统计与决策 !""#年 #月!下"
!! !引 言
投资组合的选择在实际中有着广泛的应用背景#如社会
资源的优化配置#企业新产品的生产安排#养老金计划的制
定# 消费者在证券市场交易中股票$ 债券的选择等等% 自
$%&’()*+, 的&投资组合的选择’一文发表以来#关于投资组
合的选择问题的研究引起了极大的关注#并取得了丰硕的理
论成果#也带动了金融经济学$数理统计学$运筹学$计算数
学等相关学科的理论和方法的发展% 众所周知#任何投资组
合的选择都是基于资产价格或收益的不确定性#文献中关于
投资组合选择的研究主要是在期望效用理论和收益(((风
险分析的规范性框架下进行的!如-./0-12"%然而#由于投资者
的具体情况!对待不确定性$风险的态度"不同$投资对象的
特点不同$市场信息的不完全或非对称性#不可能存在普遍
适用的投资组合或者投资组合的策略% 譬如#均值(((方差
模型 -32-#2方法仅适合于投资对象的收益率服从联合正态分布
或者投资者具有二次函数的效用的情形#均值(((绝对差模
型 -!2#均值(((下方距模型 -42#均值(((损失概率模型 -12#5(6%
7*89 风险度量模型 :.2都是从人们对待风险的不同认识考虑按
照期望效用理论采用收益(((风险分析范式提出的#也仅适
用于具有相应的效用函数形式的投资者%
本文结合不确定性决策的方法与效用理论的思想#根据
决策行为人厌恶风险的特征建立了一种基于最大最小准则
的投资组合选择模型%虽然在建立模型的过程中用到决策者
的效用函数#但实际上根据该模型选择投资组合将不依赖于
效用函数的确定#即与投资者的效用函数形式无关#根据该
模型得到的投资组合所对应的最大损失风险最小%本文还在
收益率联合服从正态分布和不考虑交易费用的有关假设下#
给出了允许卖空和不允许卖空的投资组合策略的算法%
"! !基于最大最小准则的投资组合选择模型
及其特点
设在一个投资期#市场上仅有 6 种风险资产可供投资者
选择#不存在无风险资产和不考虑交易费用#投资者在期初
投资一个单位的第 * 种资产# 可以在期末得到的收益为 ;*
!*<.#===#6"#记 ;<!;.#;!#===#;6">% 期初 6 种风险资产占风险
投资的资本总额的比例分别记为 ?.#===#?6#满足
6
* < .
!?*<.@?*""A
*<.#!#)#6"的所有 B<@?.C?!C) C?6D> 被称为可行的投资组合
集%
设投资者是不确定性或风险厌恶的#投资者关于财富增
量 E 的 F(6 G9HI%60$(&J96K+9&6 效用函数为 H<H@ED% 由于
在投资期末#投资者通过持有风险资产组合 ? 可以获得的总
收益不仅与 ? 有关也与 ; 有关#我们用 E@;L?D表示投资者风
险投资的财富增量#则 E@;L?D<)(
6
* < .
!?*;*#其中 )"为初始投资
资本%因此投资者通过持有投资组合 ? 得到的效用为 H@;L?D<
H@E@;L?DD%
根据期望效用理论#理性的投资者应该选择自己的投资
组合 ? 最大化期望效用 M:E@;L?D2% 但是#由于很难确定投资
者效用函数的具体形式#即使收益率 ; 的分布给定#也难于
计算期望效用% 实际上#对于某些风险资产!如 ;NO 项目"#
或者缺乏足够的历史数据#或者很难获得样本数据#信息的
不完全性或非对称性使得人们无法得到甚至估计收益的分
摘 要!本文结合效用理论与不确定性决策方法建立了一种新的投资组合选择模型!根据该模
型选择投资组合将不依赖于效用函数的确定!即与投资者的效用函数形式无关" 在正态分布和不考
虑交易费用的有关假设下! 文章还给出了允许卖空时模型的解析解和不允许卖空时投资组合策略
的算法!此时的模型解也是均值#$$方差有效的投资组合%
关键词!决策&效用&最大最小准则&投资组合&不确定性&最大损失风险
中图分类号!P.#."QR 文献标识码!S 文章编号!.""!013RT’!""#("#0""!.0"4
基于最大最小准则的风险
资产投资组合
丁元耀
!宁波大学 商学院#浙江 宁波 4.#!.."
基金项目!教育部人文社科项目’"!USV""#T(&!.. 工程项目)金融风险的计量与管理*
! " # $
!"
