层次分析法(AHP)
产生
层次分析法(The Analytic Hierarchy Process)是美国运筹学家匹茨堡大学教授托马斯·萨提(Thomas Saaty)于本世纪70年代初 。
注：层次分析法是一种定性与定量相结合的多目标决策分析方法，为分析相互关联, 相互制约的复杂问题提供了一种简单实用的分析方法.
主要思想
通过分析复杂系统的有关要素及其相互关系，简化为有序的递阶层次结构，使这些要素归并为不同的层次，形成一个多层次的分析结构模型. 最终把系统分析归结为最低层(供决策的方案,措施等)相对于最高层(总目标)的相对重要性权值的确定问题.
五个步骤:
（1）建立层次结构模型
对实际问题进行分析,将问题中所包含的因
素划分为不同层次(目标层,准则层,方案层,
措施层等),用框式图说明层次的递阶结构.
如：
用户行为
性能特性
可靠特性
安全特性
准则层
目保层
流量
传输延迟
连接建
立延迟
数据的
完整性
包含病毒
代码特性
非法
访问
措施层
…
(2) 构造判断矩阵:
判断矩阵元素的值表示人们对各因素关于
目标的相对重要性的认识。在相邻的两
个层次中，高层次为目标，低层次为因
素。
表示两个因素相比,具有同样的重要性
表示两个因素相比,一个因素比另一个因素稍重要
表示两个因素相比,一个因素比另一个因素重要
表示两个因素相比,一个因素比另一个因素重要的多
表示两个因素相比,一个因素比另一个因素极为重要
上述两判断的中间值(1和3; 3和5)
上述两判断的中间值(5和7; 7和9)
相应两因素交换次序比较的重要性
1
3
5
7
9
2 4
6 8
倒数
含 义
标度
(3)层次单排序及一致性检验
判断矩阵的特征向量W经过归一化后即为各
因素关于目标的相对重要性的排序权值。利
用判断矩阵的最大特征值，可求CI和CR值
（CI,CR是和一致性检验相关的数），当
CR<时，认为层次单排序的结果有满意的
一致性；否则，需要调整判断矩阵各元素的
取值。
（4）层次总排序
计算某一层次各因素相对上一层次所有因素
的相对重要性的排序权值称为层次总排序。
层次总排序过程是从最高层到最低层逐层进
行的，而最高层是总目标，所以，层次总排
序也是计算某一层次各因素相对最高层(总目
标)的相对重要性的排序权值。
设上一层次A包含m个因素A1,A2,...Am，其层次
总排序的权值分别为a1,a2,...am,
下一层次B包含n个因素B1，B2，…Bn，它们
对于因素Aj(j=1,2,...m)的层次单排序权值分别
为b1j,b2j,…bnj,(当Bk与Aj无联系时，bkj＝0)，则
B层次总排序权值可按表计算。
b1m
┇
bnm
…
┇
…
b11
┇
bn1
B1
B2
┇
Bn
am
…
a1
B层次总
排序权值
Am
…
A1
层次B
（5）层次总排序的一致性检验
这一步是从高到低逐层进行的。如果B层次若
干因素对于上一层次某一因素Aj的单排序一致
性检验指标为CI，相应的随机一致性指标为
RI，则B层次总排序随机一致性比
率为CR=
类似的，当CR<时，认为层次总排序结
果具有满意的一致性；否则，需要重新调整
判断矩阵的元素值。
注：
近似计算方法：有近似算法可以简便地计
算权重系数。两种常用方法：
和积法
方根法
和积法
这种方法的步骤是：
1）对A按列规范
2 ） 再按行相加得和
3）再规范化，得权重系数：
方根法
这种方法的步骤是：
1） 按行元素求积，再求1/n次幂，得
2）规范化，即得权重系数
一致性检验
完全一致时，应该存在如下关系：
定义一致性指标：
当完全一致时有：
当不一致时：
n越大，一致性越差，引入修正值：CR
RI
34567891011
n
只要满足
就认为所得比较矩阵的判断可以接受。
例，某河流污染治理方案评价。目标集合的上层归结为四个因素需要考虑，即经济因素、工程建设影响、环境质量改善，社会效益等，分别设为 。与市决策者对话的结果是：
得比较矩阵A为：
用“和积法”计算权重系数：
最大特征根的简易算法是
对上例中 的计算如下：
计算 得
查n=4时， 计算：
所以与决策对话所得结果的不一致性
可以被接受。求得的权重系数 可
以使用。
组合权重计算的例子
合理使用企业留成利润
C1：调动职工
生产积极性
C2：提高企业
技术水平
C3：改善职工物质
文化生活水平
目标层
c准则层
措施层
P1：
发奖金
P2：扩建集
体福利设施
P3：办业
余学校
P4：建
图书馆
P5：引进
新设备
C1对p1 p2 p3 p4 p5的权重计算
= ,CI= ,RI=, CR=
C2,C3对P的权重同样计算。
13547
1/3 1 3 2 5
1/5 1/3 1 ½ 3
¼ ½ 2 1 3
1/7 1/5 1/3 1/3 1
p1
p2
p3
p4
p5
w
P1 p2 p3 p4 p5
c1
A对c1,c2,c3的权重
1/5 1/3
5 1 3
3 1/3 1
C1
C2
c3
W
C1 C2 C3
A
组合权重：A对p1,p2,p3,p4,p5的权重计算
4
3
1
5
2
0
P1
P2
P3
P4
p5
方案排序
层次p总排序权值
c3
c2
c1
层次c
层次p
网络层次分析法 ANP
基本概念
在实际的决策问题中,系统的元素更多的不是呈递阶层次结构形式,而是网络结构形式,网罗中的每个节点表示一个元素或者一个元素集,系统中的每个元素都可能影响和支配其他元素,也可能受其他元素的影响和支配.对于呈这种特征的决策层次结构,恰恰是网络层次分析法ANP的合理描述.如图所示是ANP的影响网络结构.
AN P 首先将系统元素划分为两大部分, 第一部分称为控制因素层, 包括问题目标及决策准则Z 所有的决策准则均被认为是彼此独立的, 且只受目标元素支配Z 控制因素中可以没有决策准则, 但至少有一个目标Z 控制层中每个准则的权重均可用传统A H P 方法获得Z 第二部分为网络层, 它是由所有受控制层支配的元素组组成的, 其内部是互相影响的网络结构,
用ANP进行决策的基本步骤
(1) 构造ANP的典型结构：
A：首先是构造控制层次.将决策目标界定,将决策准则界定,这是问题的基本,各个准则决策目标的权重用AHP方法得到.
B：再则是构造网络层次.要归类确定每一个元素,分析其网络结构和相互影响关系,分析元素之间的关系可用多种方法进行. 一种是内部独立的递阶层次结构,即层次之间相互独立；一种是内部独立，元素之间存在者循环的ANP网络层次结构；另一种是内部依存，即元素内部存在循环的ANP网络层次结果，这几种情况都是ANP的特例情况。在实际决策问题中面临的基本都是元素间不存在内部独立，既有内部依存，又有循环的ANP网络层次结构。
ANP 的几种主要结构的超矩阵及其极限相对排序向量
1 内部独立的递阶层次结构
2 内部依存的递阶层次结构
3 内部独立的循环系统超矩阵
4 内部依存的循环系统
