切线长定理
1、圆的切线的定义是什么？
2、圆的切线有哪些判定方法？
3、你能过圆上一点作出圆的切线吗？
能说出作图的步骤吗？理论依据是
什么？
O
作图的步骤：
1、连接OA;
2、过点A作直线l⊥OA.
1、你能过圆外一点作出圆的切线吗？
O
2、能说出作图的步骤吗？
3、理论依据是什么？
4、过圆外一点能
作几条圆的切线
吗？
过圆外一点作圆的切线，这点和
切点之的线段的长，叫做这点到
圆的切线长。
O
思考：切线与切线长有区别吗？
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线
段的长叫做切线长。
数学探究
O
B
P··
A·
切线长和切线的区别和联系:
切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上
的一条线段的长，可以度量。
如图，纸上有一⊙O ，PA为⊙O的一条
切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A
重合的点为B。
是⊙O的一条半径吗？
是⊙O的切线吗？
、PB有何关系？
4.∠APO和∠BPO有何关系？
数学探究
P
A
O
B
问题：
已知：
求证：
如图，P为⊙ O外一点，PA、PB为
⊙ O的切线，A、B为切点，连结PO
切线长定理 从
圆外一点可以引
圆的两条切线，
它们的切线长相
等，这一点和圆
心的连线平分两
条切线的夹角。
O
B
P··
A·
∴Rt△AOP≌Rt△BOP
·
O
P
A
B
① PA=PB
② PO平分∠APB
1
2
连结OA、OB、
∵PA、PB与⊙O相切，点
A、B是切点
∠1 =∠2
∴OA⊥AP，OB⊥BP
∴∠OAP=∠OBP=90°
∵OA=OB，OP=OP
∴PA=PB
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
从圆外一点引圆的两条
切线，它们的切线长相
等，圆心和这一点的连
线平分两条切线的夹角。
切线长定理
A
P
O
。
B
几何语言:
反思：切线长定理为证明线段相等、角相
等提 供了新的方法
数学探究
O
B
P··
A·
思考：连结AB，则AB与PO有怎样的位置关系？
为什么？
你还能得出什么结论？
E
例.PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，
直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。
B
A
PO C
E D
（1）写出图中所有的垂直关系
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（3）写出图中所有的全等三角形
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
（4）写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB
（5）若PA=4、PD=2，求半径OA
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
已知：如图PA、PB是⊙ O的两
条切线，A、B为切点。直线OP
交⊙ O于D、E，交AB于C。 O
P
A
B
C DE
（1）如果半径为3cm，PO=6cm，则点P到⊙ O的切线长
为 cm，两切线的夹角等于 度60
我们学过的切线，有 性质：
1、切线和圆只有一个公共点；
2、切线和圆心的距离等于圆的半径；
3、切线垂直于过切点的半径；
4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
六个
。 P
B
A
O
（3）连结圆心和圆外一点
（2）连结两切点
（1）分别连结圆心和切点
反思：在解决有关圆
的切线长的问题时，
往往需要我们构建基
本图形。
反思：在解决有关
圆的切线长问题时，
往往需要我们构建
基本图形。
1.切线长定理 从圆
外一点引圆的两条切
线，它们的切线长相
等，圆心和这一点的
连线平分两条切线的
夹角。
小结：
A
P
O
。
B
E C D
∵PA、PB分别切⊙O于A、B
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB OP垂直平分AB
切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，
垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。
一、判断
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ）
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。
练习
(1)如图PA、PB切圆于A、B两点，
连结PO，则 度。
P B
O
A
二、填空
25
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C
，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切
线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ ）A
A 16cm
D 8cmC 12cm
B 14cm
D
C
B
E
A
P
1、已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B
为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
（2）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径
OA的长. A
O C D P
B
E
例2、如图，过半径为6cm的⊙O外一点P作圆
的切线PA、PB，连结PO交⊙O于F，过F作⊙O
切线分别交PA、PB于D、E，如果PO＝10cm
， 求△PED的周长。
FO
E
D
P
B
A
O
P
A
B
C DE
（5）如果PA=4cm，PD=2cm，
试求半径OA的长。 x
即：
解得： x= 3cm
半径OA的长为3cm
例1、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切
点，∠OAB＝30°．
（1）求∠APB的度数；
（2）当OA＝3时，求AP的长．
P
B
A
O
练习 如图，从⊙O外一点P作⊙O的两条切线，
分别切⊙O于A 、B，在AB上任取一点C作⊙O的
切线分别交PA 、PB于D 、E
（1）若PA=2，则△PDE的周长为____；若PA=a
，则△PDE的周长为_____。
（2）连结OD 、OE，若∠P=40 °，则
∠DOE=_____;若∠P=k,∠DOE=___________ 度
。
E
OC
B
D
P
A
4
2a
70 °
随堂训练
(2)观察OP与BC的位置关系，并给予证明。
(1)若OA=3cm, ∠APB=60°，则PA=______.
