案例分析 1：中国人口时间序列模型（file:b2c1）（怎样建立 AR 模型）
图 中国人口序列（1949-2000） 图 中国人口一阶差分序列（1950-2000）
从人口序列图可以看出我国人口总水平除在 1960 和 1961 两年出现回落外，其余年份基
本上保持线性增长趋势。51 年间平均每年增加人口 万人，年平均增长率为 ‰ 。
由于总人口数逐年增加，实际上的年人口增长率是逐渐下降的。把 51 年分为两个时期，即
改革开放以前时期（1949—1978）和改革开放以后时期（1979—1996），则前一个时期的人
口年平均增长率为 20‰，后一个时期的年平均增长率为 ‰。从人口序列的变化特征看，
这是一个非平稳序列。
见人口差分序列图。建国初期由于进入和平环境，同时随着国民经济的迅速恢复，人口
的年净增数从 1950 年的 1029 万人，猛增到 1957 年的 1825 万人。由于粮食短缺，三年经济
困难时期是建国后我国惟一一次人口净负增长时期（1960，1961），人口净增值不但没有增
加，反而减少。随着经济形势的好转，从 1962 年开始人口年增加值迅速恢复到 1500 万的水
平，随后呈连年递增态势。1970 年是我国历史上人口增加最多的一个年份，为 2321 万人。
随着 70 年代初计划生育政策执行力度的加强，从 1971 年开始。年人口增加值逐年下降，
至 1980 年基本回落到建国初期水平。1981 至 1991 年人口增加值大幅回升，主要原因是受
1962—1966 年高出生率的影响（1963 年为 ‰）。这种回升的下一个周期将在 2005 年前
后出现，但强势会有所减弱。从数据看，1992 年以后，人口增加值再一次呈逐年下降趋势。
由于现在的人口基数大于以往年份，所以尽管年增人口仍在 1 千万人以上，但人口增长率却
是建国以来最低的（1996 年为 ‰）。从Δyt 的变化特征看，1960，1961 年数据可看作是
两个离群值，其它年份数据则表现为平稳特征。但也不是白噪声序列，而是一个含有自相关
和（或）移动平均成分的平稳序列。
下面通过对人口序列 yt 和人口差分序列 Dyt 的相关图，偏相关图分析判别其平稳性以及
识别模型形式。
图 yt 的相关图，偏相关图
4
6
8
10
12
14
50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00
Y
50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00
DY
图 Dyt 的相关图，偏相关图（虚线到中心线的距离是 2 (1/ ) = ）
见图 和图 。人口序列 yt 是非平稳序列。人口差分序列 Dyt 是平稳序列。应该用 Dyt
建立模型。因为 Dyt 均值非零，结合图 拟建立带有漂移项的 AR(1)模型。估计结果如下：
Dyt = + (Dyt-1 - ) + vt
() ()
R2 = , Q(10) = , Q (k-p-q) = (10-1-0-1) =
模型参数都通过了显著性 t 检验。
注意：
（1）根据 Wold 分解定理，EViews 的输出格式表示的是，对序列(Dyt - ) 建立 AR(1)
模型，而不是对 Dyt 建立 AR(1)模型。
（2）整理输出结果：
Dyt = () + Dyt-1 + vt = + Dyt-1 + vt
漂移项 = ，特征根是 1 / = 。
输出结果中的 是 Dyt 的均值，不是模型漂移项。以 AR(1)过程 xt=+ xt-1 + ut 为
例，两侧求期望，得均值 和漂移项0 的关系是
E(xt) = = ，或 = (1-)
51
11
对整理后的输出结果两侧求期望，就会反求出 = () =
（3）有没有漂移项对求特征方程和特征根无影响。
模型残差的相关图和偏相关图如下，
图 表 中模型（1）残差序列的相关图，偏相关图
因为
Q(10) = < ①( 10-1-0) =
可以认为模型误差序列为非自相关序列。
EViews 操作方法：从 EViews 主菜单中点击 Quick 键，选择 Estimate Equation 功能。随
即会弹出 Equation specification 对话框。输入漂移项非零的 AR(1)模型估计命令（C 表示漂
移项）如下：
D(Y) C AR(1)
注意：
（1）不能把命令中的 AR(1)写成 D(Y (-1))（写成 D(Y (-1))意味着做 OLS 估计）。
（2）写成 D(Y)的好处是 EViews 可以直接对 Y、D(Y)进行预测。
