X X X X n~ , , ,N( , ),
2
1 2
Y X Xi
1
n i 1
n
, X X i
1
n i 1
n
.
X i ~ N( , ) ,2 X ~ N( , n
) ,
2
W X X i
用彼得斯公式估计总体标准差
的误差分析
朱 安 远
（冶金工业部自动化研究院·北京，100071）
【摘要】本文作者独立地推导出了用彼得斯公式估计总体标准差的标准
差系数 Cn 的计算公式。根据各种估计总体标准差方法的标准差系数
Cn 的大小，我们可以分析出各种估计方法的优劣及其适用范围。
【关键词】彼得斯公式 总体标准差 标准差系数 误差分析
1 彼得斯公式及其由来
假设总体 为独立地抽自总体 X 的一个
随机样本，定义随机变量 其中
这里不妨假设 n 为大于 2 的正整数。
因 故 即 随机变
量 和随机变量 之间的相关系数为 据此其联合概
率密度就确定了。在这个基础上，我们就可求得随机变量
的概率密度为：
iV i iv vf f d( ) ( , )
=
v
v
i
i
n
2
EXP
_ ( ) ( + ) +
n ( + )
2
2
2
2
{
]2 n d
1
1
2 12 2
2
2
. ( )
( ).
.
[
}
X ~ N( , n
)
2
.
1
n
,
V X Xi i
1 1 1
2
2 2 2
2X X~ ( , ) , ~ ( , ),N N
1 2 1 2 1
2
2
2X X ~ ( , ) ,N
N( , ) , 2 1 2 1
2
2
2, ,
X 2 Y X X 1 2
E kk( ) ./Y e
2
2 2
2 2
D E( ) ( )Y Y 2 2 2
1 2 1
2
2
2, , .k
1 2X X ~
Y X 1
在上式中代入 则
在推导彼得斯公式之前，作为预备知识，我们先介绍绝对正态分布。
绝对正态分布是一种常见的不对称分布。只计大小而不计方向的随
机误差一般都服从绝对正态分布。假设
且 X1，X2 相互独立，则 即
其中 那么随机变量
的分布就是一个绝对正态分布。不难求得随机变量
的数学期望和方差分别为：
上式中
iV i
i
i
i
v v
v
v
f d
d
n
n 1
EXP
n
n 1
n
n 1
EXP
n
n 1
EXP
n
n
n 1 n
EXP
n
n 1
n
n 1
2
( ) .
. .
. . –
. .
2 2
2 2 2
2 2 2
1
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
EXP
n
n 1
~ N(0, n-1n )
2
– ,( )iv i
i
v
v
2
22
1
n
,
0
n 1
n
, ,
Y X Xi
1
n i 1
n
E E 1n
1
n E E
2(n 1)
ni 1
n
i 1
n
( )Y X X X X X Xi i i
.
n
2(n 1) 2n(n 1) i 1
n
y x xi
∴在上述结论中，令 亦即 k = 0 ,则
∴随机变量 的数学期望为：
于是用 作为标准差σ的估
计是无偏估 计。此公式就是用
于计算总体标准差σ的彼得斯 (Peters) 公
式。彼得斯（C. A. F. Peters ,1806～1880）是德国天文学家，1839～1849
年在俄国工作，主要成就是确定章动常数和恒星视差的光行差等。
在科学实验中，评定实验的准确度（Accuracy）是一个极其重要的
问题。在评定准确度的时候，一般都要计算实验的标准差。计算标准差
的方法除彼得斯法外，还有贝塞尔法、极差法、较差法、最大误差法和
最大残差法等。标准差对理论和实际应用来说都是一个很重要的指标，
它描述了随机变量的可能值与均值的疏密程度。
2 彼得斯公式的误差分析
在实验过程中，可能同时存在系统误差（Systematic Error）、随机
~ N( , ) , ~ N( , n ) , ~ N(0,
n - 1
n )
2
2
2X X X Xi i
E
n 1
n
D E
n 1
n
2(n 1)
n
n 1
n
X X
X X X X
i
i i
2
2
2
22 2 2 2 2
.
