具有可靠性增长的指数寿命系统的 Bayes 序贯检验方法①
邢云燕，武小悦
（国防科学技术大学信息系统与管理学院，中国 长沙 410073）
摘要：针对可靠性增长下系统可靠性指标的鉴定问题，提出了一种 Bayes 序贯检验方法。该
方法建立了描述指数寿命系统失效截尾试验的可靠性增长模型，并依据产品研制过程中产生
的多阶段试验数据，给出了系统失效率验前分布的确定方法，进而构建了系统失效率统计检
验的 Bayes 序贯模型，实现了对具有可靠性增长的系统可靠性指标的假设检验。最后通过算
例对比分析，表明该方法很好地解决了小子样产品在变动统计过程中的决策问题。
关键词：可靠性增长；Bayes 方法；验前分布；序贯检验；指数寿命
中图分类号： 文献标识码：A
Bayesian Sequential Testing for Exponential Life System with
Reliability Growth
XING Yun-Yan, WU Xiao-Yue
(College of Information Systems and Management, National University of Defense Technology, Changsha 410073,
China)
Abstract: For the evaluation of system reliability index with reliability growth, a Bayesian
sequential testing method is proposed in this paper. The method develops a reliability growth
model to describe the development process of exponential life system for the failure censored
testing case, and presents a Bayesian sequential testing procedure to decide whether testing should
continue or be terminated during the development. In the Bayesian framework, we figure out a
way to determine the prior distribution based on Maximum Entropy technique, which provide
statistical analysis foundation for the system failure rate. Furthermore, the procedure for sequential
testing is derived for the system failure rate, which enables the decision to terminate or continue
development testing. Finally, a numerical example is given to illustrate the use of the proposed
model and procedure for the small sample sizes encountered in practice, and the results of
comparison analysis are shown the efficiency of the method in solving statistical decision problem
with varying population.
Key words: reliability growth; Bayesian methods; prior distribution; sequential testing;
exponential life system
1 引言
产品的研制过程通常是分阶段进行试验，对于大多数复杂系统来说，研制初期的可靠性
和性能参数难以直接达到预先的研制要求，通常要反复经历试验—分析—改进—再试验的过
程，不断暴露和消除系统的设计缺陷，从而实现可靠性增长，直到被考核的指标或性能参数
达到预先规定的研制要求[1]。因此，产品的研制过程是变动统计过程，可靠性指标随着研制
试验格局的变化而变化。
可靠性增长模型是反映系统可靠性变化规律的有效手段，也是对系统可靠性进行统计决
策分析的前提和基础。Fries 和 Sen[2, 3]针对成败型系统提出了离散可靠性增长模型。Calabria
和 Guida 等[4, 5]在 Bayes 框架下对可靠性增长模型进行了统计分析。Mazzuchi 和 Soyer[6, 7]
将 Dirichlet 分布作为验前分布对研制过程中的产品可靠性进行评估。Lesley 和 John[8, 9]等对
产品设计过程中的可靠性增长建模进行了研究并进行了对比分析。Yu 和 Tian[10]等对不完全
观测下的非齐次 Poisson 过程进行了统计分析。总体来说，这些研究主要侧重于可靠性增长
①基金项目：高等学校博士学科点专项科研基金资助项目(20094307110013)；国家自然科学基金资助项目
(70571083).
作者简介：邢云燕(1979—),女,博士生,研究方向为装备可靠性试验分析.武小悦(1963—),男,教授,博导,
研究方向为装备试验与评价.