（3）模型中若含有移动平均项，EViews 命令用 MA(q)表示。
（4）估计的时间序列模型的 R2 不可能很高。因为变量差分后损失了很多信息。
（5）估计的模型是否成立应该从 3 个方面检查，①模型参数估计量必须通过 t 检验；①
全部的特征根的倒数必须在单位圆以内；①模型的残差序列必须通过 Q 检验。
（6）在模型估计结果窗口通过 View/ARMA Structure/Correlogram 命令可以观察样本的
相关图与理论 AR(1)过程相关图的对比图。
下面进行预测：
Dy2001 = + Dy2000 + v2001 = + ① +0=
y2001 = y2000 + Dy2001 = + =
EViews 给出的预测值是 ，结果相同。
预测的 EViews 操作方法：把样本容量调整到 1949-2001。打开估计式窗口，在 Equation
Specification（方程设定）选择框输入命令，D(Y) C AR(1)，保持 Method（方法）选择框的
缺省状态（LS 方法），在 Sample（样本）选择框中把样本范围调整至 1949-2000。点击 OK
键，得到估计结果后，点击功能条中的预测（Forecast）键。得对话框及各种选择状态见下
图。
点击 OK 键，YF 和 YFse 序列出现在工作文件中。打开 YF 序列窗口，得 2001 年预测值
，见前图。
已知 2001 年中国人口实际数是 亿人。预测误差为
= =
图 点击 forecast 键只选取 2001 年动态或静态的预测结果
解法 2：
把中国人口序列 yt 看作是含有确定性趋势的平稳序列。前提是中国人口序列 yt 必须是
退势平稳序列。用 yt 对时间 t 回归,得
yt = + t + ut
(110) (102) R2 = , (1949-2001)
用 ut 检验单位根如下。
dut = ut-1 + dut-1
() () R2 = , (1951-2001), =
2001
YF
Forecast: YF
Actual: Y
Forecast sample: 2001 2001
Included observations: 1
Root Mean Squared Error
Mean Absolute Error
Mean Abs. Percent Error
图 16 ut 序列
ut 是一个平稳序列。所以 yt 是一个退势平稳序列。有理由建立一个含有固定趋势项的时
间序列模型。
图 17 ut 的相关图和偏相关图
通过观察 ut 的相关图和偏相关图，判定 ut 是一个二阶自回归过程。为正，2 为负。
特征根应该为复根。建立含有固定趋势项的二阶自回归模型
Y C @trend(1948) AR(1) AR(2)
估计结果如下：
50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00
RESID
写表达式如下：
yt = + t + ut, (1949，t = 1)
() ()
其中
ut = ut-1 - ut-2 + vt , (1949，t = 1)
() ()
或写为
yt = + t + ut-1 - ut-2 + vt , (1949，t = 1)
() () () ()
R2 = , (1951-2000) , Q(10) = , Q (k-p-q) = (10-2-0-2) =
模型残差序列的相关与偏相关图如下，
根据上式预测，2001 年中国人口预测数是
y2001 = +①53 +①() - ① ()
=（亿人）, (2001 年, t = 53)
也可以把输出结果写为，
yt = + t + ((t-1)) - ((t-2))+vt
() () () ()
整理后得
yt = + t + yt-1 - -2 + vt
注意：EViews 的输出格式表示的是对序列(yt )估计 AR(2)模型。
根据上式预测，2001 年中国人口预测数是
y2001 = + ①53 +① ()① ()
=（亿人）, (2001 年, t = 53)
EViews 预测的结果是 。已知 2001 年中国人口实际数是 亿人。预测误
差为
= =
图 点击 forecast 键只选取 2001 年动态或静态的预测结果
案例 2 日本人口时间序列模型（file:japopu）（怎样建立缺项的 AR 模型）
2001
YF
Forecast: YF
Actual: Y
Forecast sample: 2001 2001
