乘数问题的分析
王志成
内容提要：这篇文章摘自本人新近完成的《价值、利息和经济周期原理》一书，现专门发表出来供想研究这方面问题的广大网友参考。文章中涉及到了边际效用递减的问题（在书中已详细论述过），实际上以往正是因为对这一规律的不正确表达才使得在运用“理论”时出现了悖论，如果深入了解了边际以及递减的涵义那就不会犯此类错误。
关键词：乘数，悖论，边际。
一、投资乘数
乘数的概念是由卡恩提出来的，但也是凯恩斯最先比较全面地研究了其中的问题，使得这种知识成为了萨缪尓森称之为的“现代宏观经济学的一个中心概念” 。基于这种概念之上的所谓凯恩斯乘数模型不仅是凯恩斯理论的重要组成部分之一，通常也是研究宏观经济问题离不开的方法与躲不过去的问题之一。
那么，这一概念的事实依据是什么，想要解决和能解决的又是些什么问题呢？一句话，我们要思考一下其概念与事实是否一致：如果是一致的，那就可以直接抽象，抽象出的结果一般也是正确的；反之，就不能直接抽象，抽象出的结果必定存在错误。
这一问题的起因过程大致就像凯恩斯介绍的是这样的：“乘数的概念系由R·F·卡恩先生在他的论文《国内投资和失业之间的关系》中首先引入于经济理论。在该文中，他的论点来自一个基本的想法，即：如果在各种设想的情况（以及其他一些条件）下，消费倾向都具有既定的数值，如果国家的货币管理当局或其他的领导机关采取行动来刺激或阻挠投资，那么，就业量的增减会是投资量的净增减的函数。该文的目的在于建立一个一般性的原理，用以估计净投资的增量和由此而导致的总就业量的增量之间的数量关系。”
这里面提到了“消费倾向”的概念，不论“倾向”意味着什么、起因又如何，有一件是不争的事实，这就是要想消费总得要有“收入”，所以正像凯恩斯也意识到的那样，“在论述乘数之前，有必要说明边际消费倾向的概念” ，而要想理解这一概念就必须先把“收入”的概念说清楚。对于收入问题凯恩斯是这么解释的：“本书所考察的实际收入的波动是那种把不同数量的就业量（即不同数量的劳动者单位）运用于既定数量的资本设备而造成的收入波动，从而，实际收入随着所使用的劳动者单位数量的增减而增减。如果像我们一般所假设的那样，在资本设备为既定的条件下，被使用的劳动者单位的增加会导致收益递减，那末，用工资单位来衡量的收入的增加比例会大于就业量的增加比例，而就业量的增加比例又会大于以产品来衡量的（假如那是可能的话）实际收入的增加比例。然而，以产品来衡量的实际收入和以工资单位来衡量的收入却会同时增加或减少（在短期中，资本设备几乎没有变动的情况下）。由于无法对以产品来衡量的实际收入加以精确的衡量，所以，以工资单位来衡量的收入（Yw）往往被当作实际收入的变动的实用的指标。在某些场合，我们决不能忽视Yw的增加或减少的比例一般大于实际收入的增加或减少的比例这一情况；但在其他场合，它们总是同时增加或减少的事实使它们成为几乎可以相互代替的东西。”
这是可以理解的，我们不考虑产品是否适销对路，反正都卖出去了，从金额上来讲就相当于每增加一个劳动者就增加了一份应有的收入，即“实际收入随着所使用的劳动者单位数量的增减而增减”。
凯恩斯对边际消费倾向是这么解释的：“我们的一般心理规律宣称：当整个社会的实际收入增加或减少时，该社会的消费也会增加或减少，但后者的增加或减少不会像前者那样快。现在，我们一般心理规律可以被改写成为——并不是绝对准确的，而是受到限制条件的约束；这些限制条件是显而易见的，并且很容易地能以完整的形式加以说明——下列的命题，即：ΔCw和ΔYw具有相同的符号，但Yw＞Cw；在这里，Cw为用工资单位衡量的消费。这不过重复在上面第34～35页已经确定的命题。我们把dCw/dYw称为边际消费倾向。”
这也是可以理解的，虽然消费的增加或减少“不会像前者那样快”未必正确，也有可能总是相等，但Yw＞Cw在一般情况下确实成立，用“边际”消费倾向反映这种情况并没有什么不可。不过关键在于，凯恩斯得出了这样的结论：“这一变量是相当重要的，因为，它可以告诉我们，下一次产量的增加将如何在消费和投资之间进行分割。由于ΔYw = ΔCw＋ΔIw，在这 里，ΔCw和ΔIw依次为消费和投资的增量；所以，我们可以得到ΔYw = kΔIw，在这里1－1/k即等于边际消费倾向。”
我们用MPC表示边际消费倾向，则MPC = 1－1/k，变换一下形式就能得到：k = 1/(1－MPC)。这就是所谓的乘数计算公式，用在就业方面就可以计算出收入与投资、进而是就业与投资之间的关系，用凯恩斯的话来说就是：“我们称k为投资乘数。它告诉我们：当总投资增加时，收入的增加量会等于k乘以投资的增加量。”
如果一个人的收入是Yw而又一点没花，从这个公式中只能判断增加的劳动者就他一个。如果消费倾向是4/5，这相当于占收入的80%（一个很正常的情况），即MPC = 4/5，则可以得到k = 5，相当于还能增加4倍的劳动者。这就像凯恩斯也是这么计算的道理一样：“根据以上的论述，如果社会的消费心理处于这样一种状态；在这一状态下，人们愿意消费掉（例如）其收入的9/10，那末，乘数便为10；而在不减少其他投资项目的条件下，（例如）增加公共工程所导致的总就业量便为公共工程所提供的初期就业量的10倍。”
