第18章 债券组合信用VaR度量
计算单只债券的信用风险
信用评级转移概率
债券信用风险指由于信用质量改变而引起的价值变动
的风险。每个债券信用质量用8种评级之一来表示
(AAA AA A BBB BB B CCC Default)。
不仅违约会导致风险，而且升降级引起的价值变化也
会导致风险。所以需要估计风险期内信用评级转移到
其他任何可能信用状态的概率。债券发行者的信用级
别决定了债券在风险期内违约或者转移到任何可能信
用评级的概率。
A级, AAA级和BBB级债券一年后的信用评级转移概率
图 信用等级转移实例（1年风险期）
通过观测大量公司的信用评级历史数据来得到转移概率。
这隐含两个假设：
(1) 假设所有公司的信用评级是正确的；
(2) 假设具有相同信用级别的所有公司将来表现行为一致—
—转移到其他信用级别的概率均相同。
下页表中用矩阵表示所有级别债券的转移概率。
表年期转移概率矩阵
初始评级
(Initial rating)
年末评级 (Rating at year end(%))
AAA AA A BBB BB B CCC Defau
lt
AAA 0 0 0
AA 0
A
BBB
BB
B 0
CCC 0
表最左边一列是债券当前的信用评级，沿着那行的各列是风险期末的评级。
例如，左下角的数字％说明了一个信用评级为CCC的债券在1年末转移到
AAA信用级别的概率是％。
债券定价
确定了单只债券在风险期末转移到任何可能信用状态的概率后，
就可以确定风险期末相应信用状态上债券的价值。每个转移状态
计算一次价值，因而每只债券有8个新定价。
这8个定价可分为两类。第一类，在违约情况下，需要基于债券
的优先级估计恢复率。第二类，在升降级的情况下，需要估计由
于信用评级变化导致的信用价差的变化，即通过计算债券在新的
收益率下，剩余现金流的现值来估计它的新价值。
违约状态下的定价
如果债券信用评级转移到违约，则恢复后残留净值将依赖于债券的优先级。表
2提供了违约状态下的恢复率和恢复率的标准差。
表 恢复率（％面值）
优先级 均值Mean（%） 标准差standard
deviation（%）
优先有担保（Senior
secured）
优先无担保（Senior
unsecured）
优先次级（Senior
subordinated）
次级（Subordinated）
次次级（Junior
Subordinated）
表给出了恢复率均值（中间列）和恢复率的标准差
（最后一列）。例如，有一个BBB级的债券是优先无担保
的（面值100美元），则它违约时的均值为面值的％，
恢复率的标准差是％。如果该债券发生违约，则它的
价值为：V=100*％=美元。
升降级状态下的定价
(1) 得到每一个评级类别的一年期远期利率曲线。远期利率从风险期末开始到债券到
期。
(2) 利用这些远期利率数据，对各个级别债券的剩余现金流进行定价。
假设有一个BBB级债券，面值为100美元，5年到期，息票率为6%。假定各个级别
债券1年后的远期利率由表3给出。
表3 1年后的远期利率曲线（％）
级别
(Category)
一年
(Year1)
二年
(Year2)
三年
(Year3)
四年
（Year4）
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
假定1年末该BBB级债券升级到A，价值用下面的公式来表示：
上式计算了1年末该BBB级债券升级到A级时的价值。对转移到所有
级别债券完成相似计算，可得表4。
表4 BBB级债券转移到相应级别的年末价值
年末评级
（Year-end rating）
年末债券价值（美元）
（value($)）
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
Default
估计信用风险
根据前面的数据和计算公式，得到BBB债券的年末价值和信用评级转移概率如
表所示。
表5 BBB级债券的年末价值和信用评级转移概率
年末评级
（Year-end rating）
状态概率
（probability of state(%)）
年末债券价值
（new bond value($)）
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
Default
标准差作为信用风险的度量指标
设 为状态转移概率， 为相应状态下的价值（表5的第2，3列）。
计算均值 和标准差 ：
由信用级别变化而引起的价值变化的标准差为$，此值为一种信用风险值，如果进
一步假设价值服从正态分布，可得置信水平为99%的信用风险值为$（=*,
其中， SAS函数probit(.)= ，99%置信水平对应的分位数为1%）。
均值与百分位数的差作为信用风险的度量指标
表显示了BBB级债券在风险期末任何给定信用级别的概率
和价值。假设要计算BBB级债券年末价值的1%分位数，计算过
程如下。
从表的底部违约状态开始，然后逐渐升级到AAA级状态。
向上移动的同时，计算概率和。当这个概率和第一次达到或超
过1%时，所对应的值就是该债券年末价值的1%分位数。
具体过程：违约状态时概率是％，该值小于1%，向上移动
到CCC状态；违约和CCC的概率和是％（％+％），
仍然小于1%，继续向上移动；违约，CCC，B三者概率和等于
％（％+％），该值超过了1%，因而，停止移动。
这时，相应的年末价值等于美元，这就是债券年末价值的
1%分位数，它与均值的差为美元（$-
$=$）。
BBB级债券的信用风险为：$- $=$.
