中国科技论文在线 合作博弈下直饮水设施最佳成本决策模型及实证 12*张雪花，胥然然5 （1. 天津工业大学环境经济研究所，天津 300387； 2. 天津工业大学管理学院，天津 300387） 摘要：本文采用合作博弈的分析方法来解决直饮水设施建设运营成本确定的难题。首先建立供水方与用户的合作博弈模型，然后利用沙普利（Shapley）值进行合作总收益的分配，进而推导出直饮水设施建设与运营的最佳成本计算公式，并由此求解出供水方和用户的收益。10 最后以天津市某小区为例，对模型加以验证。结果表明，合作博弈的研究方法可以有效解决基本公共服务设施建设运营成本的确定及供需之间利益均衡分配的难题，能够成为基本公共服务设施建设规划的科学决策工具。 关键词：直饮水；合作博弈；Shapley值；最佳成本 中图分类号：F282 15 Model for the best cost of direct drinking water facilities under cooperative game and its empirical research 12ZHANG Xuehua, XU Ranran (1. Institute of Economic Environment,Tianjin Polytechnic University, TianJin 300387; 20 2. School of Management,Tianjin Polytechnic University, TianJin 300387) Abstract: In this paper, the cooperative game analysis method was used to solve the problem of determining the cost of direct drinking water facilities construction and operation. First, established a cooperative game model for water supplier and users, and then use the Shapley value (Shapley) to allocate the total revenue of cooperation, which deduced the formula of the best cost 25 of direct drinking water facilities construction and operation, and thus solve the supply-side and the user's income. Finally, a case study of one community of Tianjin was conducted to verify the model. The results show that: the cooperative game method can effectively solve the problem of determining the cost of construction and operation of basic public service facilities and balancing interests between the supply and demand; can become scientific decision-making tool for the basic 30 public service facilities planning. Keywords: direct drinking water; cooperative game; Shapley value; the best cost 0 引言 直饮水是在用户终端进行净化，直接输出符合国家标准的饮用水。目前，我国饮用水市35 场仍以瓶装和桶装纯净水为主。瓶装和桶装纯净水通常采用反渗透的处理工艺，而直饮水设备通常采用超滤加纳滤的处理工艺，更节省电力，处理成本更低。 直饮水的成本比瓶装和桶装纯净水更低，那么是不是意味着直饮水的水质比瓶装和桶装纯净水更低？事实恰好相反。瓶装和桶装纯净水在处理过程中把对人体有益的矿物质一并过滤掉，而直饮水中对人体有益的微量元素和矿物质含量丰富，水质更好。直饮水已成功应用40 于上海世博、伦敦奥运会、清华校园等。其中，在上海世博园的直饮水设备就是采用“活性[1]炭+超滤膜+紫外线”组合工艺。在长达184天的上海世博会中，为超过7308万国内外游客提供约15万吨饮用水，相当于亿支550ml瓶装水。每生产一瓶550ml瓶装水，需要自来水，即对自来水的利用率约为%，直饮水对自来水的利用率则高达99%，据 作者简介：张雪花，（1967-），女，教授，区域经济规划与决策、环境经济、环境资源与发展经济。E-mail: - 1 -
