞뾲厡ꎬ⮣ꎮ뒨?ꎻ㊡椨㴱ꎣ늾檡ꎺ뻹싔뒿?쓈셓ꎮ떱槒?ꆣ了?ꎬ솿⡁ⴱ䆣겡닟풾ꎺ송묱玲ꎬ了ꎣ걁ꆣ⤽퓚뫢뺲닟컒榣ㄼ뾲튲퓄ꆭ檣몣궣싔뮣닌ꎬ궡뜱㊣ꎺ걓룸듦첬싔뮲긲椼?돆짊ꎻ笨ꎬ⬱꺣䄵걳곔뺲몣뚨퓚겲늩릹?ꆭ셓ꇁ틔풾ꆮ겡㖡?늾?✪䇆玲⋈뗄?䆣돉퓗ꆭ쪱걁⮣닌ꏊ쒳?첬了겡꧞ꎬ늷궣ꆱ?쯓믹폐뗄ꇁꎬ겲ꦣ쟒뜱쓄몡䆣?ꎻ꺣䄿갷쒼늩궣탏뒡틔뒿쿎厡폐꧞튻뮸?ꏐ걲ꆭ㾣?獈겡뢸ꎬꎣꎺ몣?겿?짏룶닟ꪣ?ꎺ쓖췓璡걳걽겡궣䅩듦꾣?ꎬ뻖싔?킣뒿뾲︩ꌩ榡풾듦훐뿕ꆭ궣겵닟?楧퓚몣䆣걁ꎬ뾲ꎬꞡ?닌퓚죋볤?싔퓄ꎬ걁뒿묩뮡媡㕩?熣꼩겲뛠ꎬ캪⡩쓉짊䅩㼩닟ꎡꌩ꧞짙퓄뗚ꎺ겡㴱ꇝ쪲늾ꎬ싔쒵뒿榸뻹了짊쩓啪ꌩ쒻닟ꎮ䆣㊣뫢쓉늾榣⡎㴨領싔훖겡⡎ꎬ뮡쪲了걩늷ꇉ쓉탈궣玲楳??㴱ⷒꎡㆡ뻹쾣쪲쮿겣?뜱ꎬ꺣묱쩓뫢곈뻹즲걺㊣ꆯ걁뫢질ꎮ얮⦸뗄겡ꎺ컅ꎬꆵ⦣돤킶쓄쒴궣훖ꎬ걁欽䅲럖ꢴ킩뾲탈겣獈ㄫ椫뇘뾲닟?쮵걺?싔퓎?ㆣ쓐튪퓄ퟩꪣꟓ걩쳵짊뫏?쎺⬲볾늾쫇꿊ꎬ쫇了뒿닟ꆭ꩕幔잷싔椨ꎬ榡쓉匩ꆱ?쪲ꎬ??뻹碡ꏔ뫢쩓?⢽ꆣ?뗈쿠맘
第1期李i瓦龙:一种n人静态博界纯策略纳什均衡存在性判别法35 Aje毛鸟，f1=(Aji，…，A~…!)，si+1=(A;::，…， Aj:,) 由纯策略纳什均衡定义有:Uj(Siω1， A~" /+ 1)二三Uj(S'叫IAL sj +1 ) , V A~ε乱，i=1，2，…，71于是有(对，I A~"./ t L)廷Tj (./ 1. Si t L ) C丁 = , ,n 从阳(lω1，A;，，5141)enI Tt 所以φnT笋i(<= )若。l丁，手φ，不妨设:(Si -1, Aji’ sj +1 ) 巳(AJl，AL，…，A;:，)εTj， ::::: 1 ,2, ,11 由Tj的定义知:尸1+ sj )::::: taxU(S1);;:’: j [jJAji’Aj2, , Aj~，A~， ,?岳SA~，尸+ 1 sj Uj(SA~，), V A~ E S;. = i 12,, ,11 由鲍策略纳什均衡的定义知:…，坷，，)是有限策略静态博弈(A}l’ A7的一个纯策略纳什均衡(解)。2理珊1)2(si /+ (纯策略纳什均衡存在性判别)Tj以及Tj(i:::;:η)1，2，…，问定理l所设。1φ(1)者，，则有限策略静态博弈不存在纯策略纳什均衡。QT(2)若们j平在φ，则有限策略静态博挥存在纯策略纳什均衡。IT证}:Ë珊2本质上是夫在现1的等价表述，不必再证。