Included observations: 1
Root Mean Squared Error
Mean Absolute Error
Mean Abs. Percent Error
图 1 日本人口序列(yt) 日本人口差分序列(Dyt)
人口数字之所以起于 1872 年，是因为 1872 年日本才有了全国人口统计数字。在 122
年间（1872-1994），日本人口从 万人增至 万人（ 倍）。日本人口增加的特
点是两头慢，中间快。同时在 1944-1946 年和 1972 年人口总量出现了激烈波动。1944-1946
年的波动是因为战败，1972 年的波动是由于美国归还冲绳。由图 1 中的相关图可以判定日
本人口序列 yt 是一个非平稳序列。由图 2 可以看出日本人口差分序列 Dyt 是一个平稳序列。
图 3 是日本人口的二次差分序列 DDyt。它也是一个平稳序列。差分序列 Dyt 的极差是
，差分序列 DDyt 的极差是 。可见 DDyt 是一个过度差分序列。应该用 Dyt 建立时
间序列模型。
日本历史上有两次大规模向国外学习的过程。
一次是大化改新。大化改新（公元 645-649）是一场以圣德太子政治理念为基础的贵族
革命。圣德太子（公元 574-622）一心加强皇权，决心向中国学习，启蒙日本。他四度向中
国派遣使团和留学生。在它的影响下，其死后 23 年，即公元 645 年，中大兄皇子发动政变，
成功地建立了类似唐朝的中央集权机构。
一次是明治维新。明治维新始于 1868 年。从而开始了全面向西方学习的历史。口号是
“富国强兵”（福泽谕吉）。主要措施是（1）加强中央集权，1871 年实施“废藩治县”，（2）1872
年采取美国三权分立的政治体制，（3）1872 年统一货币，实行 1 日元=1 美元的兑换率，
（3）1872 年开始修铁路、建立现代统计制度，采用阳历等，（4）1873 年迁都东京。
1880 1900 1920 1940 1960 1980
Y
1880 1900 1920 1940 1960 1980
DY
图 2 yt 的相关图与偏相关图, Dyt 的相关图与偏相关图
图 3 日本人口二次差分序列 D2yt D2yt 相关图、偏相关图
由 Dyt 的相关图、偏相关图（见图 2）初步判定应建立均值非零的 AR(3) 或 AR(4) 模
型。估计结果如下： 先估计 AR(4) 模型，化简至 AR(3) 模型
图 4 EViews 估计结果
1880 1900 1920 1940 1960 1980
DDY
图 5 模型 () 残差的相关图与偏相关图
对应的模型表达式是
Dyt = + (Dyt-1 - ) + (Dyt-3 - ) + vt
() (3. 0) ()
R2 = , Q = , Q (k-p-q) = (15-2-0) =
注意：EViews 的输出格式表示的是对序列(Dyt - )估计 AR(3)模型。
整理：
Dyt = () + Dyt-1 + Dyt-3 + vt
Dyt = + D yt-1 + D yt-3 + vt
通过 t 值、DW 值、F 值和 Q 值，说明 () 式是一个满意的日本人口模型。图 5 显示模
型 () 的残差中已不含有自回归和移动平均成分。模型特征方程的 3 个根是
z1 = 1 / =
z2 = 1 / ( - i ) = -
z3 = 1 / ( + i ) = +
下面利用模型 () 预测 y1995，并计算预测误差。已知 dy1994 = ，dy1992 =
，则预测结果是，
1995 = + Dy1994 + Dy1992
= + ① + ① =
1995 = y1994 + 1995 = + =
已知 1995 年日本人口实际数是 亿人。预测误差为
= =
案例 3 中国粮食产量序列（yt）的 MA 模型（file: 5arma07）（怎样建立 MA 模型）
Dy
ŷ
Dy
粮食产量（yt）定义见《中国统计年鉴 2005》。Yt 是一个非平稳序列。用它的对数差分
序列 dLnyt 建立时间序列模型。dLnyt 的自相关函数见下图。dLnyt 是一个 ARMA 过程或 MA
过程。ARMA()过程
首先估计 ARMA(1,1)模型。结果如下：
dLnyt = (dLnyt-1 - ) + vt + vt-1
() () ()
R2 = , Q(15) = , Q (k-p-q) = (15-1-1) =
注意：如果估计结果中有均值项，只在自回归项中减之，不必在移动平均项中减之。
10000