但很明显，当政府鼓励消费，让人们的消费倾向都趋于100%时，k会趋向于无穷大，这就难以理解了。这种结果简直就像是一个悖论，其中必然存在什么问题，这就像凯恩斯十分清楚地意识到的那样：“在上面的论述中我们已经看到：边际消费倾向越大，乘数越大，从而，在定量的投资变动的情况下，就业量受到的影响也就越大。这似乎可能导致一个令人感到疑难的结论，认为：储蓄仅占有收入的微小部分的贫穷社会却比储蓄占有较大收入比例的社会富裕（从而乘数的数值较小）更容易具有猛烈的经济波动。”
对此凯恩斯是这么解释的：“这一结论忽视了边际消费倾向的作用和平均消费倾向的作用之间的区别。虽然对一定量的投资变动的比例，高数值的边际消费倾向会引起较大的成比例的影响，然而，如果平均消费倾向也具有较高值，那么，在绝对量上的影响还是微小的。这可以用下列的数字例子加以说明。”
这么解释就显得很奇怪，为什么“平均消费倾向也具有较高值”而“在绝对量上的影响还是微小的”，不知当平均消费倾向很低时会有什么不同的结果；如果结果相同或是相反，那与边际消费倾向的大小又有什么规律可寻，只能得出与此无关或负相关的结论。为此我们需要分析一下凯恩斯所举的例子，看看其中的数据到底都代表着什么意思并且是怎么计算与分析的。
凯恩斯举的例子是这样的：“假设一个社会的消费倾向的具体内容为：只要该社会的实际收入不超过在现有的资本设备的条件下雇用500万人所得到的产量，它消费掉其收入的全部；对于进一步增雇的10万人的产量，它消费掉其收入的99%；对于再进一步增雇的10万人的产量，它消费掉其收入的98%；对于第三次增雇的10万人，则为97%；以此类推。同时，雇用1000万人代表充分就业。根据这些假设条件，当5000000＋n×100000人被雇用时，此时的乘数的数值为100/n，而投资占国民收入的百分比为n(n＋1)/2·(50＋n)%。”
乘数值为什么是100/n，高鸿业对此作了注释，因为边际消费倾向 = [(100－n)/100]×10万/10万 = (100－n)/100，所以可以得到乘数k = 100/n。 但要注意，这纯粹是边际消费倾向的变化情况，与整体的消费倾向并不一定相同。在投资占国民收入百分比的计算公式n(n＋1)/2·(50＋n)%中要注意的是：n是从1开始到第n项的自然数，所代表是边际消费倾向每次按边际消费倾向1%的变化率变化的数值。
我们要提的问题是，消费倾向为什么要由100%到50%逐渐递减呢，这就是所谓的“边际递减规律”吗？因为很显然，既然是假设，每雇用10万人其消费倾向一直都保持在其平均数75%或更高、更低一些即某一固定值并非不可能，这样边际消费倾向就可能是一确定数比如75%了。如果不管前面的每10万人的消费倾向如何，反正最后的那10万人的消费倾向是99%甚至是100%，那么将怎样计算边际消费倾向，99%或100%就代表了所有被雇者的边际消费倾向了吗？我们仍以10万人为一个人数递增单位，但其消费倾向呈99%、79%、98%、89%、99%、…… 、50%这种毫无规则的排列（也许只是中间各项不同甚至每一项都不同），怎么能证明这是不现实的或者说是不可能的？从理论的研究角度来讲，这反倒是最现实或最有可能出现的情况，对这种情况不能处理那所谓的乘数理论必然要受到某种程度的限制。再者，要是非得符合所谓“递减”的条件的话，那么像%、%、%、…… 、%（n = 50）即按1‰递减（而且还未必从100开始）这是不是也是递减，我们有什么理由或根据什么原则判定每次都非得递减“1”即1%才是真正的“递减”？
另外我们还可以这么思考，在雇用过程中为什么要分那么多“次”呢，假设由50次变成20次、10次甚至几次就解决了就业问题，那边际消费倾向又该如何计算？
可想而知，所谓的“一次”和每次变动“1”即1%都是人为任意规定的结果，这种抽象概念与整体的事实并没有什么内在的、必然的联系。例如，我们不能说一个可切成6“块”的蛋糕一定就比可切成4“块”的蛋糕大。全部的问题就在于“块”是一个比较抽象的概念，不把“块”的意思明确了就不可能用“块”去衡量整体的大小；因为它本身的量度还没有解决，所以也就不具有普遍的标准。
由此我们可以得出结论：边际消费倾向不能代表全体人员的消费倾向，两者并没有一致的相关关系，边际消费倾向只与处在边际位置上的那些人的消费倾向直接相关，用所谓的边际消费倾向来代替全体人员的消费倾向或者说“平均消费倾向”并非总是正确，由此推出的结论自然没有什么规律可寻。要想求得全体的消费倾向就必须从全体出发以全体为一整体重新计算其消费倾向，此时的所谓边界就是以整体为边的边界即整体边界，原来的边界就自动消失而不再有任何独立的意义。
凯恩斯在所举的例子中用一些数据证明了这样的结果：“由此可见，当520万人被雇用时，乘数的数值很大，即为50，但投资仅占同期的国民收入的极小部分，即为%。结果，如果下降的比例很大，譬如说约为2/3，那么，就业量仅仅下降到510万人，即下降约为2%。另一方面，当雇用人员为900万时，此时乘数的数值相对微小，即为，但是，现在的投资却占现有收入的相当大的比重，即为9%。结果，如果投资下降2/3，那么，就业量会下降到690万人，即下降23%。在极端的场合，当投资下降到零时，就业量在前一情况的下降为4%，而在后一种情况的下降为44%。”
