第10卷第6期北京理工大学学报渊社会科学版冤年12月JOURNALOFBEIJINGINSTITUTEOFTECHNOLOGY渊SOCIALSCIENCESEDITION冤模糊环境下基于信息熵风险度量的投资组合模型姚绍文渊天津大学管理学院袁天津300072冤摘要院研究了模糊环境下的投资组合模型袁将证券的收益率描述为模糊变量袁运用信息熵度量投资风险袁分析了模糊熵度量模糊环境下的不确定性的优点袁提出了模糊环境下基于信息熵风险度量的投资组合模型袁设计了基于模糊模拟的混合智能算法对具有模糊收益的投资组合模型进行求解遥关键词院模糊变量曰模糊熵曰收益率曰投资组合曰智能算法中图分类号院C934文献标识码院A文章编号院1009-3370渊2008冤06-0059-03一尧引言定义2[10]设孜是定义在可信性空间渊专袁p渊专冤袁Cr冤上的模糊变量袁则投资组合选择就是如何选择包含多个有价证券滋渊x冤越渊2Cr{孜越x}冤噎1袁x沂R渊1冤的组合袁以符合投资者对风险和收益的权衡遥证券市称为模糊变量孜的隶属函数遥场是一个极其复杂的系统袁证券的收益和风险都是定义3[10]设孜是在{x1袁x2袁噎}上取值的离散模糊不确定的袁这就使得投资者需要在一个不确定的环变量袁则其熵定义为境下做出投资决策遥对于投资者而言,为了进行合理的投资袁就要对可能存在的风险进行分析度量袁然H[孜]越移肄S渊Cr{孜越xi}冤袁其中S渊t冤越-tlnt-渊1-t冤ln渊1-t冤后选择风险最小袁收益最大的投资组合i=1遥1952年袁渊2冤Markowitz利用组合的方差度量投资风险袁建立了著名的均值方差投资组合模型[1]袁标志着现代证券投资由模糊熵的定义可见袁模糊变量的熵只与模糊组合理论的开始遥后来袁人们又提出了不同于方差的变量所取值的可信性及所取值的个数有关袁而与模各种指标来度量风险糊变量所取的值无关遥,如半方差尧平均离差尧最大偏差尧亏损概率袁建立了各种投资组合模型袁并且这命题1[10]设孜是在{x1袁x2袁噎}上取值的离散模糊些模型是建立在概率基础上的袁将证券的收益率描变量袁则H[孜]逸0袁当且仅当孜是清晰数时等号成立袁述为随机变量袁根据历史信息获得随机收益的分即当模糊变量退化成清晰数时袁熵取最小值0袁此时布不存在不确定性遥遥然而袁由于证券市场的复杂性以及信息的缺失袁投资者往往只能根据专家的分析对未来的证券表命题2[10]设孜是在{x1袁x2袁噎袁xn}上取值的离散模现进行判断糊变量袁则H[孜]臆nln2袁当且仅当孜是等可能模糊变袁但在随机情形下很难将主观判断转化为概率遥为此袁有学者尝试把模糊理论引入到投资量时等号成立袁即当模糊变量服从等可能分布时袁熵组合中取最大值nln2袁此时不确定性最强遥袁并运用模糊集理论基于证券收益的可能性分布袁利用方差度量风险袁提出了模糊环境下的均定义4[10]设孜是连续模糊变量袁则其熵定义为+肄值方差模型[2-9]遥本文在模糊环境下袁用模糊熵来度量H[孜]越乙S渊Cr{孜越x}冤dx-肄风险袁模糊熵也是对不确定性的度量袁并建立了基于+肄模糊熵风险度量的投资组合模型遥=滋渊x冤x冤乙蓸ln滋渊x冤+渊1-滋渊冤ln渊1-滋渊x冤冤-肄2222蔀dx二渊3冤尧模糊熵风险度量及投资组合模型命题3[10]设孜是在[a袁b]上取值的连续模糊变量袁定义1[10]模糊变量是一个从可信性空间渊专袁p则0约H[孜]臆渊b-a冤ln2袁当且仅当模糊变量孜在[a袁b]渊专冤袁Cr冤到实数空间R的函数袁其中Cr是度量模糊上服从等可能分布时袁等号成立遥事件发生的可信性的测度遥命题4[10]设孜是模糊变量袁则对任意实数a和b袁收稿日期院2008-05-27基金项目院国家自然科学基金项目(70571056)曰河南省教育厅自然科学研究计划项目渊2008B110005冤作者简介院姚绍文渊1978要冤袁男袁博士研究生,河南理工大学数学与信息科学学院教师遥E-mail院shaowenyao@-59-