W X Xi i W X Xj j
Y X Xi
1
n i 1
n
V X Xi i
X (
W X Xi i W X Xj j
V X X X X X X
V X X X X X X
i i i n
j j j n
1
n
1
n
1 n
n
1
n
1
n
1
n
1 n
n
1
n
1 2
1 2
V Xj j
误差（Random Error）和粗大误差（Parasitic Error）。 当粗大误差被剔
除后，决定准确度的就是系统误差和随机误差。系统误差影响实验的正确
度（Correctness），随机误差影响实验的精密度（Precision）。 系统误差和
随机误差的合成结果称为综合误差 ( Composite Error )。而实验的准确度
（Accuracy）就是用综合误差来衡量的，它表征了实验结果与真值的接近
程度。
因为彼得斯公式是无偏估计 ,故不存在系统误差。下面我们重点来讨
论彼得斯公式的随机误差。由于随机变量 和
( i≠j，i & j＝1, 2, …, n）之间不是相互独立的，其相关系数不易求得，
故随机变量 的方差也不易求得。在这里我们采用下述独
特的思路来求随机变量 Y 的方差：首先求出随机变量 和
它们之间也不是相互独立的）的联合概率密度，然后求出随机变量
和 的联合概率密度，由此可求得联合数学期
望 E(Wi Wj )。根据公式 COV(Wi，Wj )＝E(Wi Wj )－E(Wi )·E(Wj )即可求得
随机变量 Wi 和 Wj 之间的协方差。在此基础上求随机变量 Y 的方差就轻
而易举了。下面我们就来逐步地作这些工作：
对于随机变量 Vi 和 Vj（i≠j，i & j＝1, 2, …, n），有
V Vi j, ~ ( , ) , ,N
n 1
n
1
n 1
0
2
1
f n
2 n 1
EXP
n
n -1
n
n 1
n
n 1
{ [ i1 2 2
1
2
1
2
2
1 2
2
2
1
1
2 1
2
( ) . .
. ,
,
,
–
]}
v vi j
i j
v
v v vi j j
v v
W V X X W V X Xi i i j j j , i j , i & j = 1, 2, , n ,
F , P , P ,
P ,
P , P ,
P , P ,
F , F , F , F ,1 1 1 1
2
i j i i j j i i j j
i i i j j j
i i j j i i j j
i i j j i i j j
i j i j i j i
w w v v
v v
v v v v
v v v v
j
( , i , j 0
故其相关系数为：
故 二维正态随机变量（Vi，
Vj）的联合概率密度为：
令 则二
维随机变量（Wi，Wj ）的联合分布函数和联合概率密度分别为：
其余地方为零)
1
2 2 2
2
1
n
1
n
n 2
1 n
n
1
n
1
n
n 1
1 n
n
1
n 1
i j
ji
i j
ji
i j
ji
i j
ji
0 0 vvji10 0 vvji1
0 0 vvji10 0 vvji1
dd,fdd,f
dd,fdd,f
vvvv
vvvv
1
1
n 1
,
E( ) .
.
n
n 2
EXP
n
2 n
EXP
n 1
2 n n 1
{
{ [ d d
j
W Wi j j
i i
j
i j
. . .
.
}
] }
1
1
2
2
0
2
2
0
2
2
( , i , j 0
其余地方为零)
在上式中代入 则
,
F ,
f , f , f , f ,
n
n 1
EXP
n
n 1
n
n 1
n
n 1
n
n 1
EXP
f j
j
j
j j j 1 j
i
i j
{
{
2
2
1 1 1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2 2
1
2
1
1
2 1
1
1
2 1
2
1
i
i
i
i i i i
j
.
. .
. .
[
]}
1
2
2
2 2
2
2
2
1
. .[
]}
n
n 1
n
n 1
n
n 1
i i
j
j
E f d d
d d
,
n
n 1
EXP
n
n 1
n
n 1
n
n 1
+
n
n 1
EXP
jW Wi j i j i
i j
i i j j
i j
i j
i j
.
. .
.
. .
{
[ ]}
{
.
200
2
1
2
1
200
2
2 1 2
2
2
2
1
2
1
1
1
2 1
2
1
1
2 1
200
2
2 1 2
2
2
2
.