我们把例子中的数据略改一下，改成每雇用10万人的消费倾向还是变动1，但这是1‰（千分之一），这样就应该是：k = 1000/n，投资占国民收入的百分比为n(n＋1)/2·(50＋n)‰。此时不论雇用多少人其乘数都不会小于20，这是相当大的，问题就比较荒谬了。
其实当凯恩斯认为雇用520万人而投资下降2/3使得“就业量仅仅下降到510万人”时，就业量的增加变化是从20万人减少到了10万人，减少额是10万人，减少率是10万/20万 = 50%，而不是%，此时用整体的就业率来代替边际就业率的变化自然就把就业的变动稀释（变小）了。之所以会得出%的结果，凯恩斯正是以原有的500万人为基数计算的，等于不自觉地用整体代替了边际，这实际上是减少量的量度值。当计算雇用900万人的消费倾向时，又不自觉地用边际消费倾向代替了整体的消费倾向，使得消费倾向变大了很多；这实际上只是该边际消费倾向的数值，当然不代表整体的消费倾向。例如，当银行利率由2%提升到3%时，利率实际上是上涨了50%，但这种上涨的计算方式和结果对储户来讲很不直观，也没有更多的现实意义，储户关心的是每100元的利率上涨了多少，因此我们通常都用上涨了多少个“PLN”即百分点或基点（BP）来很清楚地表达利率的变动情况，此时我们就不能简单地用利率上涨了50%代表利率上涨了1个百分点。反之，当利率上涨了1个百分点时，我们也不能简单地推断利率一定上涨了50%。至于到底上涨了多少，这还要看原来的利率究竟是多少。
但有一个事实很容易理解，还以利率的变动为例，当利率由最初的2%以每次增加1个百分点的方式向上调整，一开始的上涨率是50%，此后会变成33%、25%、20%、17%、…… ，即以公式1/(2＋n－1)%计算的上涨结果向下变动，这就是所谓的“边际效用”递减，也就是说每上涨1个百分点其对整个利率上涨的贡献程度或增加率即我们所说的价值会越来越小。可任何一个人都能理解，此时整个利率还是随着每次调整1个百分点的方式连续地上涨着（增加着）。不过当我们回过头来想要从上涨次数和最后一次利率的上涨率之间的关系分析出利率到底上涨到什么数值时就会发现，如果不把最初的利率即公式中的“2”（2%）确定下来，“边际效用”与n之间的关系就无法确定。我们把计算利率上涨率的公式都用符号表示出来就可以得到这样的式子：利率上涨率 = 百分点/(基数＋n－百分点)。从中不难看出，这有四个变量，只有在百分点、基数、n的单位都相同并且就用这一单位作为初始值和变动值时才能把三个变量合成一个变量；而这只可在抽象的情况下才能完成，一旦运用到现实中就行不通了。比如，当百分点与基数相同时，基数－百分点 = 0，基数这一项就可以消除，如果百分点与基数都是1，百分点与n的比值即百分点/n的值就完全可以用n来代表；利率上涨数 = 1/n ，n = 1/利率上涨率。但要是百分点与基数不同，则基数这一项就无论如何也消不掉。即便是百分点与基数相同，可要它们不是选择1而是同时选择2、3、4、5等等其它数字变化时，利率上涨率与n之间的关系就很不确定。比如当初始的利率是4%时，我们每次上涨2个百分点仍可以保持与原来的利率上涨率相同的变化，但同样上涨到第n次的实际利率就完全不同。
在凯恩斯所举的例子中，每增加10万人的就业量都会带来的对整个就业者的消费倾向的改变，这种改变确实无须严格规定每次非得增加一定的人数和以某种有规则的边际消费倾向变化为前提，是多少就把数值以加权平均的方式累加进去多少就可以了；只是出于可比性的理论研究，其数值变化越有规律就越容易理解。随着不断地累加，在任何一个边际处都会得到一个整体的“边际”消费倾向。但就像利率的不断上涨会对整个利率上涨的贡献程度或增加率越来越小的道理一样，越是后面的就业者其边际消费倾向对整体的影响程度会越小。因为其权重变小了，而其边际消费倾向的变化范围从0～100%也是有限度的，所以越是后面的就业者其边际消费倾向的影响程度就越有限，即使边际消费倾向是100%也不会对整体的消费倾向数值造成太大的改变。这才是有关就业的边际消费倾向递减规律，而这恰巧与所谓最外边的“边际”中的就业人数和其消费倾向的数据没有什么直接的关系。例如，当雇用到990万人时的消费倾向是MPC′，最后10万人的消费倾向是MPC″，则整个1000万人的消费倾向应该是：MPC = (990万·MPC′＋10万·MPC″)/ (990万＋10万)。因为MPC″的最大值是1，MPC′也不应该比1小很多，所以MPC″对MPC的影响也就百分之几。这种影响度是很小的，由此可以推断由边际消费倾向计算出的乘数不是整个就业者的就业“乘数”，因此也就不会起到成倍的作用。
我们可以仅局限于凯恩斯的想法和所给出的一些条件来重新推导一下所谓的乘数的公式，看看其原本的形式到底应该是怎样的。
设初始的收入、消费、投资分别是Yw0、Cw0、Iw0，则根据凯恩斯的理论其三者的关系为：Yw0 = Cw0＋Iw0。设每次增加雇用人数增加的收入、消费、投资分别是ΔYw、ΔCw、ΔIw，则到第n次的总的收入、消费、投资分别是：
Ywn = Yw0＋n·ΔYw，
Cwn = Cw0＋n·ΔCw，
Iwn = Iw0＋n·ΔIw。
设ΔYwn、ΔCwn、ΔIwn为每次增加雇用人数后增加的总的收入、消费、投资的变化，则可以得到：
ΔYwn = n·ΔYw，
ΔCwn = n·ΔCw，
ΔIwn = n·ΔIw。