北京理工大学学报渊社会科学版冤2008年第6期H扇设[a孜+b]越|a|H[孜]渊4冤设min渊x1H[孜1]+x2H[孜2]+噎+xnH[孜n]冤命题设设5[10]设孜和浊是两个模糊变量袁其隶属函数设设[x1孜1+x2孜2+噎+xn孜n]逸R0分别为缮设渊7冤滋渊x冤和v渊x冤遥设设x1+x2+噎+xn=1若对坌设设x沂R袁滋渊x冤臆v渊x冤袁则H[孜]臆H[浊]渊5冤设墒xi逸0袁i越1袁2袁噎袁n从上述定义和命题可以看出袁模糊变量的熵和需要指出的是袁一般的E[x1孜1+x2孜2+噎+xn孜n]屹x1E方差一样袁也是一种距离度量袁同样具有度量风险[孜1]+噎+xnE[孜n]袁这是不同于随机情形的遥的作用遥不同的是袁方差表示的是模糊变量所取值到期望值的平均距离袁而熵表示的是模糊变量的分三尧混合智能算法布与等可能分布的平均距离袁是对系统整体的一种模型渊6冤和渊7冤描述了模糊环境下的投资组合袁度量曰方差只可以刻画模糊变量的二阶矩特征袁而此模型不同于随机模型之处在于袁证券的收益率是熵可以表达多阶矩特征袁能更好的描述风险的特模糊变量袁Cr是度量模糊事件发生的可信性测度袁征曰并且方差不是单调函数袁当收益率高于期望收并且模糊变量的数学期望算子不满足线性可加性袁益率时袁仍然要对方差函数进行惩罚袁不符合投资从而增加了模型的求解难度遥由于模糊环境下的复者的心理状况曰而熵函数是单调的遥度量风险的方杂性袁获得模型渊6冤和渊7冤的解析解是困难的遥在此袁差和熵变大袁说明风险变量的风险较大曰反之亦然遥基于模糊模拟方法袁通过把模糊模拟嵌入到遗传算当证券的数目较大时袁方差度量方法的计算量非常法袁设计了求解模型渊6冤和渊7冤的一般智能算法袁算法大袁但熵度量方法计算量相对较小遥通常方差度量步骤如下院要求风险变量服从正态分布袁而熵度量方法对风险步骤0院输入参数pop_size渊种群规模冤袁Pc渊交叉变量的分布没有要求遥由此可以看出袁信息熵与方概率冤袁Pm渊变异概率冤.差具有很多类似的性质袁而且在拟合风险变量分布步骤1院产生pop_size个初始染色体C1袁噎袁时又有许多其它风险度量方法不具备的优点袁着眼Cpop_size遥在此过程中为了保证模型的可行解X=渊x1袁于系统整体的风险度量遥x2袁噎袁xn冤T满足约束条件x1+x2+噎+xn=1袁染色体C=从信息的角度来分析风险袁由于证券市场的复渊c1袁c2袁噎袁cn冤T与X越渊x1袁x2袁噎袁xn冤T的转换关系为xi越杂性袁很多信息是由投资者对证券市场的综合判断ci得出的沂[0袁1]袁i越1袁2袁噎袁n遥袁熵做为度量信息多少的指标袁如果市场可以c1+c2+噎其中袁c利用模糊+cin提供的信息多袁则信息熵小袁风险也就小袁反之亦然遥模拟检验染色体的可行性袁其中袁为了计算Cr{x1孜1+而模糊变量正是投资者对证券市场的判断的度量袁x2孜2+噎+x1孜1臆r}袁从专中随机产生兹k袁满足Cr{兹k}逸因此就可以利用模糊变量的熵度量风险遥当只选择着/2袁记vk越渊2Cr{兹k}冤噎1袁并产生孜渊兹k冤袁k越1袁2袁噎袁N袁一种证券时袁可以直接比较熵袁而实际中袁投资者为着是充分小的数袁N是充分大的数袁则Cr{x1孜1+x2孜2+噎了更好的规避风险袁往往是选择多种证券进行投资遥+xn孜n臆r}根据熵的性质袁对于多种证券的情形袁可以利用各种越1渊max{vk渣x1孜证券的熵的线性组合度量风险袁并通过调整各种证21臆k臆1渊兹k冤+x2孜2渊兹k冤+噎+xn孜n渊兹k冤臆r}N券的投资权重获得最优投资组合+min{1-v遥1臆k臆k渣x1孜1渊兹k冤+x2孜2渊兹k冤+噎+xn孜n渊兹k冤跃r}冤N设n种证券的组合X=渊x1袁x2袁噎袁xn冤T袁其收益率步骤2院计算所有染色体的目标函数值遥其中计为模糊向量孜越渊孜1袁噎袁孜n冤T袁即第i种证券的收益率算E[x1孜1+x2孜2+噎+xn孜n]越E渊f渊X袁孜冤冤的模糊模拟算法为模糊变量如下院孜i袁i越1袁2袁噎袁n则组移n合的收益为xi孜i袁i=1Step1.