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1
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的评估和预测，并不能对研制阶段的产品可靠性是否达到研制要求做出决策，即便考虑到产
品性能参数的统计检验，也是通过比较性能参数的估计值与研制要求，没有考虑到统计决策
的两类风险，因此只是权宜之计。鉴于武器系统具有试验成本高、样本量少的特点，我们期
望充分利用系统研制过程中的试验数据，基于变动统计分析，在两类风险的约束下，构建具
有可靠性增长的鉴定模型，从而对变总体过程中系统可靠性指标是否满足研制要求进行检
验。
本文的结构安排如下：第 2 节给出失效截尾下指数寿命系统的可靠性增长模型；第
节依据系统研制试验数据，利用可靠性增长模型，给出研制阶段失效率验前分布的确定方法；
第 节构造判断系统失效率是否满足研制要求的 Bayes 序贯检验方法；第 4 节给出一个算
例并与其他检验方法进行对比分析，以验证本文方法的有效性；最后给出结论。
2 失效截尾下的可靠性增长模型
Crow 提出的 AMSAA 模型指出：可修产品在开发期 ( ]0, t 内的失效次数 ( )K t 是具有下
述均值函数的非其次 Poisson 过程，即
( ) bE K t at=⎡ ⎤⎣ ⎦ (1)
由于系统研制过程是分阶段、分批次进行的，由(1)式可得至第 i阶段的累积试验时间 it
与至第 i阶段的累积失效次数 ( )iK t 之间的关系为
( ) bi iE K t at=⎡ ⎤⎣ ⎦ (2)
由于大多数复杂系统造价昂贵、可靠性试验具有破坏性。因此，当研制过程分阶段进行
试验时，往往预先限制各阶段可容忍的失效次数。也就是说，当每一阶段的产品失效次数达
到该阶段的失效截尾次数时，就停止试验，进行失效分析，然后改进设计，再开始新一阶段
的试验。那么，系统研制过程中各阶段的试验数据是由一组失效时间和固定失效次数组成。
因此，给出如下假设：
(1)系统研制过程分为多个试验阶段，各阶段试验相互独立；
(2)第 , 1, 2,i i = L阶段的失效截尾次数 if 已知，失效时间未知；
(3)系统失效率的可接受标准为λ%。
由此，至第 i阶段的累积失效次数 ( )iK t 为
( )
1
i
i j
j
K t f
=
= ∑ (3)
其中， jf 表示产品第 j阶段的失效次数。
由(2)和(3)式可得至第 i阶段的累积试验时间为
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( )
1
1
i b
j
j
i
f
E t
a
=
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
(4)
令
1
ba a′ = ， 1b
b
′ = ，则(4)式改写为
( ) ( ) 1
1
b
i
i j
j
E t a f
′
−
=
⎛ ⎞′= ⎜ ⎟⎝ ⎠∑ (5)
同理可得
( ) ( ) 111
1
b
i
i j
j
E t a f
′−−
−
=
⎛ ⎞′= ⎜ ⎟⎝ ⎠∑ (6)
由(5)和(6)式可得系统第 i阶段的累积试验时间为
( ) ( ) ( ) 111
1 1
b b
i i
i i i j j
j j
E t E t a f fτ
′ ′−−
−
= =
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ⎢ ⎥= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∑ ∑ (7)
由(7)式可得如下可靠性增长模型
1
1 1
i
i b b
i i
j j
j j
a f
f f
λ ′ ′−
= =
′= ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑
(8)
其中， iλ 表示系统第 i阶段的失效率。
对于(8)式，当 1b′ > 时，系统可靠性呈现增长趋势。特别地，当系统各阶段的失效次数
均为 1 时，(8)式转化为如下可靠性增长模型
( )1i bb
a
i i
λ ′′
′= − − (9)
对于模型参数 ,a b′ ′，可由极大似然函数求解估计值 ˆˆ ,a b′ ′，即
( )
1
, i i i
m
f
i
i
L a b e λτλ −
=
′ ′ =∏ (10)
其中，m表示试验阶段数， iτ 表示系统第 i阶段的累积试验时间， ( )1, 2, ,i mλ L 如(9)式所
示。
3 Bayes 序贯检验方法
在描述产品可靠性增长过程的同时，还需依据研制试验数据判断产品的可靠性指标是否
达到了规定的研制要求，从而对能否终止研制过程做出决策。研制过程中不同阶段的试验数
据是产品可靠性鉴定中验前信息的主要来源，也是最为直接和客观的验前信息。本文的目标
是期望依据产品研制过程中不同阶段的可靠性试验数据，利用上述可靠性增长模型，实现变
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总体过程中系统可靠性指标的 Bayes 统计检验。
失效率 iλ 验前分布的确定