此时因为Ywn = Cwn＋Iwn仍成立，所以可以得到：Yw0＋n·ΔYw = Cw0＋n·ΔCw＋Iw0＋n·ΔIw，即
ΔYw = ΔCw＋ΔIw。
两边都除以ΔYwn就可以得到：ΔYw/ΔYwn = ΔCw/ΔYwn＋ΔIw/ΔYwn，即ΔCw/ΔYwn = (1/n)－1/(ΔYwn/ΔIw)。
设MPCn = ΔCw/ΔYwn，MPCn为边际消费变化对包括“边际”在内的整体的收入变化的整体边际消费倾向，则可以得到：
MPCn = ΔCw/n·ΔYw。
再设MPC = ΔCw/ΔYw，MPC为边际上的消费倾向并基本固定不变，则可以得到：
MPCn = MPC/n。
再设ΔYw/ΔIwn = kn，kn为边际收入变化与包括“边际”在内的整体投资变化的比率，则可以得到：kn = ΔYw/n·ΔIw。令ΔYw/ΔIw = k，k为边际收入变化与边际投资变化的比率即边际乘数，则可以得到：
kn = k/n。
由ΔYw/ΔIwn = kn可以得到ΔYwn/ΔIw = n2·kn，于是可以得到kn与MPCn和MPC的关系式为：MPCn = (1/n)－1/n2·kn，即
kn = 1/ n2·[(1/n)－MPCn]
= 1/n·(1－MPC)。
当边际上的消费倾向MPC很大甚至为100%时，随着n的增加kn的数值自然会减小，所以kn的数值总不会很大；此时k虽然很大但也是一个定数，所以随着n的增加kn的数值也会趋向减小。从公式kn = 1/n·(1－MPC)中可以看出，当MPC为100%时，kn值好像会变成无穷大，此时考虑一下n在其中的作用就不会这么认为了，即相对来讲n将先倾向于无穷大使得kn值等于零。谬误被消除了，而这是原公式怎么也做不到的。
我们可以把投资与收入的关系推导出来，以便更清楚地看出其中的变化规律。
因为ΔIwn/ΔYw = n·ΔIw/ΔYw，所以可以得到：
ΔIw/ΔYw = ΔIwn/n·ΔYw
= 1/n·kn
= 1－MPC。
又因为Iwn = Iw0＋n·ΔIw，Ywn = Yw0＋n·ΔYw，我们设Iw0是ΔIw的b倍，Yw0是ΔYw的a倍，则可以得到：
Iwn/Ywn = (b＋n)·ΔIw/(a＋n)·ΔYw
= [(b＋n)/(a＋n)]·(1－MPC)。
在一般情况下，一个经济体的发展初期b和a的差距不会差很大，倒是随着人口的增长其就业人数会不断增加，假设一个有着500万就业者的国家在50年内就业者的人数翻了一倍，这就相当于平均每年要增加10万人就业并要用50年即n = 50次来实现这一目标，也就是说以一个最为合理的增长量来计算所要经历的“次数”总是很大的。由此我们可以把(b＋n)/ (a＋n)基本上看成等于1，这样就能得到一个近似的结果：
Iwn/Ywn = (1－MPC)。
这一结果表明投资与国民收入之比只与边际上的消费倾向有关，这一消费倾向也代表了整体的平均消费倾向，而不仅是最“外边”的所谓边际消费倾向，并且随着消费倾向的增加投资占比越小，而且只要消费倾向稳定其比值就会基本不变。例如，当MPC = 75%时（凯恩斯举的例子中的平均数），Iwn/Ywn = 25%，k = ΔYw/ΔIw = 4；如果MPC = 65%，k ≈ 3。
在这里，即在现实的经济中，我们不能任意地把关系到整体的MPC假设得很大甚至为100%，真要是这样那就意味着这一经济体的积累程度非常小。如果其生产能力又很低，则意味着没有一点节余；此时的杠杆效应也许会无比巨大，但可惜的是谁的手里也没有“杠杆”即没钱（剩余物品）再投资。不过还有一种很现实的情况，如果其生产能力很高，这正说明只要再积累收入的一小部分就能起到“杠杆”即投资的作用，相对来讲这应该是一件好事，发达国家的消费倾向很高反映出的就是这种道理。因此可以说，为了进行再投资其初期的消费倾向就要适当地降低，这就是所谓的资本是节约的结果。随着投入的不断增加，当生产发展到一定水平时，消费倾向会自动提高，即资本也是生产出来的，可以消费的物品也就更多。这也证明了这样的道理：节约从表明上看好像影响了消费，想要节约本身也比较痛苦，但从长远来考虑节约是合算的；这可以促进经济的发展，到时想要消费和能够实现的消费都会变得更多。只是当生活水平已经提高后，我们回过头来再以过去的标准来要求人们“节约”那就有背初衷；此时我们更要强调的是不要浪费，用相对节约来保持节约的精神。
总之，所谓的乘数绝不会有那么大的杠杆效应，这就像凯恩斯已经看到但又有些不理解的那样：“据我所知，以我们的目的而言，最好的统计数字是库茨涅兹为美国所计算的数字，虽然这些数字还很不精确。抛开这些不精确之处不谈，从库茨涅兹的包括国民收入在内的估计数字中所得到的投资乘数比我所期望的数值要低，也比我所期望的较为稳定。如果孤立地考察单个年份，其数字有着大到不合情理的变化。但是，如果把两年的数字编成一组，那么，由此而得到的乘数数值似乎小于 3，并且很可能稳定在左右。这意味着边际消费倾向不至于超过60%到70%——该数值对繁荣时期而言是很有可能的，但按照我的判断，以萧条时期而论，该数值却低到难以令人置信。”