置姿=0袁k越1第i种证券的熵为H[孜i]袁i=1袁2袁噎袁n遥当投资者给定Step2.从专中随机产生兹k袁满足Cr{兹k}逸着/2袁可以接受的风险水平r0袁希望选择具有最大期望收记vk越渊2Cr{兹k}冤噎1袁并产生孜渊兹k冤袁k越1袁2袁K袁N袁其中袁益的投资组合时袁其数学模型表述如下袁着是充分小的数袁N是充分大的数.扇设设maxE[xStep3.令a=f渊X袁孜渊兹1冤冤夷f渊X袁孜渊兹2冤冤夷噎夷f1孜1+x2孜2+噎+xn孜n]设设设设渊X袁孜渊兹N冤冤袁1H[孜1]+x2H{孜2}+噎+xnH[孜n]臆r0缮设渊6冤设设x1+x2+噎+xn=1b=f渊X袁孜渊兹1冤冤遗f渊X袁孜渊兹2冤冤遗噎遗f设设设渊X袁孜渊兹N冤冤.墒xi逸0袁i=1袁2袁噎袁n当投资者事先确定期望收益水平R0袁希望选择Step4.在[a袁b]中随机产生r.风险水平最小的组合时袁其模型如下袁-60-
模糊环境下基于信息熵风险度量的投资组合模型步骤Step5.若r逸0袁则姿越姿+16院重复步骤2至步骤5直到满足终止条2件遥蓸max{vk渣f渊X袁孜渊兹k冤冤逸r}+min{1-v臆k渣f渊X袁孜渊兹k冤冤约r}蔀曰步骤7院将最好的染色体做为最优解袁并通过转1臆k臆N1k臆N若换得到模型的解遥r约0袁则姿越姿-12四尧结论蓸max{vk渣f渊X袁孜渊兹k冤冤臆r}+min{1-vk渣f渊X袁孜渊兹k冤冤跃r}蔀1臆k臆N1臆k臆NS本文讨论了模糊环境下的投资组合问题袁把证tep6.重复Step4袁5共N次[f渊X袁孜冤]越a遗0+b夷0+姿渊b-a冤券的收益率看作模糊变量袁描述了证券市场的复杂/N步骤3院根据目标函数值袁计算每个染色体的适性和历史信息的缺失所导致的投资风险袁利用信息应度遥其评价函数为熵度量投资组合的风险袁体现了证券市场的复杂性K袁和投资者对信息的了解程度袁建立了模糊环境下基eval渊Ci冤越琢渊1-琢冤t-1袁i越1袁2袁pop_size遥步骤4院通过旋转赌轮袁选择染色体遥于信息熵风险度量的投资组合模型袁并给出基于模步骤糊模拟的混合智能算法5院对染色体进行交叉和变异遥遥参考文献院[1][J].JournalofFinance,1952,(7):77-91.[2]TanakaH.,[J].FuzzySetsandSystems,2000,(111):387-397.[3]ParraM.,[J].EuropeanJournalofOperationalResearch,2001,(133):287-297.[4]CarlssonC.,[J].FuzzySetsandSystems,2002,(131):13-21.[5]庄新田,黄小原,卢新.证券组合的模糊优化[J].东北大学学报渊自然科学版冤,2001,22渊2冤:165-168.[6]曾建华,汪寿阳.一个基于模糊决策理论的投资组合模型[J].系统工程理论与实践,2003,(1):99-104.[7]程巧华,张博侃.模糊数在投资组合中的应用[J].苏州科技学院学报渊自然科学版冤,2006,23渊3冤:21-26.[8]邵全.模糊机会约束规划下的投资组合模型[J].数理统计与管理,2007,26渊3冤:512-517.[9]陈国华,陈收,汪寿阳.区间数模糊投资组合模型[J].系统工程,2007,25渊8冤:34-37.[10]:AnIntroductiontoitsAxiomaticFoundations,Berlin:Springer-Verlag,-wen渊SchoolofManagement,TianjinUniversity,Tianjin300072冤Abstract:,:Fuzzyvariable;Fuzzyentropy;Returnrate;Portfolioselection;Intelligentalgorithm[责任编辑院箫姚]-61-