P
A
BC
O
M
如图，AC为⊙O的直径，PA、PB分别切⊙O于
点A、B，OP交⊙O于点M，连结BC。
试一试：已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB
为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径。∠C
＝50，
①求∠APB的度数
②求证：AC∥OP。 A
B
O
C
P
A
O
B
C
试一试：如图1，一个圆球放置在V形架中。图
2是它的平面示意图，CA和CB都是⊙O的切线，
切点分别是A、B。如果⊙O的半径为 cm，
且AB=6cm，求∠ACB。
思考：当切点F在弧AB上运动时，问△PED
的周长、∠DOE的度数是否发生变化，请说
明理由。
FO
E
D
P
B
A
思考 如图如图,,一张三角形的铁皮一张三角形的铁皮,,如何在它上面截下如何在它上面截下
一块圆形的用料一块圆形的用料,,并且使圆的面积尽可能大呢并且使圆的面积尽可能大呢??
I
D
o． o．o．
三角形的内切圆：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
三角形的内心：
三角形的内切圆的圆心叫
做三角形的内心
三角形的内心是三角形三
条角平分线的交点，它到
三角形三边的距离相等。
数学探究
D E
F
问题：如图△ABC，要求画△ABC的内
切圆，如何画？
已知：△ABC
求作：和△ABC的各边都相切的圆
B C
A
I
D
作法：1、作∠B、∠C的平分线BM、
CN，交点为I
2、过点I作ID⊥BC，垂足为D
3、以I为圆心，ID为半径作⊙I
⊙I就是所求的圆
N M
AA
BB CC
OO
三角形的外接圆： 三角形的内切圆：
AA
BB CC
II
D
1.一个三角形有且只有一个内切圆；
2.一个圆有无数个外切三角形；
3.三角形的内心就是三角形三条内角平
分线的交点；
4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等。
试说明圆的外切四边形的两组
对边的和相等．
例3、 已知四边形ABCD的边AB、BC、CD、
DA分别与⊙O相切于P、Q、M、N，
求证：AB+CD=AD+BC。
D
A B
C
O
M
N
P
Q
A
B
D
L
M
N
P O
结论：圆的外切四边形的两组对边和相等。
已知：四边形ABCD的边 AB，BC，CD，DA和圆O
分别相切于L，M，N，P。探索圆外切四边形边
的关系。
C
（1）找出图中所有相等的线段
（2）填空：AB+CD
AD+BC（>,<,=)
=
DN=DP，AP=AL，BL=BM，CN=CM
比较圆的内接四边形的性质：
圆的内接四边形：角的关系
圆的外切四边形：边的关系
1、四边形ABCD外切于⊙O
（1）若AB：BC：CD：DA=2：3：n：4
则n=____
（2）若AB：BC：CD=5：4：7，周长为48
则最长的边为_____
2、
圆内接平行四边形是矩形 圆外切平行四边形是_______
·
AB
C
D
A C
B D
·O ·
A B
C D
O
O
3、
圆内接梯形为等腰梯形
4、（1）已知圆外切等腰梯形的中位线长
为3cm，则腰长为____
A
B
D
C
E F
反思：圆外切等腰梯形的腰长
等于中位线长
（2）若圆外切等腰梯形，两腰之比为9：11
差为6cm，则中位线为____
若S梯=150cm，则内切圆的直径为____
A
B
D
C
E F
如图，Δ ABC的内切圆分别和BC，AC，AB切
于D，E，F；如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,
则BC= cm,
AC= AB=
11
6cm 9cm
B D
A
C
F E
2
7
4
练习四 已知：△ABC是⊙O外切三角形，切点
为D，E，F。若BC＝14 cm ，AC＝9cm，AB＝
13cm。求AF，BD，CE。
A
B
C
D
EF
x x
y
y
O
z
z
解:设AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm则
AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm
依题意得方程组
x+y=13
y+z=14
x+z=9
解得: Z=5
X+y+z=18
x+y=13
已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C
是直角,三边长分别是a,b,c.
求⊙O的半径r.
A
B C
●
┗
┏┓
O
D
E
F┗
（1）Rt△的三边长与其内切圆半径间的关系
·
A
BC E
D
F
O
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b,
AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆.
求：Rt△ABC的内切圆的半径 r.