从MPCn与MPC的关系（MPCn = MPC/n）和kn与k的关系（kn = k/n）中可以看出，当把边际上的消费倾向MPC看成是整体边际消费倾向MPCn时，这就把MPCn的作用放大了，kn的数值自然会很大；同时，当把k看成是kn时，这就把kn的数值又放大了。当需要把MPC变小时，因为MPCn与n有关，其数值恰巧与边际消费倾向中的自然变化的“n”直接相关，所以当边际消费倾向递减时就正好等于公式kn = k/n中n的变化。但要是消费倾向是固定不变的，这是再正常不过的事实，没谁敢保证越是后被雇用的人（往往是穷人）其消费倾向反而会越小，或者是按1%的关系递减，则用原有公式根本就没法计算，也就证明不出想要的结论。这里的问题正是出在了整体边际消费倾向MPCn不等于边际上的消费倾向MPC，kn也不等于k，不经过转换直接使用必然要出现悖论。
当然，在现实生产中，特别是有直接关系的生产过程，其投资之间确实存在着暂时的乘数效应。例如，当我们生产衣服、钻石这类纯消费品时，一般是不会用到这类物品本身的（工作服的消耗可以忽略不计）。还有一类像粮食、电力之类的物品的生产，虽然会用到一些，但用到的比例很少，也相对固定，甚至我们都可以认为粮食生产与种子生产是两回事。但有相当大的一类具有投资性质的物品的生产情况就比较不同，增加这类物品的生产会用到很大一部分这类物品的本身。比如，随着房地产需求的增加，当市场中的钢材供不应求时，钢铁厂想要通过扩建或者是新建厂房来增加生产，这本身就要用到相当数量的钢材。假设按年计算要用到原产量的10%，结果这就在无形中多增加出了10%的需求量，为了生产这10%的需求量，势必还要多建一定比例的厂房，结果又会造成一定比例的对钢材的需求，最终像是形成了一个接近于10/9的暂时的乘数。为什么说是暂时的，因为一旦扩建或新建的钢铁厂建好了，它在继续生产钢铁的过程中就基本不会再用到钢铁了，如果按两年、三年等多年来计算，原来增加出的10%的增加量就要被平均掉，乘数也就不再是10/9，所以这一乘数是暂时的。类似的还有像建水泥厂的过程，建水泥厂本身也要用到相当数量的水泥，结果同样会产生出一个扩大了的对该物品需求的暂时的乘数效应。而且关键的问题还在于，建水泥厂本身还要用到相当数量的钢材，这就像建钢铁厂也要用到相当数量的水泥一样，如此推算下去，以资金总额而论，不论是对钢材的需求还是对水泥的需求都不止是原来计算出的那个乘数效应。比如像对钢材需求的暂时乘数直接计算出来的10/9，综合在一起计算出来的就有可能是、2、甚至会更大。这样逐渐扩展开来，首先会在具有投资性质的物品、特别是基础性原材料物品当中形成对各种物品的程度不同的需求放大效应，结果对这类物品的投资和需求都被拉动了起来。某种物品的投资性越强，比如像钢铁、水泥、有色金属、土地等等，其需求放大效应可能就会越大；反之，需求会保持不变。在现实的生活中我们常会看到一种很奇特的现象，某些基础性的原材料涨价涨得很厉害，可其下游的终端产品的价格仍然会保持不变，其道理就在这里。因为这类下游产品的需求没有什么太大的变动，在生产能力也基本不变的情况下，其价值没有太大的改变，所以其价格也就不会变动。倒是相反，如果误以为整个需求都在增加，不自觉地提高了生产能力或者是盲目地增加投资，反倒会出现生产过剩而不得不降价的被动局面。其结果只能是生产厂家的利润越来越小，甚至要出现亏损。
萨缪尔森在《经济学》第17版中谈到了“现实中的乘数”问题，提到了一项很有意义的研究：“美国最近有一项综合性的经济计量研究，提供了一个有代表性的乘数估算方法。该模型包含了一套预测所有各主要部门经济行为（包括货币金融部门以及投资需求函数和消费函数）的方程式，并与其他涉外部门形成一套完整的体系。在一系列的参数中，假定政府的商品和服务采购增加额始终为10亿美元。模型就会据此计算政府支出这个增加量对实际GDP的影响。由政府支出增加所引起的实际GDP的变动，可以提供一个政府支出乘数的估算值。”
平均结果如下图（图11-1）所示：乘数确实不大，并且是随着时间自然下降的。用萨缪尔森的话解释就是：“图24-10（图1-1）显示了这一研究结果。最粗的线由8个模型所估算出的政府支出乘数的平均数，而其余的细线则表示每个模型的估算结果。第一、第二年乘数的平均值约为；但此后，随着货币因素和国际因素开始起作用，乘数趋向于缓慢下降。”
乘数)
0 1 2 3 4 5 (年)
图1-1
用凯恩斯的乘数理论当然无法说明为何会是这样的结果，所以萨缪尔森非常不解：“更令人迷惑的问题是：经济本身会随着时间的推移而发生变化。”
二、芝诺悖论
为了更透彻、更全面地认识这种在推理过程中出现的问题，我们可以通过分析有关古希腊哲学家芝诺提出的二分法悖论就能理解其普遍的错误所在。芝诺悖论的意思是这样的：一个物体永远也到不了终点，因为任何一个物体在到达终点前须先到达其路程的一半，由于有无限多个一半路程的中间点，因此在有限的时间内它无法到达终点。
这一结论显然与事实不符，一个短跑运动员的百米速度要是10秒种的话，他一定会在10秒那一刻跑到终点。如果速度慢一点，一般人在几十秒之内怎么也能跑完一百米。
