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计及随机海浪波面倾角影响的船底砰击压
力概率分布#
陈震，肖熙*
基金项目：基金项目：国家自然科学基金资助项目(50709018)，高等学校博士学科点专项科研基金资助课题
(20070248105)
作者简介：陈震（1976）， 男，副教授，主要研究方向为船舶与海洋工程现代强度理论
（上海交通大学 船舶海洋与建筑工程学院，上海 200030）
摘要：计及随机海浪波面倾角的影响，研究了船舶底部砰击压力的概率分布问题。在计算船
底砰击压力时引入随机海浪的波面条件，根据海浪波面斜率和船波之间相对速度的统计特性
导出砰击压力随机变量的概率密度函数。计算结果表明，计及随机海浪波面倾角影响的概率
密度函数与试验结果更加一致。
关键词： 船舶与海洋结构物设计制造；船舶底部砰击；海浪波面斜率；相对速度；概率分
布
中图分类号：
Probability Distribution of Ship Bottom Slamming Pressure
Considering the Randomness of Wave Surface Slope
CHEN Zhen, XIAO Xi
(School of Naval Architecture, Ocean and Civil Eng., Shanghai Jiaotong Univ., Shanghai 200030,
China)
Abstract: Considering the randomness of ocean wave surface slope, the probability distribution of ship
bottom slamming is studied. The surface condition of random wave is introduced while predicting the
ship bottom slamming pressure, and also the effect of the wave surface slope on the pressure is
discussed in the paper. According to the statistics characteristics of surface slope of ocean wave and the
relative velocity of ship and wave, the probability density function of slamming pressure is deduced.
The result shows that the probability distribution considering the randomness of ocean wave surface
slope get a good agreement with the test value.
Key words: Design and Construction of Naval Architecture and Ocean Structure; slamming; surface
slope of wave; relative velocity; probability distribution
0 引言
船舶在恶劣海况中航行，当船艏运动出离水面再入水时，与波浪撞击发生船底砰击现
象。Ochi 等根据随机过程的过阈理论，提出了船舶底部砰击载荷概率预报方法，对船舶在
短期海况下砰击发生的概率、时间间隔以及压力量值等进行研究，揭示了船舶砰击的概率特
性[1,2,3]。为了比较不同条件下砰击压力的影响参数，Ochi利用Mariner船剖面分别进行了三
种类型的砰击实验[4]，包括：二维模型静水落体实验、船模静水落体实验和船模在波浪中的
适航性实验。比较实验结果发现，三种实验的砰击压力都近似正比于砰击速度的平方，但在
同样的相对速度下，船模静水落体实验的结果约为波浪中实验值的 2 倍。Ochi 认为，静水
落体实验和适航性实验之所以有如此大的差别，主要是由于包括龙骨线与水面之间的相位关
系在内的表面条件不同造成的。
本文在计算船舶砰击压力时引入随机海浪的波面倾角参数，研究了船底龙骨线与波浪