20000
30000
40000
50000
60000
50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00
Y
50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00
LNY
自回归项没有显著性，去掉 AR(1)项，进一步建立 MA(1)模型。结果如下：
dLnyt = + vt + vt-1
() ()
R2 = , Q(20) = , Q (k-p-q) = (20-0-1-1) =
上述模型的各种检验与诊断都能通过，可以作为备选模型。
如果进一步分析，还可以把模型做得更好。观察残差序列发现在 7 年和 10 年上仍有较
大的自相关。这预示着序列中还存在 7~10 年的变化周期。
下图给出的是 dLnyt 作 3 年移动平均后退去趋势的序列，显然该序列存在着 7~10 年的
变化周期。把 vt-7 和 vt-10 作为变量加入模型。
得结果如下：
dLnyt = + vt + vt-1 vt-7 vt-10
() () () ()
R2 = , Q(15) = , Q (k-p-q) = (15-0-3-1) =
50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00
detrending moving average (3 years) of dlny
回归与 ARMA 组合模型（combined regression-time series model）。
已经学习回归模型和时间序列模型，如果把这两种分析方法结合在一起，有时会得到比
其中任何一种方法都好的预测结果。
例如有如下回归模型
yt = 0 + 1 xt + ut （15）
其中 xt 是解释变量，yt 是被解释变量，ut 是随机误差项。上述模型的估计式是
yt = + xt +
令 = 0，用上式可预测 yt 的值。 是一个平稳的、非自相关的残差序列。当 存在自相关
时，时间序列分析的一个有效应用是对残差序列 建立 ARMA 模型。然后将上式中的残差
项用 ARMA 模型替换。在利用上述模型预测 yt 时，可以利用 ARMA 模型先预测出 的值。
有时，这会使 yt 的预测值更准确。
这种回归与时间序列相结合的模型形式是
yt = + xt + -1(L) (L) vt （16）
其中 = -1(L) (L) vt，或写成 (L) = (L) vt。vt 是服从正态分布的、非自相关的误差
项。vt 的方差一般与 不一样。这种回归与时间序列相组合的模型称作转（变）换函数模型
（transfer function model），多元（变量）自回归移动平均模型（multivariate autoregressive
-moving average model），简称 MARMA 模型，或回归与时间序列组合模型（combined
regression-time series model）。
假设（15）式中的 ut 是一个 ARMA(1, 1)过程，则估计（15）式的 EViews 估计命令是
Y c X AR(1) MA(1)
注意：
（1）如果（15）式中的 ut 是一个 AR(1) 过程，则回归与 ARMA 组合模型表达的就是
误差项为一阶自相关的经典回归模型。
（2）以（16）式为例，按 Wold 分解定理，也可以对转换函数模型作如下理解。yt - 0
- 1 xt = ut 表示在 yt 中剔除了确定性影响0 +1 xt 后所得序列 ut 是一个不含任何确定性成分
0̂ 1̂ tû
tû tû tû
tû
tû
0̂ 1̂
tû tû
tû
的平稳的随机序列。用 ut 建立时间序列模型。
回归与 ARMA 组合模型也可以由被解释变量及其滞后项、一个或多个解释变量及其滞
后项、和描述随机误差序列的时间系列模型 3 部分组成。
只含有一个解释变量的转换函数模型，即一元回归与 ARMA 组合模型的一般形式是
A(L) yt = B(L) xt + -1(L) (L) vt
其中 ut = -1(L) (L) vt。A(L)是 yt 的特征多项式，B(L)是 xt 的特征多项式。(L)是 ut 的特征
多项式，(L)是 vt 的特征多项式。在实际应用中，转换函数模型的结构部分可以利用经济理
论和计量经济分析方法得到，而转换函数模型的时间序列部分（ut）可以通过时间序列模型
的分析方法得到。
案例 4 中国宏观消费案例（file:china）中带有自相关的估计结果如下