一段路程确实可以分成无限多个一半的一半，但只有第一个一半对应的是完整的一半的时间，其余对应的依次是1/4、1/8、1/16 ……等等时间，后面的所谓“一半”对应的时间会小到可以忽略不计，即便是计算的话所有这些时间相加起来也正好是整段的时间而不可能是“无限多”的时间。所谓的“无限多”对应的仅仅是无限多的“一半”路程，只有这两者才是直接相关的。但问题在于，抽象的“一半”的路程与真实的一半路程并不都是相对应的，因此用抽象的“一半”代表一半的路程就并不都正确，即两者不同类。也就是说，在没有把“一半”的概念明确前，不能简单地用任何一个“一半”去表示一半路程，由此所谓的“一半” 路程就不能代表一半路程上的时间。其实路程中的“一半”与时间中的“一半”是两个概念，如果不加区别地随便用“一半”去代替另一“一半”自然就会混淆原本表示不同事物的一半的意思，这更不同类。之所以会出现谬误，正是由于把不同类型的事物或项强加在一起的结果；这就好比人的父亲与狗的父亲虽然都是“父亲”但却是两种不同类型的父亲，不加区分的推理当然会得到狗是人的兄弟的非一般的结论。
当我们单看路程时，确实会被无限多的“一半”路程抽离得脱离了与时间的对应关系，误以为路程已无限多了，经过的时间也会无限多，所以在有限的时间内像是无法到达终点；而那只不过是无限多的所谓“一半”的分法而已，与事实上的整个跑道没有任何关系，怎么分100米的跑道总共就是100米长。一个短跑运动员的跑步与跑道怎么分段（还是抽象的）当然没有什么内在的联系，多分一次绝不会多出另外一个时间，只要跑道是标准的，百米速度又能达到10秒种的水平，他只要跑起来就必定会在其成绩内跑到终点。
三、货币乘数
单从消费的角度来看，经济学家通常也会认为在消费中存在着消费放大的现象，这就是所谓的消费乘数问题。
实际上斯密早就注意到了这一现象，在《国民财富的性质和原因的研究》一书中举了这样一个例子来说明其中的关系：“例如，甲以一千镑借给乙，乙立即用来向丙购一千镑货物。丙因不需货币，就把这一千镑借给丁，丁又立即用来向戊购一千磅货物。戊也因为不需要货币，同样地把这一千镑借给己，己再立即向庚购一千镑货物。所以货币还是原来那几枚铸币或那几张纸币，但不消几天功夫，贷借就已进行三次，购买亦已进行三次了。每一次，在价值上，都与这货币总额相等。甲、丙、戊是有钱出借的人，乙、丁、己是要借钱的人。他们所贷借的，其实只是购买那些货物的能力。贷借的价值与效用，都在于这种购买力。这三个有钱人所贷出的资财，等于这笔货币所能购买的货物的价值，所以，这三次贷借所借出的资财，实三倍于购买所用的货币的价值。假使债务人所购的货物，应用适当，能在相当期间偿还原借的价值及其利息，这种贷借，就十分可靠。而且，这笔货币，既可用作贷借三倍其价值的手段，或基于同一理由，也可用作货借三十倍其价值的手段，所以，也可连续用作偿还债务的手段。”
可以说乘数现象真是太有诱惑力了，几乎没谁愿意、也轻易不敢怀疑这种“事实”的存在。不过问题在于，这就是理论上有可能达到的消费乘数吗，如果不是那又该怎样计算具体的“乘数”呢？因为消费乘数问题与银行的所谓货币放大现象即货币乘数问题完全相同，所以我们就以银行的货币乘数问题为例来分析其中的原委。
萨缪尔森在《经济学》的各版中都举了一个相同的例子以证明货币乘数的存在，并给出了计算方法，以17版为准的这一例子的具体数据如下（表1-1）：
相关的银行
新存款
($)
新贷款和
投资($)
准备金
($)
初始银行
第2级银行
第3级银行
第4级银行
第5级银行
第6级银行
第7级银行
第8级银行
第9级银行
第10级银行
前10级银行总和
其他级银行总和
银行体系总和
表1-1
这就是经济学家们在经济学教科书都爱举的有关存贷款可以数倍创造货币的通用证明形式，各级银行的作用加在一起就把一笔存款放大到了与存款准备金率成倒数关系的倍数，同时贷款也被放大到了相同的倍数。假设这个国家只有一家银行那就不可能“创造”出来了，要是银行的数量不够多所“创造”出的倍数也就相应减少。斯蒂格利茨在其《经济学》第三版中举了一个类似的例子，并且认为：“成倍存款创造过程可能多少有点像魔术师从帽子中变出兔子：它似乎是无中生有。但实际上，创造存款是一个实实在在的具体过程。存款是通过计入账簿创造出来的；现在是电子脉冲在电脑文件上做记录。存款创造规则是规定你什么时候可以账簿上做记录的规则。正是这些规则——特别是部分法定准备金要求——赋予银行体系成倍扩大最初存款的能力。”
我们可以依照分析就业乘数的形式推导出货币乘数原本的计算公式，这样就能看出“实实在在的具体过程”到底有多大程度是正确的。
为此设货币乘数为k，存款准备金率用Rr表示，则按照愿意可以得到：k = 1/Rr。设MPC为银行的贷款倾向或者说是边际上的贷款倾向，则可以得到：MPC = 1－Rr。如果存款准备金率是10%，则货币乘数就是10，也相当于MPC = 1－10% = 9/10。要是没有存款准备金率的话，从理论上来讲乘数就会变成无穷大，这就会产生悖论即说明理论本身有漏洞。
当然，存款准备金率不可能是零，银行在实际的业务中总要预留一定的资金作为日常周转之用，再加上“漏出”的原因，而且由于考虑到风险等的因素银行本身也不一定时时刻刻都愿意把多余的资金全部贷出去，想要使乘数十分巨大并不现实。但同样的道理在于，这么说明在理论是不充分的，等于理论本身就缺少证明成立的“证据”，或者起码来讲这是不完善、不完整的，只有消除类似于无穷大倍数的谬误理论才能称得上是“无懈可击”。