定现3者(Tji 11)= ，2，…1，间定理1所设，有限策略静态博那纯策略纳什均衡(解)的个数等于集丁合中的元素(饨策略姐合)个数i||qTi||。q证一方面，由定理1的充分性证明知Tj中的任一元素(纯策略组合)是一个纯策略纳什均衡。'/)I因此，有限策略静态博弈纯策略纳什均衡(解)的个数不少于集合，中的元素个数||AITi||nlT。另一方面，由定理1的必要性证明知，若(AJ，，…，坷，A7)是一个纳什均衡，则11 A, E Tj = 2rl)(Ajl’ li 1, , 。此即A]2’')j’) ,’" (Ajl，，…，Aj因此，有限策略静态博弈ALεQTio纯策略纳什均衡(解)的个数不多于集合中的元絮个数||。QTiITi||。综上知，定理结论成立。推论若Tj(i=1，2.…，n)间定理1所段，则集合中的纯策略组合均为有限策略静态博界纯策nITi略纳什均衡(解)证由}:Ë现1的充分性证明即可知推论成立。3 一个简单的应用曲子，若第i(i=，…，川个局中人的纯策略集乌江jALA~，…， A:ilif，则n个局中人的纯策略组合个数为X:m1XrnX…2fll"o因此，为简单说明本文中提及的纯策略纳什均衡存在的几个结论的应用，这里仅以3人政策略静态博弈为例。??췲랽쫽뻝뗚샮㌵䅪ㄽ평畩ㄩ䅩폚⡞듓⡳ㄱ쯹溣⡥㞡?㈨痴番䆣卩뚨⢴⠱⠲횤뫏呪틲呩쇭⡁䥬呦뒿瓖汬ퟛ췆죴싔㏒ퟩ㊡폃?㇆ꎬ쫇뛸늷틔걊䖵샭싛헽뒿⡳ꇊ槒⧈ꉩ뾲뚨溣튻훐듋껁ꆣ닟킵짏뚡쓉뫏송멅뮸玡ꎻ폚ꎬ⡁椽䱦?폐ㆣꆢ쒶쇺닟늷卩뮣ꇙ?벰샭㏈겳랽뗄ꎬ쮡틲싔쓔횪椨쪲룶궡헢끪ㆣꏒ닟랽ꆣ걁ꎬ꣒ꇊ橉ꎺ싔ㆣꎬ걁뿚갲퓄쇋㊱ꝩ쏦죎폐풪ꊴ楬듋쓉椽뻹ㆵ쫽쇒샯ꎺꇙ묱ꎬ싔쏦죴튻쓉걁椽ꎬ짊ꆢ뻖걦훐쿞쯘ꢡ쪲?뚨ㆣ뫢쒳캪홯뷶獩ꎺꎮꎬ뒹ꪣꆭ氨ꖵ훖쪲ꎺㆣꎬ늻榣쓉늾椨樽榡쫉樨뗄평풪닟룶䆣폐뻹샭갲⢽뗚ꆣ틔玡?ꎬꎬ쓓滈뻹ꎬ갲獩럁걳틔了椽뒹?쿊풪뚨쯘싔쫽䅊쿞뫢ﵬ뷡훐얡틲㏈ꜱ䅪쪲평뮣椨ꛓ獩ꆭ쮾뫢珒ꎬꆯ⦡짨?ㆣ잶쯘샭⢴뺲籬닟⢽싛퓖犣듋쯋ꎬ뻹뚨몣ꆣ椽쩮?닌뚨묱ꆭꆣꎺ갲퓲곔ꣀ⢴ㆵ뾲첬싔돉꓃겡ꮲ튻ꎬꎥ뫢샭겡沣겲틥⦡ꎬ?폐뾲쒳?늩뺲뗄솢温송캪ㄽ䅚꧞폐?ꆱ쩔卩뗄퓅ꆭ쿞탏?퓗?ㆵ궣첬룶ꆣ춬뒿갲녺볲풾䆣ꆭ쒴⡁?ꎺ樨椨킱ꎬ닟?뗈훝퓗훐뒿늩쫽짖떥닌⬱뚨쒱걁뾲玲玡듥싔?볛⧍퓖켩닟뮣?늻샭쮵겲檡⤽틥?娩ꆭꎬ?뜱꺡呩⧍뺲풾뇭겶켩꓃쫇싔뛠㇋웂쏷꧞몣ꎣ⡁횪ꇊ퓄ꎬꮣ⡳겶첬닌쫶ꣀ룶튻쓉폚柳?놾쓎ꆭ짊䆣걳檡ꎺ늷ꣀ늩겲ꎬ쫽ꪣ룶쪲퓖呩벯직컄ꫀ겡늾몣ꆧㆣ?꧞늻쯹汼걮뒿뻹뫏곔ꊡ훐ﶡꎣ⡁꓃⡪ꎬ궣了걳ꆣ㋳쯹늻쒴뇘짨溶닟뫢?쳡檡㴱⦸걁?⥣짨듦퓙ꎬꆴ싔⢽꾺벰ꎻꎣꪣꎬ呩ꆣ퓚?