中国科技论文在线 此估算，世博会直饮水项目为上海市节省了近240多万吨自来水。同时减少了亿瓶瓶45 装水的消耗，节约接近15万立方米的塑料瓶垃圾，减少生产水瓶的能耗，相当于节省了3750[2]万升石油，减少万吨二氧化碳排放。 可以看出，直饮水既经济又环保，完全可以在每个小区建设一个直饮水设施。但目前直饮水供给在一般小区尚未得到推广，其主要原因之一是直饮水设施服务范围及与之相应的建设与运营成本难于确定，投资者无法确定是否可以在短期内获益。事实上，这是供水方和用50 户之间的利益博弈，如果直饮水定价过高，那么用户很有可能继续采用桶装水。如果直饮水定价过低，供水方没有足够的利益动力来建设直饮水设施。要想使直饮水供给得以推广，这种博弈必须建立在合作基础之上，也就是双方要同时获益。 本文通过建立供水方与用户的合作博弈，对直饮水设施建设运营的最佳成本及供需之间利益均衡分配进行分析。 55 1 合作博弈及模型构建 合作博弈 合作博弈是指能达成具有约束力协议的博弈类型。在合作博弈过程中，参与者不仅考虑自身利益，为了能够进入下一轮博弈并进一步获得共同利益，参与者还会考虑博弈群体的整体利益。在一个合作博弈中，我们用N=1,2,3,L,n表示局中人集合，其中1,2,3,L,n代{}60 表参与合作的成员。除了强制性合作博弈，一般合作博弈应该追求总收益的最大化，或者总成本的最小化。对于联盟N=1,2,3,L,n的利益分配问题也必须满足下面两个公式： {}x=vN (1) ()∑ii∈n其中，x,=1,2,3,L,n——每个成员所分得的利益；vN——联盟的总利益。即要()i求联盟成员所得利益总和等于联盟总利益。 vi≤x,i∈n{}()i65 (2) 即要求联盟成员所得利益不小于自己单独行动所获利益。 合作博弈有一段很长时间遭到冷遇，主要是因为合作博弈的解虽然非常吸引人，但却无[3]法找到，也因此造成了合作博弈无法应用的状况。罗伊德·沙普利 (Lloyd Shapley)等人为合作博弈做出了巨大贡献，其中最为代表性的人物是2012年诺贝尔经济学奖获得者埃尔70 文•罗斯和罗伊德•沙普利。罗伊德•沙普利提出了许多有价值的理论，其中最为重要的有沙普利价值、随机对策理论、Bondareva-Shapley规则、Shapley–Shubik权力指数、Gale[4]–Shapley运算法则等。美国经济学家埃尔文•罗斯 (Alvin Roth)将罗伊德•沙普利的理论与实际相结合，以很好的应用示范验证了沙普利的理论的正确性。 [5]自此，合作博弈越来越受到人们的关注，目前已应用于社会管理领域。吴丽将水权交75 易与合作博弈联系起来，分析了准市场下水权交易双方的出价策略及收益，建立了水权交易的合作博弈模型，并得出该交易模型的纳什谈判解，研究结果显示，行业间的水权交易可以[6]带来显著的经济效益的研究结论。刘红刚等人研究了区域合作博弈状态下的排放量和收益，并使用Shapley 值法对合作收益进行分配。总体来看，以往的研究注重通过合作博弈和沙普利值对已有合作的分析，目前还没有涉及对新的公共服务或准公共服务设施建设问题进80 行研究。本文将用合作博弈理论，对直饮水设施运营成本问题进行探讨。 - 2 -
中国科技论文在线 供水方与用户合作博弈模型构建 供水方与用户从本质上说是一个合作博弈问题。直饮水的定价比桶装价格便宜，用户选择直饮水会为自己带来利益。而供水方只有在用户选择直饮水的时候才能获利。在一般情况下，供需（或买卖）双方只有互相认可，交易才能成立，这是合作。但双方利益并不一致，85 都是希望自己在交易中获得尽可能多的收益（消费者剩余或利润），这是博弈。很显然，供和需是一对多的合作博弈。直饮水的供需也符合这样的合作博弈规律，说明如下： 假定用(M,1,2,3,L,n)表示供水方与用户的联盟，其中M代表供水方，1,2,3,L,n代表参与合作的用户，M所获得利益可以用公式（3）表示： nl=(d−c)x （3）M∑ii=1 90 其中，l——M所获得利益，单位为元；d——直饮水定价，单位为元/升；c——直M饮水成本，单位为元/升；x——成员i日饮用水量，单位为升。 i成员i所获得的利益可以用公式（4）表示： l=p−dx（4）()ii 其中，l——成员i所获得的利益，单位为元；p——成员i以前所用的水的水费，单i95 位为元/升。 由上可以看出，在一般情况下，无论是对于供水方还是用户而言，只有进行合作，才能使得双方都获益。因此，对于供水方和用户，进行合作是明智的选择。可见，直饮水的供与需是一对多的合作博弈问题。 2 直饮水利益分配与最佳成本求取 100 对于用户而言，直饮水的水质及其稳定性和水价对直饮水用量有直接影响。