设设AD= AD= xx , BE= , BE= yy ,CE ,CE＝＝ rr
∵∵ ⊙⊙OO与与RtRt△△ABCABC的三边都相切的三边都相切
∴∴ADAD＝＝AF,BEAF,BE＝＝BF,CEBF,CE＝＝CDCD
则有则有
xx＋＋rr＝＝bb
yy＋＋rr＝＝aa
xx＋＋yy＝＝cc
解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，
连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。
解得解得 rr＝＝
a＋b－c
2
设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的
内切圆的半径 r＝ 或r＝a＋b－c2
ab
a＋b＋c
·
A
BC E
D
F
O
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝3,AC＝4, ⊙O为
Rt△ABC的内切圆. （1）求Rt△ABC的内切圆的半径 .
（2）若移动点O的位置，使⊙O保持与△ABC的边AC、
BC都相切，求⊙O的半径r的取值范围。
设设AD= AD= xx , BE= , BE= yy ,CE ,CE＝＝ rr
∵∵ ⊙⊙OO与与RtRt△△ABCABC的三边都相切的三边都相切
∴∴ADAD＝＝AF,BEAF,BE＝＝BF,CEBF,CE＝＝CDCD
则有则有
xx＋＋rr＝＝44
yy＋＋rr＝＝33
xx＋＋yy＝＝55
解：（1）设Rt△ABC的内切圆与三边相
切于D、E、F，连结OD、OE、OF则
OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。
解得解得 rr＝＝11
在在RtRt△△ABCABC中，中，BCBC＝＝3,AC3,AC＝＝4, 4, ∴∴ABAB＝＝55
由已知可得四边形由已知可得四边形ODCEODCE为正方形，为正方形，∴∴CDCD＝＝CECE＝＝ODOD
∴ Rt△ABC的内切圆的
半径为1。
（2）如图所示，设与BC、AC
相切的最大圆与BC、AC的切点
分别为B、D,连结OB、OD,则四
边形BODC为正方形。
·
A
B
OD
C
∴OB＝BC＝3
∴半径r的取值范围为0＜r≤3
几何问题代数化是
解决几何问题的一
种重要方法。
例.如图，△ABC中,∠C =90º ,它的
内切圆O分别与边AB、BC、CA相切
于点D、E、F，且BD=12，AD=8，
求⊙O的半径r.
O
EB
D
C
A
F
(2)已知:如图,△ABC的面积为S,三边长分别为
a,b,c.
求内切圆⊙O的半径r.
●
A
B C
●
O
●
┗
┓
O
D
E
F
┗
·
B
D
E
F
O
C
A
如图，△ABC的内切圆的半径为r, △ABC的
周长为l,求△ABC的面积S.
解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，
连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，
则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC
＝ AB·OD＋ BC·OE＋ AC·OF
＝ l·r
设△ABC的三边为a、b、c，面积为S，
则△ABC的内切圆的半径 r＝
2S
a＋b＋c
三角形的内切圆的有关计算
1.边长为3、4、5的三角形的内切圆的半径为——
2. 边长为5、5、6的三角形的内切圆的半径为——
3. 已知:△ABC的面积S=4cm,周长等于
10cm.求内切圆⊙O的半径r.
基础题：
.既有外接圆既有外接圆,,又内切圆的平行四边形是又内切圆的平行四边形是______.______.
.直角三角形的外接圆半径为直角三角形的外接圆半径为5cm,5cm,内切圆半径为内切圆半径为1cm,1cm,
则此三角形的周长是则此三角形的周长是_______._______.
.⊙⊙OO是边长为是边长为2cm2cm的正方形的正方形ABCDABCD的内切圆的内切圆,EF,EF切切⊙⊙OO
于于PP点，交点，交ABAB、、BCBC于于EE、、FF，则，则△△BEFBEF的周长是的周长是_____._____.
E
F H
G
正方形正方形
22cm22cm
2cm2cm
· OA B
C
D
E
F
· OA B
C
D
E
选做题：如图，AB是⊙O的直径，
AD、DC、BC是切线，点A、E、B
为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.
例：如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB
分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm
，CA=13cm，求AF、BD、CE的长。
x
13﹣x
x
13﹣x 9﹣x
9﹣x
例题选讲
A
D
C
B
O
F
E
1、如图，△ABC中,∠ ABC=50°，∠ACB=75 °,点
O 是△ABC的内心，求∠ BOC的度数。
A
O
CB
随堂训练
变式：△ABC中,∠ A=40°，点O是△ABC的内
心，求∠ BOC的度数。
∠ BOC= 90°+ ∠ A
2、△ABC的内切圆半径为 r , △ABC的周长为 l ,
求△ABC的面积。（提示：设内心为O，连接OA、
OB、OC。）
O
A
CB
r
r
r
知识拓展
若△ABC的内切圆半径为 r ,
周长为 l ,
则S△ABC= lr
同学们要好好学习
老师期盼你们快快进步！