万方数据
统计与决策 !""#年 #月!下"
布形式#因此直接运用期望效用理论进行投资组合的选择存
在困难$
在现实中#投资决策者在无法得到更多关于收益的有关
信息的条件下#如果可以利用专家经验%情景分析等预测方
法和技术对未来收益进行一定程度的预估或推测#得到未来
期末收益的一个大致可能范围#比如存在区域 $!%&使得 ’
(%"$)#!#! 为某一已知的常数!可以是主观概率"#则投资
者可以根据不确定性决策理论中的最大最小准则选择一个
比较保守的投资组合策略 *#满足如下的规划模型&
+,*
*
+-&
%"$
./(0(%1*223
456507%1*289:
&
- 8 ;
$*-%-
%"$
&
- 8 ;
$*-8;
*%"!-8;#!#’#&
&
(
(
((
’
(
(
((
) "
!;"
由于效用函数的单调增特性#容易发现模型!;"与下面
模型!;<"是等价的#即在最大最小准则下投资者选择的投资
组合策略 * 为如下模型的解&
+,*
*
+-&
%*$
&
- 8 ;
$*-%-
4565%*$
&
- 8 ;
$*-8;
*-%"(-8;#!#’#&
+
(
((
,
(
((
) 2
!;<"
称模型!;<"为最大最小准则下的投资组合选择模型$
该模型存在如下的特点&
!;"模型(;<2与效用函数的形式无关#与投资者所掌握的
市场信息以及关于投资对象的认识有关$
!!"在强有效的市场中#由模型(;<2得到的投资组合可以
作为基准投资组合供所有投资者参考$
!="如果 ’!%"$"%!#>? 为根据模型!;<"所得到的投
资组合#则@07%1>?2可以理解为一定可信水平 ! 下投资组合
>?的最大损失值#记为 AB7! D,%7!2含义相
似#可以用来作为该投资组合的风险评价指标#而 >?就是最
大损失风险最小的投资组合$
显然#模型!;<"是一个两重规划问题$ 对于给定 *#如果
记 %?8!%;?#%!?#’#%&?"E为如下形式规划问题的解函数!与 *
有关"&
+-&
%"$
>E%# 4565 %"$ !!"
则模型7;<2的解 *?87*;?F*!?F’#*&?)E可以通过求解如下的规
划问题得到&
+,*
*
&
- 8 ;
$*-%-?
4565
&
- 8 ;
$*-8;
*-%" !-8;F!F’#&
&
((
,
((
) "
!="
记 G!%-"8"-7-8;F!F555F&)F"87";F"!F555F"&)E#H:I7%)8$8!#-J!"&K&#
并设$L"$特别地#如果已知 % 的联合分布为正态分布#由于
!%@""E$@;!%@""M$!7&)#因此有&
’!!%@""E$@;!%@""-$
!
! !&""8! 或者 ’!%@""E$@;!%@
""%$
!
;@! !&""8!#其中 $
!
! !&"为 $
!
!&"分布的 ! 下侧分位点$
此时可以选择
$8N%1!%@""E$@;!%@""-$
!
! !&"O !P"
!! !正态分布条件下的风险资产投资组合
假设市场上各风险资产的收益率的联合分布为正态分
布#本节给出基于最大最小准则下风险资产的最优投资组合
的求解算法$
引理 !"对于给定的 *."#如果 $8N%1!%@""E$@;!%@""
- $
!
! !&"O#则
+-&
**$
*E%8*E%?8*E"@ $
!
! !&"*E$*/ #其中 %?8"@ $
!
! !&"0
*E$*/
(
证明!记 Q;(%28*E%#R;(%28@(%@"2E$@;!%@""S$
!
! !&"#考虑
如下标准形式的规划问题!’;"&+-&
%
Q;(%2F4565 R;(%2%"$
该问题的 T)E 条件为&
1Q;(%?2@%1R;(%?28"
%R;(%?28"
R;(%?2%"
%%
+
(
,
(
) "
!#"
由于1Q;(%?28*#1R;(%?28@!$@;!%?@""#容易验证&%?8"@
$
!
! !&"/
*E$*/
$*#%8 *
E$*/
! $
!
! !&"/
满足!#"#从而 %?8"@ $
!
! !&"/
*E$*/
$ * 为 T)E 点 # 相 应 的 目 标 函 数 值 为 Q; (%?2 8*E" @
$
!
! !&"*E$*/ #又由于 Q;(%2为线性函数#R;(%2为凸函数#即该
规划为凸规划#所以 %?为规划问题!’;"的全局最优解$ 从而
引理结论成立$
引理 #5记 ,8UE$@;U#V8"E$@;U#H8"E$@;"#则当 $
!
! !&"L
,H@V!
,
时# 函数 >E"@ $
!
! !&"*E$*/ 在 >EU8; 约束下的最大
值在 >?处达到&
>?8 ;
,$
!
! !&"@(,H@V!2/
$@;("S ;, ( ,$
!
! !&"@(,H@V!2/ @V2U2 !W"
其中 U8(;F;F’#;2E$
证明!构造拉格朗日乘子函数
Q(>28>E"@ ,$
!