횤폐ꢡ쓉콮뗄뽩ꎺ娩?ꎬꎺ걁뒿뾲ꆣ쿞?쪲뗄곈㊣뚡훖튻퓅椽닟?뻹룶ꇊꎬ?ꎻ겡탈킱権ㆣ싔퓄뫢쫽훐ꆭꎺ䅪궣?쮵갲쓉짊뺲ꆣ늻뗄ꎬ늷ꆣ곒쒴?ꎬ쪲늾첬짙뒿獈ꆭ䅪뻹了늩폚ꎬ퐩닟뾲ㆣꎬ뫢?벯싔ꎺ䆣??뛹ꆣ?뒿뫏ퟩ듦⦡䇖뮣풼걁닟?뫏퓚쩔묩몣꽓싔뻹뗄ꋦ榣쫇쓉겡캪樽벸쪲룶걩폐궣筁⬱뻹쿞뷡㴱쿞걁ꎻ뫢닟싛ꎬ닟檣⦡⢽싔뗄㊣싔몣뺲䅩펦뗄첬?겡뺲갩ꎬ룶늩궣첬쫇ꆭ쫽?걮늩튻ꎬ뗈뒿?폚룶닟䅬벯뗄쓉橽튻쪲ꎬ룶뻹퓲뒿뫢ꎬ닟ꎬ싔퓲룶쓉뻖쪲훐뻹죋뫢뗄⢽뒿닟ꆣ싔
运萍与管理2004年第13卷36 设周中人1，2，3分别取纯策略5==，5IBI,B2f,5lC，.C2fo第i(i1，)个11223 间中人关于纯策略组合的效用假U(S)分别出表l中三种不同情况给定。i袋1静态博弈1、able1 Stat Game βC,C) ) (AIC) (!\2112C\) (AB(!\ 11l, ( 1) (!\,1l,C) (.115,C) (All,(!\dlIC,) 1I2212222~飞阔飞被叶'人\川卢何i习、飞呻1之2 UH 7 9 。3 11 5 4 1 (1 ) U7 15 b 13 。9 11 8 2 U1 5 13 11 3 9 b 7 12 UH 9 7 b 3 11 5 4 1 (lJ) υ2 13 6 11 8 7 15 b U) 5 13 11 3 5 13 7 12 U8 7 9 6 11 5 4 1 Clll) U, 13 。9 1l 8 7 15 6 U) 9 b 11 3 5 13 7 12 下回分别讨论我1中(1 )、(IJ )、(IJ[ )3个静态博弈纯策略纳什均衡的存在性和相应的纯策略纳什均衡(解)。( 1 )由于T1() I(AJ，BJ，CI)!.TJ(Bl，C2)坦1(，C))j212丁I(H，C)==!(A,H,C) f，丁1(B, C) = 1( A l’B 2’ C) ) 21121222所以T= U T(且.C;) 1 1(B;. C,)ESx"3 -也Jl= I(A B, C), (A, H" C), (A, B C), (A, B C)1 1112z121122由于丁2(A，C\)口I(A\，B,. C)1, T(A, C)== I(A, B2’ C)1 1121212’1:(A, C)立I(A，B2’ C1)1, 1’(A, C)= I(A B]. C)1 221222222所以1、2口U1'~(A;， C;) w()岳HJ×33-，I(A, Hl’ C), (A, 