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表面关系因素对砰击压力的影响。根据海浪波面斜率和船波之间相对速度的统计特性推导砰
击压力随机变量的概率密度函数，并通过算例计算比较了是否计及波面条件影响时船艏底部
砰击压力概率密度函数与试验结果的差异。
1 问题的描述
海浪的随机性决定了船舶在海浪中发生砰击也具有随机性。研究船舶底部区域与海浪
波面之间的相对位置关系，不难发现：船舶在随机海浪中运动，每次发生砰击时砰击点处的
海浪波面倾角并非相同，船底龙骨线与波面之间的夹角与波面倾角有关。船舶发生砰击时，
船底龙骨线与波面之间的夹角具有随机性。即使两个时刻船波之间垂向相对速度相同，但是
由于砰击点位于不同波面位置，船底龙骨线与波面之间的夹角不同，砰击压力的量值大小仍
有差异。图 1和图 2分别为船底砰击发生于波谷位置和迎波面位置，两种情况垂向相对速度
相同，但是由于砰击点位于波浪的不同位置，会造成砰击压力的差异。
不计船舶运动纵摇角的影响，船底龙骨线与波面之间的夹角即为波面倾角。砰击发生
时刻，在波面法向方向的相对速度为船波之间垂向相对速度的分量，该速度分量产生砰击压
力，预报船舶底部砰击压力时应考虑船波相对速度和波面倾角两个因素。由于船舶运动和波
面倾角均是随机变化的量，砰击压力随机变量由这两个随机变量共同决定。
图 1：船底砰击发生于波谷位置
ship bottom slamming occurs at trough of wave
图 2：船底砰击发生于迎波面位置
ship bottom slamming occurs at peak of wave
2 船舶底部砰击压力概率分布研究
船底砰击压力大小近似与船波相对速度的平方成正比，在迎浪情况下，考虑海浪波面
倾角因素，船舶底部砰击压力大小为：
211 cos2 rP k V （1）
其中： 1k 为无因次形状系数，与航速和海况无关，仅是船体剖面形状（特别是 1/10 设计吃
水以下部分的船体形状有关）； rV 为船波垂向相对速度； 为波面倾角。
令： 1
1
2
k k ，则有：
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2 2cos rP k V （2）
根据海浪的随机特性和船舶在波浪中的运动规律，砰击发生时船舶底部可能位于波面的
任何位置，即船底龙骨线与波面之间的夹角在波面倾角范围内等概率取值。式（2）中， rV
和 均为随机变量，砰击压力 P 的概率特性由两个随机变量共同决定，根据波面倾角和相
对速度的概率特性可导出砰击压力 P 的概率密度函数。以下分别推导 2cos 和 2rkV 随机变
量的概率密度函数，并在此基础上导出船底砰击压力的概率密度函数。
随机变量 2rX kV 概率密度函数
船舶在迎浪中作升沉和纵摇运动，在离重心前纵向距离为 x处船体与波浪之间的垂向相
对运动 rZ 和相对速度 rV 分别为：
r G y
r G y
Z Z x
V Z x
（3）
式中： GZ 、 y 分别为船体重心处的升沉运动和纵摇；
为随机海浪的波面位移。
发生砰击时相对速度为负值，且其绝对值大于临界相对速度 *rV 。由船舶在随机波浪上
运动的统计分析可知，船波垂向相对速度 rV 满足截头瑞利分布，其概率密度函数为：
2 2
* *
2 1exp
0
r rr
r
r r r r
V VV r
V V V V V
R Rf V
其他
（4）
式中： 22
r rV V
R ， 2
rV
为相对速度方差；
相对速度平方 2rV 的概率密度函数可由随机变量函数的概率分布求得，求 X的反函数，
r Xh X V k 2*rX V （5）
则随机变量 X的概率密度函数为：
rX V
f X f h X h X
*21 1exp2
r rV V
X k
X X
R kRkX
*1 1exp
r rV V
X X
kR kR
（6）
令 1
VrkR
，上式整理得：
*
*
0
X X
X
e e X X
f X
其他
（7）
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式中： 2* *rX kV
式（7）为未计及海浪波面倾角的船底砰击压力概率密度函数。
随机变量 2cosY 概率密度函数