计算债券组合的信用风险
联合概率
这里只考虑包括两个特定债券的组合。两个债券在可能的转移期限内，
有8×8=64个可能的状态。
获得联合概率的最简单方法是假设两个债券信用级别变化是独立的，
这时，联合概率是单个概率的乘积。如下表中所示，两个债券
（BBB级和A级）保持他们原先的级别的联合概率就是％。等于
％（BBB级期末仍旧保持在BBB级的概率）与％（A级债
券期末仍保持在A级的概率）的乘积：％＝％×％。
表 两独立债券（BBB级和A级）的联合转移概率（％）
BBB级
A级
AAA AA A BBB BB B CCC Default
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
Default
资产收益率模型
• 假设两个债券信用级别的变化相互独立是不现实的，因为他们
信用评级的变化至少受同样的宏观经济变量的影响。因此其信
用评级或违约率的变化将具有某种程度的相关性
• 但由于是实际违约资料的稀缺性，导致很难观察或估计信用等
级的联合转移状况。下面给出了一种解决方案，即引入公司资
产收益率模型，该模型将公司资产收益率与信用级别联系起来。
• 令Z表示资产收益率。将债券的信用等级变动与发行公司的权益
价值变动相联结，将信用评级的变化转换为由一些相对应的资
产收益率门槛值来表示。
图 未来一年可能的资产收益率门槛值与相应的信用评级变化（以BB级债券为例）
图中横轴的不同Z值表示BB级债券的资产收益率门槛值，例如，
表示债务人发生违约； 表示发债公司的等级被降为
CCC级。
这样，知道公司的资产收益率门槛值，就可以得出信用评
级的变化。所以，这里只需要对公司的资产收益率门槛值
变化建模就可以了。
假设公司资产收益率的变化是正态分布，均值为 ，标准
差为 。下面以BB级债券为例，说明由债券评级转移概
率计算资产收益率门槛值的方法。
表中第一列为BB级债券未来一年的转移概率。由
于假设资产收益率Z服从正态分布，则通过下面评级转
移概率与资产收益率门槛值之间的关系，
依次可求得各等级的收益率门槛值，如表中第4列。上式中
代表标准正态分布的累积分布函数。
表 BB级债券评级转移概率与收益率门槛值
评级 转移概率
由转移概率计算
资产收益率门槛值的公式
BB级债券资产收
益率门槛值
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
Default
这里没有给出 的值，因为任何高于 的收益率意味着升级到AAA。
现在考虑另一个A级债券。同样假设A级债券资
产收益率的变化是正态分布，均值为 ，标准
差为 。
由 表示其对应的资产收益率，它的资产收益
率门槛值由 等表示。A级债券的转移概率
和资产收益率门槛值如表所示。
表 A级债券转移概率和资产收益率门槛值
评级
（Rating）
概率
（Probability）
A级债券资产收
益率门槛值
AAA %
AA %
A %
BBB %
BB %
B %
CCC %
Default %
为了描述两个债券信用评级的联合变化，假设这两个资产收益率服从相
关系数为 的二元正态分布。这样，就可以利用资产收益率门槛值来
计算两个债券的信用评级联合转移概率。
例如，希望计算两个债券均保持当前信用评级不变的概率。即BB级对
应的资产收益率在 到 之间，A级对应的资产收益率在 到
之间。如果两个资产收益率是独立的（ ），则这个联合概率
是％（BB保持在BB的概率）与％（A保持在A的概率）的乘
积。
如果 不等于0，则联合概率为：
其中， 是相关系数为 的二元正态分布的密度函数。即，
此处可以令 （资产收益率门槛值标准化）。
表 BB级和A级债券的联合评级转移概（ ）
BB级
A级
AAA AA A BBB BB B CCC Default
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
Default
相同的方法可以计算两个债券的64个联合评级转移概率，假设 ，利
用SAS编程求得概率如表所示。
组合信用风险
用标准差作为信用风险测量指标时的相关公式：
两项资产：
更一般的，当组合资产为n项（ ），各项均值为 ，
方差为 。令 ，则组合的方差为：
三项资产组合的标准差：
实际应用时，使用下面的向量形式方便计算。
计算两债券组合信用风险值的sas程序：
以中的两只债券组合为例，一只为BB级债券，另一只为A级债券。