假 设 系 统 已 进 行 了 1i − 阶 段 的 可 靠 性 试 验 ， 各 阶 段 的 试 验 数 据 为
( ) ( ) ( )( )1 1 2 2 1 1, , , , , ,i if f fτ τ τ− −L ，由(10)式可计算得到可靠性增长模型参数 ,a b′ ′的估计值
ˆˆ ,a b′ ′。当给定产品第 i阶段的失效次数 if 时，由(8)式对第 i阶段产品失效率进行预测，得到
失效率的预测值为
,0 ˆ ˆ
1
1 1
ˆˆ i
i b b
i i
j j
j j
a f
f f
λ ′ ′−
= =
′=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑
(11)
令系统第 i阶段失效率 iλ 的验前均值为
( ) ,0ˆi iE λ λ= (12)
由最大熵验前分布[1]可知，产品失效率 iλ 的验前分布可表示为
( )
0
i
i
i
i
e
e d
μλ
μλ
π λ
λ∞
= ∫ (13)
由(12)和(13)式，求解下述方程，计算待定系数μ
( ) 0 ,0
0
ˆ
i
i
i i
i i
i
e d
E
e d
μλ
μλ
λ λλ λ
λ
∞
∞= =∫∫ (14)
由(14)式求解出待定系数μ 之后， iλ 的验前分布 ( )iπ λ 也就确定了。由此可计算得到 iλ
的验前二阶矩为
( ) 22 0
0
i
i
i i
i
i
e d
E
e d
μλ
μλ
λ λλ
λ
∞
∞= ∫∫ (15)
共轭验前分布不仅便于统计计算，而且参数具有一定的工程意义。以 ( ),0 ,0,i iGa a b 作为
近似分布拟合 iλ 的验前分布 ( )iπ λ ，则要求 ( ),0 ,0,i iGa a b 与 ( )iπ λ 具有相同的一阶矩和二
阶矩。于是，由(12)和(15)式可得
( )
( ) ( )
,0
,0
,0 ,0 2
2
,0
1
i
i
i
i i
i
i
a
E
b
a a
E
b
λ
λ
⎧ =⎪⎪⎨ +⎪ =⎪⎩
(16)
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由(16)式可得
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
,0 22
,0 22
i
i
i i
i
i
i i
E
a
E E
E
b
E E
λ
λ λ
λ
λ λ
⎧ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎪ =⎪ − ⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎨⎪ =⎪ − ⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎩
(17)
由此，依据产品研制过程中前 1i − 个阶段的试验数据，利用上述可靠性增长模型(8)式，
得到系统第 i阶段失效率的验前分布为 ( ),0 ,0,i iGa a b ，其中参数 ,0 ,0,i ia b 由(17)式确定。
失效率 iλ 的 Bayes序贯检验
记
0πα 为生产方风险， 1πβ 为使用方风险，λ% 为可接受的系统失效率水平。下面研究的
问题是：在
0πα ， 1πβ 和λ% 给定的条件下，当研制过程推进到第 i阶段时，判断系统的失效
率 iλ 是否达到规定的研制要求。确切的说，就是考虑下述假设检验问题：
0 1: , :i iH Hλ λ λ λ< ≥% % (18)
令 { }0 0 iλ λΘ = < < % ， { }1 iλ λΘ = ≥ % ，则 0 1Θ ∪Θ = Θ（Θ为参数空间）， 0 1 φΘ ∩Θ =
（φ为空集）。
经试验，获取系统第 i阶段的现场试验数据为 ( ),i if τ ，则似然函数为
( )( ) ( ),
!
i i i
f
i i
i i i
i
e
L f
f
λτλττ λ
−
= (19)
利用 Bayes 定理，由 iλ 的验前分布 ( ),0 ,0,i iGa a b 和似然函数 ( )( ),i i iL f τ λ ，可得 iλ 的
后验分布为
( )( ) ( ),1 ,1, ~ ,i i i i if Ga a bπ λ τ (20)
其中， ,1 ,0i i ia a f= + ， ,1 ,0i i ib b τ= + 。
定义后验概率比为
( )
( )1
0
X d
O
X d
π λ λ
π λ λ
Θ
Θ
= ∫∫ (21)
其中， ( )Xπ λ 表示变量λ的后验分布。
由(20)和(21)式，可得 i个试验阶段结束后的后验概率比为
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,1 ,1
,1 ,1
1
1
0
i i i
i i i
a b
i i
i a b
i i
e d
O
e d
λ
λ
λ λ
λ λ
λ λ
∞ − −
− −
= ∫
∫
%
% (22)
令 ,12 i ix b λ= ，则(22)式改写为
( )
( )
( )
( )
,1
,1 ,1,1 ,1