水质及其稳定性高则饮用安全性高，消费者才会安心大量地饮用；水价降低则相对于购买瓶装或桶装纯净水的消费者剩余就大，直饮水的用量就会增大。在一定技术水平下，水质与制水成本正相关；在一定市场规律下，水价与制水成本也成正相关。水质和水价是一对矛盾体，它们同时又都与制水成本呈正相关，亦即与直饮水设施建设及运营成本相关。因此，对于直饮水设施105 建设与运营最佳成本是我们关心和想求解的。供水方希望总收益尽可能大，成本尽可能小；而用户则希望在保证安全便利的同时能够减少用水费用。只有双方收益达到均衡，合作才能够稳定。 沙普利值 对于合作博弈的分配有很多概念，比较知名的解的概念有核心、稳定集、沙普利[7]110 （Shapley）值、谈判集、内核、核仁等。本文使用沙普利值进行分配，沙普利值定义如下： 符号说明：大联盟记为N=1,2,3,L,n，为某个合作博弈中的所有局中人集合，其中{}1,2,3,L,n代表参与合作的n个成员；所有局中人的任意的一个子集称为子联盟，记为S=1,2,3,L,s，即有S⊆N。 {}罗伊德·沙普利(Lloyd Shapley)提出的沙普利值，可表述如下： - 3 -
中国科技论文在线 S−1!n−S!()()⎡⎤115 ϕv=vS−vSi(5) ()(){}()∑i⎣⎦n!S⊆N 其中，ϕv——联盟某成员i所应分得的利益；vS——联盟S的总收益；S——()()i联盟S中的成员数，也有的地方表示为⎡⎤s；vS−vS−i——联盟S中的某个成员i对(){}()⎣⎦联盟的贡献利益。 沙普利值是唯一能满足以下四个公理的价值函数 120 ⑴ ϕv=vN即成员所得的沙普利值之和等于联盟总价值。 ()()∑ii∈N⑵ 公平性也称对称性，ϕv=ϕv，当对于所有的联盟S∈N，成员i,j∈S，都()()ij有vSi=vSj。即当两个成员对于所有的联盟都做出同样的边际贡献，则()()UU两个成员所分得的利益相等。 ⑶ 如果某成员对于所有的联盟没有贡献，则该成员所分得的利益为零。 vwS∈N125 ⑷ 如果和是两个博弈，而且对于所有的联盟，有v+wS=vS+wS，则ϕv+w=ϕv+ϕw。 ()()()()()()() 供水方与用户联盟收益 具体到本问题，供水方与用户大联盟N=(M,1,2,3,L,n)，则有： nnnnVN=l+l=(d−c)x+p−dx=p−cx(6) ()()()M∑i∑i∑i∑i=1=1=1=1 130 当考虑到具体情况时，不可能一家一户调查日饮用水量，可以用地区家庭日饮用水量代替，假定每户日饮用水量为x，单位为升。则大联盟总利益可以表示为： VN=p−c∗n∗x(7) ()() S=M,1,2,3,L,s{}对于子联盟，则有： ssssVS=l+l=(d−c)x+p−dx=p−cx(8) ()()()M∑i∑i∑i∑i=1=1=1=1 135 同理可以表示为： VS=p−c∗s∗x(9) ()() 沙普利值求解 ①用户沙普利值 因为本文假定以家庭平均日饮用水量衡量用户的需求，故由沙普利值性质，可知每个用140 户的沙普利值应该相等。任意一个用户以i表示。 S−1!n−S!()()观察公式（5）：⎡⎤ϕv=vS−vSi ()(){}()∑i⎣⎦n!S⊆N可以看出要想求得用户i的沙普利值，应首先考虑所有成员中包含i的联盟。 - 4 -
中国科技论文在线 若联盟的形式为S=1,2,3,L,s即只由用户组成的联盟，则VS=0，没有讨论意义。{}()可称为无效联盟。故子联盟形式应该为S=M,1,2,3,L,s，其中s=1,2,L,n。 {}145 当联盟人数S=2时，即S=M,i，由公式(9)得VS=p−cx，vS−i=0，{}()()({})故⎡⎤vS−vS−i=p−cx。 (){}()()⎣⎦当联盟人数S=3时，即S=M,i,t，其中t代表任意一个其他成员，即与i不同的{}1111用户。t的选择有C=n−1种，即这样的3人联盟S=M,i,t有C种，并且此类(){}1n−11n−1联盟收益等情况均相同，可以看成一类来处理。VS=p−c2x，vS−i=p−cx，()()({})()故⎡⎤150 vS−vS−i=p−cx。 (){}()()⎣⎦当联盟人数S=4时，即S=M,i,t,t，其中t,t代表任意两个其他成员，即与i不{}121222同的两个用户。t,t的选择有C种，即这样联盟有C种。 VS=p−c3x，()()12n−1n−1⎡⎤vS−i=p−c2x，故vS−vS−i=p−cx。 (){}()({})()()⎣⎦依次类推…… n−1155 当联盟人数S=n+1时，即S=M,i,t,t,L,t，这样的联盟S有C种。{}12n−1n−1⎡⎤VS=p−cnx，vS−i=p−cn−1x，故vS−vS−i=p−cx。 ()(){}(){}()()()()()⎣⎦综上所述，用户i的沙普利值计算如下： S−1!N−S!