8, C),(A, B2’ C), (A, B, C)1 11122212J2同理可得:川口川，JSJ24271(A，，Hl)工I(A\，H,. C), (.4., BI’ C)，(A，β2' C), (A, H2’ C)1 2211122由于Tn ’1’2 n ’1’3 ==φ，所以(1 )偷走的静态博弈元纯策略纳什均衡。1( 11 )周中人1与2的效用值未发生变化，放'1'1与几同(1 )中…致。由于’1’(A，β1)= I(A,H,C)1, ’1’(A B)= I(A B C\)I jj31 231212T(A,13) I(A, Hl. C)1.丁、3(A•B)口I(A•B C)1 3212222222所以'几U'1'(A;.β;) 3{.\. I1Jn::-:-;t ":.)2 =1(A1, 1-3,. C), (A, H C), (八2，13，C), (A, 8, C)1 21211z222由于??췲랽쫽뻝㌶퓋돯폫맜샭㈰짨㉽뻖뇭呡?䝡탄⡁㈱㉃啉⠱ㄳ⢢唲ꆧ쿂뫢⣉呉㞡쯹쇋ㆡ㊣䈲㉻䦣춬평渨㈲熸ꎬꇶꇖꇛ뎸뛟폚ꆢ뚡却?ㄳ汬ㅬ䩼䩻⡁㉃㉂㈸ꎯㆡ汬ㄱ扬牮汪?㈩ꈳꎬ䪡ㆾ慴ㄳ〴켩틔ꈲ걃沣㊣⡁걂샭폚⢡ㅃ求ㄩ䥂㈩䥃㉂㉃䲣훐?ㄵㄲ쏦⢽ꆢꈳ䄱볈뻖ꎬ뷭⡂ꈱ?楣筬ㄱㄲ啬唳ꆢꊣ䲣꼲닌?ꆢ㈩䤩汃ㄩ꽌쓪?ㄱ평⡁䌱걂榣㊣뿉沣吱ꎣㆣꆾꆰ걌죋?럖㈨㶴뻖ꎬ㈩훐匲겲?ㄳㆣ⡂ꆯㄱ?ㄲ뗚폚㵻⦣㊣ㆣ걂걃뗃꺡ꎬ?맘꧞뇰ꆣ䄱犢㎡릣훐䈱걃䨩죋㵻ꏜ걃㊣ㄳ갨ㆣ㈩ꎺ沣ㄩ걂ꌩ氧⡁?폚쳖ꎬ곋죋⤽㈩뻭䄱㈩ꎬ喡䌲ㆣ䉬ꆢㄩ걃ꎣ뒿싛䌱戮㇓笨綣?ꎬㄩ⡁㈩㵻쪣⦣갲ꎬꆪ㵻ㄩ닟뇭⤽꺡먨퐨䄱갷䈲ꎬ㊣ㆣ⡁겣갨ꎬ䩂澡⡁㵻싔㇖?걂짏뗄∳꺡䆡갱ꎣꆣ㎷㉽?ㆣ⡁䌲㊣ꎣ뾣㌲ퟩ퀨⦸킧䈱?걃겣횱ꎬ뫏䤩걂ㆣ껤ꎮ폃㊣ㄩ곁䌲뗄ꆢꢵ횵䌲匳ㆣ걂ꎬꆣ쮡?킧⡉쒾캴⥽㈩ꆴ㵻걃㊣⡁꼳폃䤩ꆣ紲닌랢ꎬ㵴㊣⡁뾲捬ㄩ걃횵ꆢ겲짺吳⡁걂榣?ꎬ暣ㄩꎮꆣ喣ꆣ⡛ꆿ㊣꧞뇤⡁걂푓挲갷綣ꎬ걃갨䥉㞡ꆣ쓎뮯ㆣ氽綡ꆯ걔䌲㈩?猩⤳?ꎬ걂ꈲꎬ?筁ꎵ氨ㄨ럖룶뾲맊㈩ㆣ?뇰뺲䉬䈲⡁ꎮ?뚡㵻평첬퓄泓⡁걁⡩ꎬ暣ㆡ뇭늩짊ㆣ㵬䌲泖?걇ꈳ늾ꆢ걂ꎬ⤽탈뒿了㋍㊣㊣笨?⡁닟갨걃갳䄲䅬횲싔榣?䤩ㄩ⦸ꎬ믍쓉훐?걂?䈱䈲곇쪲ꆫ뻹ꎬ훂뫢ꆣ䌲?뗄⥽ꢡ듦?퓚탔뫍쿠펦뗄뒿닟싔쓉쪲뻹