proc iml;
recovery={,,,,}; /* 创建恢复率矩阵 */
recovery=recovery/100;
forward={ ,
,
,
,
,
,
}; /* 一年期远期利率矩阵 */
forward=forward/100;
par=100;
coupon=;
tran={ 0 0 0,
0,
,
,
,
0 ,
0 };/* 一年期等级转移概率矩阵 */
tran=tran/100;
rating={5 3};/* 对应等级BB,A */
prob=t(tran[rating,]);
v={[8]0};
do i=1 to 7;
v[i]=coupon*par*(1+1/(1+forward[i,1])+1/(1+forward[i,2])##2+1/(1+
forward [i,3])##3+1/(1+ forward [i,4])##4)+par/(1+ forward [i,4])##4;
end; /* 一年后的价值 */
v[8]=par*recovery[2];
z=J(9,2,0); /* 创建9行2列元素全为0矩阵 */
z[9,]=-40;
z[1,]=8;
z[8,]=probit(prob[8,]);
do i=7 to 2 by -1;
z[i,]=probit(prob[i,]+probnorm(z[i+1,]));
end;
btran=J(8,8,0);
value=J(8,8,0);
do i=1 to 8;
do j=1 to 8;
btran[i,j]=probbnrm(z[i,1],z[j,2],)-probbnrm(z[i+1,1],z[j,2],)-
probbnrm(z[i,1],z[j+1,2],)+probbnrm(z[i+1,1],z[j+1,2],);
value[i,j]=v[i]+v[j];
end;
end;
mean=sum(btran#value);
var=sum(btran#value#value)-mean##2;
std=sqrt(var);
print prob,z,btran,value,mean,std;
run;
MEAN STD
要计算第二种信用风险测度指标，即计算均值与组合价
值1%分位数的差，首先要确定资产价值的1%分位数，
即找出组合中的一个值，这个值以下的所有概率和小于
1%。在组合中的资产不超过2个的条件下，可以简单地
利用转移概率表中的值计算出1%水平下的信用风险值。
但是对于更大的组合，用解析的方法来计算百分位数是
行不通的——必须采用模拟的方法。
蒙特卡罗模拟
前面使用的是解析方法估计信用风险值。这种方法有两个有
优点：一是速度快，二是精确程度高。但也存在着两个缺点：
一是对于数量很大的组合，速度就会变得很慢；二很多有用
的统计量也没有解析的估计形式。为了更好地描述组合的分
布，下面使用蒙特卡罗模拟方法。
考虑一个包括三个债券的组合：BBB级债券；A级债券；
CCC级债券，相对应的公司分别是firm1，firm2，firm3。简
单起见，假设这三只债券的面值均为100美元，5年到期，
息票率为6%。
生成情景
基于资产收益率模型，生成情景的步骤如下：
建立组合中每个债券的资产收益率门槛值；
由正态分布模拟资产收益率情景；
由资产收益率情景影射出信用评级情景。
确定资产收益率门槛值
表 三个债券（BBB, A和CCC）的信用评级转移概率
转移概率（Transition probability(%)）
评级（Rating） 公司1（Firm1） 公司2 （Firm2） 公司3（Firm3）
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
Default
根据资产收益率模型，利用表中的转移概率可以确定出3个公
司的资产收益率门槛值，如表所示。
表 三公司资产收益率门槛值
阈值
(Threshold)
公司1
(Firm1)
公司
2（Firm2）
公司3（Firm3）
ZAA
ZA
ZBBB
ZBB
ZB
ZCCC
ZDef
模拟资产收益率情景
表 三公司资产收益率的相关系数
公司1
(Firm1)
公司2
（Firm2）
公司3
（Firm3）
公司
1（Firm1）
公司
2（Firm2）
公司
3（Firm3）
表 模拟资产收益率的10个情景
每个情景中的3个数代表了3个公司的标准化后的资产收益率.