= + LnGDPt
() ()
R2 = , DW = , . = , (1952-2002)
残差序列的相关与偏相关图如下。应该是一个 2 阶自回归过程。
对 LnCPt 建立回归与时间序列组合模型，或对上式残差建立时间序列模型，EViews 命
令是：
LnCP C LnGDP AR(1) AR(2)
估计结果如下，
LnCPt = + LnGDPt + AR(1) - AR(2) +
() () () ()
R2 = , DW = , . = , (1954-2002)
即，
LnCPt = + LnGDPt + - +
消费对国内生产总值的真实弹性是 。
案例 5：（file: 5line03，5autoco7，autoco7）（广义 2 阶差分）中国储蓄存款总额（Y，
亿元）与 GDP（亿元）的计量经济模型
tLnCP
tv̂
1ˆ tu 2ˆ tu tv̂
用 Yt 对 GDPt 回归（eq03），
Yt = GDPt
() () R2 = , DW=, T = 42, (1960-2001)
残差图如下，
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
0 10000 30000 50000 70000 90000
GDP
Y
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
LOG(GDP)
LO
G
(Y
)
.0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000
Y/GDP
图 1 线性模型的拟合与残差图
（2 阶自相关的 LM 检验结果，存在自相关。）
（无交叉项 White 异方差检验结果，存在异方差。）
上面估计模型误差项中既存在严重的自相关又存在异方差。下面建立对数线性模型。
（eq01）
LnYt = LnGDPt
() () R2 = , DW=, T = 42, (1960-2001)
-10000
-5000
0
5000
10000
15000
-20000
0
20000
40000
60000
80000
60 65 70 75 80 85 90 95 00
Residual Actual Fitted
图 2 对数线性模型的拟合与残差图
（2 阶自相关的 LM 检验结果，存在自相关）
模型中自相关仍然很严重。用残差直接拟合 2 阶自回归，回归参数都有显著性。
模型中已不存在异方差。
上面的回归结果可以看出残差中存在 2 阶自相关。
克服自相关方法（1）：采取 2 阶广义差分变量继续回归。
GLnYt = LnYt LnYt-1+ Ln Yt-2
GLnGDPt = LnGDPt LnGDPt-1+ LnGDPt-2
2
4
6
8
10
12
60 65 70 75 80 85 90 95 00
Residual Actual Fitted
做异方差和自相关检验。
（1 阶自相关 LM 检验结果）
（2 阶自相关 LM 检验结果）
（无交叉项 White 异方差检验结果）
模型符合要求。储蓄存款总额（Y，亿元）对 GDP 的弹性是 。即 GDP 每增长 1%，
储蓄存款总额增长 %。
克服自相关方法（2）：用回归加 ARMA 模型方法。
65 70 75 80 85 90 95 00
Residual Actual Fitted
对数线性模型
LnYt = LnGDPt
() () R2 = , DW=, T = 42, (1960-2001)
的残差的相关图、偏相关图。
（残差的相关图、偏相关图）
在对数线性模型中加入两个 AR 项。
模型中已不存在自相关和异方差。
（自相关检验结果）
（异方差检验结果）
模型符合要求。储蓄存款总额（Y，亿元）对 GDP 的弹性是 。即 GDP 每增长 1%，
储蓄存款总额增长 %。
弹性系数的 OLS 估计结果是 ，GLS 估计结果是 ，回归与 ARMA 组合模型
估计结果是 。
注意：这个方法要求对 ARMA 模型的设定一定要正确，否则对回归系数影响非常大。
应介绍的内容：序列是否平稳，过度差分问题，序列是否含有漂移项，识别模型结构，
怎样写 EViews 估计命令（自回归项用 AR(①)表示，移动平均项用 MA(①)表示），t 检验，Q
检验，正确写出输出结果（模型含有均值项时，要在每个 AR 项中减去均值，但移动平均项
中不减均值），预测方法，均值与漂移项的关系。时间序列估计模型的可决系数 R2 不会很大。