海浪波面倾角反映了波面的局部斜度，波面斜度并非均匀，波峰附近的斜度要比其他
处大得多。三维海浪波面斜率的统计分布通常表达为任意两个方向波面斜率的联合概率密度
函数，徐德伦[5]在 Longuet-Higgins 三维线性海浪模型的基础上导出一种沿任意两个方向波
面斜率的联合概率密度函数，并将其中作为参数的波面斜率相关矩用方向谱表示，只要给定
方向谱和组成波弥散关系就可确定这些参数。
随机海浪线性模型将海浪的波面位移表示 n 维众多随机成分波之和的形式，若干个成
分波之间是相互独立，则根据中心极限定理，波面位移服从正态分布。
根据 Longuet-Higgins三维波浪模型，波面位移随机过程可表示为：
1
, expn n n
n
t a i t
ρ k ρ （8）
式中： ,x yρ 为位置向量；
cos , sink k k 为波数向量；
n 为位于 0, 2 之间均匀分布的随机相位。
na 为振幅。
波面位移 是正态随机过程，作为波面位移线性变换的波面斜率 x 和 y 服从联合正态
分布。任意两个方向波面斜率的统计分布通常表达为沿两个方向波面斜率的联合概率密度函
数的形式，忽略非线性项，波面斜率概率密度函数表达为：
222 21, exp2 2 2
x y x y
yx
x yf
（9）
式中： x x
， y y
分别为 x、y方向的波面斜率；
2
x ， 2y 分别为 x、y方向波面斜率的方差。
根据海浪理论关于波浪破碎的几何判据[6,7]，当波面斜率 时，波浪发生破碎。
因此，实际海浪的波面斜率和波面倾角取值范围分别为：
， 6
如将 取在沿波浪主传播 x轴方向，将波浪看成二维，并且利用弥散关系 2 kg ，
由此可得出二维海浪波面斜率 x 的概率密度函数：
2 2
44
exp
22
0
x
x
x
gg
mmf
其他
（10）
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式中：g为重力加速度；
4m 为海浪频谱 S 的四阶矩。
由式（10）可导出随机变量 Y的概率密度函数，根据波面倾角与波面斜率的关系得：
2
2 2
1 1cos
1 tan 1 x
Y （11）
利用随机变量函数的分布导出 Y的概率密度函数，由式（11）求 Y的反函数：
1 1xh Y y ＝ （12）
xY
f Y f h Y h Y
2 1
1 2
42 4
11 exp
2212 1
g Yg
mm
Y
Y
2 1 2
1 2
4 424
1 exp
2 22 12 1
g g Y g
m mm Y
Y
（13）
令
2
42
g
m
＝ ，代入（13）式化简为：
整理得：
1 2
2
1 Y 1
12 1
0
Y
Y
e e
f Y Y
Y
其他
（14）
随机变量P X Y 概率密度函数
假定相对速度与波面倾角两个随机变量之间没有关联或关联度很弱，认为二者相互独
立。对于相互独立的随机变量组成的随机变量的概率密度函数为各个随机变量概率密度函数
的乘积。根据以上假设，X、Y随机变量的联合概率密度函数为：
,XY X Yf X Y f X f Y
*
1 2
2
1
12 1
X X Ye e e e
Y
Y
*
1 2
2
1
12 1
X X Ye e
Y
Y
（15）
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对于由相互独立的连续型二维随机变量 X、Y 构成的函数，其概率密度函数可由卷积
公式直接得到：
P X Yf P f X f Y
X YPf f Y dYY
X Y
Pf X f dX
X
（16）
根据（14）式、（16）式，砰击压力 P的概率密度函数为：
*1 1
2
1 exp
12 1
X
P
Pf P e dY
Y Y
Y
Y
*
1
1
2
1 exp
12 1
X Pe dY
Y
Y
Y
（17）
令： *XA e
B P ，式（16）转化为：
1 1
2
1 exp
12 1
P
Bf p A dy
y
y
y
（18）
式（18）即为考虑了随机海浪波面倾角随机性的船舶底部砰击压力的概率密度函数。
3 算例结果与分析
以 MARINER[8,9]船型为例，采用蒙特卡罗数值模拟的方法求解计及随机海浪波面倾角
影响的砰击压力概率密度函数，并与未考虑随机海浪波面倾角因素的预报方法以及测量结果
进行了比较。
