可逆矩阵
第二章 矩阵的运算
一、概念的引入
（或称 的逆）；
其中 为 的倒数，
则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵.
在数的运算中，当数 时，有
在矩阵的运算中，
单位阵 I 相当于数的乘法运算中的1；
那么，对于矩阵 ，
如果存在一个矩阵 ,
使得
二、逆矩阵的定义、唯一性
定义
奇异矩阵
非奇异矩阵
不可逆矩阵
可逆矩阵
请同学们自己证明
思考：如何证明下式？
三、矩阵可逆的判别定理及求法
注意：并不是任一方阵均可逆！
如何判断一个方阵是否可逆呢？
如果方阵是可逆的，如何求出它的逆呢？
利用逆矩阵的唯一性，我们有 第一种求逆矩阵的方法——待定系数法
例 设
解
设 是 的逆矩阵,
则
逆矩阵的求法一：待定系数法
又因为
所以
定义
行列式 的各个元素的代数余子式 所
构成的如下矩阵
性质
称为矩阵 的伴随矩阵.
为介绍第二种方法，首先引入伴随矩阵的概念！
证明
矩阵可逆的判别定理及求法
定理
证明
*
-
*
*
*
*
*
*
=
=
=
=
¹
=
=
¹
=
Ü
A
A
A
I
A
A
A
A
A
A
I
A
A
A
A
I
A
A
A
I
A
A
A
A
I
A
AA
1
)
(
)
(
)
(
0
)
(
0
)
(
1
，所以
所以
，
时，有
，当
又因为
，
时，有
，当
因为
例 求方阵 的逆矩阵.
解
同理可得
故
提示：方法一：待定系数法
练习题：
方法二：伴随矩阵法
推论
证明
注：
四、可逆矩阵的性质
证明
证明
证明
(5) 若 可逆，则有
注
例
提示: 思路一： 对 k 作数学归纳法.
(
)
.
,
,
0
,
1
0
k
k
A
A
I
A
A
-
-
=
=
¹
定义
时
当
另外
思路二： 利用推论，验证
练习题
请同学们思考如何证明！
例
见课本 P64-65.
五、矩阵方程
在求解矩阵方程时，一定要注意先化简方程.
标准的矩阵方程有三种形式：
其中 A , B 均为可逆阵.
矩阵方程
解
解
例
用分块法求矩阵的逆，要用待定系数法的思想!
如下面的例子：
例
六、分块求逆运算
证
结
论
例
解
例 设
解
例
从而
练习
七、小结
1. 逆矩阵的概念、唯一性及运算性质.
4. 逆矩阵的计算方法：
2. 逆矩阵 存在
3. 判断 B 是否为 A 的逆矩阵，只需验证 AB=I 和 BA=I 中的一个即可.
思考题
思考题解答
答