,1,1 ,1 ,1,1
1 2 22
2 2 ,12 2
22 2 21 2 2 ,1200
1 2
2
i
i ii i
ii i ii
x
a
a a ib b
i x bb a a ia
x e dx k d K b
O
K bk dx e dx
λ λ
λλ
χ χ λ
λχ χ
+∞ +∞−−
−−
−= = =∫ ∫
∫∫
% %
%%
%
% (23)
其 中 ， ( )
,1
2
2 ia
k χ 表 示 自 由 度 为 ,12 ia 的 2χ 分 布 的 密 度 函 数 ，
( ) ( ),1,1 ,12 2 22 ,1 202 ii iba i aK b k dλλ χ χ= ∫ %% 表示服从于自由度为 ,12 ia 的 2χ 分布的变量小于 ,12 ib λ%
的概率。
引入决策阈值 iA ，给出如下判决准则：
（1）如果 i iO A≤ ，终止研制过程，采纳假设 0H ；
（2）如果 i iO A> ，采纳假设 1H ，改进系统设计，继续新阶段试验；
对于决策阈值 iA 的确定，由于在假设检验(18)下失效率的验前分布和试验样本在实际中
是动态变化的，因此决策阈值 iA 也应该随着试验样本和验前分布的变化而变化。根据 Bayes
序贯检验的思想[1]，在考虑两类风险
0 1
,π πα β 的条件下， iA 取为
1
00
iA
π
π
β
π α= − (24)
其中， ( )
0
0 i idπ π λ λΘ= ∫ 。
也就是说，对于考虑两类风险的可靠性增长下系统失效率的 Bayes 序贯检验问题，当对
第 , 1, 2,i i = L 阶段的系统失效率 iλ 进行统计决策时，首先利用已有试验数据
( ), , 1, 2, , 1j jf j iτ = −L 和可靠性增长模型(8)式获取失效率 iλ 的验前分布，然后计算后验
概率比 iO 和决策阈值 iA 。最后进行决策，如果 i iO A≤ ，终止研制试验，采纳假设 0H ；如
果 i iO A> ，采纳假设 1H ，并改进系统设计，继续新阶段试验，直至做出决策为止。
4 算例分析
某装备电子系统的研制过程已经历了 4 个试验阶段，各阶段试验数据见表 1。研制任务
书规定系统的失效率不得超过 ，生产方与使用方可承担的风险分别为 。经过对前 3
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个研制阶段试验数据的统计分析，认为系统失效率尚未满足研制要求。于是，对系统进行了
改进并进行了第 4 阶段的可靠性试验，试判断系统失效率是否满足规定的研制要求。
表 1 已有可靠性试验数据
阶段 第 i阶段失效次数 第 i阶段累积试验时间(h)
1 4 13
2 2 10
3 2 20
4 1 13
依据已有 3 阶段可靠性试验数据，由 (10)式可得模型参数的极大似然估计值为
ˆˆ , b′ ′= = 。当第 4 阶段失效截尾次数为 1 时，由(11)式可得失效率 4λ 的预测
值为 4,0ˆ λ = 。由(12)-(17)式可得 4λ 的验前分布为 ( ), ，由(19)-(24)式
可得后验概率比为 4 = ，决策阈值为 4 = 。由于 4 4 4A O B< < ，说明当前
技术状态下的系统失效率尚未达到研制要求，还需改进产品设计，继续试验。
依据已有 4 阶段可靠性试验数据，由 (10)式可得模型参数的极大似然估计值为
ˆˆ , b′ ′= = 。当第 5 阶段失效截尾次数为 1 时，由(11)式可得失效率 5λ 的预测
值为 5,0ˆ λ = 。经试验，系统第 5 阶段试验 20 个小时，失效次数为 0。由(12)-(17)式
可得 5λ 的验前分布为 ( )1,12Ga ，由(19)-(24)式可得后验概率比为 5 = ，决策阈值
为 5 = 。由于 5 5O A< ，说明当前技术状态下的系统失效率已达到研制要求，因此
可终止研制过程。
如果不考虑研制过程中各阶段试验数据的差异，按照同总体试验数据的序贯检验方法进
行决策分析。在相同的风险和假设检验下，当系统失效 9 次，累积试验时间为 76 小时，失
效率取无信息验前分布时，经计算得到后验概率比为 ，远远高于决策阈值为 。
也就是说，当把研制试验数据作为来自同一总体的数据进行决策分析时，系统失效率不满足
研制要求。
由两种方法统计鉴定结果来看，在相同的决策风险和假设检验下，本文给出的 Bayes
序贯检验方法在充分利用研制试验信息进行统计分析的同时，还考虑到试验数据之间的差异
性，即考虑到产品可靠性的增长，因此鉴定结论是合理的。
5 结束语
本文针对可靠性增长下的指数寿命系统，对系统可靠性增长过程中各试验阶段可靠性指
标是否达到研制要求的统计检验问题进行了研究。通过分析系统研制过程中可靠性水平的变
化和增长规律，建立了变动统计状态下检验系统可靠性指标的 Bayes 序贯检验模型。由于该
方法以 Bayes 理论为基础，充分利用了系统研制过程中不同阶段的试验数据，并引入了两类
风险约束下的序贯检验思想，因此有效实现了小子样条件下系统变动统计过程中的决策分
析，为武器系统可靠性指标鉴定提供了理论与方法支持。
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