情景
（Scenario）
公司
1（Firm1）
公司
2（Firm2）
公司
3（Firm3）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Proc iml;
corr={ ,
,
};/* 相关系数矩阵 */
rv0=rannor(repeat(0,100,3));/* 种子为0，产生10个随机数，3
个变量 */
rv0=t(rv0);
rv=root(corr)*rv0;
rv=t(rv);
Print rv;
create scenario from rv;
append from rv;
close scenario;
run;
quit;
由资产收益率情景映射到信用评级情景
表 由资产收益率情景到评级情景的映射
情景
（Scenario）
资产收益率（Asset Return） 新评级（New Rating）
公司
1（Firm1
）
公司
2（Firm2）
公司
3（Firm3）
公司
1（Firm1）
公司
2（Firm2）
公司
3（Firm3）
1 BBB A B
2 BBB A Default
3 BBB A CCC
4 BBB A CCC
5 BBB A CCC
6 A A CCC
7 BB A CCC
8 BBB A CCC
9 BBB A CCC
10 BBB A B
资产收益率情景到评级情景的映射的SAS程序：
proc iml;
use scenario;
read all into rv;
use z;
read all into z;
ratingmap=J(100,3,0);
do m=1 to ncol(rv);
do i=1 to nrow(rv);
do j=8 to 1 by -1;
if rv[i,m]>z[1,m] then ratingmap[i,m]=1;
if rv[i,m]<z[j,m]
then do;
ratingmap[i,m]=j;
j=0;
end;
end;
end;
end;
print z,rv,ratingmap;
create ratingmap from ratingmap;
append from ratingmap;
close ratingmap;
run;quit;
由资产收益率情景到评级情景的映射(RATINGMAP)
4 3 6
4 3 8
4 3 7
4 3 7
4 3 7
3 3 7
5 3 7
4 3 7
4 3 7
4 3 6
……
组合定价
对于前面给出的债券组合，利用蒙特卡罗模拟
方法计算一年后这个组合的信用风险值。
组合情况：三个债券构成的组合，BBB级债券；
A级债券；CCC级债券，相对应的公司分别是
firm1，firm2，firm3。假设这三只债券的面值均
为为100美元，5年到期，息票率为6%。
对于非违约情景，可以采用解析法中的算法。对于每一个情景，新的
评级影射到一个新的价值。
一种情景下的组合价值计算：例如若1年末组合中BBB级债券升级到
A，A级债券降级到BBB，CCC级债券的级别未发生变化，则1年末的
债券价值分别是：
组合价值为：
对于违约的情景，情况有点不同。因为恢复率
是一个不确定的量，有较大的波动性。可以根
据情景中资产头寸的优先级获得他们恢复率的
均值和标准差。对每一个违约情景，用这些参
数和beta分布产生随机的恢复率，然后基于这
些恢复率计算每个违约情景下单个资产头寸的
价值。
表 情景组合的定价
情景
（scenario）
评级（Rating） 价值（Value）
公司
1（Firm1
）
公司
2（Firm2
）
公司
3（Firm1
）
公司
1（Firm1
）
公司
2（Firm2
）
公司
3（Firm3
）
组合
（Portfolio）
1 BBB A B
2 BBB A Default 50
3 BBB A CCC
4 BBB A CCC
5 BBB A CCC
6 A A CCC
7 BB A CCC
8 BBB A CCC
9 BBB A CCC
10 BBB A B
估计信用风险
根据前面获得的一个组合价值序列，可以估计信用风险。
通过解析方法得到组合价值的均值和标准差。设 ...为
各个情景的组合价值，则可以计算情景的样本均值（ ）和标准
差（ ）如下：
用组合价值的标准差度量信用风险值：
组合均值（$）
portfolio_mean
标准差（$）
portfolio_std
组合价值的10%分位数
portfolio_p10
（$） （$） （$）
用均值与百分位数之间的差作为信用风险值：
进一步计算组合价值的百分位数。
基于Copula的蒙特卡罗模拟
正态Copula相关结果如下
正态copula ，T边际分布
PORTFOLIOVALUE
……
PORTFOLIOMEAN
PORTFOLIOSTD
组合价值的均值与百分位数
组合均值（$）
portfolio_mean
标准差（$）
portfolio_std
组合价值的10%分位数（$）
portfolio_p10
风险值（$）
VaR
（$） （$） （$） （$）
用均值与百分位数之间的差作为信用风险值：
正态copula，正态边际分布
PORTFOLIOVALUE
……
PORTFOLIOMEAN
PORTFOLIOSTD
组合价值的均值与百分位数。
组合均值（$）
portfolio_mean
标准差（$）
portfolio_std
组合价值的10%分位数（$）
portfolio_p10
风险值（$）
VaR
（$） （$） （$） （$）
用均值与百分位数之间的差作为信用风险值：