其实只要认真观察一下我们就会发现：在上面的例子中（与此类似的例子都是如此），有一个明显的现象就是都不写存款人和贷款人的名字，都统一用各级银行来代表；这就是在抽象，用各级银行代表了所有的存贷款者。如果不能这么抽象而抽象了，即不自觉地用一个不同的概念去代替了另一个以为是相同的概念，那就必然要出问题。事实上所谓的货币乘数之所以有成倍的乘数正是在方面出了问题，又一次把不同的概念即类混淆了。
事实上稍懂点银行业务的人都知道，银行是不会这么记账的，假设与上面的数据完全相同，银行一般会按如下的基本方式有可能记出这样一种结果（表1-2）：
相关的银行
存款人
新存款
($)
贷款人
新贷款
($)
准备金
($)
初始银行
赵一
蒋一
第2级银行
钱二
沈二
第3级银行
孙三
韩三
第4级银行
李四
杨四
第5级银行
周五
朱五
第6级银行
吴六
秦六
第7级银行
郑七
尤七
第8级银行
王八
许八
第9级银行
冯九
何九
第10级银行
陈十
吕十
前10级银行
总 和
前10人
总 额
前10人
总 额
其他级银行
总 和
其余人
总 额
其余人
总 额
银行体系
总 和
所有人
总 额
所有人
总 额
表1-2
很显然，不论其中的金额到底是怎么回事，其中的每一个存款人和贷款人都是不同的。这样我们就会发现，赵一与钱二、孙三等等总之任何人与任何人的存款都没有什么直接的联系（除了夫妻俩的存款可以算成是一家人的存款这种另外的抽象之外），我们不能说赵一要是不首先存入银行1000美元接着钱二、孙三等也不会存入900美元、810美元等。非要这么认为，那就是强词夺理；这在理论上是“违法”的，即不符合抽象必须是针对同类的基本前提。同理，蒋一与沈二、韩三等总之任何人与任何人的贷款也没有什么直接的联系，我们不能说蒋一要是不贷款沈二、韩三等也不会贷款。谁想贷款，贷多少，那都是个人自己的事。
但有一点让人不能不信，横着一行行看下去，蒋一的贷款很可能来自赵一的存款，沈二的贷款很可能来自钱二的存款，韩三的贷款很可能来自孙三的存款等等。也就是说，在某一个银行里会有大量的类似于1000美元的存款者和900美元的贷款者，其中未必非得某人与某人对应，只要是1000美元按照10%的准备金率在理论上就可贷出900美元，至于谁与谁“结伴”这并不要紧，此时认为是或不是都不“违法”（是无原则差异的相同）。类似地，每一个900美元都可贷出810美元，每一个810美元都可贷出729美元等等。实际上连一个普通的银行职员都十分清楚，银行根本就不必操心这方面的事，管他具体到底是谁贷谁存的钱，在金额上只要把总数的对应关系算清楚就可以。这样我们就不难想到，以上表为例，这就是整个银行体系总共存入了10000美元，贷出了9000美元，准备金收走了1000美元，总帐的对应关系是平衡的。存入了10000美元货币当然就是10000美元，这与其中的每个人谁先存、存多少并不直接相关。
试想一下，蒋一拿到900美元的贷款之后会存到钱二的存款账户上吗？这是不可能的，这一存贷之间的循环到此就结束了。假设蒋一在银行之外的市场上买的恰好是钱二卖的货物，钱二拿到钱之后把钱都存入了银行，然后好像顺理成章地才能开始另一个存贷之间的循环。没错，事实确实有可能如此。但这同样与蒋一没有更多的关系，即便是蒋一不买钱二的货也会有其他人买，这900美元不是被1000美元创造出来的而是已经存在的，即900美元与蒋一的关系不是惟一确定的。正因为此，当蒋一还款的时候没有任何理由再从钱二那把钱要回来，蒋一必须生产出值900美元的货物并得到900美元之后才能把900美元还上。此时蒋一还的不是钱二的那900美元，这加不到钱二头上，钱二在这里也不存在还钱问题，蒋一应该还的是从1000美元中贷出的900美元；至此第一个从存贷到贷款再到还款的整个过程才全部结束，900美元加100美元正好还是原来的1000美元。以此类推，当所有的贷款都还回来之后再加上准备金就是全部的存款（不计利息和损失等）。实际上每一个存贷之间都不是一回事（非同类），是由不同的人分别对应完成的，把人的因素抽象掉了有些问题当然就被混淆了。
假设银行拿出一笔钱，让每个贷款者同时又是存款者（商业上正常的贷了之后又存除外），这样在账面上就能创造出数倍的存贷款额；有些银行就是这么干的，为的是虚增业绩。但只要实行实名制，即计算同一个人的存贷款余额就会发现，实际的存贷款余额是没有增加那么多的。因为不论是存款还是贷款的余额都只增加了一笔钱的数值，当然这也就没创造出什么倍数。
这样我们可以得出一个基本结论：从银行的角度来讲，不论是一个银行还是整个银行体系，一笔资金在贷款、准备金和存款之间总是平衡的，即存款 = 贷款＋准备金恒成立。银行是不可能靠存款创造出倍数的货币的，货币是多少就是多少；要说创造倍数的话，也只能在这三者之间“创造”。
我们把具体的“乘数”推导出来，看看这一数字到底有多大。现用D代表存款，G代表贷款，R代表准备金，初始数量分别为D0、G0、R0，每次变化分别为ΔD、ΔG、ΔR，设经过n次后总的变化分别为ΔDn、ΔGn、ΔRn，此时总的数量分别为Dn、Gn、Rn，则可以得到：
D0 = G0＋R0；
ΔDn = n·ΔD，ΔGn = n·ΔG，ΔRn = n·ΔR；
Dn = D0＋n·ΔD，Gn = G0＋n·ΔG，Rn = R0＋n·ΔR。
因为Dn = Gn＋Rn仍成立，所以可以得到：
ΔD = ΔG＋ΔR。
两边都除以ΔDn，则可以得到：ΔD/ΔDn = ΔG/ΔDn＋ΔR/ΔDn，即ΔG/ΔDn = (1/n)－1/(ΔDn/ΔR)。