[ ]}.
n
n 1
n
n 1
n
n 1
d d
i i j j
i j
d}d][{
}{
..
....
ji
j
i2
0
i
2
2
j
0
j2
2
1n2n2
1n
EXP
1n2
n
EXP
1
2n
n
E( ) .EXP .
EXP .
EXP
{
d
d d
n 1
n 1
W Wi j j
j
i
i
j
i
i
i
j
i j
2
2 2
1
2
2
1
2
2
1
0
1
2
2
0
2
2
2
2
0
2
2
2
. . .
.[ ]
[ ] }
m xj j i
n 1 n 1 n 2
n 1
n 2
,
2 2
,
E( ) .EXP .EXP
.EXP
EXP
{ d
d d
d
WW x m
x
x m
x
x m x
i j j
j
j
j
j
m
x
x
e x
2
2 2 2 2
2 2
2
1
0
2
1
2
2
0
2
2
0
2
2
1
0
2
1
2
2 2
. . .
.
. . .
[ ]
[ ] }
{. .
d d
x m xm je x. . }
2 2
令 则
又令 则
1 2 1
n 1
n
n 2
n
, ,
E( ) EXP .d dW W x xi j j j
m
j
e em m
2
2
2
1
0
2
1
2
2 2
0
2 2
. .( . ).
再令 即 则
上式中常数
又
用数学归纳法容易证明：
其 中 k = 0, 1, 2, … )
t
j
1
,
m
t tj
n 1 n 2 n 1 n 2 n n 2
,1
E( ) = EXP[
= C
2
2n n 2
n n 2
2 n - 2 n n 2
n 1
1
n n 2 d d
W W t
t
t x
x t
n
i j t e
e
t
2
0
2 2
2
2
2
2
2
2
0
2
. . . ]
. .
.
{
}
C = n n 2 d dt e et x x t
t
2
00
2 22 2. . .{ }
e
x
x
x
x
x
x
t
t t
t
2
2
2
2 2
0 0
0
1
1
n n 2 n n 2
n n 2
d d
d
=
k!
2 k!
2 2k 1 k! n n - 2
k
k 0
k
k
k 0
2k
k 2k 1
k 2k 1k 0
. .
.
.
C d=
2 2k 1 k! n n - 2
k
k 2k 1k 0
2k 3
+1
2
0
2 2. t t te
t t te2k 3+ k 1d k 1 0
2 2 2 . ! (
Y X X Wi i
1
n
1
ni 1
n
i 1
n
∴随机变量 和 的协方差为：
∴随机变量的方差为：
C
arctg
arcsin
arcsin
=
k 1
2k 1 n n - 2
2k 1 n n - 2 n n - 2
1
n n - 2 n n - 2 n n - 2
1
n -1
n n 2
n n 2 n n 2
1
n -1
n n 2
k
2k 1
k 0
k
2k 1
k 0
k
2k 1
k 0
4k 1
k 0
4k 3
k 0
2 2
1 2
1 1
1 1
1
1
1
1 1
2
3
.
.
n 1 2
E E
n 1
n
D D
n 1
n
2
W W
W W
i j
i j
2
2
.
W X Xi i W X Xj j
COV , E E . E
n 2 n n 2
n 1 n n 1
n n 2
n 1
n
n
W W W W W Wi j i j i j
2 2 1
2 1
2
2
2
2
2
arcsin
.