第l期李正龙:一种n人静态博.1f-纯策略纳什均衡存在性在IJ别法37 丁l门1、2n ’1’) 1 ( A 2’ H l’ C 2) I 所以.( 11 )始定的静态博弈存在唯一的纯策略纳什均衡(解)(A•屿.C) 22( 111 )局中人l与2的效用值未发生变化，故T]与几间(1 )中一致。由于T与(A•B) I(A HI’ C()I T(A\, H) l(A\. H2’ ()1 111321川(A2. H J ) I (A 2. H 1. C川、.-T~(A2'Hz) 1(A, H ()1 2222所以j川口问JJV勺T，(A，Hj) lCA(, H(, (), (A(, H2’ C),(A, H\, C), (A, H2’ C)1 112222由于丁l门1、2门1、!(A•Hl’ C、1), (A 2. Hl ’ C) I 12所以，( 111 )给定的静态博拜存在两个纯策略纳什均衡(解):(A，队，C)与(A，屿，() 1122参考文献[1] (尖))在V、Ii阶i'!!H萨尔!除(将).bU)j( 1手)简略~IHn燃J\'l[M].~t);( :11年占Ilíi济'tfl扬大学!l11版社.2000[2]学jEJè.j()(人I(fl:俗仰w纯;在附纳什均仰li{7-1En判~JiJ[JJ . )也川敝学IJ讨'31费史学学拟.(1) :45 -50 [3] J)cbrcu. D八SocialEquilibrium Exislclltc Thωrcm[j J. l’rocccdings of thc Nlltional A adcmy of Sciencc. : 886 893 [4] 1~tff:ì四.协部ri;lJ{，j息!'?济学['，悔:1:1f!j人民11\1扳机.J-，向:cq)H~叭.1997??췲랽쫽뻝뗚샮튻㌷ꎬ溣㊣䪣쯹窣⠱평ㆡㆣ沣㜢?㵻닎ꆾ嬲䤩厡䖡䕸㝉漨乡䅣潦卣嬴㞡沣?빬楳≴瑩楥ꎬꈲㅝ巀㍝흩❨慤暡걂巕泆겡걃폚ꈳ겣㌨ꎬ⡁뾼헽훖틔ㄱ畩瑥桥潮湣ꆢ꽬⢻ㄩ慬捯敭ꈳ걂꽬汩湣慬斣엎?뮡㈩ㆣ⡁걪䅬沣檡㊣꼳컄ㄽ䦣换牥쇺滈ꎬ⦾扲?갱⡁㵻沣곓닋뫁牏極浛㤵꼲?걃ㄩꎬ↣ꈳ㵻沣쿗ꎺ쮾ꈳ⠱훖⡉㊣궣ꎬ⡁걃炣画?㍝㈩㵻ㄩ䈲걂⡁䤩걃갳뭉껋偲꺾ꎬ닌㵻ㄩ탈䥉㢣⡁?⤽ㄩ緒㊣ꎬ㈩䧓ꯈ潣머짞䊣ꎬ겲⡁룸쬱⦸쭩捣㠶笨㵻?걂쓂튻슡↡捬갩⡁꧞뚨폫㤹?䄱⡁㊣ꓔ멪楮?ꆻ糌杳쒴뗄㊵ꎬ갨걂ꢵﯫ겲탅䈲㈲ㆣ뾲뺲쓐쒾꧞쾢ꎬ⥬걃믆쒴?첬ꟓ닌뺭⦣뾲䌱㈩볃퓄늩쏖겲겹?⥽ꎬ톧쏤퓄짊?뗎꧞쀨짊孍⡁퇳늾듦뒷쒴嶣㊣⦣了꺲了퓚ꋉ걂꺲랺?캨缾㊣?ꎣ퓀?걃튻붸퓏멬ꏍ㈩ꎺ?뗄꾣폄몣?ꍊ䩝퓅뒿겹뾲죋뷐ꎮ킱닟쪣?쏱孍돉嶣뒨絽싔걊퓄꺱쫽ꎻ?쓉ꆢ짊뇇톧냦ꆮ쪲㇓늾샱뫐檼ꎬ웋뻹了껒檣뫢㋍겾몺궼ꟑ⢽갨뷢ꍪ쏃Ʇ솪䤩⦣돒ꢣ뛾ힴ갲⡁훐먨〰䦣Ꞣㆣ튻䄱뭨갱汩훂ꎬ㔨ꎬㄩꆣ䉬ㄹꎬꎺꎬ㈰㐵㤷〰ꆪꎮ䌱ꎮ㔰ꎮ⧓?