船体剖面位于船艏 处，砰击压力系数 k1取 ，来自于非规则波中砰击压力与相
对速度测量值之间的回归关系。临界相对速度 *rV 取
值所对应的相对速度。两种海况下波浪和船舶运动参数见表 1。
表 1：算例样船计算参数
calculation coefficient of ship model
有义波高(m) 载况 航速(Knot)
相对运动
方差(m2)
相对速度
方差(m2/s2)
波面斜率
方差
7级严重海况 轻载 10
7级轻微海况 轻载 10
蒙特卡罗法的基本思想是：根据已知随机变量服从的统计规律产生一系列随机数序列，
利用变量之间的函数关系计算出一系列函数值样本，对函数值随机抽样的样本进行统计分
析，得出其统计特征量（期望、方差等）和概率分布。
根据式（4）和式（10）分别生成船波垂向相对速度和海浪波面斜率随机数，并由式（11）
和式（1）计算得到砰击压力数值样本，对此砰击压力样本进行统计计算分析。
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图 3和图 4分别为 7级严重和轻微海况下海浪波面倾角的统计直方图，图 5、6分别为
两种海况下砰击压力概率密度函数曲线，图中直方图为试验测量值。由图可见，低于临界压
力时，仍有一定数量的砰击压力被测量到；砰击压力较大时，截头指数分布型式与本文方法
较接近，均与试验值吻合较好；而在高于临界压力附近，截头指数分布型式明显高于试验测
量值，本文考虑波面倾角影响的概率密度函数更接近于试验值。
图 3：海浪波面倾角直方图(严重海况) 图 4：海浪波面倾角直方图(轻微海况)
histogram of wave surface slope histogram of wave surface slope
(severe sea state) (mild sea state)
图 5：砰击压力概率密度函数（严重海况） 图 6：砰击压力概率密度函数（轻微海况）
probability density function of slamming probability density function of slamming
pressure(severe sea state) pressure(mild sea state)
4 结论
本文基于海浪波面倾角的随机性，研究了随机海浪的波面条件对船舶底部砰击压力的
影响，并且根据海浪的随机性和船舶运动规律推导船舶底部砰击压力的概率密度函数，针对
本文研究内容做以下讨论：
1) 应用（1）式计算船舶底部砰击压力大小时， 1k 为无量纲压力系数，取决于船底剖面形
状，与航速和海况无关。Ochi 在分析船模静水落体实验与适航性实验砰击压力结果的
差异后，建议预报砰击压力时 1k 值应从规则波或不规则波中的模型试验求得，这隐含
意味着压力系数 1k 仍依赖于实际的波面和海况条件，将给理论预报船底砰击压力带来
不便。本文将海浪的波面条件作为独立变量分离出来，不规则波的海况因素通过该变量
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表达，压力系数 1k 只取决于船底的剖面形状，因此可根据船模静水落体试验或者相应
的理论回归公式计算得到，不再与海浪的条件有关。
2) 海浪的波面升高有两种明显不同的尺度：一是主要波面起伏，即重力波尺度，由此形成
的波面斜率称为波面斜率的宏观尺度；二是在波面升高宏观尺度之上叠加上的微观尺
度，对应波面斜率为波面斜率的微观尺度。宏观尺度的波面升高以正态分布表达，那么
作为波面升高导数的波面斜率也服从正态分布。如果叠加上微观尺度，波面升高为非正
态分布，那么波面斜率的分布也为非正态。对于服从非正态分布波面斜率，船底砰击压
力统计规律需要进一步探讨。
3) （18）式为考虑了随机海浪波面条件的船舶底部砰击压力概率密度函数，这是开展船舶
砰击压力极值预报的基础。砰击压力极值是指船舶在短期海况下航行时有限次独立观察
中出现的最大砰击压力，砰击压力极值也是随机变量，但其统计规律与砰击压力完全不
同，可由序列统计学的方法建立起二者的关系。在本文的研究基础上，可进一步开展研
究砰击压力极值的统计规律和预报方法，为船舶结构砰击加强设计提供依据。
[参考文献]
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