设MPCn = ΔG/ΔDn，MPCn为边际贷款变化对整体存款变化的整体边际贷款倾向，则可以得到：MPCn = ΔG/n·ΔDn。
再设MPC = ΔG/ΔDn，MPC为边际上的贷款倾向（不会随着n的变化而递减），则可以得到：
MPCn = MPC/n。
再设ΔD/ΔRn = kn，kn为边际存款变化与整体的准备金变化的比率，则可以得到：kn = ΔDn/n·ΔR。令ΔDn/ΔR = k，k为边际存款变化与边际准备金变化的比率即边际乘数，则可以得到：
kn = k/n。
由于ΔD/ΔRn = kn，所以可以得到ΔDn/ΔR = n2·kn，于是可以得到kn与MPCn和MPC的关系式为：MPCn = (1/n)－1/n2·kn，即
kn = 1/ n2·[(1/n)－MPCn]
= 1/n·(1－MPC)
= 1/n·Rr。
因为MPC = 1－Rr，所以边际上的贷款倾向是要受到准备金率制约的。当MPC确定后，也就是Rr不变，随着n的增加kn 的数值自然会减小，所以kn的数值总不会很大，甚至减小得到0。当Rr趋向于0时，很可能n早就无穷大了，所以kn 先等于0。
由此可以得出结论，当边际上的贷款倾向增加时，这也等同于准备金率减小，是不可能创造出成倍的存款的。如果认为k就是kn，由公式k = 1/Rr可以得到kn = 1/Rr，这就与n无关了。从中不难看出，当Rr趋向于0时，“kn”就要变成无穷大，即可以创造出与Rr成倒数倍数的存款。
我们可以类似地把准备金与存款之间的关系也完整地推导出来，其中的规律就一目了然。
因为ΔRn/ΔD = n·ΔR/ΔYw，所以可以得到：
ΔR/ΔD = ΔRn/n·ΔD
= 1/n·kn
= 1－MPC。
又因为Rn = R0＋n·ΔR，Dn = D0＋n·ΔD，我们设R0是ΔR的b倍，D0是ΔD的a倍，则可以得到：
Rn/Dn = (b＋n)·ΔR/(a＋n)·ΔD
= [(b＋n)/(a＋n)]·(1－MPC)。
同样的道理，初始的R0和D0都不会很大，所以b和a也不会很大，可以认为(b＋n)/(a＋n) = 1，于是可以得到：
Rn/Dn = (1－MPC) = Rr。
这一结果说明准备金与存款之间的比例是时时固定的，只要Rr不变这一比例就基本不变。把这个公式变换一下形式就可以得到Rn = Dn·Rr，事实也正是如此，准备金就是存款与准备金率相乘的结果。当变动Rr时，跟着改变的不是Dn而是Rn。如果保持Rn的总数不动（不变），从数学上来讲当Rr数倍减小时Dn确实要发生数倍的变动，但Dn本身做不到这些，只有另外增加存款才能做到让Rn的数量保持不变。可想而知，人们正是把这一倍数误认为是一笔存款的放大倍数，殊不知在一个封闭的经济体系中用这种方法根本就创造不出额外的存款，这如同在不增加外力的情况下要想撬动更重的物体只有通过改变支点的位置使力臂相对加长的道理一样，结果Rn自动调小到相同的倍数以适应新的平衡。例如，一个人最需要钱的时候一定是相对最缺钱的时候，要想打破僵局只能从系统外找办法。我们也可以这么认为，对某一银行来讲，假设存款不变，但通过调整准备金率可以使贷款的数量增加或减少，增加或减少的比例就是准备金率，这一倒数就是存款与准备金的倍数。只不过这是一个相对的倍数，与存款绝对数无关。
货币乘数确实不存在，这是非常容易感知的，就像我们从没感觉到会有一个很大的消费乘数存在一样，一个经济体发行出了多少货币就是多少货币。只不过我们同样要注意的是，虽然货币的数量是一定的，但货币所起到的交易额一般要比自身的数量大很多，按年计算与流通速度V成正比。比如，要是流通速度V = 4，每1万元就能起到相当于4万元的作用。但就货币数量来讲，这确实只有1万元。另外还要强调的是，在实体经济中货币流通速度是由实际情况决定的而不能假设得很大。
《经济学》第12版、上册，中国发展出版社，1992年，第254页。
《就业、利息和货币通论》（重译本），高鸿业译，商务印书馆，1999年，第117～118页。
同上，第118页。
《就业、利息和货币通论》（重译本），高鸿业译，商务印书馆，1999年，第118页。
同上，第118～119页。
同上，第119页。
《就业、利息和货币通论》（重译本），高鸿业译，商务印书馆，1999年，第119页。
同上，第121页。
同上，第129页。
《就业、利息和货币通论》（重译本），高鸿业译，商务印书馆，1999年，第129页。
同上，第129页。
同上，第130页；译者注⑴。
《就业、利息和货币通论》（重译本），高鸿业译，商务印书馆，1999年，第130～131页。
《就业、利息和货币通论》（重译本），高鸿业译，商务印书馆，1999年，第132页。
《经济学》第17版，萧琛主译，人民邮电出版社，2004年，第408页。
同上，第408页。
同上，第408页。
《国民财富的性质和原因的研究》上卷，商务印书馆，1972年，第323页。
《经济学》第17版，萧琛主译，人民邮电出版社，2004年，第424页。
《经济学》第三版、下册，黄险峰、张帆译，中国人民大学出版社， 2005年，第556页。
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