! !&">E$>/ S%!>EU@;"
由 &Q(>2
&> 8"@
$
!
! !&"/ $>
*E$*/
S%U8" 得 >8 *
E$*/
$
!
! !&"/
$@; ("S
%U2#代入约束条件有&
! " # $
!!
万方数据
统计与决策 !""#年 #月!下"
$%&’(% )
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+#,$(-’!./(#从而 $% /0
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记 ’% &’!&" #则由上式得 ’ 应满足%
’!% ’
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% !*"
&’, $0
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% !*""
’ .1
"(# $’ !.$
&, $0
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’ .1
"% &(
% ’
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3, !0
! !
!
% !*""
’ .1
"1, $0! +
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!
% !*""
’ .1-
!% &0
上式整理后得% !
!
% !*""
’
% &!%0!!% !*".+!-$
由于 !’4#当 !
!
% !*"5
!
0
时#’ 存在#且有
’% &’!&" %
!
!
% !*"
’!
!
% !*".!!"" !6"
将式!6"代入式!2"即得到公式!7"$ 证毕
由引理 $ 和引理 !#我们有如下的结论%
定理8假设收益率联合服从正态分布 9+&:!-#!54#并记 0%(’
!./(#1%&’!./(#3%&’!./&#如果 % 满足 !
!
% !*"5
!
0
#则在
容许卖空的情形下基于最大最小准则的最优投资组合可以
通过!7"式得到$ 相应的最大损失风险值由下式给出%
;<!%"%=4 /0 !
!
% !*".+!-" .% &1 !>"
引理 !" 设 &?% )/
?
:)!
?
:&:)*
?% &’为 &’&. 0!!% !*"&’!&" 在
&’(%/ 约束下取得最大值的解# 若 &?存在 @ 个负分量 )A/?#
)A!?#&#)A@?#则 &’&. !
!
% !*"&’!&" 在 &’(%/ 和 &’4 约束下
取得最大值的解必在集合 B%
@
C % $
(BAC 中# 其中 BAC%D&%+)/:)!:888:
)*-’E&’(%/:)AC%4:AC)D/#!#888#*FF$
证明!参见文献G6H中的定理 I8/$
根据引理 / 和引理 ! 以及引理 I#假设收益率联合服从
正态分布 9!&#!"#!54#如果 % 满足 !
!
% !*"5
!
0
#则在
不容许卖空情形基于最大最小准则的最优投资组合可以采
取如下的步骤得到%
步骤 / 根据公式!7"计算容许卖空情形的最优投资组
合 &?’如果 &?’4#则 &?也为不容许卖空情形的最优投资组
合’
步骤 ! 如果 &?有负分量# 不妨设其负分量为 )A/?#)A!?#
&#)A@?:那么在分别去掉资产 JAC+C%$:!:888@-后#按照公式!7"计
算容许卖空情形的最优投资组合#并按照公式!>"求出相应
的最大损失风险值记为 ;<AC!%" K =4#并求出 ;<!%" K =4%LA*
C
;<AC!%" K =4#记录与损失值 ;<!%" K =4 对应的原模型的解为
&??’
步骤 I 如果 &??’4# 则 &??即为不容许卖空情形的最
优投资组合’否则#&??有负分量#则重复进行步骤 !#直到找
到最优投资组合为止$
!! !结束语
本文研究了不确定性的风险资产投资组合的选择问题$
如果投资者没有关于风险资产的收益分布的信息#但是可以
根据自己掌握的知识和专家经验等确定未来收益的可能范
围#有别于收益())风险分析的范式方法#本文建立了最大
最小准则下的投资组合选择模型$在收益为正态分布的条件
下# 文中给出了利用该模型选择投资组合的方法和步骤#实
际上还不难证明根据该模型所得到的投资组合是均值)))
方差有效的投资组合$ 只是限于篇幅问题#关于模型的比较
和进一步讨论在本文没有展开$
参考文献!
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0*T Z_CAL0N 0QQ(C 0NNZ30CAZ* GVH8 VZSR*0N Z‘ bZRC‘ZNAZ ;0*0W(L(*C:
$>>6: !#%$&!2$.2>8
GXH;0R@Z=AC]: [8 bZRC‘ZNAZ J(N(3CAZ* GVH8 VZSR*0N Z‘ dA*0*3(: $>#!: 2
%$&!22.>$8
G#H;0R@Z=AC]: [8 bZRC‘ZNAZ J(N(3CAZ*e (‘‘A3A(*C TA^(RQA‘A30CAZ* Z‘
A*^(QCL(*CQ G;H8 J(3Z*T cTACAZ*"M0QAN MN03@=(NN"B0L1RATW(";a:
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G6H丁元耀 8 不允许卖空的组合投资决策 GVH8 运筹与管理"!44!"$$
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万方数据