n
2(n 1) 2n(n 1) i 1
n
y x xi
Y X Xi
1
n i 1
n
前面已作过 n > 2 的假设，实际上经验算此公式也适合 n = 2 时的情况。
用彼得斯公式 来估计随机变量
的标准差σ是无偏估计，不存在系统误差，其随机
D D n n
D
n
D COV ,
n
n 1
n n 1 COV ,
n
n 1
n n 1
2 n 2 n n 2
n -1
n
i 1
n
2
i 1
n
2
i 1
n
i & j 1
i< j
n
2
2
2
2
2
2
Y W W
W W W
W W
i i
i i j
i j
1 1
1
2
1 2
1 2
2
2
arcsin
1 1
1
2
1
1
1
2
1
2
2
2
n 1
n n 2
n -1
2 n
n
2 n
n
n n 2 n n 2
n -1 n 1
n n 2
n -1
n 1
2 n
n
n + n n 2
n 1
, n 2
2
2
2
2
2
arcsin
arcsin
误差的标准差为 故定义其标准差系数为：
精确到小数点后六位，借助于计算机用 Excel 97 算得标准差系数 Cn 如
下面的表 1 所示。根据各种估计总体标准差方法（如贝塞尔法、极差法、较
差法、最大误差法和最大残差法等）的标准差系数 Cn 的大小，我们可以分
析出各种方法的优劣及其适用范围。
D ,Y
C
D
E n
n + n n 2
n 1
, n 2n
Y
Y
1
2
1. arcsin
n Cn n Cn n Cn n Cn
2 0. 755511 22 0. 164401 42 0. 117817 120 0. 069222
3 0. 524864 23 0. 160641 43 0. 116410 130 0. 066487
4 0. 429843 24 0. 157128 44 0. 115052 140 0. 064053
5 0. 373218 25 0. 153835 45 0. 113740 150 0. 061868
6 0. 334448 26 0. 150742 46 0. 112473 160 0. 059893
7 0. 305737 27 0. 147827 47 0. 111247 170 0. 058095
8 0. 283361 28 0. 145076 48 0. 110060 180 0. 056450
9 0. 265284 29 0. 142473 49 0. 108911 190 0. 054937
10 0. 250282 30 0. 140005 50 0. 107796 200 0. 053540
11 0. 237571 31 0. 137661 55 0. 102696 250 0. 047867
12 0. 226621 32 0. 135431 60 0. 098257 300 0. 043683
13 0. 217059 33 0. 133306 65 0. 094349 350 0. 040434
14 0. 208614 34 0. 131278 70 0. 090872 400 0. 037817
15 0. 201085 35 0. 129339 75 0. 087754 450 0. 035650
16 0. 194316 36 0. 127485 80 0. 084936 500 0. 033817
17 0. 188189 37 0. 125707 85 0. 082373 600 0. 030866
18 0. 182607 38 0. 124002 90 0. 080029 700 0. 028574
19 0. 177494 39 0. 122365 95 0. 077874 800 0. 026726
20 0. 172789 40 0. 120791 100 0. 075885 900 0. 025196
21 0. 168438 41 0. 119276 110 0. 072324 1000 0. 023902
¡ Þ 0
表 1 标 准 差 系 数 Cn 表
参 考 文 献
[1] 张世英、刘智敏 编著 ，《测量实践的数据处理》，科学出版社，1977
年 11 月（首版）。
[2] M. 费史(波兰) 著，王福保 译 ，《概率论及数理统计》， 上海科学
技术出版社，1962 年 10 月（首版）。
1990 年 03 月 21 日完成第一稿
1990 年 12 月 25 日完成第二稿
1998 年 10 月 20 日完成此定稿
The Error Analysis of a Population Standard
Deviation Estimated by Peters’ Formula
Zhu An-yuan
(Automation Research Institute of Ministry of Metallurgical Industry , Beijing , 100071)
Abstract The author has exported on his own the calculating
formula of a standard deviation coefficient Cn of a population
standard deviation estimated by Peters’ formula . It can be analysed
that various estimating methods are good ,bad and their scope of
application according to big or small of different standard deviation
coefficients Cn’s of various estimating methods .
Keywords Peters’ formula population standard deviation
standard deviation coefficient error analysis
作 者 简 介
朱安远 1964 年 10 月生于湖南省邵东县。1985 年 7 月毕业于包头钢
铁学院机电工程系工业电气自动化专业，获工学学士学位。现为冶金工业
部自动化研究院助理工程师，主要从事交直流传动及自动化工程的设计研
究工作，业余爱好数学和集邮。
说 明
本论文曾以《用彼得斯公式评定精度的误差分析》为题在中国现场统
计研究会华北协作组第四届年会（会议地点：内蒙古包头市）上宣读，获
论文证书（证书号：第 045 号，发证日期：1990 年 8 月 4 日）一本。