()()⎡⎤ϕvvSvSi()(){}()i∑⎣⎦N!S⊆N2−1!+1−2!3−1!n+1−3!()()()()1 =p−cx+C∗p−cx()()n−11!1!()() n+1−1!n+1−n+1!()()(n−1 (10)+L+C∗p−cx()n−1n+1!()n+1y−1!n+1−y!()()y−2∗−cx()∑n−1n+1!()y=2n−1!()y−2再由C=可以将上式化简得用户的收益为： n−1y−2!n−y+1!()()1160 ϕ=p−cx (11) ()i2②供水方沙普利值 1当联盟人数S=2时，即S=M,t，其中t代表任意一个用户。t的选择有C种，{}111n1即这样的2人联盟S=M,t有C种， VS=p−cx，vS−M=0，故可以得{}()()({})1n⎡⎤vS−vS−M=p−cx。 (){}()()⎣⎦- 5 -
中国科技论文在线 165 当联盟人数S=3时，即S=M,t,t，其中t,t代表任意两个用户。t,t的选择有{}12121222C种，即这样联盟有C种。并且此类联盟收益等情况均相同，可以看成一类来处理。nn⎡⎤VS=p−c2x，vS−M=0，故vS−vS−M=p−c2x。 ()(){}(){}()()()⎣⎦依次类推…… n当联盟人数S=n+1时，即S=M,t,t,L,t，这样的联盟S有C种。{}12nn0 VS=p−cnx，vS−M=p−cn−1x，故⎡⎤17vS−vS−M=p−cx。 ()()(){}()({})()()()⎣⎦综上所述，用户i的沙普利值计算如下： S−1!N−S!()()⎡⎤ϕv=v−Si()(){}()M∑⎣⎦N!S⊆N2−1!+1−2!3−1!n+1−3!()()()()12 Cp−cx+C∗p−c2x()()nn1!1!()() n+1−1!n+1−n+1!()()(n (12)+L+∗p−cx()nn+1!()n+1y−1!n+1−y!()()y−1C∗−y−1()()∑nn+1!()y=2n!y−1再由C=可以将上式化简得供水方收益： ny−1!n−y+1!()()nϕ=p−cx (13) ()M2175 最佳运营成本确定 n⎧l=(d−c)x=ϕ⎪M∑iM令解得： i=1⎨⎪l=p−dx=ϕ()ii⎩c=2d−p (14) 由公式可见，当已知桶装水价格和直饮水定价时，可以确定直饮水设施建设与运营成本。也可以在已知桶装水价格和直饮水成本情况下，确定直饮水的定价。 180 3 实例分析 本文选取天津市某小区进行直饮水建设运营最佳成本分析。该小区为500户，每户日均饮用水量为6升，桶装水价格平均为元/升。 当已知直饮水定价为元/升，由c=2d−p得c=，即直饮水运营成本为元/升。 1n185 由ϕ=p−cx得ϕ=，即用户每日节省水费元。由ϕ=p−cx得()()iiM22ϕ=600，即供水方在该小区每日获利600元。 M- 6 -
中国科技论文在线 当已知直饮水成本为元/升时，由c=2d−p得p=。 供水方与用水的获利情况同上。 4 结论 190 本文通过理论和实例研究得出如下结论： ⑴在直饮水供水方与用户的利益博弈问题研究中，可以利用沙普利值求解出合作博弈的均衡利益分配的有效解；依据供水方与用户的收入与沙普利值分配解应当相等原理，还可确定直饮水设施建设运营的最佳成本。 ⑵直饮水具有准公共物品特性，由本文可以看出，合作博弈可以用于准基本公共服务设195 施规划与建设研究，为解决均衡利益分配方案和最佳运营成本确定问题提供一种新思路。 [参考文献] (References) [1] 李伟英，郭金涛，许京晶等. 世博会直饮水水质推荐标准及配套工艺试验研究[J]. 中国给水排水，2010，26(19)：45-53. 200 [2] 余新江. 上海世博会直饮水背后的"大故事"[N]. 中国产经新闻报, 2010, 1108(E01). [3] Monderer D, Shapley L S. Potential games[J]. Games and economic behavior, 1996, 14(1): 124-143. [4] Erev I, Roth A E. Multi-agent learning and the descriptive value of simple models[J]. Artificial intelligence, 2007, 171(7): 423-428. [5] 吴丽，周惠成. 基于合作博弈的水权交易模型研究[J]. 水力发电学报，2012，31(3)：53-58. 205 [6] 刘红刚，陈新庚，彭晓春. 感潮河网区环境合作博弈模型及实证[J]. 生态学报，2012，32(11)：3586-3594. [7] 赵耀华. 博弈论与经济模型[M]. 北京：中国人民大学出版社，2010. - 7 -
